5.2 矩形、菱形和正方形-【指南针·中考1对1】2025年中考数学初中学业水平考试指导

一对一初中学乡水手考运指景·数学·参考答案 中考丽 第五章 四边形 A.3 等 与直角二是 第六章 四 如识理 1.A2D3I4.C. 5.1 边与平行四 一、满 等平线 选画选 6.1 的基本性质 加识理 核心素养 二、造 姓理 112(-2 一、-x--n 阳等 正、直 互会 一半 一年 和 半方十 一半 一.过心心 平分 系直于 平 死平好 一、合 选段 长 强 线强 减等园 重合 心 半立相 平页 第2课时 相似三 trri 三、无数不一直现上四、相等 相等 112C30 梳理 二、正三 正形 一、析客 感比例 相担比 相似比的平方 和似 等 成 三.平行 心对角线的交点平行等 早且数 中考排 三 一 相 直段、互 比例 相等 对应现比例 对应成过铜 等 副等 互早分文高 全等 1.1B 2.B 3D45100 6.C7.A D 91 对词 二.位 中心面 H5 1 2.4停 30 对词 核心素跳 112800 3.u 1.(1AD-}(27 中考基院 4.(il 。 1略 1.A 2B 3.8 4C 5B 6C 7.8 4.4 会¥三形 (加图云,选A0. 中考选 心素游 -H.G分后AD.(D) 1.A 2D 3C 4116A 6.7. 7.1.0 (一).1) 中点. 一、1.童合2.形秋 4.6 部直角三角形 点N是A的心. 读梳线 我2,与图有美的位里 二. 相等 相 框等 号 轩调题 ACV-:H. 1.01-1 告题:题封 三.存 富 概心 点 页 半校 -一y二一两 ,. -七-*十-} 文CHA的 中考播 喝.切 相等 平分 三.上. 角2.度(比)大 _s-。. 五.外接 以心 最直平分改 各现 内拟面 内心角 1.B 2.C3.D4(1)路 (A数 针调选 线 各1p2+- 心苦 1C2.0 文AC是行改A这和行AD的对铅误 (1存 鼎。 3.道F的度为阳十飞来. nmo.-5-mayns. 1.(1 (200的为2.1 1上也0子。 中考 BC上点0图出A 1.C 26 3.5 4路 10% 中考 1.A 2B 3.B 44 5.2 6110-. 路”点” 文-A8为1. 7.土的高度均为2. 2.Ara的1.. -△r'D. 5D410 7.C837 9.7 考 1D与点A的为300来. (1ODi乙OD-乙EUD,可得AD/CA 心游 A-D-70-0- (2)道AB的度为150+)来 --107. 1.C 2.D 313 4D 5C 4151.5 .的安(Dm,列地面的距高(的4 8((-AB:B+·- (000%1 0-1.BH-丁-. 心素养 9.(1② 明()段A长为6 梳理 6.3 与用有号的过其 定理,(1-(7一-一,得-。 挑心 10-iCH-. 做专题4 全等三角形的常考模型 三.形 母线 径r十r高2r^ 1.11: HAyC 类型1 析题 5.2形,差形和正方 :16+ 3图题可达△0下日. 1.D3路 3(1二项路 知识埋 20H0GO-D 4(1i证(2- 1: 2.B3.C 0-0 类型2排型 一、平行四边瑟 平行 相等 左众 相等 中心一直角 平中考键接 也形 三 国 相等 平行四野 H. 1n203n4.4.541. 1.71- 5n67路 88 二、平四出赴 等 粗等 互赴 直平分 平分达 平行四边 四 因边形 直 平达形 H00G% 1.1}-s0 类型3 一线三等角型 .-0 三、相等 直 平行等 直相 直平分平分 中心边 如照 角 形 相 平行四边形 电3也 0-0H0-000-0F 心 计 1( 敬专题5 相似三角形的常考损型 1171.A$C 专题6 求期影面积的常用方洁 类望1 “A“字数 4.5 图形构相似 中考楼 1.A1C3D 类型1 直接这用公元 1.C213/10 31成1+ 第1课时 成北例线段和相似道形 类型?“8”字 1:C3 4幅 5.C6A 71 485.C617 类型?和差赴 83.7 9 1D11.D11A1.C 一--r比r全 类型3,子母型 4D5C4x0 核心养 二、比 减比 7C3D9略 卷型3 等起变境 三、稻比 相比的 类型4 型 计对 3.D8AC 1.Cn.路( 1230 n.证明略11.(1)路(20一号第五章四边形 5.2矩形、菱形和正方形 续表 知 识 梳 (1)有一组 相等的 是正方形： (2)有一个角是 的 是正方形： 判定 一、矩形 (3)对角线互相垂直且 的 是正方形。 