期末易错拓展：第二单元分数混合运算(讲义)-2024-2025学年六年级上册数学北师大版

分数混合运算 【思维导图+知识精讲+典型例题+高频真题+答案解析】编者的话：同学们，恭喜你已经开启了期末高频易错专项培优的求知之旅，相信你已经正确规划了自己的学习任务，本套资料为期末拓展培优而设计，对期末高频知识点进行全面精讲，易错点逐个分解，强化练习常考易错真题，答案解析非常通俗易懂，可助你轻松掌握、理解、运用单元知识点解决问题！ 目录导航 资料说明 第一部分：思维导图：单元知识简单且高效的发散性思维呈现，是一种实用性的知识小结。 第二部分：知识精讲：把握知识要点，掌握方法技巧，理解数学本质，提升数学思维。 第三部分：典型例题：选题典型、高频易错、考试母题，具有理解一题，掌握一类的优势。 第四部分：高频真题：精选近两年统考真题，助您学习有方向，做好题，达到事半功倍的效果。 第五部分：答案解析：重点、难点题精细化解析，犹如名师讲解，可以轻松理解。 第一部分 思维导图 第二部分 知识精讲 知识清单 方法技巧 一、仔细审题 1、明确已知条件：认真阅读题目，确定题目中给出的具体数值以及它们所对应的分数。 2、确定所求问题：清楚地知道题目要求的是什么，是求部分量还是总量，是求剩余量还是已经完成的量等。 二、找关键句和单位 “1” 1、关键句：通常包含分数的句子是关键句，它能帮助你确定数量关系。 2、单位 “1”：一般来说，“是”“比”“占” 后面的量通常是单位 “1”。确定单位 “1” 很重要，因为它是计算分数的基础。如果单位 “1” 已知，通常用乘法计算与之相关的量；如果单位 “1” 未知，通常用除法或列方程求解。 三、分析数量关系 1、画线段图：对于较复杂的问题，可以通过画线段图来直观地表示数量关系。比如，把单位 “1” 的量用一条线段表示，再根据分数关系画出与之相关的其他量的线段。 2、确定运算方法：单位 “1” 已知时：如果求部分量，用单位 “1” 的量乘以对应的分数；如果求剩余量，用单位 “1” 的量减去部分量。 3、单位 “1” 未知时：如果已知部分量和它对应的分数，可以用部分量除以对应的分数来求出单位 “1” 的量；也可以通过列方程，设单位 “1” 的量为，根据数量关系列出方程求解。 四、准确计算 1、分数运算：进行分数乘法时，分子乘分子，分母乘分母；进行分数除法时，除以一个分数等于乘以它的倒数。在计算过程中，要注意约分，使计算简便。 2、混合运算顺序：按照先乘除后加减的顺序进行计算，如果有括号，先算括号里面的。 【方法总结】 分数混合运算顺序是：混合计算，先算乘除法再算加减法； 如果有括号，先算括号里面的（先算小括号，再算中括号）； 同一级运算，一般从左往右计算。 分数混合运算应用题解题技巧： 五、检验答案 1、代入法检验：将求出的答案代入原题中，看是否符合所有的已知条件。 2、合理性检验：从实际情况出发，检查答案是否合理。 第三部分 典型例题 例题1：五（1）班图书角共有图书180本，其中是科技书，是故事书，其余的是连环画，连环画有多少本？ 【答案】30本 【分析】把五（1）班图书角的图书数量看作单位“1”，1－科技书的分率－故事书的分率即为连环画的分率，用乘法求出连环画有多少本。 【详解】180×（1－－） ＝180× ＝30（本） 答：连环画有30本。 【点睛】考查了分数的四则混合运算，解题的关键是明确求一个数的几分之几是多少，用乘法。 例题2：工厂计划生产一批口罩。已经生产了60万个，还剩下计划生产数的没有完成。工厂计划生产多少万个口罩？（列方程解答） 【答案】100万个 【分析】等量关系：计划生产口罩总数－已经生产的数量＝没有完成的数量；根据等量关系列方程，根据等式性质解方程。 