专题06 线段与角的等量代换模型-2024-2025学年七年级数学上册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（苏科版2024）

专题06 线段与角的等量代换模型 等量代换是数学变形的最常见方式之一,它以处理问题步骤简捷、巧妙灵活,给人留下深刻的印象。运用它来解决中学代数和几何的有关问题（本专题主要涉及线段与角度的代换）,还可以避免繁杂运算,具有计算量小的独特优点,因此有着广泛的应用。 1 模型1.线段与角度的等量代换模型 1 34 模型1.线段与角度的等量代换模型 等量即相等的量，代换即替代、更换，等量代换的意思就是相等的量可以互换，更通俗点儿说，如果几个量都等于某一个量，那么这几个量彼此相等。那既然是相等的量，就限定了针对的对象必须是等式。 等量代换的一般形式：如果a=b，b=c，那么a=c，利用的是等式的传递性。 “等量代换”是在数学几何中常用的一种推理证明方法，应用于角度或线段相等关系的推导。 1）线段的等量代换 图1 图2 条件：如图，已知：EG=HF； 结论：EH=GF. 证明:如图1，∵EG=HF，∴EG-HG=HF-HG，∴EH=GF. 如图2，∵EG=HF，∴EG+HG=HF+HG，∴EH=GF. 2）角度的等量代换 （图中：∠AOD=∠1，∠BOC=∠2，∠BOD=∠3，∠AOC=∠4） 条件1：已知∠AOB=∠DOC=90°；结论：∠1=∠2，∠3+∠4=180°. 条件2：已知∠AOB=∠DOC=90°；结论：∠1=∠2，∠3+∠4=180°. 证明：如图1，∵∠AOB=∠DOC，∴∠AOB-∠BOD=∠DOC-∠BOD，∴∠AOD=∠BOC，即：∠1=∠2. ∵∠AOB=∠DOC=90°，∴∠AOB+∠DOC=180°， ∴∠BOD+∠AOD+∠DOC=180°，∴∠BOD+∠AOC=180°，即：∠3+∠4=180°. 如图2，∵∠AOB=∠DOC，∴∠AOB+∠BOD=∠DOC+∠BOD，∴∠AOD=∠BOC，即：∠1=∠2. ∵∠AOB=∠DOC=90°，∴∠AOB+∠DOC=180°， ∵∠BOD+∠AOC+∠AOB+∠DOC=360°，∴∠BOD+∠AOC=180°，即：∠3+∠4=180°. 利用等量代换我们还可以推导三个重要的性质： ①同角（等角）的余角相等；②同角（等角）的补角相等；③对顶角相等； 例1．（2024·河北唐山·模拟预测）如图，则与的大小关系是（　　） A． B． C． D．无法确定 例2．（23-24·重庆·七年级统考期末）如图，B、C是线段上两点，且，若，，那么大小为（    ） A．3 B．7 C．10 D．13 例3．（23-24七年级上·江苏泰州·期末）如图：A、B、C、D四点在同一直线上． (1)若AB＝CD．①比较线段的大小：AC BD（填“＞”、“＝”或“＜”）； ②若BC＝AC，且AC＝12cm，则AD的长为 cm；(2)若线段AD被点B、C分成了3∶4∶5三部分，且AB的中点M和CD的中点N之间的距离是16cm，求AD的长． 例4．（23-24河南三门峡·七年级统考期末）如图所示，∠AOB=∠COD=90°，则下列叙述中正确的是（） A．∠AOC=∠AOD B．∠AOD=∠BOD C．∠AOC=∠BOD D．以上都不对 例5．（23-24七年级上·江苏·课后作业）如图所示，，，则 ． 例6．（23-24七年级上·安徽安庆·期末）如图所示，已知，，则的度数是　　 A． B． C． D． 例7．（23-24浙江·七年级课堂例题）已知，，如果，那么，依据是(    ) A．同角的余角相等 B．同角的补角相等 C．等角的余角相等 D．等角的补角相等 例8．（23-24四川达州·七年级校考阶段练习）若和互补，与互补，若，则（    ） A．28° B．68°     C．118° D．90° 例9．（23-24广东七年级期期）如图，两个直角和有公共顶点O，下列结论：①图中共有5个角（小于）；②；③；④若平分，则平分；⑤的平分线与的平分线是同一条射线；其中正确的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 例10．（23-24黑龙江哈尔滨七年级期末）如图，已知．    (1)试说明：；(2)若平分，，，求的度数； (3)在（2）的条件下，作射线，，当，时，请正确画出图形，并直接写出的度数． 例11．（23-24七年级上·河南南阳·期末）已知一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，结合图形，试探索这两个角之间的数量关系 (1)如图1，AB⊥DE，BC⊥EF．∠1与∠2的数量关系是： ． (2)如图2，AB⊥DE，BC⊥EF．根据小学学习过的四边形内角和为360°可得∠1与∠2的数量关系是： ． (3)由（1）（2）你得出的结论是：如果 ，那么 ． (4)若两个角的两边互相垂直，且一个角比另一个角的3倍少40°，求这两个角度数． 例12．（2023春·江苏宿迁·七年级统考期末）填空： 已知：如图，、相交于点．求证： 证明：∵，（______） ∴______．（等式性质） 同理可得：______ 又∵，（______） ∴，（等量代换） 1．（2024·山东聊城·七年级统考期中）如图，AC>BD，比较线段AB与线段CD的大小（    ） A．AB＝CD B．AB>CD C．AB＜CD D．