精品解析：荆门市湖北省京山市2024-2025学年九年级上学期期中教学质量监测数学试卷

京山市2024－2025学年度上学期期中教学质量监测九年级试卷 数学 考试时间120分钟 试卷满分120分 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 将一元二次方程 4x2+5x＝81 化成一般式后，如果二次项系数是 4，则一次项系数和常数项分别是（ ） A. 5，81 B. 5，﹣81 C. ﹣5，81 D. 5x，﹣81 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c 是常数且 a≠ 0）特别要注意 a≠0 的条件，其中 a，b，c 分别叫二次项系数，一次项系数， 常数项，可得答案． 【详解】一元二次方程 4x2+5x＝81 化成一般式为 4x2+5x﹣81＝0， 二次项系数，一次项系数，常数项分别为 4，5，﹣81， 故选B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是： ax2+bx+c＝0（a，b，c 是常数且 a≠0）特别要注意 a≠0 的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中 ax2 叫二次项，bx 叫一次项，c 是常数项．其中 a，b，c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 2. 近几年我国国产汽车行业蓬勃发展，下列我国国产部分新能源品牌汽车标识中，是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的识别．在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．这个旋转点，就叫做中心对称点．据此判断即可． 【详解】解：选项A、B、C均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形， 选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形， 故选：D． 3. 抛物线经过平移得到抛物线,平移过程正确的是（ ） A. 先向下平移个单位,再向左平移个单位 B. 先向上平移个单位,再向右平移个单位 C. 先向下平移个单位,再向右平移个单位 D. 先向上平移个单位,再向左平移个单位. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用顶点式得到抛物线的顶点坐标为，抛物线的顶点坐标为，然后利用点平移的规律确定抛物线的平移情况． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为，抛物线的顶点坐标为，而点先向上平移2个单位，再向左平移3个单位后可得点， 抛物线先向上平移2个单位，再向左平移3个单位后可得抛物线． 故选：． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 4. 为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价，某种药品原价为256元，在连续进行两次降价后价格调整为196元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的运用，理解每次减价的计算，掌握一元二次方程解决实际问题的方法是解题的关键． 根据题意，第一次降价后的价格为元，第二次降价后的价格为元，由此列式即可求解． 【详解】解：设平均每次降价的百分率为x，则第一次降价后的价格为元， 第二次降价后的价格在第一次降价后的价格的基础上降低的为元， ∴可列方程为． 故选：C． 5. 如图，点，，在上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形性质，三角形的内角和定理的应用，根据圆周角定理求出，根据等腰三角形性质即可得出，熟练掌握圆周角定理定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：． 6. 如图，小明以抛物线为灵感，在平面直角坐标系中设计了一款高为13的奖杯，杯体轴截面是抛物线的一部分，则杯口的口径长为（　　） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，理解题意，熟练运用二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 求出点A，C的坐标，即可求出杯口的口径长． 【详解】解：∵， ∴点D的坐标为， 当时，， 解得， ∴，， ∴； 故选：B． 7. “圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题，“今有圆材，埋壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言表述是：如图所示，为的直径，，垂足为E，寸，寸，则直径长度是（ ） A. 12寸 B. 13寸 C. 24寸 D. 26寸 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键． 设的半径为，根据垂径定理得到，在中，利用勾股定理列出方程，求解半径，从而求出直径长度． 【详解】解：设的半径为， 、、， 为的直径，， ， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得， 寸． 8. 