【详解】解：设工厂计划生产x万个口罩 x－60＝x x－x＝60 x＝60 x＝60÷ x＝100 答：工厂计划生产100万个口罩。 【点睛】列方程解应用题关键是找准等量关系，此题中计划生产口罩总数－已经生产的数量＝没有完成的数量。 第四部分 高频真题 一、选择题 1．一条路长1200米，笑笑走了这条路的，还剩（    ）路没走。 A．900米 B．300米 C．1200米 2．甲数的等于乙数的，甲与乙比较（　　） A．甲小于乙 B．乙小于甲 C．甲乙相等 3．一件上衣原价是160元，先提价，又降价，这件上衣的现价和原价相比（    ）。 A．现价比原价低 B．现价等于原价 C．现价比原价高 4．10月份用电量比9月份节约，10月份的用电量是9月份的（　　） A． B． C． 5．有两根长度为2米的绳子，第一根用去米，第二根用去它的，剩下的相比较（　　） A．一样长 B．第一根长 C．第二根长 6．把2吨货物平均分成9份，其中4份的重量是（ ） A．吨 B．吨 C．吨 7．甲数的正好等于乙数的45%，那么（　　） A．甲＞乙 B．乙=甲 C．甲＜乙 8．笑笑在计算时，错误地算成了，她计算的结果与正确结果相差（    ）。 A． B． C． 二、填空题 9．一根长16米的水管，第一次截去全长的，第二次截去余下的，两次共截去全长的( )，还剩下( )米。 10．一根长2米的绳子，如果用去它的，还剩( )米。 11．有一箱桂圆，先吃了它的，又吃了它的，还剩下它的( )没吃． 12．在( )里填上“＞”、“＜”或“=”． ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3( )2 3( )3 1( )1． 13．六（1）班共有45人，其中女生占，女生有( )人；男生人数比女生人数多( )%。 14．有两桶油，第一桶的质量是第二桶的．如果从第二桶中取出6千克倒入第一桶，那么两桶油就一样重．第一桶油原有( )千克油． 15．新华书城新到一批历史文献，第一天卖出28套，第二天卖的比第一天的多2套，第二天卖出了( )套。 16．16km增加是( )km；18米比( )米少了。 三、判断题 17．计算时，应先算乘法，再算除法。( ) 18．张叔叔要录一份文件，上午录了这份文件字数的，下午录了余下的，则张叔叔上午和下午录的字数一样多。( ) 19．28减去它的，所得的差是24。( ) 20．两根长2m的木头，分别截去和截去m，两根剩下的部分一样长．    ( ) 21．一条1米长的绳子增加它的，再减少米，结果不变。( ) 22．甲比乙多，也就是甲＝乙＋ ( ) 23．要加工360个零件，第一周加工的占全部零件的，第二周比第一周多加工了，第二周加工了144个零件．( ) 24．一篇稿件有4800字，已经录入了它的，还剩1200字没有录入。( ) 四、计算题 25．直接写得数。                                                                     26．脱式计算。 ＋（－） ＋－＋ －－ 40×（＋） ×＋×－ ×× 27．解方程 （1）       （2） 28．看图列式计算。 29．求如图阴影部分的周长和面积。 五、作图题 30．填一填，画一画。（在方框中画图表示数量关系） 实际价格比计划价格降低了，这句话是以（    ）为一个整体，表示把（    ）平均分成6份，（    ）比（    ）降低的是这样的（    ）份。从而知道实际价格是（    ）份，实际价格是计划价格的（    ）。 六、解答题 31．我国2024年新农合和城镇居民基本医疗保险财政补助标准为每人420元，比2023年增加了，2023年我国新农合和城镇居民基本医疗保险财政补助标准为每人多少元？ 