专题07 线段中的四类动态模型-2024-2025学年七年级数学上册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（苏科版2024）

专题07 线段中的四类动态模型 线段中的动态模型一直都是一大难点和常考点，它经常以压轴题的形式出现。考查样式也是很丰富，和平时所学的内容结合在一起考。本专题就线段中的动态模型（与中点、和差倍分结合的动点问题；定值问题；存在性（探究性）问题；阅读理解（新定义）等）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型1.线段中点、和差倍分关系中的动态模型 1 模型2.线段上动点问题中的定值模型 4 模型3.线段上动点问题中的存在性（探究性）模型 8 模型4.阅读理解型（新定义）模型 12 18 模型1.线段中点、和差倍分关系中的动态模型 1、在与线段长度有关的问题中，常会涉及线段较多且关系较复杂的问题，而且题中的数据无法直接利用，常设未知数列方程。 2、线段的动态模型解题步骤： 1）设入未知量t表示动点运动的距离； 2）利用和差（倍分）关系表示所需的线段； 3）根据题设条件建立方程求解； 4）观察运动位置可能的情况去计算其他结果。 例1．（23-24七年级上·广东·期末）如图1，已知点C在线段AB上，线段AC＝10厘米，BC＝6厘米，点M，N分别是AC，BC的中点．（1）求线段MN的长度．（2）根据第（1）题的计算过程和结果，设AC＝a，BC＝b，其他条件不变，求MN的长度．（3）动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2cm/s的速度沿AB向右运动，终点为B，点Q以1cm/s的速度沿AB向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动．设点P的运动时间为t（s）．当C、P、Q三点中，有一点恰好是以另外两点为端点的线段的中点时，直接写出时间t． 【答案】（1）MN=8厘米；（2）MN=a+b；（3）所求时间t为4或或． 【分析】（1）（2）根据线段中点的定义、线段的和差，可得答案； （3）当C、P、Q三点中，有一点恰好是以另外两点为端点的线段的中点时，可分四种情况进行讨论：①当0＜t≤5时，C是线段PQ的中点；②当5＜t≤时，P为线段CQ的中点；③当＜t≤6时，Q为线段PC的中点；④当6＜t≤8时，C为线段PQ的中点．根据线段中点的定义，可得方程，进而求解． 【详解】解：（1）∵线段AC=10厘米，BC=6厘米，点M，N分别是AC，BC的中点， ∴MC=AC=5厘米，CN=BC=3厘米，∴MN=MC+CN=8厘米； （2）∵AC=a，BC=b，点M，N分别是AC，BC的中点， ∴MC=AC=a，CN=BC=b，∴MN=MC+CN=a+b； （3）①当点P在线段AC上，即0＜t≤5时， C是线段PQ的中点，得10-2t=6-t，解得t=4； ②当点P在线段BC上，即5＜t≤时，P为线段CQ的中点，2t-10=16-3t，解得t=； ③当点Q在线段BC上，即＜t≤6时，Q为线段PC的中点，6-t=3t-16，解得t=； ④当点Q在线段AC上，即6＜t≤8时，C为线段PQ的中点，2t-10=t-6，解得t=4（舍）， 综上所述：所求时间t为4或或． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，两点间的距离，利用线段中点的定义得出关于t的方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏． 例2．（23-24·江苏·七年级校考期中）如图所示．点A，B，C是数轴上的三个点，且A，B两点表示的数互为相反数，，． (1)点A表示的数是______；(2)若点P从点B出发沿着数轴以每秒2个单位的速度向左运动，则经过______秒时，点C恰好是BP的中点；(3)若点Q从点A出发沿着数轴以每秒1个单位的速度向右运动，线段QB的中点为M，当时，则点Q运动了多少秒？请说明理由． 【答案】(1)-6(2)8(3)秒或秒 【分析】（1）根据，且，两点表示的数互为相反数，直接得出即可； （2）设经过秒点是的中点，根据题意列方程求解即可； （3）设点运动了秒时，分情况列方程求解即可． （1）AB=12，且，两点表示的数互为相反数，点表示的数是，故答案为：； （2）AB=12，，，，设经过秒点是的中点， 根据题意列方程得，解得，故答案为：8； （3）设点运动了秒时， ①当点在点左侧时，即，根据题意列方程得，解得； ②当点在点右侧时，即，根据题意列方程得，解得； 综上，当运动了秒或秒时． 【点睛】本题主要考查一元一次方程的知识，熟练根据题中等量关系列方程求解是解题的关键． 例3．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，直线上有两点，，点是线段上的一点，．(1)____________；(2)若点是直线上一点，且满足，求的长；(3)若动点分别从同时出发，向右运动，点的速度为，点的速度为．设运动时间为，当点与点重合时，两点停止运动．问当为何值时，． 【答案】(1)24；12(2)或(3)或 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用和两点之间的距离，（1）根据，点O是线段上的一点，．即可得出答案；（2）设的长是，当点在线段上，线段上，线段的延长线上时，分别列出方程，解之即可得到答案；（3）当运动时间为时，点表示的数为，点表示的数为，当点P与点Q重合时，即，得到t的值，然后分情况讨论，即可得到答案； 正确理解题意，弄清题中量的关系是解题的关键． 【详解】（1）∵，∵， 解得，，故答案为：24；12； （2）设的长是，依题意有： ①当点在线段上时，，解得，； ②当点在线段上时，，解得，（舍去）； ③当点在线段的延长线上时，，解得，， 故的长为或； （3）当运动时间为时，点表示的数为，点表示的数为， 当时，， ，， 当时，有，解得，； 当时，有，解得， 故当为或时，． 模型2.线段上动点问题中的定值模型 例1．（23-24七年级上·江苏南通·阶段练习）如图，是线段上一动点，沿的路线以的速度往返运动1次，是线段的中点，，设点的运动时间为． (1)当时，则线段________，线段________； (2)当为何值时，？ (3)点从点出发的同时，点也从点出发，以的速度向点运动，若当运动时间满足时，线段的长度始终是一个定值，求这个定值和的值． 【答案】(1)4；3(2)或(3)，定值为5 【分析】本题考查线段动点问题，线段中点性质，线段和差关系 （1）根据可求出的长以及的长，再由是线段的中点，即可求得； （2）分情况讨论，当时，存在；当时，存在，考虑两种情况即可； （3）根据点和点的速度，可以大概画出示意图，从而表示出线段，即可求得． 【详解】（1）解：∵，点以的速度运动，∴时，，， ∵是线段的中点，∴故答案为： （2）解：∵是线段的中点，∴， ∵，∴，∴，， 当点从时， 当点从时，∵点沿的路线需要故 综上所述，当为或时，． （3）解：如图，由题意得：点的速度是，点速度为 ∵，∴点在点右侧，由题意可知∴ ∵是线段的中点∴即 ∵线段的长度始终是一个定值∴故解得，定值为5 例2．（23-24七年级上·广东·期末）如图，已知直线l上有两条可以左右移动的线段：，且m，n满足，点M，N分别为中点．    (1)求线段的长；(2)线段以每秒4个单位长度向右运动，线段以每秒1个单位长度也向右运动．若运动6秒后，，求此时线段的长；(3)若，将线段固定不动，线段以每秒4个单位速度向右运动，在线段向右运动的某一个时间段t内，始终有为定值．求出这个定值，并直接写出t在哪一个时间段内． 【答案】(1)线段的长是4，线段的长是8(2)16或8 (3)当时，为定值，定值为6 【分析】（1）根据非负数的性质即可得到结论；（2）若6秒后，在点左边时，若6秒后，在点右边时，根据题意列方程即可得到结论；（3）根据题意分类讨论于是得到结果． 【详解】（1）解：∵，∴，， ∴，，∴，，即线段的长是4，线段的长是8； （2）解：∵，，∴，， 设运动后点M对应点为，点N对应点为，分两种情况， 若6秒后，在的左侧时：， ∴，即，解得． 若6秒后，在的右侧时：， ∴，即，解得． 即线段的长为16或8； （3）解：∵，，， ∴，， ∵线段固定不动，线段以每秒4个单位速度向右运动， ∴运动t秒后，，， 当时，； 当时，； 当时，； 故当时，为定值，定值为6． 【点睛】本题考查非负数的性质，一元一次方程的应用，线段的和差关系，以及数轴上的动点问题，解题的关键是掌握分类讨论思想． 例3．（23-24七年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，在数轴上的A点表示数，B点表示数，满足。(1)点A表示的数为____________，点B表示的数为______________. (2)若在原点处放一挡板，一小球甲从点A 处以2个单位/秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点B处以3个单位/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t（秒）． ①当时，乙小球到原点的距离=______________；当时，乙小球到原点的距离=_______________． ②试探究：甲、乙两小球到原点的距离可能相等吗？若不能，请说明理由；若能，请计算说明． (3)现将小球乙看成动点P，当点P运动到线段上时，分别取和的中点，试判断的值是否为定值，若不是，请说明理由；若是，请求出该定值．    