如图，把以点A为中心逆时针旋转得到，点B，C的对应点分别是点D，E，且点E在的延长线上，连接，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据旋转的性质即可解答． 【详解】根据题意，由旋转的性质， 可得，，， 无法证明，，故B选项和D选项不符合题意， ，故C选项不符合题意， ，故A选项符合题意， 故选：A． 【点睛】本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质和三角形外角运用是解题的关键． 9. 已知a，b是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为（ ） A. B. 1 C. 15 D. 17 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的定义，以及根与系数的关系，结合一元二次方程根的定义，以及根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴， 故选：C． 10. 二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，与轴交于，两点，，下列结论：①；②；③；④（为任意实数），正确的个数是（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，二次函数点的坐标特征，熟悉掌握数形结合法是解题的关键． 根据二次函数的图象性质逐一判断即可． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵， ∴， ∵抛物线 与轴交于负半轴， ∴， ∴，故①结论错误； ∵抛物线对称轴是直线，与轴交于，两点， ∴， ∴，故②结论正确； 根据对称轴为直线，，则， ∴时，， ∴，故③结论错误； ④当时，为最小值， ∴，即（为任意实数），故④结论正确； 综上正确的有：②④； 故选：B． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了中心对称，关于原点对称的两点，其横、纵坐标均互为相反数，熟记相关结论即可． 【详解】解：由题意得：点关于原点对称的点的坐标是， 故答案为： 12. 请写出一个两根互为倒数的一元二次方程______________________ 【答案】（答案不唯一）． 【解析】 【分析】根据题意以及一元二次方程根与系数的关系可得，然后根据判别式大于或等于0，即可求解． 【详解】解：依题意，写出一个两根互为倒数的一元二次方程可以是：， ，原方程有两个不等式实根， 且，则两根互为倒数， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 13. 如图，一块直角三角板的斜边与量角器的直径恰好重合，点对应的刻度是，则的度数为_______． 【答案】 【解析】 【详解】解：连接，如图所示： ∵直角三角板的斜边与量角器的直径恰好重合，， ∴点，，，共圆（是以为直径的外接圆的内接三角形）， ∵点对应的刻度是， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 若函数y=mx+（m+2）x+m+1的图象与 x 轴只有一个交点，那么m的值为_______． 【答案】0,2,-2 【解析】 【分析】当m=0时，函数为一次函数满足题意，当m≠0时，函数为二次函数，此时△=0，可求得m的值. 【详解】解:①当m=0时,函数为y=2x+1，此时图象与x轴有一个交点； ②当m≠0时,函数y=mx+ (m+2)x+m+1的图象是抛物线, 若抛物线的图象与x轴只有一个交点,则方程mx+ (m+2)x+m+1=0只有一个根, 即△=0，可得△=(m+2)-4m(m+1)=0, 解得=2，=-2. 综上可得m的值为0,2,-2. 【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴交点的知识,解答本题的关键是对函数中m的值进行分类讨论,此题难度不大,但是很容易出现错误. 15. 如图，将一张矩形纸片折叠，折痕为，点为中点，折叠后，的对应边经过点，点的对应点为点．若，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用折叠的性质和矩形的性质进行边的等量代换得出，再利用勾股定理列式运算求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴，，，， ∴， 由折叠得，， ∴， ∴， ∵点为中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质，翻折的性质，等腰三角形的判定及性质，勾股定理等知识点，熟悉掌握各知识点是解题的关键． 三、解答题（本题共9小题，共75分） 16. 小敏与小霞两位同学解方程的过程如下框： 小敏： 两边同除以，得 ， 则． 小霞： 移项，得， 提取公因式，得． 则或， 解得，． 你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程． 【答案】 两位同学的解法都错误， 小敏： 两边同除以，得 ， 则． （×） 小霞： 移项，得， 提取公因式，得． 则或， 解得，． （×） 正确解答： 移项，得， 提取公因式，得， 去括号，得， 则或， 解得，． 【解析】 【分析】根据因式分解法解一元二次方程 【详解】略 【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解的技巧准确计算是解题关键． 17. 如图：、都是等边三角形，且在同一直线上． （1）求证：； （2）可以看作是经过平移、轴对称或旋转得到，请说明得到的过程． 