32．工程队有180吨水泥，三天用完。第一天用了，第二天用的吨数与第三天用的吨数之比是4∶5，第三天用了多少吨水泥？ 33．笑笑读一本书，第一周读了它的，第二周读了剩下的，这时还剩下30页没读。这本书一共有多少页？ 34．红星电器商场去年销售1800台电脑，今年的销售量比去年增加了，今年销售了多少台？ 35．王叔叔店里进了一批饮料，已知可乐进的箱数是雪碧的，雪碧进的箱数是椰汁的。 （1）如果椰汁进了96箱，则可乐进了多少箱？ （2）如果可乐进了96箱，则椰汁进了多少箱？ 参考答案： 1．B 【分析】根据题目可知，这条路是单位“1”，已经走了，还剩下这条路的：1－没走，由于单位“1”已知，用乘法，即1200×（1－）求出结果即可。 【详解】1200×（1－） ＝1200× ＝300（米） 故答案为：B。 【点睛】本题主要考查求一个数的几分之几是多少，用这个数×几分之几即可。 2．BC 【详解】试题分析：由题意可得：甲数×=乙数×，（1）当甲乙两数都不等于0时，逆运用比例的基本性质，求出两数的比，问题即可得解； （2）当甲数=乙数=0时，甲数×=乙数×，仍然成立，所以此时两数相等；据此判断即可． 解：由题意可得：甲数×=乙数×， （1）当甲乙两数都不等于0时， 甲数：乙数=：=4：3， 所以甲数＞乙数； （2）当甲数=乙数=0时，甲数×=乙数×，仍然成立，所以此时两数相等； 故选B、C． 点评：此类题目，没有说明两数的取值范围时，应分两种情况进行解答． 3．A 【分析】首先明确两个所对应的单位“1”不同，先提价，把原价看作单位“1”；又降价，是把提价后的价格看作单位“1”，由此用乘法解答。 【详解】160×（1＋）×（1－） ＝160×1.25×0.75 ＝150（元） 150＜160 故答案为：A。 【点睛】解答此题的关键：判断出前后两个单位“1”的不同，进而根据分数乘法的意义求解。 4．C 【详解】试题分析：10月份用电量比9月份节约，把九月份用电量看作单位“1”，十月份用电量是九月份的1﹣=． 解：1﹣=． 答：10月份的用电量是9月份的． 故选C． 点评：解决此题要明确10月份用电量比9月份节约，也就是十月份用电量是九月份的1﹣=． 5．B 【详解】试题分析：原来长度都是2米，看谁用去的多，用去的越多则剩下的越少，因此得解． 解：第一根用去的是米，剩下的是2﹣=1米； 第二根用去的是它的，2×=（米），剩下的是2﹣=1（米）； 1米米，所以剩下的第一根长； 故选B． 点评：正确区分米和它的是解决此题的关键． 6．C 【分析】先用2吨除以9，求出每份的质量，然后再乘上4，即可求出4份的质量．解决本题先根据除法平均分的意义求出每份的质量，再根据分数乘法的意义进行求解． 【详解】2÷9×4 = ×4 = （吨） 答：其中4份的质量是 吨． 故选C． 7．A 【详解】试题分析：要判断甲、乙两数的大小，根据已知条件甲数的正好等于乙数的45%，即甲数×=乙数×45%，根据等式的性质原式转化为：甲数=乙数×45%×，即甲数=乙数×，由此可以判断甲数≤乙数． 解：甲数×=乙数×45%，原式转化为：甲数=乙数×45%×，即甲数=乙数×， 由此可判断甲数＞乙数． 故选A． 点评：为了更明显的判断甲、乙两数的大小，把原题转化为：甲数=乙数×的形式进行判断． 8．C 【分析】直接用即可，计算时，利用乘法分配律，写成，后边根据减法的性质去括号，括号前边是减号，去掉括号，括号里的加号变减号，其中抵消，只算。 【详解】 她计算的结果与正确结果相差。 故答案为：C 9． 4 【分析】将全长看作单位“1”，用单位“1”减去，求出第一次截去后剩下几分之几，再将其乘，求出第二次截去了全长的几分之几。将第一次截去的加上第二次的，求出两次共截去全长的几分之几。再根据分数乘法的意义，用16乘两次共截去全长的几分之几，可得两次共截多少米，再用16减去两次截的长度，就是剩下的长度。 【详解】 ＝ ＝ ＝ 16－16× ＝16－12 ＝4（米） 两次共截去全长的（），还剩下（4）米。 【点睛】本题考查了分数乘法和加法的应用。求一个数的几分之几，用这个数乘分率；求一共占几分之几，用加法。 10． 【分析】根据题意，用绳子的长度×，求出用去的长度，再用绳子的总长减去用去的长度，即可求出剩下的长度。 【详解】2－2× ＝2－ ＝（米） 【点睛】利用求一个数的几分之几是多少的知识进行解答。 11． 【分析】以这箱桂圆的总量为单位“1”，用1减去两次吃的分率和即可求出还剩下的分率． 【详解】解： = = 故答案为 12．＞，＜，＞，＞，＞，＜，＞，＜，＜ 【详解】试题分析：分数比较大小的方法：（1）真、假分数或整数部分相同的带分数；分母相同，分子大则分数大；分子相同，则分母小的分数大；分子和分母都不相同，通分后化成同分母或者同分子的分数再进行比较大小．（2）整数部分不同的带分数，整数部分大的带分数就比较大． 解：（1）＞； （2）=，=， ＜； （3）=，=， ＞； （4）=， ＞； （5）=，=， ＞； （6）= ＜； （7）3＞2； （8）3=3， 3＜3； （9）1=1，1=1， 1＜1； 故答案为＞，＜，＞，＞，＞，＜，＞，＜，＜． 点评：本题是考查分数的大小比较，当分子或分母不同时，通分时通分子还是通分母要根据具体情况而定． 13． 20 25 【分析】把全班人数看作单位“1”，女生人数是其中的，就是求45的，用乘法计算出女生人数，进而求出男生人数；男生人数比女生多百分之几？就用男生和女生人数的差除以女生的人数，得数用百分数表示。 【详解】45×＝20（人） 45－20＝25（人） （25－20）÷20 ＝5÷20 ＝25% 【点睛】解答此题的关键是求出女生的人数和男生的人数。再把女生人数看作单位“1”，看男生比女生多的人数占女生人数的几分百分之几，用除法计算。 14．36 【详解】两桶油就一样重，即两桶质量质量比为1：1 6÷（﹣） ＝6÷（﹣） ＝6÷ ＝84（千克） 84× ＝84× ＝36（千克） 答：第一桶油原有36千克油． 故答案为：36 15．23 【分析】把第一天卖出的套数看作单位“1”，用28×，求出第一天卖出书的是多少套，再加上2套，即可求出第二天卖多少套书。 【详解】28×＋2 ＝21＋2 ＝23（套） 新华书城新到一批历史文献，第一天卖出28套，第二天卖的比第一天的多2套，第二天卖出了23套。 16． 18 27 【分析】增加就是增加了16km的，求一个数的几分之几用乘法，再加上原来的16即可； 以未知数为单位“1”，是未知数的（1－）是18米，已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法。注意除以一个分数相当于乘这个分数的倒数。 【详解】 ＝16＋2 ＝18（km） 16km增加是18km。 18÷（1－） ＝18÷ ＝18× ＝27（米） 18米比27米少了。 17．× 【分析】根据分数四则混合运算的顺序，有括号的先算括号里的，再算括号外面的；没有括号的先算乘除法，再算加减法；据此解答。 【详解】计算×（1÷）时，应先算括号里的除法，再计算乘法。 原题干说法错误。 故答案为：× 【点睛】本题考查分数四则混合运算的顺序以及应用。 18．√ 【分析】把这份文件的总字数看作单位“1”，上午录了这份文件字数的，则余下的是这份文件字数的1－＝。下午录了余下的，余下的是单位“1”，即下午录了的。求一个数的几分之几是多少用乘法计算，即一个数（单位“1”的量）×几分之几。据此用×可求出下午录了这份文件字数的几分之几。最后再通过比较得出上午和下午录的是否一样多。 【详解】上午： 下午：（1－）× ＝× ＝ 所以上午和下午各录了这份文件字数的。即张叔叔上午和下午录的字数一样多。 故答案为：√ 【点睛】解决此题关键是明确单位“1”。此题中和的单位“1”不同。 19．√ 【分析】把28看作单位“1”，求出它的是多少，用28×，再用28减去28×的积，求出结果，再进行比较，即可解答。 【详解】28－28× ＝28－4 ＝24 28减去它的，所得的差是24。 原题干说法正确。 故答案为：√ 【点睛】熟练掌握求一个数的几分之几是多少的计算方法是解答本题的关键。 20．× 21．√ 【分析】把1米长的绳子看作单位“1”，根据一个数乘分数的意义，先计算出增加的长度，再用1加上增加的长度，计算出增加后的长度，最后用增加后的长度减去米，计算出结果是多少米。 【详解】1＋1×－ ＝1＋－ ＝1（米） 一条1米长的绳子增加它的，再减少米，结果不变；此说法正确。 故答案为：√ 【点睛】本题解题关键是理解“与米的不同”，再根据分数乘法与分数减法的意义，列式计算。 22．× 23．√ 【分析】先用360×求出第一周加工的零件数，再乘（1＋）求出第二周加工的零件数即可。 【解答】解：360××（1＋） ＝120× ＝144（个） 答：第二周加工了144个零件。 原题计算正确。 故答案为：√。 【点评】本题考查了利用分数乘法解决问题，需准确分析数量关系，正确列式解答。 24．√ 【分析】将稿件总字数看作单位“1”，已经录入了它的，还剩（1－）没有录，总字数×还剩的对应分率＝还剩的字数，据此分析。 【详解】4800×（1－） ＝4800× ＝1200（字） 一篇稿件有4800字，已经录入了它的，还剩1200字没有录入，说法正确。 故答案为：√ 25．；0；；3 0.55；；8； 26．；； 43；； 【分析】＋（－），去掉括号，原式化为：＋－，再按照运算顺序进行计算； ＋－＋，根据加法交换律和结合律，原式化为：（－）＋（＋），再进行计算； －－，根据减法性质，原式化为：－（＋），再进行计算； 40×（＋），根据乘法分配律，原式化为：40×＋40×，再进行计算； ×＋×－，根据乘法分配律，原式化为：×（＋－1），再进行计算； ××，先约分，再进行计算。 【详解】＋（－） ＝＋－ ＝2－ ＝ ＋－＋ ＝（－）＋（＋） ＝ －－ ＝－（＋） ＝－1 ＝ 40×（＋） ＝40×＋40× ＝28＋15 ＝43 ×＋×－ ＝×（＋－1） ＝×（2－1） ＝ ×× ＝ ＝ 27．（1）x＝；（2）x＝3.5 【分析】（1）x＋x＝，先化简方程左边含义x的算式，即求出＋的和，再根据等式的性质2，方程两边同时除以＋的和即可； （2）6x－9＝12，根据等式的性质1，方程两边同时加上9，再根据等式的性质2，方程两边同时除以6即可。 【详解】（1）x＋x＝ 解：x＋x＝ x＝ x＝÷ x＝× x＝ （2）6x－9＝12 解：6x＝12＋9 6x＝21 x＝21÷6 x＝3.5 28．50××＝15（个） 【分析】结合线段图可知：麻薯有50个，吐司个数占麻薯的，蛋糕个数占吐司的，要求得蛋糕的个数，可列式：50××＝15（个） 【详解】50×× ＝30× ＝15（个） 29．周长：33.42厘米；面积：31.74平方厘米 【分析】阴影部分周长＝半径是6cm圆的周长的＋14cm＋10cm，根据圆的周长公式：周长＝π×半径×2，代入数据，即可解答； 阴影部分的面积＝上底是6cm，下底是14cm，高是6cm的梯形面积－半径是6cm的圆的面积的，根据梯形面积公式：面积＝（上底＋下底）×高÷2，圆的面积公式：面积＝π×半径2，代入数据，即可解答。 