【答案】(1)，5(2)①2，4；②能，当或时，甲、乙两小球到原点的距离相等 (3)的值是定值，这个定值为2 【分析】（1）根据偶次方和绝对值的非负性求出的值，由此即可得； （2）①当时，乙小球运动的距离为3，再利用的长减去3即可得；当时，乙小球运动的距离为9，再利用9减去的长即可得；②先求出乙小球从点运动到原点所需时间为秒，再分两种情况：和，分别建立方程，解方程即可得；（3）先求出，点表示的有理数为，再分两种情况：①和②，分别求出，代入计算即可得． 【详解】（1）解：，，，解得， 则点表示的数为，点表示的数为5，故答案为：，5． （2）解：①点表示的数为5，， 当时，乙小球运动的距离为，则乙小球到原点的距离为， 当时，乙小球运动的距离为，则乙小球到原点的距离为，故答案为：2，4； ②假设甲、乙两小球到原点的距离能相等， 乙小球从点运动到原点所需时间为（秒）， 当时，则，解得，符合题设； 当时，，解得，符合题设； 综上，当或时，甲、乙两小球到原点的距离相等． （3）解：由（1）可知，，点从点运动到点，再从点运动到点所需时间为（秒），点是的中点，点表示的数为5，点表示的有理数为， ①如图，当时，则运动秒后，点表示的有理数为，   ， 点是的中点，点表示的数为，点表示的有理数为， ，； ②如图，当时，则运动秒后，点表示的有理数为，   ， 点是的中点，点表示的数为，点表示的有理数为， ，， 综上，的值是定值，这个定值为2． 【点睛】本题考查了偶次方和绝对值的非负性、一元一次方程的应用、数轴、整式加减的应用、线段中点等知识点，熟练掌握数轴的性质是解题关键． 模型3.线段上动点问题中的存在性（探究性）模型 例1．（2023·江苏南通·七年级月考）如图，数轴上点A，C对应的实数分别为和4，线段，，，若线段以3cm/秒的速度向右匀速运动，同时线段以1cm/秒的速度向左匀速运动． (1)问运动多少秒时？(2)线段与线段从开始相遇到完全离开共经过多长时间？ (3)P是线段上一点，当B点运动到线段上时，是否存在关系式．若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)1秒或2秒；(2)秒；(3)存在，或5． 【分析】（1）分点B在点C的左边和点B在点C的右边两种情况讨论； （2）所走路程为这两条线段的和，用路程，速度，时间之间的关系可求解； （3）随着点B的运动，分别讨论当点B和点C重合、点C在点A和B之间及点A与点C重合时的情况． 【详解】（1）设运动t秒时为2单位长度， ①当点B在点C的左边时，由题意得：，解得：； ②当点B在点C的右边时，由题意得：，解得：． 综合①②得：当运动1秒或2秒时； （2）∵，点A在数轴上表示的数是，点C在数轴上表示的数是4， ，而（秒），线段与线段运动秒后相遇， 又，（秒）， 线段与线段从开始相遇到完全离开共经过秒长时间； （3）存在，设运动时间为t秒， ①当时，点B和点C重合，， 点P在线段AB上，，， 当时，，即；此时， ②当时，点C在点A和点B之间，， 当点P在线段BC上时， ，， ，，有，故时，， ③当时，点A与点C重合，， ，，，， 有，故，此时， 综上，线段PD的长为或5． 【点睛】本题以线段和差为题考查了一次方程的应用；读懂题意，分类列方程解决问题是解题的关键． 例2．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）【阅读材料】若数轴上两点A、B所表示的数分别为a和b（点A在点B的左侧），则有①A、B两点的中点表示的数为；②A、B两点间的距离为． 【解决问题】数轴上两点A、B所表示的数分别为a和b，且满足， （1）直接写出A、B两点的中点C表示的数为______； （2）若数轴上有一点D，且，则点D在数轴上对应的数为______； 【拓展思考】若数轴上两点A、B所表示的数分别为a和b（点A在点B的左侧），点C为线段上一点（点C不与A、B重合），当时，称点C为线段的左三等分点；当时，则称点C为线段的右三等分点． （3）①如图，若点C为线段的左三等分点，则点C表示的数为：______；（用含a、b的代数式表示）， ②在【解决问题】（1）的条件下，点F以每秒1个单位的速度从原点O出发向右运动，同时，点M从点A出发以每秒3个单位的速度向左运动，点N从点B出发，以每秒6个单位的速度向右运动，点P为线段的左三等分，点Q为的中点．设运动时间为t秒，试探究下列结论：随着t的变化，是否存在m，使得的值为定值，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）3  （2）或11；（3）①；②存在，，理由见解析 【分析】本题考查了数轴上两点间距离，数轴上线段的中点对应的数的表示，数轴上动点的问题，绝对值得非负性的应用，一元一次方程的应用，熟练利用一元一次方程解决数轴上动点问题是解题关键． （1）利用绝对值，乘方的非负性求出a，b值的大小再利用题中给出的方法求出结果即可； （2）由题意可知，D点可能在A点左侧，也可能在B点右侧，根据列出方程求解即可； （3）①设C点为m，则为，为，根据点C为线段的左三等分点，列式结算即可；②由题意得， ， ，，，，得出，，，根据的值为定值，进行求解即可． 【详解】解：，且，，， A、B两点的中点表示的数为，故答案为：； （2）设点D表示的数为x，∵ 当点D在点A左边时，，解得：， 当点D在点B右边时，，解得：，点为或11； （3）①设C点为m，则为，为， 点C为线段的左三等分点，， ∴，解得，点C表示的数为； ②存在．理由如下：由题意得，，，，，， ，，，， 随着t的变化，上式的值为定值，  解得． 例3．（2023秋·湖南邵阳·七年级统考期末）如图，在直线上，线段，动点从出发，以每秒2个单位长度的速度在直线上运动，为的中点，为的中点，设点的运动时间为秒． (1)若点在线段上运动，当时， ；(2)若点在射线上运动，当时，求点的运动时间的值；(3)当点在线段的反向延长线上运动时，线段、、有怎样的数量关系？请写出你的结论，并说明你的理由． 【答案】(1)3；(2)或20；(3)，理由见解析． 【分析】（1）由中点的含义先求解，证明，再求解，从而可得答案；（2）①当点P在线段上，， ②当点P在线段的延长线上，，再建立方程求解即可；（3）先证明，，可得，从而可得结论． 【详解】（1）解：∵为的中点，为的中点，， ∴，，∴， ∵线段，∴，∴． （2）①当点P在线段上，，如图， ∵，为的中点，∴，解得 ②当点P在线段的延长线上，，如图， 同理：，解得 综上所述，当时，点P的运动时间t的值为或20． （3）当点P在线段的反向延长线上时，，理由如下： 如图， ∵，为的中点，为的中点， ∴，， ，． 【点睛】本题考查的是一元一次方程的应用，线段中点的含义，线段的和差运算，理解题意，清晰的分类讨论是解本题的关键． 模型4.阅读理解型（新定义）模型 例1．（23-24七年级上·安徽芜湖·期末）【新知理解】如图①，点C在线段上，图中共有三条线段、和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段AB的“巧点”． （1）线段的中点______这条线段的“巧点”；（填“是”或“不是”）． （2）若，点C是线段的“巧点”，则______； 【解决问题】（3）如图②，已知．动点P从点A出发，以的速度沿AB向点B匀速移动：点Q从点B出发，以的速度沿向点A匀速移动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为ts．当t为何值时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的“巧点”？并说明理由．    【答案】（1）是；（2）8或12或16；（3）t为或或，理由见详解 【分析】（1）由“巧点”的定义进行判断即可求解；（2）由“巧点”的定义，按的位置进行分类讨论①，②，③，即可求解；（3）①当是、的“巧点”，(ⅰ) 由“巧点”的定义得，列方程即可求解； (ⅱ) 由“巧点”的定义得，②当是、的“巧点”，(ⅰ) 由“巧点”的定义得， (ⅱ) 由“巧点”的定义得，即可求解． 【详解】（1）解：C是线段的中点， ， C是线段的“巧点”；故答案：是； （2）解：①如图，点C是线段的“巧点”，，；      ②如图，点C是线段的“巧点”，，； ③如图，点C是线段的“巧点”，，；故答案：或或； （3）解：t为或或，理由如下： ①当是、的“巧点”，(ⅰ)如图，  ， ，，，，解得：， (ⅱ)如图，  ，，，，，解得：； ②当是、的“巧点”，(ⅰ)如图，  ， ，，，， ，，解得：； (ⅱ)如图， ，同理可得：，解得：；此种情况不合题意，舍去； 综上所示：当t为或或时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的“巧点”． 【点睛】本题考查了新定义，线段的和差，一元一次方程的应用，理解新定义，将为题转化为一元一次方程进行求解是解题关键． 例2．（23-24七年级上·江苏泰州·期末）【概念学习】点在线段上，若，则称是点在线段上的“分点值”，记作．例如，如图1，若，则点在线段上的“分点值”是，记作；若，则，故点在线段上的“分点值”是，记作． 【理解与应用】(1)已知点在线段上．若，，则________； 若，，则_________． (2)如图2，线段， 是线段上一点，、两点分别从点、出发以，的速度同时向点运动，运动的时间为， 当其中一点到达点时，两点都停止运动． ①若点在上运动时，总有，求出的值； ②若，则当为何值时，； ③若时，，则___________． 