【答案】（1） 证明：和都是等边三角形， ， 即， 在和中， ， ∴， ； （2）以点为旋转中心将逆时针旋转就得到 【解析】 【分析】（1）由“”证明； （2）观察图形即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵是等边三角形， ， 同理， 以点为旋转中心将逆时针旋转就得到． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，熟练掌握手拉手模型证明全等是解本题的关键． 18. 请用无刻度直尺完成下列作图，不写画法，保留画图痕迹（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）． （1）如图1，E是平行四边形ABCD边AD上一点，过点A画一条直线，使其与EC平行； （2）如图2，正六边形ABCDEF（六边相等，六角相等的六边形），在图中画一条直线，使其垂直平分AF； （3）如图3，⊙O是四边形ABCD的外接圆，且AB＝BC＝CD，在图中画一条异于BC的直线，使其与AD平行． 【答案】 解：（1）如图1，直线AF即为所求作． （2）如图2，直线GH即为所求作． （3）如图3，直线EF即为所求作． 【解析】 【分析】（1）连接AC，BD交于点O，作直线OE交BC于F，作直线AF即可． （2）连接AE，BF交于点G，连接BD，CE交于点H，作直线GH即可． （3）作直径BE，CF，作直线EF即可． 【详解】略 【点睛】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线，平行四边形的性质，正多边形和圆等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 19. 若关于的一元二次方程有一个根是，求的值及方程的另一个根． 【答案】方程的另一个根为， 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，设方程的另一个根为t，根据根与系数的关系得到，据此求解即可；对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则． 【详解】解：设方程的另一个根为t， ∵t和3是关于的一元二次方程的两个根， ∴， ∴， ∴方程的另一个根为， 20. 小铭同学利用计算机画图软件，将二次函数中的a、b、c输入不同的值，从而探索二次函数的性质．图中所示的二次函数的图象与x轴相交于点，，与y轴相交于点． （1）直接写出二次函数的解析式为 ； （2）当时，函数的最大值为 ，最小值为 ； （3）利用图象直接写出不等式的解集为 ． 【答案】（1） （2）， （3）或 【解析】 【分析】（1）根据二次函数的图象与x轴的交点，可设二次函数的解析式为，将点代入，即可建立关于的一元一次方程，解方程即可求出的值，进而得到二次函数的解析式； （2）先将二次函数化为顶点式，根据二次函数的性质可得其对称轴为直线，根据二次项系数的符号可判定其图象开口向上，然后依据自变量取值范围及其端点与对称轴的距离大小，即可得出在此范围内的函数最值； （3）记抛物线与直线右侧交点为，联立，解方程求得交点后，由函数图象即可得出不等式的解集． 【小问1详解】 解：二次函数的图象与x轴相交于点，， 设二次函数的解析式为， 二次函数的图象与y轴相交于点， ， 解得：， ， 二次函数的解析式为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：， 抛物线的对称轴为直线， ，， 当时，二次函数取得最小值为：， ， 当时，二次函数取得最大值为：， 故答案为：，； 【小问3详解】 解：如图，记抛物线与直线右侧交点为， 联立， 解得：或， ， 由图象可得： 不等式的解集为：或， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，解一元一次方程，把化成顶点式，的图象与性质，二次函数的图象与系数的关系，的最值，根据交点确定不等式的解集，因式分解法解一元二次方程等知识点，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式及二次函数的图象与性质并运用数形结合思想是解题的关键． 21. 如图，已知⊙O的直径，弦，的平分线交于点． （1）求、、的长； （2）求的长． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆的性质，圆周角定理，勾股定理，等腰三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，合理作出辅助线是解题的关键． （1）利用勾股定理可求出的长，根据圆周角定理可得到，由的平分线交于得到，通过勾股定理运算求解即可； （2）延长到，使，连接，证出，再通过勾股定理运算求解即可． 【小问1详解】 解：∵为的直径， ∴， 在中，，， ∴， ∵为的直径， ∴， ∵的平分线交于， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴，； 【小问2详解】 延长到，使，连接，如图所示： ∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴在中，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 22. 已知某商品的进价为每件40元，现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件． （1）设每件涨价x元，则每星期实际可卖出商品 件，每星期售出商品的利润y与x之间的函数关系式为 ，x的取值范围是 ，每星期售出商品的最大利润是 元； （2）涨价多少元时，每周售出商品的利润为2250元？ （3）设每件降价x元，每星期售出商品的利润为y元． ①请写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围； ②确定x的值，使每星期售出商品的利润最大，并求出最大利润． 【答案】（1） （2）25元 （3）① ②；6125元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用：根据实际问题列出二次函数关系式，再配成抛物线的顶点式，然后利用当，时，y有最大值k；当，时，y有最小值k等性质解决实际问题． （1）根据涨价时，每涨价1元，每星期要少卖出10件，可列出销售量的代数式，根据总利润=单件利润×销售量列出函数表达式即可； （2）根据总利润=单件利润×销售量列出方程求解即可； （3）根据涨价的函数表达式，利用二次函数的性质解答． 【小问1详解】 解：∵每涨价1元，每星期要少卖出10件， ∴每星期实际可卖出件， ∴， ∵， ∴； ∵． ∴当时，， ∴在涨价的情况下，每星期售出商品的最大利润是元6250． 故答案为：； 【小问2详解】 解：由题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）； 答：涨价25元时，每周售出商品的利润为2250元； 【小问3详解】 解：① ； ②， 当时，， 当时，每星期售出商品的利润最大，最大利润为6125元． 23. 综合与实践 问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：如图1，在中， ，，．将绕点A逆时针旋转得到，旋转角小于，点B的对应点为点D，点C的对应点为点E，交于点O，延长交于点P． 数学思考： （1）试判断与的数量关系，并说明理由． 深入探究： （2）在图形旋转的过程中，老师让同学们提出新的问题． ①“乐学小组”提出问题：如图2，当 时，求线段的长． ②“善思小组”提出问题：如图3，当时，求线段的长． 【答案】 （1）解：， 理由：如图1，连接，由旋转的性质知，， ， ， ， ． （2）①，② 【解析】 【分析】（1）连接，证明即可． （2）①延长，交 于点，设，则，解答即可． ②根据旋转的性质，勾股定理解答即可． 本题考查了三角形全等的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，熟练掌握判定和性质，勾股定理是解题的关键． 【详解】（1）略 （2） ① 解：如图2，延长，交于点， ， ， ， ，． 由（1）知，， 设，则， ， ， ， 故答案为； ② 解：如图3， ，，， ． 由旋转的性质知，，，， ，当 时， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ． 24. 如图1所示，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线解析式及点C的坐标； （2）如图2所示，点P是抛物线上第一象限的一点，交y轴于点Q，且，求点P的坐标； （3）若点N是直线上一点，请在图3中探究：抛物线在x轴上方的部分上是否存在点M，使得是以点M为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数综合，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤，以及正确画出辅助线，构造全等三角形，是解题的关键． （1）把，代入，求出b和c的值，即可得出抛物线的解析式为，再求出当时，的函数值，即可得出点C的坐标； （2）易得，根据，求出，则，设直线的函数解析式为，把，代入，求出k和h的值，得出直线的函数解析式为，与抛物线解析式联立求解，即可得出点P的坐标； （3）过点M作直线的垂线，垂足为点F，过点M作y轴的垂线，垂足为点E，通过证明，得出，设，则，列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：把，代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 当时，， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， 设直线的函数解析式为， 把，代入得： ， 解得：， ∴直线的函数解析式为， 联立， 解得：，， ∴； 【小问3详解】 解：过点M作直线的垂线，垂足为点F，过点M作y轴的垂线，垂足为点E， ∵是以点M为直角顶点的等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， 则或， ①当时， 解得∶(舍去)， ∴； ②当时， 解得：， ∴，， ∵点M在x轴上方， ∴不符合题意，舍去， 综上：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 京山市2024－2025学年度上学期期中教学质量监测九年级试卷 数学 考试时间120分钟 试卷满分120分 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 将一元二次方程 4x2+5x＝81 化成一般式后，如果二次项系数是 4，则一次项系数和常数项分别是（ ） A. 5，81 B. 5，﹣81 C. ﹣5，81 D. 5x，﹣81 2. 近几年我国国产汽车行业蓬勃发展，下列我国国产部分新能源品牌汽车标识中，是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 抛物线经过平移得到抛物线,平移过程正确的是（ ） A. 先向下平移个单位,再向左平移个单位 B. 先向上平移个单位,再向右平移个单位 C. 