【详解】周长： 3.14×6×2×＋14＋10 ＝18.84×2×＋14＋10 ＝37.68×＋14＋10 ＝9.42＋14＋10 ＝23.42＋10 ＝33.42（cm） 面积： （6＋14）×6÷2－3.14×62× ＝20×6÷2－3.14×36× ＝120÷2－113.04× ＝60－28.26 ＝31.74（cm2） 30．计划价格；计划价格；实际价格；计划价格；1；5； 图见详解 【分析】把计划价格看作一个整体，把它平均分成6份，实际价格比计划价格降低了，表示实际价格比计划价格降低的是这样的1份，从而知道实际价格是5份，实际价格是计划价格的。据此填空画图。 【详解】实际价格比计划价格降低了，这句话是以计划价格为一个整体，表示把计划价格平均分成6份，实际价格比计划价格降低的是这样的1份。从而知道实际价格是5份，实际价格是计划价格的。 如图： 31．380元 【分析】把2023年我国新农合和城镇居民基本医疗保险财政补助标准看做单位“1”，则2024年新农合和城镇居民基本医疗保险财政补助标准是（1＋），已知2024年新农合和城镇居民基本医疗保险财政补助标准为每人420元，根据分数除法的意义，解答即可。 【详解】420÷（1＋） ＝420÷ ＝380（元） 答：2023年我国新农合和城镇居民基本医疗保险财政补助标准为每人380元。 【点睛】此题考查了分数除法的应用，找准单位“1”，明确已知一个数的几分之几是多少求这个数，用除法。 32．60吨 【分析】根据题意，第一天用了，则剩下的占水泥总质量的（1－），用水泥总吨数乘剩下部分占总质量的分率，求出剩下水泥的吨数，根据第二天用的吨数与第三天用的吨数之比是4∶5，可知第三天用了剩下水泥的，用剩下水泥的质量乘，即可解题。 【详解】180×（1－） ＝180× ＝108（吨） 108× ＝108× ＝60（吨） 答：第三天用了60吨水泥。 【点睛】注意前后单位“1”的变化，求出第一天用完后剩下的吨数，是解答此题的关键。 33．45页 【分析】第一周读了全书的，把全书的总页数看作单位“1”。第二周读了剩下的，则第二周读了全书的（1－）×＝。则还剩下全书的（1－－），已知还剩下30页没读，用30除以（1－－）即可求出全书的总页数。 【详解】（1－）×＝ 30÷（1－－） ＝30÷ ＝45（页） 答：这本书一共有45页。 【点睛】已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算。求出第二周读了全书的几分之几，继而求出剩下全书的几分之几是解题的关键。 34．2100台 【分析】把去年销售的台数看作单位“1”，则今年的销售量是去年的（1＋），再根据求一个数的几分之几是多少，用乘法，据此列式计算即可。 【详解】1800×（1＋） ＝1800× ＝2100（台） 答：今年销售了2100台。 【点睛】掌握求一个数的几分之几用乘法是解答本题的关键。 35．（1）48箱 （2）192箱 【分析】（1）根据题意，雪碧进的箱数是椰汁的，用椰汁的箱数×，求出雪碧的箱数；可乐的箱数是雪碧的，再用雪碧的箱数×，即可求出可乐进多少箱； （2）用可乐的箱数÷，求出雪碧的进的箱数，再用雪碧进的箱数÷，即可求出椰汁进的箱数，即可解答。 【详解】（1）96×× ＝60× ＝48（箱） 答：可乐进了48箱。 （2）96÷÷ ＝96×× ＝120× ＝192（箱） 答：椰汁进了192箱。 【点睛】本题考查求一个数的几分之几是多少；已知一个数的几分之几是多少，求这个数。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$