【答案】(1)；18(2)①；②；③或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，线段的数量关系，解题关键在于理解新定义，根据新定义列出方程即可．（1）根据新定义，列出式子即可．（2）①设，，表示出，列式子求解． ②根据定义，，表示出，即可求解．③分两种情况进行讨论，一个是当在的左侧时，一个当在的右侧时，根据新定义列出式子，进行求解． 【详解】（1）解：若，，则， 若，，则， ∵，∴． ∵∴．故答案为：；18； （2）①，．∵，∴． ∴．∴； ②∵，，∴，则． ∴，， ∵，∴，故； ③∵．∴，．分两种情况： 当在的左侧时， ∵，∴．∴． 可知，，则； 当在的右侧时， ．， 则；综上所述，或；故答案为：或． 例3．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）如图1，数轴上A，B两点表示的数分别是和3，将这两点在数轴上以相同的速度同时相向运动，若A，B分别到达M，N两点（我们用表示以点A、点B为端点的线段的长，、表示的含义以此类推），且满足（k为正整数），我们称两点完成了一次“准相向运动”．如图2若它们按照原来的速度和方向继续运动，分别到达，两点，且满足（k为正整数）我们称两点完成了二次“准相向运动”…． (1)若A，B两点完成了一次“准相向运动”．①当时，M，N两点表示的数分别为 、 ； ②当k为任意正整数时，求M，N两点表示的数；(2)如图2所示，若A，B两点完成了两次“准相向运动”，并分别到达，两点，若k不变，求，两点所表示的数（用含k的式子表示）； (3)若A，B两点完成了n次“准相向运动”，并分别到达两点，当时是否存在点，使其表示的数为65？如果存在，求完成的次数n和此时点所表示的数；如果不存在，说明理由． 【答案】(1)①5，；②M点为，N点为 (2)为，为(3)存在，n为5，为 【分析】（1）①由题意可得，从而得到，再由，可得，即可求解；②根据，可得，即可． （2）由（1）中②可得两点的值，再进行一次“准相向运动”计算，根据点和也关于中点1对称，且k值不变即可求解．（3）根据题意可得，根据，可得点，到的中点的距离相等，从而表达出对应和的值，从特殊取值过程中，研究n和点以及点的关系，总结出一般规律进行解题． 【详解】（1）解：①∵A点和B点的速度相同，时间也相同，那么运动路程也相同， ∴．∴．∴． ∵数轴上A，B两点表示的数分别是和3，∴， 又∵，， ∴M点为5，N点为，故答案为：5，． ②∵A点和B点的速度相同，时间也相同，那么运动路程也相同， ∴．∴．∴． ∵数轴上A，B两点表示的数分别是和3， ∴，且中点所对应的数为1， 又∵，∴中点所对应的数也为1， ∵，， ∴M点为，即，N点为，即； （2）解：由（1）中②可得M点为，N点为，点和也关于中点1对称， ∴．∴， ∴．∴为，为． （3）解：存在，理由：∵，A，B两点完成了n次“准相向运动”， ∴， ∵数轴上A，B两点表示的数分别是和3，∴的中点所表示的数为1， ∵A点和B点的速度相同，时间也相同，那么运动路程也相同， ∴．∴．∴，∴点，到的中点的距离相等， 当n为1时，根据（1）得：此时点为5，为， 当n为2时，为，为， 当n为3时，为，为， 当n为4时，为，为， 以此类推发现n为奇数时，为正数，而正数的规律是， 令，∴， ∴，∴． ． 当表示的数为65时，，解得：． 又∵和关于1对称，∴为． 答：存在次数n使得为65，此时n为5，为． 【点睛】本题考查列代数式的表达能力，数轴上表示数，利用数轴上线段中点解决相关问题，乘方，数的规律总结能力以及数轴相关知识运用，难度偏大，利用数形相结合是解题的关键． 1．（23-24七年级上·山东临沂·期末）如图，已知（在的左侧）是数轴上的两点，点对应的数，且，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点的运动过程中，始终为的中点，设运动时间为（）秒，则下列结论中正确结论的个数是（    ） ①对应的数是；②点到达点时，；③时，； ④在点的运动过程中，线段的长度会发生变化． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数轴，根据两点间距离进行计算即可判断；利用路程除以速度即可判断；分两种情况，点在点的右边，点在点的左边，由题意求出的长，再利用路程除以速度即可判断；分两种情况，点在点的右边，点在点的左边，利用线段的中点性质进行计算即可判断；根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键． 【详解】解：∵已知(在的左侧)是数轴上的两点，点对应的数为，且， ∴对应的数为，故正确；∵，∴点到达点时，，故是正确的； 当点在点右边时，∵，∴，∴； 当点在点左边时，∵，∴，∴， ∴时，或，故错误； 在点的运动过程中，当点在点右边时，； 在点的运动过程中，当点在点左边时，； ∴在点的运动过程中，线段的长度不会发生变化，故错误；∴正确结论有，故选：． 2．（23-24七年级上·江苏无锡·期末）如图，线段，动点P从A出发，以的速度沿运动，M为的中点，N为的中点．以下说法正确的是（  ） ①运动后，；②的值随着运动时间的改变而改变；③的值不变； ④当时，运动时间为．    A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④ 【答案】D 【分析】本题考查两点间的距离，动点问题，线段的和差问题，根据题意，分别用代数式表示出的长，根据线段之间和差倍关系逐一判断即可． 【详解】解：运动后，，， M为的中点，，，故①错误； 设运动t秒，则，， M为的中点，N为的中点，， ，的值随着运动时间的改变而改变，故②正确； ，，， 的值不变，故③正确；，， ，解得：，故④正确；故选：D 3．（23-24七年级上·河南郑州·期末）在数轴上，O为原点，点A对应的数为3，点B在点A的左侧，且．动点M从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴正方向运动，动点N从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴正方向运动．设运动时间为t秒，当点O，M，N中，其中一点正好位于另外两点所确定线段的中点时，t的值为 ． 【答案】或33 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及数轴，由点，之间的关系，可得出点对应的数为，当运动时间为秒时，动点对应的数为，动点对应的数为，分点是线段的中点及点是线段的中点两种情况考虑（由点在点，的右边，可得出只有这两种情况），根据中点到另外两点的距离相等，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【详解】解：∵点对应的数为3，点在点的左侧，且，∴点对应的数为． 当运动时间为秒时，动点对应的数为，动点N对应的数为． 当点是线段的中点，即时，，解得：； 当点是线段的中点，即时，，解得：． 综上所述，的值为或33．故答案为：或33． 4．（23-24七年级上·广东·课后作业）如图，数轴上有两点，点C从原点O出发，以每秒的速度在线段上运动，点D从点B出发，以每秒的速度在线段上运动．在运动过程中满足，若点M为直线上一点，且，则的值为 ． 【答案】1或 【分析】设运动的时间为t秒，点A表示的数为a，点b表示的数为b，点M表示的数为m，则，然后表示出，再由得到，再讨论点M在数轴上的位置，结合已知条件进行求解即可． 【详解】解；设运动的时间为t秒，点A表示的数为a，点b表示的数为b，点M表示的数为m，则，∴点C在数轴上表示的数为，点D在数轴上表示的数为，∴，∵，∴，即：， ①若点M在点B的右侧时，如图1所示： 由得，，即：；∴， ②若点M在线段上时，如图2所示： 由得， ，即：；∴； ③若点M在线段上时，如图3所示： 由得，，即：， ∵此时，∴此种情况不符合题意舍去； ④若点M在点A的左侧时，如图4所示： 由得，，即：；而，因此，不符合题意舍去，综上所述，的值为1或，故答案为：1或． 【点睛】本题主要考查了数轴表示数的意义，整式的加减计算，掌握数轴上两点之间距离的计算方法是正确解答的关键，分类讨论和整体代入在解题中起到至关重要的作用． 5．（2023秋·河北邢台·七年级统考期末）已知长方形中，，，动点从点出发沿以每秒2个单位的速度运动；同时，点也从点出发以每秒3个单位的速度沿运动，当其中一个点到达终点时另一个点也随之停止运动． 设运动时间为秒．    （1）当点到达终点时，点在边 ；（2）当点在边上运动时，用表示的式子为 ； （3）点、相遇时， 秒． 【答案】 7.2 【分析】（1）由题意知，点从，运动时间为秒，点从，运动时间为秒，由，可知当点到达终点时，点运动路程为，由，可判断点的位置； （2）由题意知，；（3）由题意知，，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，点从，运动时间为秒， 点从，运动时间为秒， ∵，∴当点到达终点时，点运动路程为， ∵，∴点在边上，故答案为：； （2）解：由题意知，，故答案为：； （3）解：由题意知，，解得，，故答案为：7.2． 【点睛】本题考查动点，列代数式，一元一次方程的应用．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 6．（23-24七年级上·浙江绍兴·期中）电子跳蚤游戏盘(如图)为三角形，如果电子跳蚤开始时在边的点，，第一步跳蚤从跳到边上点，且；第二步跳蚤从跳到边上点，且；第三步跳蚤从跳回到边上点，且；…跳蚤按上述规则跳下去，第n次落点为，则与C之间的距离为 ． 【答案】5 【分析】本题首先根据题意，分别计算电子跳骚的位置和三角形的顶点的距离，找到循环的规律：经过6次跳，电子跳蚤回到起跳点．根据这一规律确定第2022次落点的位置，可得答案． 【详解】解：∵，∴，∴，∵，∴， ∵，∴，∴，∴， ∴，∴，∴， 此时与重合，即经过6次跳，电子跳蚤回到起跳点． ∵，即与重合，∴与C之间的距离为．故答案为：5 【点睛】本题考查了规律型：此题主要是能够根据题意利用线段的和差计算出有关线段的长，发现电子跳蚤的落点的循环规律，掌握由特殊到一般推导规律是解题的关键． 7．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）已知有理数，满足：．如图，在数轴上，点是原点，点所对应的数是，线段在直线上运动（点在点的左侧）， (1)________，________；(2)①当点与点重合时，________； ②当点与点重合时，若点是线段延长线上的点，探索、、之间的数量关系； (3)在线段运动过程中，若为线段的中点，为线段的中点，则线段的长度是定值吗？若是，请求出这个定值，若不是，请说明理由． 【答案】(1)6，3；(2)①3；②；(3)线段的长度是定值， ． 【分析】此题主要考查非负数的性质，数轴上两点间的距离，线段的中点，理解非负数的性质，线段中点的定义，熟练掌握数轴上两点间的距离，线段的计算是解决问题的关键． （1）根据非负数的性质得，据此可得a，b的值； （2）①依题意得点A所对应的数是6，，得点C所对应的数为3，可求；②当点与点重合时，点B所对应的数为3，设在数轴上点P所对应的数为，得，进而可得；（3）由(2)可知点A所对应的数是6，，设点B所对应的数为t，则点C所对应的数为，再根据点为线段的中点，为线段的中点，得点所对应的数为，点N所对应的数为∶ ，据此可的长． 【详解】（1）解：， ， ， ， 故答案为：6，3； （2）解：①，点所对应的数是， ，点所对应的数是6， 点在点的左侧， 点C所对应的数为3， ， 故答案为：3； ②当点与点重合时， ， 点B所对应的数为3， 点是线段延长线上的点， 设在数轴上点P所对应的数为， ， ，即， 、、之间的数量关系满足； （3）解：线段的长度是定值，； 理由如下：由(2)可知∶点A所对应的数为6， 设在数轴上点B所对应的数为t， 点B在点C的左侧，， 点C所对应的数为， 为线段的中点，为线段的中点， 点所对应的数为，点N所对应的数为∶ ， 8．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）如图，点、、、在数轴上，点表示的数是，点表示的数是，，． (1)线段______．(2)若点以每秒个单位长度的速度向右匀速运动，同时点以每秒个单位长度的速度向左匀速运动，运动秒后，，求的值．(3)若线段以每秒个单位长度的速度向左匀速运动，同时线段以每秒个单位长度的速度向左匀速运动，是中点，为中点，运动秒后，求线段的长度． 【答案】(1)(2)或(3) 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，数轴上两点间的距离，线段的中点； （1）根据点和点所对应的点及线段长可得结论； （2）根据点和点的运动，可表示出点和点所对应的点，建立方程即可； （3）当运动时间为秒时，点在数轴上表示的数为，点在数轴上表示的数为，点在数轴上表示的数为点在数轴上表示的数为由中点的定义可得出点和点所对应的数，进而可得出结论． 【详解】（1）解：点，表示的数分别是和，线段，． 点所对应的数为，点所对应的数为， ． 故答案为：； （2）当运动时间为秒时，点在数轴上表示的数为，点在数轴上表示的数为 ， ， 解得或， 所以的值为或； （3）当运动时间为秒时，点在数轴上表示的数为， 点在数轴上表示的数为， 点在数轴上表示的数为 点在数轴上表示的数为 因为， 所以点一直在点的右侧， 因为为的中点，为的中点， 所以点，在数轴上表示的数分别为和， 所以． 9．（23-24七年级上·江苏苏州·期末）如图，射线上有三点A、B、C，满足，，，点P从点O出发，沿方向以的速度匀速运动，点Q从点C出发在线段上向点O匀速运动，两点同时出发，当点Q运动到点O时，点P、Q停止运动． (1)若点Q运动速度为，经过多长时间P、Q两点相遇？ (2)当P在线段上且时，点Q运动到的位置恰好是线段的三等分点，求点Q的运动速度； (3)当点P运动到线段上时，分别取和的中点E、F，求的值． 【答案】(1)(2)或(3)2 【分析】本题考查两点间距离、路程、速度、时间之间的关系等知识，解题的关键是理解题意，找到等量关系式建立方程，（1）设经过t秒时间P、Q两点相遇，列出方程即可解决问题； （2）分两种情形求解即可；（3）用t表示、的长，代入化简即可解决问题； 【详解】（1），，， 设经过时两点相遇， 根据题意，得， 解得， 所以经过后两点相遇； （2），， ，， 点P，Q的运动时间为 ，， 或40 Q的运动速度为或 （3）设运动时间为ts， ，， ， ∵、分别是、的中点， ，； ． 10．（2024·江苏·七年级期末）【探索新知】如图1，点在线段上，图中共有3条线段：、和，若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称点是线段的“二倍点”. （1）①一条线段的中点 这条线段的“二倍点”；（填“是”或“不是”） ②若线段，是线段的“二倍点”，则 （写出所有结果） 【深入研究】如图2，若线段，点从点的位置开始，以每秒2的速度向点运动，当点到达点时停止运动，运动的时间为秒.（2）问为何值时，点是线段的“二倍点”； （3）同时点从点的位置开始，以每秒1的速度向点运动，并与点同时停止.请直接写出点是线段的“二倍点”时的值. 【答案】（1）①是；②10或或；（2）5或或；（3）8或或 【分析】（1）①可直接根据“二倍点”的定义进行判断； ②可分为三种情况进行讨论，分别求出BC的长度即可； （2）用含t的代数式分别表示出线段AM、BM、AB，然后根据“二倍点”的意义，分类讨论得结果； （3）用含t的代数式分别表示出线段AN、NM、AM，然后根据“二倍点”的意义，分类讨论． 【详解】解：（1）①因为线段的中点把该线段分成相等的两部分， 该线段等于2倍的中点一侧的线段长．∴一条线段的中点是这条线段的“二倍点”故答案为：是. ②∵，是线段的“二倍点”， 当时，； 当时，； 当时，；故答案为：10或或； （2）当AM=2BM时，20-2t=2×2t，解得：t=； 当AB=2AM时，20=2×（20-2t），解得：t=5； 当BM=2AM时，2t=2×（20-2t），解得：t=； 答：t为或5或时，点M是线段AB的“二倍点”； （3）当AN=2MN时，t=2[t-（20-2t）]，解得：t=8； 当AM=2NM时，20-2t=2[t-（20-2t）]，解得：t=； 当MN=2AM时，t-（20-2t）=2（20-2t），解得：t=； 答：t为或8或时，点M是线段AN的“二倍点”． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解法、线段的和差等知识点，题目需根据“二倍点”的定义分类讨论，理解“二倍点”是解决本题的关键． 11．（2023·江苏七年级期中）（理解新知）如图①，点M在线段AB上，图中共有三条线段AB、AM和BM，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点M是线段AB的“奇妙点”， （1）线段的中点 这条线段的“奇妙点”（填“是”或“不是”） （2）（初步应用）如图②，若，点N是线段CD的“奇妙点”，则 ； （3）（解决问题）如图③，已知，动点P从点A出发，以速度沿AB向点B匀速移动，点从点B出发，以的速度沿BA向点A匀速移动，点P、同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止．设移动的时间为 t，请求出 为何值时，A、P、三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的“奇妙点”． 【答案】（1）是；（2）8或12或16；（3）当点P为AQ的“奇妙点”时，或4或；当点Q为AP的“奇妙点”时，或6或． 【分析】（1）根据线段的中点平分线段长的性质，以及题目中所给的“奇妙点”的定义，进行判断即可． （2）由“奇妙点”定义，此题分为三种情况，情况1：，即N为CD的中点；情况2：，即N为靠近C点的三等分点；情况3：，即N为靠近D点的三等分点，根据以上三种情况，分别求出CN的长度． （3）由题意可知，A不可能是“奇妙点”，故此题分两大类情况，情况1：当P、Q未相遇之前，P是 “奇妙点”时，根据第（2）题的思路，又可以分为3种情况，根据每种情况，利用线段长度关系列方程，分别求出对应时间；情况2：当P、Q相遇之后，Q是“奇妙点”时，同样根据第（2）题的思路，又分成3种情况讨论，利用线段长度关系列方程，求出每种情况对应的时间． 【详解】（1）由线段中点的性质可知：被中点平分的两条线段长度是线段总长的一半， 根据“奇妙点”定义可知：线段的中点是“奇妙点”． 故答案是：是； （2）是线段CD的“奇妙点” 根据定义，此题共分为三种情况． 当，即N为CD的中点时，有CN=12cm． 当，即N为靠近C点的三等分点时，有CN=8cm． 当，即N为靠近D点的三等分点时，有CN=16cm． 故答案为：8或12或16． （3）解：由题意可知，A点不可能是“奇妙点”，故P或Q点是“奇妙点”． t秒后，，． 当P点是“奇妙点”时，． 由“奇妙点”定义可分三种情况． 当时，有 解得 当时，有 解得 当时，有 解得 当Q点是“奇妙点”时，． 当时，有 解得 当时，有 解得 当时，有 解得 综上所述：当点P为AQ的“奇妙点”时，或4或； 当点Q为AP的“奇妙点”时，或6或． 【点睛】本题属于新定义题，主要是考察了线段中点、线段长度、列方程等知识点，本题讨论情况较多，从侧面考察了数学中比较重要的分类讨论思想，根据题意，能够正确地进行分类讨论，把每一种情况列举完全，是解决该题的关键． 12．（2024·江苏·七年级校考阶段练习）【概念与发现】当点C在线段AB上，时，我们称n为点C在线段AB上的“点值”，记作． 例如，点C是AB的中点时，即，则；反之，当时，则有． 因此，我们可以这样理解：“”与“”具有相同的含义． 【理解与应用】(1)如图，点C在线段AB上．若，，则________； 若，则________AB． 【拓展与延伸】(2)已知线段，点P以1cm/s的速度从点A出发，向点B运动．同时，点Q以3cm/s的速度从点B出发，先向点A方向运动，到达点A后立即按原速向点B方向返回．当P，Q其中一点先到达终点时，两点均停止运动．设运动时间为t（单位：s）．①小王同学发现，当点Q从点B向点A方向运动时，的值是个定值，则m的值等于________；②t为何值时，． 【答案】(1)，(2)①3；②2或6 【分析】（1）根据“点值”的定义即可得出答案； （2）①设运动时间为t，再根据的值是个定值即可得出m的值； ②分点Q从点B向点A方向运动时和点Q从点A向点B方向运动时两种情况加以分析即可 【详解】（1）解：∵，，∴∴，∵，∴ （2）解：①设运动时间为t，则AP=t，AQ=10-3t，则， ∵的值是个定值，∴的值是个定值，∴m=3 ②当点Q从点B向点A方向运动时，∵∴∴t=2 当点Q从点A向点B方向运动时，∵∴∴t=6∴t的值为2或6 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，理解新定义，并能运用是本题的关键． 13．（2023·江苏·七年级校考期末）如图，线段厘米，点D和点C在线段AB上，且，．点P从点A出发以4厘米/秒的速度沿射线AD向点C运动，点P到达点C所在位置后立即按照原路原速返回，到达点D所在位置后停止运动，点Q从点B出发以1厘米/秒的速度沿着射线BC的方向运动，点Q到达点D所在的位置后停止运动．点P和点Q同时出发，点Q运动的时间为t秒． （1）求线段AD的长度；（2）当点C恰好为PQ的中点时，求t的值；（3）当厘米时，求t的值． 【答案】（1）；（2）或；（3）、、8， 【分析】（1）先求出AC，再求出DC，根据AD=AC-DC即可； （2）表示出CP、CQ的长度，再根据CP=CQ列方程即可，需要注意P到C之前和之后两种情况讨论； （3）表示出BP、BQ的长度，再根据列方程即可，需要注意P到C之前和之后以及P到D之前之后的多种情况讨论； 【详解】（1）∵，∴ ∵∴ ∴ （2）∵点Q从点B出发以1厘米/秒的速度沿着射线BC的方向运动，∴， P到达C之前时 ∵点C恰好为PQ的中点∴此时P在C左边，Q在C右边，且CP=CQ ∴解得 P到达C之后时 ∵点C恰好为PQ的中点∴此时P在C左边，Q在C右边，且CP=CQ ∴解得 故当点C恰好为PQ的中点时或 （3）当P、Q到达C之前时， ， ∴解得 当P到达C之后、Q到达C之前时， ， ∴ 解得 当P到达D点时此时，，， 当P到达D点以后、Q到达D之前，，解得 综上当厘米时，、、8， 【点睛】此题考查线段和差计算、列一元一次方程解应用题等知识与方法，解题的关键是弄清点在运动时的出发点、方向、速度以及两个动点的运动属于相遇问题还是追及问题等． 14．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）如图，点A、点B在数轴上分别表示数a、b，则A、B两点之间的距离表示为． 【探索新知】如图1，点C将线段分成和两部分，若，则称点C是线段的圆周率点，线段称作互为圆周率伴侣线段 (1)若，则______； (2)若点D也是图1中线段的圆周率点（不同于C点），则______（填“<”、“”、“>”） 【深入研究】如图2，现有一个直径为1个单位长度的圆片，将圆片上的某点与数轴上表示1的点重合，并把圆片沿数轴向右无滑动地滚动1周，该点到达点C的位置 (3)若点M、N均为线段的圆周率点，求线段的长度； (4)在图2中，点P、Q分别从点O、C位置同时出发，分别以每秒3个单位长度、每秒2个单位长度的速度向右匀速运动，运动时间为t秒．当点P在点C左侧时，P、C、Q三点中某一点为其余两点所构成线段的圆周率点，请求出t的值 【答案】(1)(2)(3)(4)或 【分析】（1）根据线段之间的数量关系代入解答即可； （2）根据线段的圆周率点的定义及相关线段的大小比较即可解题； （3）由题意可知，点C表示的数是，设M点离O点近，且，根据题意可得关于x的一元一次方程，求解即可；（4）根据题意分类讨论计算即可：①点P在点C左侧，；②点P在点C左侧，． 【详解】（1）解：由题意得，∴， ∵，∴； （2）解：如图，∵， 当时，，，即点也是图1中线段的圆周率点， 与的数量关系是相等；故答案为：； （3）解：由题意可知，点C表示的数是， ∵点M、N均为线段的圆周率点，不妨设M点离O点近，且， ∴，∴，解得：， ∴，∴； （4）解：由题意可知，点P、C、Q所表示的数分别为：， 当P、C、Q三点中某一点为其余两点所构成线段的圆周率点时， ①如图①，点P在点C左侧， ∵，，∴； 如图②，点P在点C左侧， ∵，∴，∴； 综上所述，t的值为或． 【点睛】本题考查了一元一次方程在新定义类动点问题中的应用，有一定综合性，通过数形结合并分类讨论，是解题的关键． 15．（23-24七年级·福建·期末）如图，已知，点C、D分别为线段、上的动点，若点C从点O出发以的速度沿方向运动，同时点D从点B出发以的速度沿方向运动．    (1)如图1，当运动时间为时，求的值；(2)如图1，若在运动过程中，始终保持，求OA的长；(3)如图2，在（2）的条件下，延长BO到点M，使，点P是直线OB上一点，且，求的值． 【答案】(1)(2)(3)或 【分析】（1）先求出，，根据，求出，，最后求出结果即可； （2）设运动时间为，则，，求出，，根据，得出，求出，再根据求出结果即可； （3）当点P在O、B之间时，根据，得出，，求出，根据求出，根据，得出，求出，最后求出比值即可；当点P在点B右边时，可得，进而可得结果． 【详解】（1）解：当运动时间为时，，， ∵，∴，∴， ∵，∴；    （2）解：设运动时间为，则，，∴，， ∵，∴，∴ ∵，∴，∴． （3）解：∵，∴，，， ∵，∴点P在点O右边， 当点P在O、B之间时，∴， ∵，∴，∴，∴．    当点P在点B右边时，∵，， ∴，∴；综上，或． 【点睛】本题主要考查了线段的和差运算，解题的关键是数形结合，根据线段之间的数量关系求出结果． 16．（23-24七年级上·湖南长沙·阶段练习）材料阅读：对线段而言，当点在线段上，且点是的中点时，有，反过来，当有时，则点为线段的中点． (1)如图1，点在线段上，若，则______；若，则______； (2)如图2，已知线段，点分别从点和点同时出发，相向而行，点的运动速度为，点的运动速度为，若它们相遇则点同时停止运动．线段的中点为点，线段的中点为点，运动时，求两中点之间的距离； (3)已知线段，点分别从点和点同时出发，相向而行，若点的运动速度分别为和，点到达点后立即以原速返回，点到达点时，点同时停止运动，设运动时间为s，则当为何值时，等式成立？ 【答案】(1)，(2)之间的距离(3)或时，等式成立 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，线段中点等知识．运动过程中用含的式子表达线段的长度是解决本题的关键．（1）用含式子表示，即可求解； （2）由题意先求和，根据中点定义求出和，即可求得的距离； （3）分两种情况：当点到达点之前时，当点到达点返回时，分别表示、，代入题中等式，即可求出时间． 【详解】（1）解：，， 又，，． （2）如图， 点的运动速度为，点的运动速度为，运动时间为， ，， 又、是线段、的中点，，， ． （3）当点到达点之前时，即时， 由题意得，，，， 又，，解得：； 当点到达点返回时，即时， 由题意得，，， 又，，解得：， 综上所述，当或时，等式成立． 17．（23-24七年级上·湖南永州·期末）如图，数轴上点M表示的数为m，点N表示的数为n，且．      (1)______，______；(2)P为数轴上的动点，设Q为的中点，点P从点M向左运动时，请探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)， (2)当点P在线段上时，；当点P在点N左侧，点Q在线段上时，；当点P、点Q均在点N左侧时，，理由见详解 【分析】本题考查了绝对值的非负性，线段的中点、和差的计算， （1）根据几个非负性项之和为0，则每一个非负性均为0，据此即可求解； （2）分当点P在线段上时；当点P在点N左侧，点Q在线段上时；当点P、点Q均在点N左侧时，三种情况讨论，画出图形，根据线段的中点、和差即可计算求解． 【详解】（1）∵，又∵，， ∴，，∴，，故答案为：，； （2）当点P在线段上时，；当点P在点N左侧，点Q在线段上时，；当点P、点Q均在点N左侧时，，理由如下：设点P表示的数为x， ∵，，∴， 当点P在线段上时，如图，    ∵点P表示的数为x，点N表示的数为，点M表示的数为， ∴，，∴， ∵Q为的中点，∴， ∴， ∴，∴； 当点P在点N左侧，点Q在线段上时，即，如图，    ∴，，∴， ∵Q为的中点，∴，且， ∴，则：，∴， ∴，∴， ∵，∴，∴； 当点P、点Q均在点N左侧时，如图，    ∴，，∴， ∵Q为的中点，∴，且，∴， ∴，∴， ∴， 综上所述：当点P在线段上时，；当点P在点N左侧，点Q在线段上时，；当点P、点Q均在点N左侧时，． 