先向下平移个单位,再向右平移个单位 D. 先向上平移个单位,再向左平移个单位. 4. 为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价，某种药品原价为256元，在连续进行两次降价后价格调整为196元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，点，，在上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，小明以抛物线为灵感，在平面直角坐标系中设计了一款高为13的奖杯，杯体轴截面是抛物线的一部分，则杯口的口径长为（　　） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 7. “圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题，“今有圆材，埋壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言表述是：如图所示，为的直径，，垂足为E，寸，寸，则直径长度是（ ） A. 12寸 B. 13寸 C. 24寸 D. 26寸 8. 如图，把以点A为中心逆时针旋转得到，点B，C的对应点分别是点D，E，且点E在的延长线上，连接，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 已知a，b是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为（ ） A. B. 1 C. 15 D. 17 10. 二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，与轴交于，两点，，下列结论：①；②；③；④（为任意实数），正确的个数是（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是__________． 12. 请写出一个两根互为倒数的一元二次方程______________________ 13. 如图，一块直角三角板的斜边与量角器的直径恰好重合，点对应的刻度是，则的度数为_______． 14. 若函数y=mx+（m+2）x+m+1的图象与 x 轴只有一个交点，那么m的值为_______． 15. 如图，将一张矩形纸片折叠，折痕为，点为中点，折叠后，的对应边经过点，点的对应点为点．若，，则______． 三、解答题（本题共9小题，共75分） 16. 小敏与小霞两位同学解方程的过程如下框： 小敏： 两边同除以，得 ， 则． 小霞： 移项，得， 提取公因式，得． 则或， 解得，． 你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程． 17. 如图：、都是等边三角形，且在同一直线上． （1）求证：； （2）可以看作是经过平移、轴对称或旋转得到，请说明得到的过程． 18. 请用无刻度直尺完成下列作图，不写画法，保留画图痕迹（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）． （1）如图1，E是平行四边形ABCD边AD上一点，过点A画一条直线，使其与EC平行； （2）如图2，正六边形ABCDEF（六边相等，六角相等的六边形），在图中画一条直线，使其垂直平分AF； （3）如图3，⊙O是四边形ABCD的外接圆，且AB＝BC＝CD，在图中画一条异于BC的直线，使其与AD平行． 19. 若关于的一元二次方程有一个根是，求的值及方程的另一个根． 20. 小铭同学利用计算机画图软件，将二次函数中的a、b、c输入不同的值，从而探索二次函数的性质．图中所示的二次函数的图象与x轴相交于点，，与y轴相交于点． （1）直接写出二次函数的解析式为 ； （2）当时，函数的最大值为 ，最小值为 ； （3）利用图象直接写出不等式的解集为 ． 21. 如图，已知⊙O的直径，弦，的平分线交于点． （1）求、、的长； （2）求的长． 22. 已知某商品的进价为每件40元，现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件． （1）设每件涨价x元，则每星期实际可卖出商品 件，每星期售出商品的利润y与x之间的函数关系式为 ，x的取值范围是 ，每星期售出商品的最大利润是 元； （2）涨价多少元时，每周售出商品的利润为2250元？ （3）设每件降价x元，每星期售出商品的利润为y元． ①请写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围； ②确定x的值，使每星期售出商品的利润最大，并求出最大利润． 23. 综合与实践 问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：如图1，在中， ，，．将绕点A逆时针旋转得到，旋转角小于，点B的对应点为点D，点C的对应点为点E，交于点O，延长交于点P． 数学思考： （1）试判断与的数量关系，并说明理由． 深入探究： （2）在图形旋转的过程中，老师让同学们提出新的问题． ①“乐学小组”提出问题：如图2，当 时，求线段的长． ②“善思小组”提出问题：如图3，当时，求线段的长． 24. 如图1所示，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线解析式及点C的坐标； （2）如图2所示，点P是抛物线上第一象限的一点，交y轴于点Q，且，求点P的坐标； （3）若点N是直线上一点，请在图3中探究：抛物线在x轴上方的部分上是否存在点M，使得是以点M为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $