精品解析：山东省淄博中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷

淄博中学2024-2025学年第一学期高一期中考试数学试题 命题人：张月 审核人：张榀 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择）两部分，共150分.考试时间120分钟. 第Ⅰ卷 选择题（11小题，共58分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. ， C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先分别确定集合和集合中的元素，再求它们的交集. 【详解】集合，其中表示整数集,则集合. 集合，其中表示自然数集（包括）,则集合. 所以. 故选：C 2. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】特称命题的否定是全称命题，即将存在量词“”改为全称量词“”，并否定结论. 【详解】根据特称命题否定的规则，将存在量词“”改为全称量词“”，同时否定结论. 原结论是“”，其否定为“”，并且的范围不变，仍然是. 所以原命题的否定为“”. 故选：B. 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】先求解分式不等式，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】因为，则，整理得，等价于解得或， 是或的真子集，所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 4. 设，，且，则xy的最大值是（ ） A. B. C. D. 100 【答案】A 【解析】 【分析】运用基本不等式进行求解即可. 【详解】因为x，，所以， 即，所以，当且仅当且，即，时等号成立. 故选：A 5. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据零次幂的底不为零，分母不为零，被开方数大于等于零列不等式组计算即可． 【详解】由题意可知，解得且， 故选：D． 6. 已知命题p：“，”，命题q：“，”．若命题和命题q都是真命题，则实数a的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先考虑均为真命题得到的取值范围，然后根据的真假性得到关于的不等式，即可求解出的取值范围. 【详解】若，，则， ∴． 若，， 则， 解得或． ∵命题和命题q都是真命题， ∴或， ∴． 故选D． 【点睛】本题考查根据全称命题、特称命题的真假求解参数范围，难度一般.利用命题的真假求解参数范围时，可先考虑命题都为真的情况下对应的参数范围，然后再根据实际的命题真假得到关于参数的不等式（注：若命题为假，只需对为真时参数范围取补集），由此求解出参数范围. 7. 下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意构造幂函数以及指数函数，根据幂指函数的单调性即可逐一比较. 【详解】对于A，构造函数，函数为增函数，， 所以，A错误； 对于B，构造函数，因为，所以函数在第一象限递增， 因为，所以，B正确； 对于C，构造函数，函数为增函数，所以， 构造函数，函数为减函数，所以， 所以，C错误； 对于D，构造函数，函数为减函数，所以， 构造函数，函数为增函数，所以， 所以，D错误. 故选：B 8. 函数的图象恒过定点，且点的坐标满足方程，其中，，则的最小值为（ ） A. 7 B. 6 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用必过定点确定的坐标，后利用基本不等式‘1’的代换处理即可. 【详解】在中，当时，，故， 将代入直线方程中，化简得， 故， 当且仅当‘’时取等，即的最小值为. 故选：C 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 若，，且，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由不等式的性质可得，即可根据选项逐一求解. 【详解】由已知可得， 对于A项，，所以，由及不等式性质得，故A成立. 对于B项，，因为，所以， 当时，，即，故B项不一定成立. 对于C项，当时，，所以；当时，成立，故C项一定成立. 对于D项，由，，得，所以，故D项一定成立. 故选：ACD 10. 下列说法正确的有（ ） A. 与是同一函数 B. 已知函数，则 C. 函数的值域为 D. 若函数的定义域是，则函数的定义域是． 【答案】AC 【解析】 【分析】根据同一函数的概念判断A；利用换元法求出，代入求值可判断B；求出函数的定义域，利用二次函数的性质求解可判断C；利用抽象函数的定义域的求法可判断D. 【详解】的定义域为，的定义域为R， 这两个函数定义域及对应关系均相同，所以是同一函数，故A正确； 函数，设，则， 则，所以，故B错误； 由，得，解得或， 所以函数的定义域为或. 