18．（23-24七年级上·陕西宝鸡·期末）如图，数轴的原点为O，点A、点B表示的有理数分别为a，b，，且，请根据题意回答下列问题： (1)______，______．(2)若点A以每秒1个单位长度的速度往左运动，同时，点O和点B分别以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t， ①用含t的式子表示t秒后线段，的长度（点O不再是原点）； ②在运动过程中，的值是否变化？如果变化，请说明理由，如果不变，请求出这个定值． 【答案】(1)；5 (2)①，；②的值不发生变化，为定值5，理由见解析 【分析】本题主要考查了线段的和差计算，数轴上两点的距离计算，整式的加减计算： （1）求出即可得到答案； （2）①由题意得，点A表示的数为，点B表示的数为，点O表示的数为，再根据数轴上两点距离计算公式求解即可；②根据（2）①所求求出的结果即可得到结论． 【详解】（1）解：∵，，∴， ∴，故答案为：；5； （2）解：①由题意得，点A表示的数为，点B表示的数为，点O表示的数为， ∴，； ②的值不发生变化，为定值5，理由如下： ， ∴的值不发生变化，为定值5． 19．（23-24七年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图1，已知线段，点、、在线段上，且． (1)__________，__________； (2)已知动点从点出发，以的速度沿向点运动；同时动点从点出发，以的速度沿向点运动，当点到达点后立即以原速返回，直到点到达点，运动停止；设运动的时间为．①求为何值，线段的长为；②如图2，现将线段折成一个长方形（点、重合），请问：是否存在某一时刻，以点、、、为顶点的四边形面积与以点、、、为顶点的四边形面积相等，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)16，8(2)①或或；②存在， 【分析】本题主要考查了与线段有关的动点问题， 线段等分点的相关计算，列一元一次方程解决实际问题等知识，解决问题的关键是弄清运动的过程和画出图形． （1）根据比值列方程或直接列乘积式求得结果； （2）①分为相遇前，相遇后以及M点返回三种情形，通过线段图列方程求得；②分为相遇前（点M在上，N在上），此时即可列出方程求得，当M点返回时，点M在上，点N在上，此时，列出方程求得， 【详解】（1）解：，，故答案是：16，8； （2）①当M、N第一次相遇时，，当M到达E点时，， 如图1， 当时，，∴， 如图2， 当时，，∴， 如图3， 当时，，∴， 综上所述：或或； ②如图4， 当时，由得，，∴， 如图5， 当时，，∴，此时不构成四边形，舍去 综上所述：． 20.（23-24七年级上·江苏泰州·期中）如图1，已知数轴上从左向右依次有四点、、、，其中，点对应的数是． (1)若，则点对应的数是______； (2)如图2，在（1）的条件下，若一小球甲在数轴上从点处以单位/秒的速度向右运动，同时另一小球乙从点处以单位/秒的速度向左运动，当甲乙两小球开始运动时，立即在点和点处各放一块挡板，其中，当球在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为秒，问：为何值时，甲、乙两小球之间的距离为个单位． (3)在（2）的条件下，将线段、分别绕点、点竖直向上折起，连接线段，围成如图3的长方形中，点从点出发，以单位/的速度沿点－－－匀速运动，最终到达点．设点运动时间为秒，问：为何值时，的面积为？ 【答案】(1)(2)或(3)或 【分析】（1）根据，，得到，再利用两点之间的距离公式即可求解； （2）由题意可得甲、乙碰到板子的时间均为，分为碰板前后两种情况讨论，①甲、乙碰到板子前（），得到，解得，符合题意；②甲、乙碰到板子后（），得到，解得，符合题意，由此即可解答；（3）先分别计算出当点运动到点、、时的时间值，再分类讨论当运动到、、上的情况，根据面积公式列方程求出时间即可． 【详解】（1），， ，， 点对应的数是，点对应的数是，故答案为：； （2），，即， 由题意可得甲、乙碰到板子的时间均为，分类讨论，分为碰板前后两种情况， ①甲、乙碰到板子前（），甲距离点：，乙距离点：， 解得：，，符合题意； ②甲、乙碰到板子后（）甲与点的距离为：，乙与点的距离为：， ，解得：，，符合题意， 综上所述，或为时，甲、乙两小球之间的距离为个单位； （3）当点运动到点时，， 当点运动到点时，，当点运动到点时，， ①当点在运动时， ，， 即，解得：，符合题意；        ②当点在运动时，，， 由（2）得，， 即，解得：，符合题意； ③当点在运动时，，， ，即，解得：，不符合题意； 综上所述，为或时，的面积为． 【点睛】本题考查数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，线段的和差关系，三角形的面积，解题的关键是掌握两点之间的距离公式，理解题意找到其中蕴含的等量关系，学会用分类讨论的思想解决问题． 21．（2023秋·江苏徐州·七年级校考期末）点是线段上一点，若（为大于1的正整数），则我们称点是的最强点．例如，，，则，称是的最强点；，则是的最强点． (1)点在线段上，若，，点是的最强点，则______． (2)若，是的最强点，则______．（用的代数式表示） (3)一直线上有两点，，，点从点出发，以每秒的速度向运动，运动到点时停止．点从点出发，以每秒的速度沿射线运动，为多少时，点，，恰好有一个点是其余2个点的最强点．（用的代数式表示） 【答案】(1)(2)(3)或或或或 【分析】（1）根据“最强点”的定义计算即可；（2）根据“最强点”的定义列式即可； （3）将点、的运动分成未相遇，相遇后，点经过点后，和点到达点后四种阶段讨论，并且每个阶段又有可能有2种不同的点的情况． 【详解】（1）解：点是的最强点，， ，，，故答案为：； （2）解：是的最强点，，， 又，，， ，故答案为； （3）解：根据题意，当时、相遇，，解得， 阶段一：点、未相遇时，即时， ①设时点为的最强点，， ，，，解得， 又，即，， 为大于1的正整数，不满足题意，舍去； ②设时，点为的最强点，， ，，，解得， 又，即，， 为大于1的正整数，符合题意； 阶段二：点、相遇后，且点未到达点，即时， ③设时，点为的最强点，， ，，，， 又，即，， 为大于1的正整数，符合题意； ④设时，点为的最强点，， ，，，， 又，即，， ∵n为大于1的正整数，符合题意； 阶段三：点经过点后，且点未到达点，即时， ⑤设时，点为的最强点，， ，，，， 又，即，，符合题意； ⑥设时，点为的最强点，， ，，，， 又，即，，不符合题意，舍去； 阶段四：点到达点后，即时， ，，点不可能为的最强点； ⑦设时，点为的最强点， ，，，， 又，即，，符合题意； 综上所述，当为或或或或时，点，，恰好有一个点是其余2个点的最强点． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，列一元一次方程解应用题，线段上的动点问题，运用分类讨论的思想，正确地列出代数式表示出线段的长是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 线段中的四类动态模型 线段中的动态模型一直都是一大难点和常考点，它经常以压轴题的形式出现。考查样式也是很丰富，和平时所学的内容结合在一起考。本专题就线段中的动态模型（与中点、和差倍分结合的动点问题；定值问题；存在性（探究性）问题；阅读理解（新定义）等）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型1.线段中点、和差倍分关系中的动态模型 1 模型2.线段上动点问题中的定值模型 3 模型3.线段上动点问题中的存在性（探究性）模型 4 模型4.阅读理解型（新定义）模型 6 8 模型1.线段中点、和差倍分关系中的动态模型 1、在与线段长度有关的问题中，常会涉及线段较多且关系较复杂的问题，而且题中的数据无法直接利用，常设未知数列方程。 2、线段的动态模型解题步骤： 1）设入未知量t表示动点运动的距离； 2）利用和差（倍分）关系表示所需的线段； 3）根据题设条件建立方程求解； 4）观察运动位置可能的情况去计算其他结果。 例1．（23-24七年级上·广东·期末）如图1，已知点C在线段AB上，线段AC＝10厘米，BC＝6厘米，点M，N分别是AC，BC的中点．（1）求线段MN的长度．（2）根据第（1）题的计算过程和结果，设AC＝a，BC＝b，其他条件不变，求MN的长度．（3）动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2cm/s的速度沿AB向右运动，终点为B，点Q以1cm/s的速度沿AB向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动．设点P的运动时间为t（s）．当C、P、Q三点中，有一点恰好是以另外两点为端点的线段的中点时，直接写出时间t． 例2．（23-24·江苏·七年级校考期中）如图所示．点A，B，C是数轴上的三个点，且A，B两点表示的数互为相反数，，． (1)点A表示的数是______；(2)若点P从点B出发沿着数轴以每秒2个单位的速度向左运动，则经过______秒时，点C恰好是BP的中点；(3)若点Q从点A出发沿着数轴以每秒1个单位的速度向右运动，线段QB的中点为M，当时，则点Q运动了多少秒？请说明理由． 例3．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，直线上有两点，，点是线段上的一点，．(1)____________；(2)若点是直线上一点，且满足，求的长；(3)若动点分别从同时出发，向右运动，点的速度为，点的速度为．设运动时间为，当点与点重合时，两点停止运动．问当为何值时，． 模型2.线段上动点问题中的定值模型 例1．（23-24七年级上·江苏南通·阶段练习）如图，是线段上一动点，沿的路线以的速度往返运动1次，是线段的中点，，设点的运动时间为． (1)当时，则线段________，线段________；(2)当为何值时，？ (3)点从点出发的同时，点也从点出发，以的速度向点运动，若当运动时间满足时，线段的长度始终是一个定值，求这个定值和的值． 例2．（23-24七年级上·广东·期末）如图，已知直线l上有两条可以左右移动的线段：，且m，n满足，点M，N分别为中点．    (1)求线段的长；(2)线段以每秒4个单位长度向右运动，线段以每秒1个单位长度也向右运动．若运动6秒后，，求此时线段的长；(3)若，将线段固定不动，线段以每秒4个单位速度向右运动，在线段向右运动的某一个时间段t内，始终有为定值．求出这个定值，并直接写出t在哪一个时间段内． 例3．（23-24七年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，在数轴上的A点表示数，B点表示数，满足。(1)点A表示的数为____________，点B表示的数为______________. (2)若在原点处放一挡板，一小球甲从点A 处以2个单位/秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点B处以3个单位/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t（秒）． ①当时，乙小球到原点的距离=______________；当时，乙小球到原点的距离=_______________． ②试探究：甲、乙两小球到原点的距离可能相等吗？若不能，请说明理由；若能，请计算说明． (3)现将小球乙看成动点P，当点P运动到线段上时，分别取和的中点，试判断的值是否为定值，若不是，请说明理由；若是，请求出该定值．    模型3.线段上动点问题中的存在性（探究性）模型 例1．（2023·江苏南通·七年级月考）如图，数轴上点A，C对应的实数分别为和4，线段，，，若线段以3cm/秒的速度向右匀速运动，同时线段以1cm/秒的速度向左匀速运动． (1)问运动多少秒时？(2)线段与线段从开始相遇到完全离开共经过多长时间？ (3)P是线段上一点，当B点运动到线段上时，是否存在关系式．若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由． 例2．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）【阅读材料】若数轴上两点A、B所表示的数分别为a和b（点A在点B的左侧），则有①A、B两点的中点表示的数为；②A、B两点间的距离为． 【解决问题】数轴上两点A、B所表示的数分别为a和b，且满足， （1）直接写出A、B两点的中点C表示的数为______； （2）若数轴上有一点D，且，则点D在数轴上对应的数为______； 【拓展思考】若数轴上两点A、B所表示的数分别为a和b（点A在点B的左侧），点C为线段上一点（点C不与A、B重合），当时，称点C为线段的左三等分点；当时，则称点C为线段的右三等分点． （3）①如图，若点C为线段的左三等分点，则点C表示的数为：______；（用含a、b的代数式表示）， ②在【解决问题】（1）的条件下，点F以每秒1个单位的速度从原点O出发向右运动，同时，点M从点A出发以每秒3个单位的速度向左运动，点N从点B出发，以每秒6个单位的速度向右运动，点P为线段的左三等分，点Q为的中点．设运动时间为t秒，试探究下列结论：随着t的变化，是否存在m，使得的值为定值，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由． 例3．（2023秋·湖南邵阳·七年级统考期末）如图，在直线上，线段，动点从出发，以每秒2个单位长度的速度在直线上运动，为的中点，为的中点，设点的运动时间为秒． (1)若点在线段上运动，当时， ；(2)若点在射线上运动，当时，求点的运动时间的值；(3)当点在线段的反向延长线上运动时，线段、、有怎样的数量关系？请写出你的结论，并说明你的理由． 模型4.阅读理解型（新定义）模型 例1．（23-24七年级上·安徽芜湖·期末）【新知理解】如图①，点C在线段上，图中共有三条线段、和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段AB的“巧点”． （1）线段的中点______这条线段的“巧点”；（填“是”或“不是”）． （2）若，点C是线段的“巧点”，则______； 【解决问题】（3）如图②，已知．动点P从点A出发，以的速度沿AB向点B匀速移动：点Q从点B出发，以的速度沿向点A匀速移动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为ts．当t为何值时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的“巧点”？并说明理由．    例2．（23-24七年级上·江苏泰州·期末）【概念学习】点在线段上，若，则称是点在线段上的“分点值”，记作．例如，如图1，若，则点在线段上的“分点值”是，记作；若，则，故点在线段上的“分点值”是，记作． 【理解与应用】(1)已知点在线段上．若，，则________； 若，，则_________． (2)如图2，线段， 是线段上一点，、两点分别从点、出发以，的速度同时向点运动，运动的时间为， 当其中一点到达点时，两点都停止运动． ①若点在上运动时，总有，求出的值； ②若，则当为何值时，； ③若时，，则___________． 例3．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）如图1，数轴上A，B两点表示的数分别是和3，将这两点在数轴上以相同的速度同时相向运动，若A，B分别到达M，N两点（我们用表示以点A、点B为端点的线段的长，、表示的含义以此类推），且满足（k为正整数），我们称两点完成了一次“准相向运动”．如图2若它们按照原来的速度和方向继续运动，分别到达，两点，且满足（k为正整数）我们称两点完成了二次“准相向运动”…． (1)若A，B两点完成了一次“准相向运动”．①当时，M，N两点表示的数分别为 、 ； ②当k为任意正整数时，求M，N两点表示的数；(2)如图2所示，若A，B两点完成了两次“准相向运动”，并分别到达，两点，若k不变，求，两点所表示的数（用含k的式子表示）； (3)若A，B两点完成了n次“准相向运动”，并分别到达两点，当时是否存在点，使其表示的数为65？如果存在，求完成的次数n和此时点所表示的数；如果不存在，说明理由． 1．（23-24七年级上·山东临沂·期末）如图，已知（在的左侧）是数轴上的两点，点对应的数，且，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点的运动过程中，始终为的中点，设运动时间为（）秒，则下列结论中正确结论的个数是（    ） ①对应的数是；②点到达点时，；③时，； ④在点的运动过程中，线段的长度会发生变化． A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·江苏无锡·期末）如图，线段，动点P从A出发，以的速度沿运动，M为的中点，N为的中点．以下说法正确的是（  ） ①运动后，；②的值随着运动时间的改变而改变；③的值不变； ④当时，运动时间为．    A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④ 3．（23-24七年级上·河南郑州·期末）在数轴上，O为原点，点A对应的数为3，点B在点A的左侧，且．动点M从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴正方向运动，动点N从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴正方向运动．设运动时间为t秒，当点O，M，N中，其中一点正好位于另外两点所确定线段的中点时，t的值为 ． 4．（23-24七年级上·广东·课后作业）如图，数轴上有两点，点C从原点O出发，以每秒的速度在线段上运动，点D从点B出发，以每秒的速度在线段上运动．在运动过程中满足，若点M为直线上一点，且，则的值为 ． 5．（2023秋·河北邢台·七年级统考期末）已知长方形中，，，动点从点出发沿以每秒2个单位的速度运动；同时，点也从点出发以每秒3个单位的速度沿运动，当其中一个点到达终点时另一个点也随之停止运动． 设运动时间为秒．    （1）当点到达终点时，点在边 ；（2）当点在边上运动时，用表示的式子为 ； （3）点、相遇时， 秒． 6．（23-24七年级上·浙江绍兴·期中）电子跳蚤游戏盘(如图)为三角形，如果电子跳蚤开始时在边的点，，第一步跳蚤从跳到边上点，且；第二步跳蚤从跳到边上点，且；第三步跳蚤从跳回到边上点，且；…跳蚤按上述规则跳下去，第n次落点为，则与C之间的距离为 ． 7．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）已知有理数，满足：．如图，在数轴上，点是原点，点所对应的数是，线段在直线上运动（点在点的左侧）， (1)________，________；(2)①当点与点重合时，________； ②当点与点重合时，若点是线段延长线上的点，探索、、之间的数量关系； (3)在线段运动过程中，若为线段的中点，为线段的中点，则线段的长度是定值吗？若是，请求出这个定值，若不是，请说明理由． 8．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）如图，点、、、在数轴上，点表示的数是，点表示的数是，，． (1)线段______．(2)若点以每秒个单位长度的速度向右匀速运动，同时点以每秒个单位长度的速度向左匀速运动，运动秒后，，求的值．(3)若线段以每秒个单位长度的速度向左匀速运动，同时线段以每秒个单位长度的速度向左匀速运动，是中点，为中点，运动秒后，求线段的长度． 9．（23-24七年级上·江苏苏州·期末）如图，射线上有三点A、B、C，满足，，，点P从点O出发，沿方向以的速度匀速运动，点Q从点C出发在线段上向点O匀速运动，两点同时出发，当点Q运动到点O时，点P、Q停止运动． (1)若点Q运动速度为，经过多长时间P、Q两点相遇？ (2)当P在线段上且时，点Q运动到的位置恰好是线段的三等分点，求点Q的运动速度； (3)当点P运动到线段上时，分别取和的中点E、F，求的值． 10．（2024·江苏·七年级期末）【探索新知】如图1，点在线段上，图中共有3条线段：、和，若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称点是线段的“二倍点”. （1）①一条线段的中点 这条线段的“二倍点”；（填“是”或“不是”） ②若线段，是线段的“二倍点”，则 （写出所有结果） 【深入研究】如图2，若线段，点从点的位置开始，以每秒2的速度向点运动，当点到达点时停止运动，运动的时间为秒.（2）问为何值时，点是线段的“二倍点”； （3）同时点从点的位置开始，以每秒1的速度向点运动，并与点同时停止.请直接写出点是线段的“二倍点”时的值. 11．（2023·江苏七年级期中）（理解新知）如图①，点M在线段AB上，图中共有三条线段AB、AM和BM，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点M是线段AB的“奇妙点”， （1）线段的中点 这条线段的“奇妙点”（填“是”或“不是”） （2）（初步应用）如图②，若，点N是线段CD的“奇妙点”，则 ； （3）（解决问题）如图③，已知，动点P从点A出发，以速度沿AB向点B匀速移动，点从点B出发，以的速度沿BA向点A匀速移动，点P、同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止．设移动的时间为 t，请求出 为何值时，A、P、三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的“奇妙点”． 12．（2024·江苏·七年级校考阶段练习）【概念与发现】当点C在线段AB上，时，我们称n为点C在线段AB上的“点值”，记作． 例如，点C是AB的中点时，即，则；反之，当时，则有． 因此，我们可以这样理解：“”与“”具有相同的含义． 【理解与应用】(1)如图，点C在线段AB上．若，，则________； 若，则________AB． 【拓展与延伸】(2)已知线段，点P以1cm/s的速度从点A出发，向点B运动．同时，点Q以3cm/s的速度从点B出发，先向点A方向运动，到达点A后立即按原速向点B方向返回．当P，Q其中一点先到达终点时，两点均停止运动．设运动时间为t（单位：s）．①小王同学发现，当点Q从点B向点A方向运动时，的值是个定值，则m的值等于________；②t为何值时，． 13．（2023·江苏·七年级校考期末）如图，线段厘米，点D和点C在线段AB上，且，．点P从点A出发以4厘米/秒的速度沿射线AD向点C运动，点P到达点C所在位置后立即按照原路原速返回，到达点D所在位置后停止运动，点Q从点B出发以1厘米/秒的速度沿着射线BC的方向运动，点Q到达点D所在的位置后停止运动．点P和点Q同时出发，点Q运动的时间为t秒． （1）求线段AD的长度；（2）当点C恰好为PQ的中点时，求t的值；（3）当厘米时，求t的值． 14．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）如图，点A、点B在数轴上分别表示数a、b，则A、B两点之间的距离表示为． 【探索新知】如图1，点C将线段分成和两部分，若，则称点C是线段的圆周率点，线段称作互为圆周率伴侣线段 (1)若，则______； (2)若点D也是图1中线段的圆周率点（不同于C点），则______（填“<”、“”、“>”） 【深入研究】如图2，现有一个直径为1个单位长度的圆片，将圆片上的某点与数轴上表示1的点重合，并把圆片沿数轴向右无滑动地滚动1周，该点到达点C的位置 (3)若点M、N均为线段的圆周率点，求线段的长度； (4)在图2中，点P、Q分别从点O、C位置同时出发，分别以每秒3个单位长度、每秒2个单位长度的速度向右匀速运动，运动时间为t秒．当点P在点C左侧时，P、C、Q三点中某一点为其余两点所构成线段的圆周率点，请求出t的值 15．（23-24七年级·福建·期末）如图，已知，点C、D分别为线段、上的动点，若点C从点O出发以的速度沿方向运动，同时点D从点B出发以的速度沿方向运动．    (1)如图1，当运动时间为时，求的值；(2)如图1，若在运动过程中，始终保持，求OA的长；(3)如图2，在（2）的条件下，延长BO到点M，使，点P是直线OB上一点，且，求的值． 16．（23-24七年级上·湖南长沙·阶段练习）材料阅读：对线段而言，当点在线段上，且点是的中点时，有，反过来，当有时，则点为线段的中点． (1)如图1，点在线段上，若，则______；若，则______； (2)如图2，已知线段，点分别从点和点同时出发，相向而行，点的运动速度为，点的运动速度为，若它们相遇则点同时停止运动．线段的中点为点，线段的中点为点，运动时，求两中点之间的距离； (3)已知线段，点分别从点和点同时出发，相向而行，若点的运动速度分别为和，点到达点后立即以原速返回，点到达点时，点同时停止运动，设运动时间为s，则当为何值时，等式成立？ 17．（23-24七年级上·湖南永州·期末）如图，数轴上点M表示的数为m，点N表示的数为n，且．      (1)______，______；(2)P为数轴上的动点，设Q为的中点，点P从点M向左运动时，请探究与的数量关系，并说明理由． 18．（23-24七年级上·陕西宝鸡·期末）如图，数轴的原点为O，点A、点B表示的有理数分别为a，b，，且，请根据题意回答下列问题： (1)______，______．(2)若点A以每秒1个单位长度的速度往左运动，同时，点O和点B分别以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t， ①用含t的式子表示t秒后线段，的长度（点O不再是原点）； ②在运动过程中，的值是否变化？如果变化，请说明理由，如果不变，请求出这个定值． 19．（23-24七年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图1，已知线段，点、、在线段上，且． (1)__________，__________； (2)已知动点从点出发，以的速度沿向点运动；同时动点从点出发，以的速度沿向点运动，当点到达点后立即以原速返回，直到点到达点，运动停止；设运动的时间为．①求为何值，线段的长为；②如图2，现将线段折成一个长方形（点、重合），请问：是否存在某一时刻，以点、、、为顶点的四边形面积与以点、、、为顶点的四边形面积相等，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 20.（23-24七年级上·江苏泰州·期中）如图1，已知数轴上从左向右依次有四点、、、，其中，点对应的数是． (1)若，则点对应的数是______； (2)如图2，在（1）的条件下，若一小球甲在数轴上从点处以单位/秒的速度向右运动，同时另一小球乙从点处以单位/秒的速度向左运动，当甲乙两小球开始运动时，立即在点和点处各放一块挡板，其中，当球在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为秒，问：为何值时，甲、乙两小球之间的距离为个单位． (3)在（2）的条件下，将线段、分别绕点、点竖直向上折起，连接线段，围成如图3的长方形中，点从点出发，以单位/的速度沿点－－－匀速运动，最终到达点．设点运动时间为秒，问：为何值时，的面积为？ 21．（2023秋·江苏徐州·七年级校考期末）点是线段上一点，若（为大于1的正整数），则我们称点是的最强点．例如，，，则，称是的最强点；，则是的最强点． (1)点在线段上，若，，点是的最强点，则______． (2)若，是的最强点，则______．（用的代数式表示） (3)一直线上有两点，，，点从点出发，以每秒的速度向运动，运动到点时停止．点从点出发，以每秒的速度沿射线运动，为多少时，点，，恰好有一个点是其余2个点的最强点．（用的代数式表示）。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！16 学科网（北京）股份有限公司 $$