无法比较 2．（2023.湖南省娄底市七年级期末）如图，点，分别是线段上两点（，），用圆规在线段上截取，，若点与点恰好重合，，则为（    ） A．4 B．4.5 C．5 D．5.5 3．（23-24七年级上·湖南衡阳·期末）如图，是线段上两点，分别是线段的中点，下列结论：①若，则；②若，则；③；④．其中正确的结论是（    ） A．①②③ B．②③ C．③④ D．②③④ 4．（2023.江苏七年级期末）如图，已知，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 5．（2023.天津市南开区七年级期末）如图，AOB是一条直线，∠AOC=60°，OD，OE分别是∠AOC和∠BOC的平分线，则图中互补的角有（　　） A．5对 B．6对 C．7对 D．8对 6．（2023春·河北沧州·七年级校考期中）如图，直线相交于点，于点，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24湖南省长沙市七年级上期末）已知且，则，依据是（    ） A．等角的补角相等 B．同角的补角相等 C．等量代换 D．补角的定义 8．（2023秋·湖北恩施·八年级校考阶段练习）如图，于，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 9．（2023春·山东枣庄·七年级校考阶段练习）如图，于点A，于点D，则下列说法中正确的是（　　）    ①的余角只有；②的补角是；③与互补；④与互余 A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．②④ 10．（2023春·河北保定·七年级统考期中）如图，在同一平面内，，，点为反向延长线上一点（题中所有角均指小于的角）．给出下列结论：①；②；③．其中结论一定正确的是（    ）    A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 11．（2023春·北京顺义·七年级统考期末）如图，点O在直线上，过点O作射线，，．从下面的四个条件中任选两个，可以推出的是 （写出一组满足题意的序号）． ①；②和互余；③；④．    12．（2023春·陕西西安·七年级校考阶段练习）一副三角板如图放置，当∠1与∠2互余时，∠1的度数是 .    13．（2023秋·广东韶关·七年级校考期末）和互补，且，则 ，理由是 ． 14．（2023春·上海长宁·七年级校联考期末）如图，，比大，与互余，则 ．    15．（23-24福建福州·七年级统考期末）如图，平面内，平分，则以下结论：①；②；③；④平分． 其中正确的是 ．（填序号） 16．（23-24七年级上·广东茂名·期末）如图，线段，点在的延长线上，且．    (1)比较线段与的大小，并说明理由；(2)若，，求的长； (3)若，点为线段上一动点，要使点分别到点的距离和最小，问点在何处？此时最小值为多少？请说明理由． 17．（23-24七年级上·重庆·课后作业）已知B、C在线段上．(1)如图，共有 　　条线段； (2)如图，．①比较线段的大小： 　　（填：“”、“”或“”）； ②若，，则的长为 　　cm； (3)若，且E为中点，求与的数量关系．（温馨提醒：重新画图）    18．（2023·四川绵阳·七年级校联考期末）如图，点为线段上两点，，点为线段的三等分点（靠近点），点，分别为，的中点． （1）求证：； （2）若，求的长． 19．（2023·河南郑州·七年级校考阶段练习）问题：如图，线段AC上依次有D，B，E三点，其中点B为线段AC的中点，AD=BE，若DE=4，求线段AC的长． 请补全以下解答过程． 解： ∵D，B，E三点依次在线段AC上，∴DE= +BE ∵AD=BE      ∴DE=DB+ （             ），即DE=AB ∵DE=4        ∴AB=4又∵点B为线段AC的中点，∴AC= =8   （              ） 20．（2023秋·江苏常州·七年级统考期末）如图，∠AOC=140°，OD平分∠AOC，OB⊥OA，垂足为O． 求∠DOB的度数：（按要求填空） 解：因为OD平分∠AOC(已知)所以∠AOD=∠AOC(            ) 因为∠AOC=140°（已知）所以∠AOD=_________°（等量代换） 又因为OB⊥OA(已知)所以∠AOB=90°(                  ) 所以∠DOB=∠AOB-______________=_____________° 21．（2023·上海·七年级专题）小明同学做一道几何题时，不小心漏了一些内容，请你把空缺之处填完整： 题目如下：如图，直线交于O，平分，求的度数．小徐的解答如下：解： ∵，（已知）∴________（等式性质） ∵（                 ）∴__________________（等量代换） ∵平分（已知）∴____________（角平分线的意义） ∴（                  ） 22．（2023秋·河南驻马店·七年级统考期末）已知，平分，平分．    (1)如图1，若与重合，则__________________； (2)如图2，，求的度数；(3)如图3，，求的度数． 23．（2023春·江苏淮安·七年级统考期末）把下面的证明过程补充完整． 