当时，为减函数； 当时，为增函数， 则或时，有最小值0，且没有最大值， 所以函数的值域为，故C正确； 若函数的定义域是，由得， 则函数的定义域是，故D错误. 故选：AC. 11. 已知是分段函数，且当时，，则下列结论正确的是（ ） A. 若在上不单调，则 B. 若是定义在上的偶函数，则当时， C. 若是定义在上的奇函数，则当时， D. 若在定义域上单调递增，则． 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据二次函数的单调性判断A；根据函数时的解析式，结合函数的奇偶性判断C、D；根据分段函数的解析式，结合函数单调递增，即可得到不等式组，求解不等式即可. 【详解】对于A，因为时，，函数的对称轴为， 若在上不单调，则，解得，A正确； 对于B，设，则，所以， 又因为函数为偶函数，则，所以，B错误； 对于C，设，则，所以， 又因为函数为奇函数，则，所以， ，C正确； 对于D，根据的解析式，， 因为在定义域上单调递增， 所以，即， 综上所述，的取值范围为：，D正确. 故选：ACD 第Ⅱ卷 非选择题（8小题，共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. _________． 【答案】 【解析】 【分析】根据指数幂的运算性质化简计算即可. 【详解】 . 故答案为： 13. 已知函数，则______；若当时，，则的最大值是______ 【答案】 ①. 12 ②. 6 【解析】 【分析】由内向外计算即可求解，确定的根，结合图象即可求. 【详解】因为，所以， 由，解得， 由，解得和， 结合图象 可知：的最大值是6. 故答案为：12 ， 6 14. 已知幂函数在上单调递减，则不等式的解集是______ 【答案】 【解析】 【分析】根据幂函数的定义求得或，然后利用单调性得，然后代入解析式，解不等式即可. 【详解】因为是幂函数，所以，解得或. 又因为在上单调递减，所以，所以，则. 由，解得，所以不等式的解集是. 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知集合，. （1）若，求； （2）若“”是“”成立的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】(1)根据题意，由集合的运算代入计算，即可得到结果； (2)根据题意，将问题转化为是的真子集，然后分与讨论，列出不等式代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 当时，，则或， 且，则或； 【小问2详解】 由题可知“”是“”成立的充分不必要条件，则是的真子集， 当时，，解得； 当时，，解得； 综上所述，实数的取值范围是. 16. 已知，且，函数是指数函数，且． （1）求和的值； （2）求的解集． 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】（1）由指数函数定义求得，再由已知函数值求得； （2）由函数的单调性解不等式． 【小问1详解】 因为函数是指数函数， 所以，又，故解得，则， 又，则（负值舍去）． 【小问2详解】 ，它是定义在R上的减函数， 不等式化为， 所以，解得． 所以不等式的解集为． 17. （1）求关于的不等式的解集； （2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）时，不等式的解集为或， 时，不等式的解集为， 时，不等式的解集为或. （2） 【解析】 【分析】（1）令，先求出方程的根，然后分、、三种情况讨论不等式解的情况即可； （2）先考虑是否符合题意，再考虑时，二次函数开口向下，与轴有一个或者没有交点，从而得到方程组，解方程组即可. 【详解】令，， 整理有，解得或， 当，即时，不等式的解集为或， 当，即时，不等式的解集为， 当，即时，不等式的解集为或； 综上所述：时，不等式的解集为或， 时，不等式的解集为， 时，不等式的解集为或. （2）当时，解得， 若，原式化为，满足题意，若，原式化为，不合题意； 当时，由题意得，解得，所以， 综上所述，实数的取值范围为：. 18. 已知函数在定义域上为奇函数． （1）证明； （2）当时，判断在上的单调性，并证明； （3）在（2）的条件下，求在上的最值． 【答案】（1） 因为函数在定义域上为奇函数，则满足， 即，，所以，则. （2） 当，则， 任取，且， 则， 因为，所以，， 所以，则， 所以在上单调递减. （3）最大值为，最小值为 【解析】 【分析】（1）由函数奇偶性的定义，代入计算，即可证明； （2）由函数单调性的定义法即可判断并证明； （3）结合条件可得，在上单调递减，即可得到结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为在定义域上为奇函数，且在上单调递减， 则在上单调递减，即在上单调递减， 当时，， 当时，. 19. 2024年8月16日，商务部等7部门发布《关于进一步做好汽车以旧换新工作的通知》．根据通知，对符合《汽车以旧换新补贴实施细则》规定，报废旧车并购买新车的个人消费者，补贴标准由购买新能源乘用车补1万元、购买燃油乘用车补7000元，分别提高至2万元和1.5万元，某新能源汽车配件公司为扩大生产，计划改进技术生产某种组件．