定义 有一个角是直角的 叫做矩形. (1)对边 且 ★点拨 平行四边形、矩形、菱形、正方形之 (2)四个角都是 间的关系。 性质 (3)对角线 且互相平分： 个角是直角 一组邻边相等 (4)既是轴对称图形，又是 对称图形. 矩形 (1)有一个角是 的 是矩形： 平行四边形 正方形 判定 (2)有 个角是直角的 是矩形： ·组邻边相等 一个角是直角 菱形 (3)对角线 的 是矩形. 二、菱形 典例精 析 定义 有一组邻边相等的 是菱形 (1)对边平行且四条边都 知识点1矩形的性质与判定 (2)对角 且邻角 ⊙例T如图，在□ABCD中，对角线AC, 性质 (3)对角线互相 ,且每条对角线 BD相交于点O,且OA=OB, 组对角； (4)既是轴对称图形，又是中心对称图形. (1)有一组 相等的 是 菱形； 判定 (2) 条边都相等的 是菱形： (1)求证：四边形ABCD是矩形； (3)对角线互相 的 是 (2)若AD=4,∠AOD=60°，求AB的长 菱形 【解答】(1)证明：在□ABCD中，OA-OC- 面积 S=底×高=两对角线乘积的一半. AC.OB-OD-BD, 三、正方形 又OA=OB, ∴.AC=BD, 有一组邻边 ,并且有一个角是 定义 的平行四边形是正方形. ,平行四边形ABCD是矩形； (2),四边形ABCD是矩形， (1)对边 且四条边都 .∠BAD=90°，OA=OD. (2)四个角都是 又∠AOD=60°， (3)对角线 且互相 ,且每 ,△AOD是等边三角形， 性质 条对角线 一组对角； ∴.OD=AD=4, (4)既是 对称图形，又是 对称 .BD=2OD=8, 图形. 在R△ABD中，AB=√BD-AD=√/48=45. ·99· 一对一初中学业水平考试指导·数学 针对孤练 针对孤练 1.(2023·雅安)如图，在△ABC中，∠C= 2.(2023·德阳)如图，□ABCD的面积为 90°，AC=BC=6,P为边AB上一动点， 12,AC=BD=6,AC与BD交于点O,分 作PD⊥BC于点D,PE⊥AC于点E,则 别过点C,D作BD,AC的平行线相交于 DE的最小值为 点F,点G是CD的中点，点P是四边形 OCFD边上的动点，则PG的最小值是 D 知识点2菱形的性质与判定 A.1 ©例2如图，已知点E,F分别是□ABCD B.C. 2 D.3 的边BC,AD上的中点，且∠BAC-90° (1)求证：四边形AECF是菱形； 知识点3正方形的性质与判定 (2)若∠B=30°，BC=10,求菱形AECF ②例3如图，在等腰直角三角形ABC 面积. 中，∠ACB=90°，AC=BC=4,点D是AB的中 【解答】(1)证明： 点，点E,F分别是AC,BC上的点（点E不与端 :四边形ABCD是平 点A,C重合)，且AE=CF,连接EF并取EF的 行四边形， 中点O,连接DO并延长至点G,使GO=OD,连 ..AD=BC. 接DE,DF,GE,GF 在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点E是BC边的中点， ∴AE=BC=CE,同理，CF=2AD=AR, ∴.AE=CE=AF=CF, 四边形AECF是菱形； (2)连接EF交AC于点O.如图所示， (1)求证：四边形EDFG是正方形； 在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=30°，BC=10, (2)当点E在什么位置时，四边形EDFG的 AC-BC-5,AB-/3AC-5/3, 面积最小？并求四边形EDFG面积的最小值. 【解答】(1)证明：连接CD,如图1所示. ,四边形AECF是菱形， :△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，点D .AC⊥EF,OA=OC, 是AB的中点， .OE是△ABC的中位线， .∠A=∠DCF=45°，AD=CD. OE-AB-5EF-5/3. (AE=CF, :黄形ABCF的面积-号AC·EP 在△ADE和△CDF中，∠A=∠DCF, AD=CD, -号×553 '.△ADE≌△CDF(SAS), ∴.DE=DF,∠ADE=∠CDF -253 2 '∠ADE+∠EDC=90°， ∴.∠EDC+∠CDF=∠EDF=90°， ·100· 第五章四边形 ∴△EDF为等腰直角三角形. :点O为EF的中点，GO=OD, 中 考 链 接 .GD⊥EF,且GD=2OD=EF, .四边形EDFG是正方形： 命题一矩形的性质与判定 1.(2024·南通)如图，直线a∥b,矩形ABCD的 顶点A在直线b上，若∠2=41°，则∠1的度 数为 () 图1 图2 (2)过点D作DE'⊥AC于点E',如图2所示. ,△ABC为等腰直角三角形， ∠ACB=90°，AC=BC=4, A.41° B.51° C.49° D.59 DE-2BC-2,AB-42, 2.矩形ABCD的面积是90，对角线AC,BD交 点E为AC的中点， 于点O,点E是BC边的三等分点，连接DE, '.DE≤DE<AD(CD), 点P是DE的中点，OP=3,连接CP,则 ∴2≤DE<2√2（点E与点E'重合时取等号）. PC+PE的值为 ∴.4≤Sg造彩mc=DE<8. 3.(2023·河南)矩形ABCD中，M为对角线BD ∴当点E为线段AC的中点时，四边形EDFG的 的中点，点N在边AD上，且AN=AB=1.当 面积最小，该最小值为4 以点D,M,N为顶点的三角形是直角三角形 【点拨】判定四边形是正方形的方法：①先判定 时，AD的长为 四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；②先 4.(2022·遂宁)如图，在菱形ABCD中，对角线 判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角是直角； AC,BD相交于点O,点E是AD的中点，连 ③先判定四边形是平行四边形，再用①或②的方法进 接OE,过点D作DF∥AC交OE的延长线于 行判定 点F,连接AF. (1)求证：△AOE≌△DFE: 针对训练 (2)判定四边形AODF的形状并说明理由， 3.(2023·常德)如图，在正方形ABCD中， 对角线AC,BD相交于点O,E,F分别为 AO,DO上的一点，且EF∥AD,连接 AF,DE.若∠FAC=15°，则∠AED的度 数为 C A.80 B.90° C.105 D.115 ·101· 一对一初中学业水平考试指导·数学 命题二菱形的性质与判定 9.(2024·济南)如图，在菱形ABCD中，AE⊥ 5.(2022·河池)如图，在菱形ABCD中，对角线 CD,垂足为E,CF⊥AD,垂足为F.求证： AC,BD相交于点O,下列结论中错误的是 AF=CE. ( A.AB=AD B.AC⊥BD C.AC=BD D.∠DAC=∠BAC 6.(2024·通辽)如图，□ABCD的对角线AC, BD交于点O,以下条件不能证明口ABCD是 菱形的是 () A.∠BAC-∠BCAB.∠ABD=∠CBD C.OA2+OB2=AD2 D.AD2 +OA2=OD 7.(2022·湘西州)如图，菱形ABCD的对角线 AC,BD相交于点O,过点D作DH⊥AB于 点H,连接OH,OH=4,若菱形ABCD的面 积为323，则CD的长为 () A.4 B.43 C.8 D.83 8.(2024·广西)如图，两张宽度均为3cm的纸条 交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为60°，则 重合部分构成的四边形ABCD的周长为 ·102· 第五章四边形 命题三正方形的性质与判定 开之前，关于该图形，下列说法正确的是 ( 10.(2022·滨州)下列命题，其中是真命题的是 () A.对角线互相垂直的四边形是平行四边形 B.有一个角是直角的四边形是矩形 C.对角线互相平分的四边形是菱形 ①图中的三角形都是等腰直角三角形： D.对角线互相垂直的矩形是正方形 ②四边形MPEB是菱形； 11.(2024·陕西)如图，直线l经过正方形ABCD ③四边形PFDM的面积占正方形ABCD面 的中心O,分别与BC和AD相交于点E和 积的 点F,并与CD的延长线相交于点G.若 A.① B.①② AB=4,AF=3,则DG的长为 () C.①③ D.②③ 核 养 (2024·天津)如图，正方形ABCD的边长为 A.1 4 B. 3√2，对角线AC,BD相交于点O,点E在CA的 延长线上，OE=5,连接DE. c D.2 12.(2024山东)如图，已知AB,BC,CD是正n 边形的三条边，在同一平面内，以BC为边在 该正n边形的外部作正方形BCMN.若 (I)线段AE的长为； ∠ABN=120°，则n的值为 () (Ⅱ)若F为DE的中点，则线段AF的长为 D A.12 B.10 C.8 D.6 13.(2022·随州)七巧板是一种古老的中国传统 智力玩具，如图，在正方形纸板ABCD中， BD为对角线，E,F分别为BC,CD的中点， AP⊥EF分别交BD,EF于O,P两点，M, N分别为BO,DO的中点，连接MP,NF,沿 图中实线剪开即可得到一副七巧板.则在剪 ·103·