已知：如图，在中，，平分，为边上一点，连接，交于点，且．求证：． 证明：（已知） 又（ ）（等量代换） 平分（已知）（ ） （已知）（ ）（等量代换） （有两个角互余的三角形是直角三角形）（垂直的定义） 24．（2023.江苏七年级月考）已知∠AOD=150°． （1）如图1，∠AOC=∠BOD=90°，①∠BOC的余角是　 　，比较∠AOB　 　∠COD（填＞，=或＜），理由：　 　；②∠BOC=　 　度； （2）如图2，已知∠AOB与∠BOC互为余角，①若OB平分∠AOD，求∠BOC的度数；②若∠DOC是∠BOC的4倍，求∠BOC的度数． 25．（23-24七年级·贵州黔西·阶段练习）已知一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，结合图形，试探索这两个角之间的数量关系． (1)如图1，，，则与的数量关系是______．（不用说明理由） (2)如图2，，，则与的数量关系是______，并请说明理由． (3)由（1）（2）可以直接写出结论：如果_________________，那么_____________． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 线段与角的等量代换模型 等量代换是数学变形的最常见方式之一,它以处理问题步骤简捷、巧妙灵活,给人留下深刻的印象。运用它来解决中学代数和几何的有关问题（本专题主要涉及线段与角度的代换）,还可以避免繁杂运算,具有计算量小的独特优点,因此有着广泛的应用。 1 模型1.线段与角度的等量代换模型 1 34 模型1.线段与角度的等量代换模型 等量即相等的量，代换即替代、更换，等量代换的意思就是相等的量可以互换，更通俗点儿说，如果几个量都等于某一个量，那么这几个量彼此相等。那既然是相等的量，就限定了针对的对象必须是等式。 等量代换的一般形式：如果a=b，b=c，那么a=c，利用的是等式的传递性。 “等量代换”是在数学几何中常用的一种推理证明方法，应用于角度或线段相等关系的推导。 1）线段的等量代换 图1 图2 条件：如图，已知：EG=HF； 结论：EH=GF. 证明:如图1，∵EG=HF，∴EG-HG=HF-HG，∴EH=GF. 如图2，∵EG=HF，∴EG+HG=HF+HG，∴EH=GF. 2）角度的等量代换 （图中：∠AOD=∠1，∠BOC=∠2，∠BOD=∠3，∠AOC=∠4） 条件1：已知∠AOB=∠DOC=90°；结论：∠1=∠2，∠3+∠4=180°. 条件2：已知∠AOB=∠DOC=90°；结论：∠1=∠2，∠3+∠4=180°. 证明：如图1，∵∠AOB=∠DOC，∴∠AOB-∠BOD=∠DOC-∠BOD，∴∠AOD=∠BOC，即：∠1=∠2. ∵∠AOB=∠DOC=90°，∴∠AOB+∠DOC=180°， ∴∠BOD+∠AOD+∠DOC=180°，∴∠BOD+∠AOC=180°，即：∠3+∠4=180°. 如图2，∵∠AOB=∠DOC，∴∠AOB+∠BOD=∠DOC+∠BOD，∴∠AOD=∠BOC，即：∠1=∠2. ∵∠AOB=∠DOC=90°，∴∠AOB+∠DOC=180°， ∵∠BOD+∠AOC+∠AOB+∠DOC=360°，∴∠BOD+∠AOC=180°，即：∠3+∠4=180°. 利用等量代换我们还可以推导三个重要的性质： ①同角（等角）的余角相等；②同角（等角）的补角相等；③对顶角相等； 例1．（2024·河北唐山·模拟预测）如图，则与的大小关系是（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查线段的和差计算，根据，即可的出结论． 【详解】解：∵，， ∴，即：；故选：C． 例2．（23-24·重庆·七年级统考期末）如图，B、C是线段上两点，且，若，，那么大小为（    ） A．3 B．7 C．10 D．13 【答案】B 【分析】根据线段的和差关系计算即可得到结论． 【详解】解：∵，∴AB+BC＝CD+BC，∴AC＝BD ∵，，∴BD＝7，∴AC＝7，故选：B． 【点睛】本题考查了两点间的距离，利用线段的和差是解题关键． 例3．（23-24七年级上·江苏泰州·期末）如图：A、B、C、D四点在同一直线上． (1)若AB＝CD．①比较线段的大小：AC BD（填“＞”、“＝”或“＜”）； ②若BC＝AC，且AC＝12cm，则AD的长为 cm；(2)若线段AD被点B、C分成了3∶4∶5三部分，且AB的中点M和CD的中点N之间的距离是16cm，求AD的长． 【答案】(1)①=；②15(2)24cm 【分析】（1）①由已知同加BC即得答案；②求出BC和AB，根据AB=CD得到CD，即可得到AD； （2）根据题意画出图形，设，，，根据线段的和差关系求得，根据题意列出方程进而即可求解． 【详解】（1）①∵AB=CD，∴AB+BC=CD+BC，即AC=BD，故答案为：=； ②∵BC=AC，AC=12cm，∴BC=9cm，∴AB=AC-BC=3cm， ∵AB=CD，∴CD=3cm，∴AD=AC+CD=15cm；故答案为：15； （2）如图，线段AD被点B、C分成了3∶4∶5三部分， 设，， AB的中点M和CD的中点N之间的距离是16cm， ，解得，cm． 【点睛】本题考查了线段的和差计算，线段的中点的计算，数形结合是解题的关键． 例4．（23-24河南三门峡·七年级统考期末）如图所示，∠AOB=∠COD=90°，则下列叙述中正确的是（） A．∠AOC=∠AOD B．∠AOD=∠BOD C．∠AOC=∠BOD D．以上都不对 【答案】C 【分析】根据同角的余角相等,找到与∠AOD互余的角解题即可. 【详解】解：∵∠AOB=∠COD=90°，∴∠BOD+∠AOD=∠AOD+∠AOC, ∴∠AOC=∠BOD,故选C. 【点睛】本题考查了余角的性质,属于简单题,找到∠AOD的余角是解题关键. 例5．（23-24七年级上·江苏·课后作业）如图所示，，，则 ． 【答案】68 【分析】直接根据角的和差关系进行求解即可． 【详解】解：∵，， 又，，∴．故答案为68． 【点睛】本题主要考查互余角，关键是根据“同角的余角相等”可得角的等量关系，然后求解即可． 例6．（23-24七年级上·安徽安庆·期末）如图所示，已知，，则的度数是　　 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据∠AOB＝150°，∠AOC＝∠BOD＝90°，先求出∠BOC，然后再求∠COD． 【详解】解：∵∠AOB＝150°，∠AOC＝∠BOD＝90°，∠BOC＝∠AOB−∠AOC＝150°−90°＝60°， ∴∠COD＝∠BOD−∠BOC＝90°−60°＝30°，故选A． 【点睛】本题考查了角的计算，属于基础题，关键是分清题中角之间的关系． 例7．（23-24浙江·七年级课堂例题）已知，，如果，那么，依据是(    ) A．同角的余角相等 B．同角的补角相等 C．等角的余角相等 D．等角的补角相等 【答案】C 【分析】根据等角的余角相等进行解答． 【详解】解：∵，，∴与互余，与互余， 又∵，∴的余角与的余角相等，即(等角的余角相等)．故选：C． 【点睛】本题主要考查了等角或同角的余角相等的性质，熟记这个余角的性质是解题的关键． 例8．（23-24四川达州·七年级校考阶段练习）若和互补，与互补，若，则（    ） A．28° B．68°     C．118° D．90° 【答案】B 【分析】由同角的补角相等即可求解． 【详解】解：∵和互补，与互补∴同为的补角 ∵同角的补角相等∴故选：B 【点睛】本题考查同角的补角相等．熟记结论即可． 例9．（23-24广东七年级期期）如图，两个直角和有公共顶点O，下列结论：①图中共有5个角（小于）；②；③；④若平分，则平分；⑤的平分线与的平分线是同一条射线；其中正确的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了角度之间的和差关系，根据图示正确找到等量关系是解题关键． 【详解】解：如图 有共个角，故①错误；∵，∴，即：，故②正确； ∵，故③正确； 若平分，则， ∴，∴平分，故④正确； 如图所示：假设的平分线是射线，则， 由②得：，∴，即：， ∴的平分线也是射线，故⑤正确；故选：C． 例10．（23-24黑龙江哈尔滨七年级期末）如图，已知．    (1)试说明：；(2)若平分，，，求的度数； (3)在（2）的条件下，作射线，，当，时，请正确画出图形，并直接写出的度数． 【答案】(1)见解析(2)(3)图见解析，的度数是或或 或 【分析】（1）观察图形，可知已知的两等角存在公共部分，同时减去，即可得解； （2）观察图形中角之间的位置关系，得，由角平分线，得； （3）由，分情况：①在内部：由，进一步分情况讨论，在内部或在外部，②在外部：进一步分情况讨论，在内部或在外部；分别求解． 【详解】（1）解：，， ，； （2）由（1）可知，， ，， 平分，，的度数是； （3）的度数是或或或， 理由如下：如图1，， ，，    ， 又，，， 如图2，，    即，又，， ，    如图3，，， 又，，， 如图，，    ，， 综上所述，的大小为或或 或． 【点睛】本题考查角的数量关系和计算，角平分线的定义；根据图形得出角之间的数量关系是解题的关键． 例11．（23-24七年级上·河南南阳·期末）已知一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，结合图形，试探索这两个角之间的数量关系 (1)如图1，AB⊥DE，BC⊥EF．∠1与∠2的数量关系是： ． (2)如图2，AB⊥DE，BC⊥EF．根据小学学习过的四边形内角和为360°可得∠1与∠2的数量关系是： ． (3)由（1）（2）你得出的结论是：如果 ，那么 ． (4)若两个角的两边互相垂直，且一个角比另一个角的3倍少40°，求这两个角度数． 【答案】(1)相等(2)互补 (3)一个角的两边与另一个角的两边分别垂直；这两个角相等或互补(4)20°，20°或55°，125° 【分析】（1）根据直角三角形的两锐角互余即可得解； （2）根据四边形内角和即可求解；（3）由（1）（2）总结归纳，即可得出的结论； （4）设一个角的度数为α，则另一个角的度数为3α-40°，根据这两角相等或互补即可求解． 【详解】（1）解：如图， ∵AB⊥DE，BC⊥EF，∴∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°， ∵∠3=∠4，∴∠1=∠2，故答案为：相等； （2）解：∵AB⊥DE，BC⊥EF，∴∠1+∠2+90°+90°=360°， ∴∠1+∠2=360°-90°-90°=180°，故答案为：∠1+∠2=180°； （3）解：一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补， 故答案为：一个角的两边与另一个角的两边分别垂直；这两个角相等或互补； （4）解：设一个角的度数为α，则另一个角的度数为3α－40°， 根据题意可得，α＝3α－40°或α+3α－40°＝180°，解得α＝20°或55°， 当α＝20°时，3α－40°＝20°，当α＝55°时，3α－40°＝125°， ∴这两个角的度数为20°，20°或55°，125°． 【点睛】此题考查了多边形的内角，余角的定义和垂直的定义，熟记多边形的内角和公式是解题的关键，在解题的过程中，要注意分类讨论． 例12．（2023春·江苏宿迁·七年级统考期末）填空： 已知：如图，、相交于点．求证： 证明：∵，（______） ∴______．（等式性质） 同理可得：______ 又∵，（______） ∴，（等量代换） 【答案】三角形的内角和等于180°, 1, 2, 对顶角相等 【分析】根据三角形的内角和定理，对顶角相等填空即可求解． 【详解】证明：∵，（三角形的内角和等于180°） ∴．（等式性质）同理可得： 又∵，（对顶角相等）∴，（等量代换） 故答案为：三角形的内角和等于180°, 1, 2, 对顶角相等 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，对顶角相等，掌握相关定理是解题的关键． 1．（2024·山东聊城·七年级统考期中）如图，AC>BD，比较线段AB与线段CD的大小（    ） A．AB＝CD B．AB>CD C．AB＜CD D．无法比较 【答案】B 【分析】由AB＝AC+BC，CD＝BD+BC，AC>BD，则AB>CD． 【详解】∵AB＝AC+BC，CD＝BD+BC，AC>BD，∴AB>CD．故选：B． 【点睛】本题考查了比较线段的长短，比较两条线段长短的方法有两种：度量比较法、重合比较法． 2．（2023.湖南省娄底市七年级期末）如图，点，分别是线段上两点（，），用圆规在线段上截取，，若点与点恰好重合，，则为（    ） A．4 B．4.5 C．5 D．5.5 【答案】C 【分析】根据题意可得，，再由即可得到答案． 【详解】解：，，点E与点F恰好重合， ∴，，∴，， ∴，故选：C． 【点睛】本题主要考查了与线段中点有关的计算，解题的关键在于能够根据题意得到，． 3．（23-24七年级上·湖南衡阳·期末）如图，是线段上两点，分别是线段的中点，下列结论：①若，则；②若，则；③；④．其中正确的结论是（    ） A．①②③ B．②③ C．③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题考查了两点间的距离．由可得得出，由中点的意义得出，进一步得出，从而可判断①错误；由可得，由中点的意义可得结论，从而判断②正确；由由中点的意义可得代入可判断③正确；由得，代入可得故可判断④错误． 【详解】解：如图 ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴，即，故①错误； ∵， ∴， ∵M、N分别是线段的中点， ∴， ∴，故②正确； ∵M、N分别是线段的中点， ∴ ∵， ∴，故③正确； ∵， ∴， ∵， ∴，故④错误， 综上，正确的有②③． 故选：B． 4．（2023.江苏七年级期末）如图，已知，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，，根据角与角之间的关系可求出的度数，． 【详解】解：∵，， ∴．故选：A． 【点睛】此题考查的知识点是角的计算，注意此题的解题技巧：两个直角相加和相比，多加了一次． 5．（2023.天津市南开区七年级期末）如图，AOB是一条直线，∠AOC=60°，OD，OE分别是∠AOC和∠BOC的平分线，则图中互补的角有（　　） A．5对 B．6对 C．7对 D．8对 【答案】D 【分析】根据邻补角的定义以及角平分线的定义求得图中角的度数，然后根据互补的定义进行判断． 【详解】∠BOC=180°﹣∠AOC=180°﹣60°=120°． ∵OD，OE分别是∠AOC和∠BOC的平分线，∴∠AOD=∠COD=30°，∠COE=∠BOE=60°，∴∠AOE=∠BOC=120°，∠DOE=90°，∠DOB=150°，则∠AOD+∠DOB=180°，∠COD+∠DOB=180°，∠AOC+∠BOC=180°，∠COE+∠BOC=180°，∠BOE+∠BOC=180°，∠AOE+∠BOE=180°，∠AOE+∠AOC=180°，∠AOE+∠COE=180°．总之有8对互补的角．故选D． 【点睛】本题考查了补角的定义以及角平分线的定义，正确求得图中角的度数是关键． 6．（2023春·河北沧州·七年级校考期中）如图，直线相交于点，于点，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】互余关系求出，对顶角相等，得到即可； 【详解】解：∵，∴， ∴，∴；故选D． 【点睛】本题考查垂直的定义，对顶角相等．解题的关键是正确的识图，理清角度之间的和差关系． 7．（23-24湖南省长沙市七年级上期末）已知且，则，依据是（    ） A．等角的补角相等 B．同角的补角相等 C．等量代换 D．补角的定义 【答案】C 【分析】根据等量代换即可求解． 【详解】解：∵， ∴（等量代换） 故选C 【点睛】本题考查了等式的性质，掌握等式的性质是解题的关键．替换关系式是一个等式，用替换关系式把原本的未知量或变量转换为新的未知量或变量的依据是“等量代换”，求出新的未知量或变量后，再运用替换关系式求出原本的未知量或变量的依据也是“等量代换”． 8．（2023秋·湖北恩施·八年级校考阶段练习）如图，于，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“同角的余角相等”求解． 【详解】解：∵，∴． 又∵，∴．∴．故选：A． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，运用了“同角的余角相等”求解的． 9．（2023春·山东枣庄·七年级校考阶段练习）如图，于点A，于点D，则下列说法中正确的是（　　）    ①的余角只有；②的补角是；③与互补；④与互余 A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．②④ 【答案】B 【分析】根据，可得，即可得到，，结合可得，结合即可得到答案； 【详解】解：∵，，∴， ∴，，故①错误，∵，故②正确， ∵，∴，∵， ∴，故③④正确，故选：B； 【点睛】本题考查垂直的性质，互补与互余的定义，解题的关键是根据已知条件得到角度数量关系． 10．（2023春·河北保定·七年级统考期中）如图，在同一平面内，，，点为反向延长线上一点（题中所有角均指小于的角）．给出下列结论：①；②；③．其中结论一定正确的是（    ）    A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】由根据等角的余角相等得到，而，即可判断①正确；由，而，即可判断②正确；由，而，即可判断③不正确． 【详解】解：∵，∴，而， ∴，所以①正确； ，所以②正确； ，而，所以③不正确；故选：A． 【点睛】本题考查了余角和补角，角度的计算，余角的性质，准确识图是解题的关键． 11．（2023春·北京顺义·七年级统考期末）如图，点O在直线上，过点O作射线，，．从下面的四个条件中任选两个，可以推出的是 （写出一组满足题意的序号）． ①；②和互余；③；④．    【答案】①③（答案不唯一） 【分析】例如添加①③，利用垂线的定义和同角的余角相等即可证明． 【详解】解：如选择：①，③， ∴，，∴，故答案为：①③（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了垂线的定义，余角的性质，解题的关键是掌握同角的余角相等． 12．（2023春·陕西西安·七年级校考阶段练习）一副三角板如图放置，当∠1与∠2互余时，∠1的度数是 .    【答案】/度 【分析】根据余角的定义和性质，得出，，即可求出． 【详解】解：∵∠1与∠2互余，∴， ∵与互余，∴，∴， ∵与互余，∴，∴．故答案为：．    【点睛】本题主要考查了余角的定义与性质，解题的关键是熟练掌握同角或等角的余角相等． 13．（2023秋·广东韶关·七年级校考期末）和互补，且，则 ，理由是 ． 【答案】 同角的补角相等 【分析】根据互补的定义，即可进行解答．相加等于的两个角互补． 【详解】解：∵和互补，∴， ∵，∴（同角的补角相等），故答案为：，同角的补角相等． 【点睛】本题主要考查了互补的定义，解题的关键是掌握相加等于的两个角互补，同角的补角相等． 14．（2023春·上海长宁·七年级校联考期末）如图，，比大，与互余，则 ．    【答案】 【分析】设，表示出，根据与互余，，得出关于的等式，求解即可． 【详解】解：设，比大，， 与互余，， 解得：，故答案为：． 【点睛】本题考查了互余的定义，一元一次方程，解题的关键是利用互余建立一元一次方程求解． 15．（23-24福建福州·七年级统考期末）如图，平面内，平分，则以下结论：①；②；③；④平分． 其中正确的是 ．（填序号） 【答案】①③④ 【分析】由根据同角的余角相等得到，即可判断①； 由，即可判断② 由，即可判断③ 由平分，得出，再结合①，即可判断④ 【详解】解：∵，∴， ∴，所以①正确； ∵不一定等于，所以②不正确； ∵，所以③正确； ∵平分，∴，由①知， ∴，∴，所以④正确． ∴平分故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了角度的计算，同角（等角）的余角相等．也考查了角平分线的定义，熟练掌握补余角的性质和角平分线的定义是关键． 16．（23-24七年级上·广东茂名·期末）如图，线段，点在的延长线上，且．    (1)比较线段与的大小，并说明理由； (2)若，，求的长； (3)若，点为线段上一动点，要使点分别到点的距离和最小，问点在何处？此时最小值为多少？请说明理由． 【答案】(1)，理由见解析； (2)； (3)当在点时，到点的距离和最小，最小值为，理由见解析． 【分析】（）利用线段的和差关系即可求解； （）利用线段的比求出，再根据线段的和差关系即可求出； （）利用线段的和差关系即可求解； 本题考查了线段的和差关系，利用数形结合解答是解题的关键． 【详解】（1）解：． 理由：∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：当在点时，到点的距离和最小，最小值为． 理由：∵点到的距离分别为、、， ∵，的长是固定值， ∴要使距离和最短，则需最短即可，    ∴当在点时，为，此时的最小值． 17．（23-24七年级上·重庆·课后作业）已知B、C在线段上．    (1)如图，共有 　　条线段； (2)如图，． ①比较线段的大小： 　　（填：“”、“”或“”）； ②若，，则的长为 　　cm； (3)若，且E为中点，求与的数量关系．（温馨提醒：重新画图） 【答案】(1)6 (2)①＝；②20 (3) 【分析】本题主要考查了线段的长度计算和线段中点的性质，关键是掌握线段的和、差、倍、分及计算方法． （1）根据图形依次数出线段的条数即可； （2）①根据等式的性质即可得到答案； ②依据线段的和差关系进行计算，即可得出的长； （3）根据题意画出图形，设，则，利用中点的性质分别表示出和的长度，分析关系即可． 【详解】（1）解：图中有线段：、、、、、，共6条， 故答案为：6． （2）解：①， ， 即， 故答案为：． ②，， ， ， ， ， 故答案为：20． （3）解：如图，当点在的延长线上，    设，则， 为的中点， ， ， ， ． 如图，当点在线段上时，    设，则， 为的中点， ， ， ， ． 18．（2023·四川绵阳·七年级校联考期末）如图，点为线段上两点，，点为线段的三等分点（靠近点），点，分别为，的中点． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）． 【分析】（1）设，利用题中已给的关系和线段的和差表示CM和DN，即可证明结论； （2）先根据求得k的值，再用线段的和差表示，将k的值代入计算即可． 【详解】（1）设． 如图，因为为线段的三等分点（靠近点）， 所以．因为，所以．                             又点分别为的中点，所以， 所以， 可得，所以；                                            （2）由（1）知 因为，即，所以， 又，所以． 【点睛】本题考查了线段的中点和求两点之间的距离，能正确表示各个线段的长度是解此题的关键． 19．（2023·河南郑州·七年级校考阶段练习）问题：如图，线段AC上依次有D，B，E三点，其中点B为线段AC的中点，AD=BE，若DE=4，求线段AC的长． 请补全以下解答过程． 解： ∵D，B，E三点依次在线段AC上， ∴DE= +BE ∵AD=BE       ∴DE=DB+ （             ）， 即DE=AB ∵DE=4         ∴AB=4 又∵点B为线段AC的中点， ∴AC= =8   （              ） 【答案】DB ； AD ， 等量代换 ； 2AB ，中点定义 【分析】先根据AD=BE求出AB=DE，再根据线段的中点的定义解答即可； 【详解】∵D，B，E三点依次在线段AC上，∴DE= DB+BE， ∵AD=BE，∴DE=DB+ AD（ 等量代换），即DE=AB， ∵DE=4 ， ∴AB=4 ， 又∵点B为线段AC的中点， ∴AC= 2AB =8 （中点定义 ）， 故答案为：DB、AD、等量代换、2AB、中点定义； 【点睛】本题考查了两点间的距离，主要利用了线段中点的定义并着重训练同学们的逻辑推理能力； 20．（2023秋·江苏常州·七年级统考期末）如图，∠AOC=140°，OD平分∠AOC，OB⊥OA，垂足为O． 求∠DOB的度数：（按要求填空） 解：因为OD平分∠AOC(已知) 所以∠AOD=∠AOC(            ) 因为∠AOC=140°（已知） 所以∠AOD=_________°（等量代换） 又因为OB⊥OA(已知) 所以∠AOB=90°(                  ) 所以∠DOB=∠AOB-______________=_____________° 【答案】角平分线定义；70°；垂直定义；；20 【分析】直接利用已知结合角平分线和垂线的意义进而分析得出答案． 【详解】解：因为OD平分∠AOC(已知) 所以∠AOD=∠DOC(角平分线定义) 因为∠AOC=140°（已知） 所以∠AOD=____70°_____°（等量代换） 又因为OB⊥OA(已知) 所以∠AOB=90°(  垂直定义    ) 所以∠DOB=∠AOB-=　　20　　° 故答案为：角平分线定义；70°；垂直定义；；20 【点睛】此题主要考查了角平分线和垂线的意义，正确得出∠AOD的度数是解题关键． 21．（2023春·上海·七年级专题练习）小明同学做一道几何题时，不小心漏了一些内容，请你把空缺之处填完整： 题目如下：如图，直线交于O，平分，求的度数．小徐的解答如下：解： ∵，（已知） ∴________（等式性质） ∵（                 ） ∴__________________（等量代换） ∵平分（已知） ∴____________（角平分线的意义） ∴（                  ） 【答案】∠BOF；对顶角相等；∠AOE＝32°；∠AOD；等量代换． 【分析】利用已知条件，进行推理即可． 【详解】解：∵∠COB＝90°，∠COF＝58°（已知）， ∴∠BOF＝∠COB−∠COF＝32°（等式性质）， ∵∠AOE＝∠FOB（对顶角相等）， ∴∠AOE＝32°（等量代换）， ∵OA平分∠DOE（已知） ∴∠AOE＝∠AOD（角平分线的意义）， ∴∠DOE＝64°（等量代换）． 故答案为：∠BOF；对顶角相等；∠AOE＝32°；∠AOD；等量代换． 【点睛】本题考查的是证明的步骤和格式，解题关键是熟练掌握对顶角相等、等量代换、角平分线的意义． 22．（2023秋·河南驻马店·七年级统考期末）已知，平分，平分．    (1)如图1，若与重合，则__________________； (2)如图2，，求的度数；(3)如图3，，求的度数． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）根据角平分线的定义知，，，据此求解得出答案， （2）根据角平分线的定义知，，再根据可得出答案，（3）根据角平分线的定义知，，，再根据可得答案． 【详解】（1），重合，, 平分，平分，，， ,故答案为：． （2）（2），平分， ，同理， ． （3），平分， ，同理， ． 【点睛】本题主要考查角的和差关系和角平分线的定义、熟练掌握角的和差的表示以及角平分线的定义是解决本题的关键． 23．（2023春·江苏淮安·七年级统考期末）把下面的证明过程补充完整． 已知：如图，在中，，平分，为边上一点，连接，交于点，且． 求证：． 证明：（已知） 又（ ） （等量代换） 平分（已知） （ ） （已知） （ ） （等量代换） （有两个角互余的三角形是直角三角形） （垂直的定义） 【答案】对顶角相等；角平分线定义；直角三角形两个锐角互余；ADC 【分析】根据对顶角性质、角平分线性质和直角三角形定义可推出∠ADC． 【详解】证明：（已知） 又（ 对顶角相等 ） （等量代换） 平分（已知） （ 角平分线定义 ） （已知） （ 直角三角形两个锐角互余 ） （等量代换） ADC （有两个角互余的三角形是直角三角形） （垂直的定义） 故答案为：对顶角相等；角平分线定义；直角三角形两个锐角互余；ADC 【点睛】考核知识点：对顶角性质、角平分线定义、直角三角形定义、垂直定义．理解垂直的定义和直角三角形性质是解题关键． 24．（2023.江苏七年级月考）已知∠AOD=150°． （1）如图1，∠AOC=∠BOD=90°，①∠BOC的余角是　 　，比较∠AOB　 　∠COD（填＞，=或＜），理由：　 　；②∠BOC=　 　度； （2）如图2，已知∠AOB与∠BOC互为余角，①若OB平分∠AOD，求∠BOC的度数；②若∠DOC是∠BOC的4倍，求∠BOC的度数． 【答案】（1）①∠AOB和∠COD，=，同角的余角相等；②30；（2）①15°；②∠BOC=15° 【分析】(1)①根据余角定义可得∠BOC的余角；利用同角的余角相等可得∠AOB=∠COD； ②首先计算出∠COD的度数，再根据余角定义可得∠BOC的度数；(2)①根据余角定义可得∠AOC=90°， 然后根据角平分线定义可得∠ AOB的度数，再根据角的和差关系可得答案；②首先计算出∠DOC的度数，然后再设∠BOC=，则∠DOC=4x°，进而可得4x=60，解方程即可. 【详解】（1）①∵∠AOC=∠BOD=90°，∴∠BOC+∠AOB=90°，∠BOC+∠COD=90°， ∴∠BOC的余角是∠AOB和∠COD；∴∠AOB=∠COD， 故答案为：∠AOB和∠COD，=，同角的余角相等； ②∵∠AOD=150°，∠AOC=90°，∴∠COD=60°, ∵∠BOC+∠COD=90°，∴∠BOC=30°，故答案为：30； （2）①∵∠AOB与∠BOC互为余角，∠BOC+∠AOB=90°， ∵OB平分∠AOD，∠AOD=150°，∴∠AOB=∠AOD=75°，∴∠BOC=90°-∠AOB=15°； ②∵∠AOB与∠BOC互为余角，∠BOC+∠AOB=90°， ∵∠AOD=150°，∴∠COD=∠AOD-∠AOC=60°， ∵∠DOC是∠BOC的4倍，∴设∠BOC=，则∠DOC=4x°，∴4x=60，解得x=15，∴∠BOC=15°. 【点睛】此题考查余角和补角的定义，角平分线的定义，利用角平分线进行计算，角度的和差计算，正确掌握图形中各角度的关系是解题的关键. 25．（23-24七年级·贵州黔西·阶段练习）已知一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，结合图形，试探索这两个角之间的数量关系． (1)如图1，，，则与的数量关系是______．（不用说明理由） (2)如图2，，，则与的数量关系是______，并请说明理由． (3)由（1）（2）可以直接写出结论：如果_________________，那么_____________． 【答案】(1)相等(2)互补，理由见详解(3)一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，这两个角相等或互补 【分析】（1）由余角的性质，等角的余角相等，可得；（2）根据四边形内角和为，可求得； （3）由（1）（2）的分析可直接得出结论． 【详解】（1）解：如图1， ，，，，，， ，．故答案为：相等． （2）解：如图2，，，，， ，．故答案为：互补． （3）解：由（1）（2）的分析可得结论：如果一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补；故答案为：一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，这两个角相等或互补． 【点睛】本题主要考查余角的定义、垂直的定义及三角形内角和，熟练掌握余角的定义、垂直的定义及三角形内角和是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！29 学科网（北京）股份有限公司 $$