已知生产该产品的年固定成本为2000万元，每生产百件，需另投入成本万元，且时，；当时，，由市场调研知，该产品每百件的售价为500万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完． （1）分别写出与时，年利润（万元）与年产量（百件）的关系式（利润＝销售收入－成本）； （2）当该产品的年产量为多少百件时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？ 【答案】（1） 当时，；当时， （2）年产量为百件时，该企业所获年利润最大，最大年利润是万元. 【解析】 【分析】（1）结合题意，分和时利用利润=销售收入-成本求出关系式即可； （2）当时，由二次函数求出最值，当时，由基本不等式求出最值，再确定结果即可； 【小问1详解】 由题意可得当时，， 当时， 【小问2详解】 由（1）得时，， 此时（百件）时，（万元）， 当时，， 因为，，所以： ， 即 当且仅当，即时等号成立，（万元）， 而，故（百件）时，利润最大， 综上所述，年产量为百件时，该企业所获年利润最大，最大年利润是万元. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 淄博中学2024-2025学年第一学期高一期中考试数学试题 命题人：张月 审核人：张榀 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择）两部分，共150分.考试时间120分钟. 第Ⅰ卷 选择题（11小题，共58分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. ， C. D. 2. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 设，，且，则xy的最大值是（ ） A. B. C. D. 100 5. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 6. 已知命题p：“，”，命题q：“，”．若命题和命题q都是真命题，则实数a的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 7. 下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 函数的图象恒过定点，且点的坐标满足方程，其中，，则的最小值为（ ） A. 7 B. 6 C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 若，，且，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的有（ ） A. 与是同一函数 B. 已知函数，则 C. 函数的值域为 D. 若函数的定义域是，则函数的定义域是． 11. 已知是分段函数，且当时，，则下列结论正确的是（ ） A. 若在上不单调，则 B. 若是定义在上的偶函数，则当时， C. 若是定义在上的奇函数，则当时， D. 若在定义域上单调递增，则． 第Ⅱ卷 非选择题（8小题，共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. _________． 13. 已知函数，则______；若当时，，则的最大值是______ 14. 已知幂函数在上单调递减，则不等式的解集是______ 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知集合，. （1）若，求； （2）若“”是“”成立的充分不必要条件，求实数的取值范围. 16. 已知，且，函数是指数函数，且． （1）求和的值； （2）求的解集． 17. （1）求关于的不等式的解集； （2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 18. 已知函数在定义域上为奇函数． （1）证明； （2）当时，判断在上的单调性，并证明； （3）在（2）的条件下，求在上的最值． 19. 2024年8月16日，商务部等7部门发布《关于进一步做好汽车以旧换新工作的通知》．根据通知，对符合《汽车以旧换新补贴实施细则》规定，报废旧车并购买新车的个人消费者，补贴标准由购买新能源乘用车补1万元、购买燃油乘用车补7000元，分别提高至2万元和1.5万元，某新能源汽车配件公司为扩大生产，计划改进技术生产某种组件．已知生产该产品的年固定成本为2000万元，每生产百件，需另投入成本万元，且时，；当时，，由市场调研知，该产品每百件的售价为500万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完． （1）分别写出与时，年利润（万元）与年产量（百件）的关系式（利润＝销售收入－成本）； （2）当该产品的年产量为多少百件时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $