4.6 解直角三角形-【指南针·中考1对1】2025年中考数学初中学业水平考试指导

一时一初中学业水平考试指导·数学·参考答案 43等棱三高到与真角三属得 中考低隔 第五章四边形 第大草圆 知明硫理 1A2D1”4C毫 5.1多边形与平行国造 6.1国的暴本性质 一，两边相等平分线中线线 植心素养 知识横理 知授機理 ，三边 三，自角气食一单一中军末阳率方十#一中 片 2路a=3 一，-1X13W一数m-一卫雨等 一，您合线段长考城优%同减等同重金岗心 二过周心国心.平分篱垂直于平处厘平 平方相平方 第2误时相保之角到 格等红一X1r成1”面型 用等 针对室练 址民横理 三，无数不在具直线上国，属结用图 11”2& 二，正一角带正大边后 玉，一半用等直角自径★，朴 中考鞋捷 一，用成比到相世比相比的平方 相智等或 比例用等林应慢比网对应战此同 三，平行中，心对称对角线的交A子行相等行日射时对调味 二，食的图形能2中0甲博 等射望互相平分民×高全等 1的1.4%减年人d 信心素养 针时细连 针对家搭 中考目腐 1f1UD=2.(2M Lg王0又野 4(11整期野 1.A 23 4C 5,H AC 7n 1略 4.4会号三角形 (相屑和，连整A山， 被心素养 中考值速 :H,G分州题A,《T)的 18,10 幻讯植理 1A2bAC4日质A4,2￥97.49 =,1,重合后状大小 中点， 62,与国有美的位里美系 二，对成边相等相等桂等相罗 4.6解直角三角形 立点N是△D的重C 针对练 年识核理 ACN2HN. 上城鸭玉-士 -共停竖1 品一骨 三.只有年及量直0直得心点直半格 国.切青相等平外 中考链楼 二.a+=∠A十∠B= 又CH站合，D的中线 五，外接商外心是直平分度答国请内切国内6角 三，上年自阴角2经度发装比能角辣大 针对调度 二4为=支8· 早线各边L士m玉安a十A一 核心素养 1.C2.0 又“C是平行陶边形MN和平行具皮行AD的时错对调莲 )不存在 A简迪部的长皮为W5十待，末 角线： 1.1)期2)⊙0的径为1上日 2前1，作Al1)于H, 中考信耀 中零民福 :道风上的.点)是库边感AD 1,A2日人B4455.2观第613拍一5-万) 1.C2.63.64山)精2山c0的羊9为4 的等形点”， 以“A1家X的自积为， T,划士指的高度约为 5D103.C83段7 .△5△xD, ∴A信D的自积为1品 系1点0与点4的用肉为0来： 植心素养 ÷AB-D=43,4-0-5 中寿百接 42D是道An的长度为10，正十百)未 (1雀接，证∠D=∠ED可得AD平分∠AE LC1D表3T4D5CABT.5 '=1t,0u7 气篷蓬的度D的为，m,列地南的距肉省的为+，m (2@0的中径为黑 2州=，州H一于一， 核心素养 M聘g线a-AB·P十a'·-4 6,3身图有美吟计耳 由句吸定理斜.1一(7一一产一，解得g=。 生1或C正明暗2线段AE的长为6 短说核理 4用■3.AH=4,He9。 做专题4全等三角形的常考模型 信心素养 三，缩丹线年径程十r矩用高2 L112①gDd 6+2r 荧型1图新型 5.2矩形，菱形和正方形 针时调除 1.D玉降人(1》二任明跨 知明植辑 1.22B 本1)话谓毫(2C一y丽 一、行国油形平行阳零在作相等中心直角平中考线液 HR 是塑？故转塑 材边形三：图边感相等半国造形 1组2D及非4及云4- 二∠H)=∠立深 484子？明略 二、平行边样等相尊红并直平分平分等 ∠EO=∠m 平四由形胃因边形带直平有国边形 元1路g)号-家装CC ∠)=∠E 是型3一残三等角型 三，相等直角平行草直角相等单直平分平分 核心素养 -00G.0F 轴中右容的那直角查影相等平行口功毛 1的(g23 针对适 浩1 膜专丽5相叔三角形的常考极型 量专丽指求期影面积的常用方法 黄型1“A"字型 LIY 1A XC 4.5图形的相何 中考百接 美型1直提进用公人 1,A2C人D 第1误时成北例具和相位道到 L玉口友而A或1+屋 1,1C311 表型2“8“字型 4爵支C6AT 美型2和差走 4B多C6日 一4=d一鲜住列中山项气全丹飘区 N1象毫DI.D以A日C 41D:5C600= 三，该比网域比筒 亮型3子排型 植心素养 長型」等机党规 三，相比相日民的穿青 1,C口号略 针对罐 美型4线静型 3,DAC孩Ci,路g) 血旺明略其1溶2一号 6一对一初中学业水平考试指导·数学 4.6 解直角三角形 续表 梳 理 直角边a, ∠B=90°-∠A.c= in☑' 一边 锐角∠A 一、锐角三角函数 一锐 tanA=ve-a 1.锐角三角函数的定义 角 斜边 e. 锐 ∠B=90°-∠A. 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A,∠B,∠C所 角∠A a=e·sinA,b=e·cosA 对的边分别为a,b,c,则有： 三、解直角三角形的实际应用 sinA= cOsA= tanA= 1.仰角与俯角 2.特殊角的三角函数值 从下往上看，视线与水平线的夹角叫做 sina cosa tang 从上往下看，视线与水平线的夹角叫做 30 受 如图1所示中∠1就是仰角，∠2就是俯角. 45 2 铅垂线 平视钱 60° 3 水半线 ·视线 二、解直角三角形 图1 1.直角三角形中的边角关系 2.坡度与坡角 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A,∠B,∠C所 如图2所示 对的边分别为a,b,c (1)三边之间的关系： (2)两锐角之间的关系： 图2 (3)边角之间的关系： (1)坡面的垂高度与水平宽度的比叫做 sinA=cosB-4,cosA=sinB; ,记作i,即1=久： 2ab (2)坡面与水平面的夹角叫做 ,记作 (4)面积关系：S△ABC= 2ch.(h为斜边 =tana.显然，坡度越大，坡角a就 上的高) a,有i=光 2.解直角三角形的四种基本类型及解法 坡面就越陡， 类型 已知条件 解法 3.方向角 两直角边4，b c=Va+,anA=分 我们一般画图的方位为上北下南，左西右东 指南或指北方向线与目标方向线所成的小于 ∠B=90°-∠A 两边 90的角，叫做方向角.如图，OA表示北偏东 ·直角边a,斜 b=vc-a,sina=a 60°方向的一条射线。 边c ∠B=90°-∠A ·84· 第四章三角形 北 针对训练 600 西 东 1.(2023·益阳)如图，在平面直角坐标系xOy 中，有三点A(0,1),B(4,1),C(5,6),则 sin∠BAC 注意：东北方向指北偏东45°方向，东南方 向指南偏东45°方向，西北方向指北偏西45°方 向，西南方向指南偏西45°方向. 4.解直角三角形实际应用的常见模型及辅助线 作法 A司 B.13 5 C.2 2 D.③ 2 知识点2解直角三角形 ©例2 如图，已知四边形ABCD中， ∠ABC=90°，∠ADC=90°，AB=6,CD=4,BC 的延长线与AD的延长线交 于点E (1)若∠A=60°，求BC 的 2)若inA=号，求AD 的长 【解答】(1)，∠A=60°，∠ABC=90°， 典 例 精 析 AB-6.tanA .∠E=30°，BE=tan60°×6=63. 又，∠CDE=∠ADC=90, 知识点1锐角三角函数 CD=4,sinE= CD @例1如图，在R△ABC中，∠C=90°， 是∠E-30. AB=10,AC=8,则sinA等于 () CE-CD 4=8. sinE 1 A是 B台 2 .BC=BE-CE=63-8. c D号 (2:∠ABC=90AB=6A=号- 【解答】在Rt△ABC中， .设BE=4x,则AE=5x,得AB=3x, AB=10.AC=8, .3x=6,得x=2,∴.BE=8,AE=10, .BC=VAB-AC=√10-8=6， tanE能-g是元解得DE- 31 n4-%-品-是 &AD-AE-DE-10-9-兰 ·85· 一对一初中学业水平考试指导·数学 针对加练 30 2.(2024·云南)如图，在△ABC中，若∠B= 90°，AB=3,BC=4,则tanA= 则CE=AE=BF=(303+30)米，AB=EF, ,∠BCD=120°， ,.∠BCF=180°-∠BCD=60°， A. B. 3 C. D. 3 在R△BCF中.CF=BF-30,3+30-(80+ tan60 3 105)(米)， 知识点3解直角三角形的应用 .AB=EF=CE-CF=30W3+30-(30+103)= ©例3(2022·内江)如图所示，九(1)班数 203(米)· 学兴趣小组为了测量河对岸的古树A、B之间的 距离，他们在河边与AB平行的直线1上取相距 .古树A、B之间的距离为20√3米. 60m的C、D两点，测得∠ACB=15°，∠BCD= 针对孙练 120°，∠ADC=30°. 3.(2022·广元)如图，计划在山顶A的正下 (1)求河的宽度； 方沿直线CD方向开通穿山隧道EF.在 (2)求古树A、B之间的距离.（结果保留根号） 点E处测得山顶A的仰角为45°，在距E 点80m的C处测得山顶A的仰角为30°， 从与F点相距10m的D处测得山顶A 1512 的仰角为45°，点C、E、F、D在同一直线 【解答】(1)如图，过点A作AE⊥1，垂足为E, 上，求隧道EF的长度， 120 1303 15 设CE=x米， ,CD=60米，∴.DE=CE+CD=(x+60)米 ,∠ACB=15°，∠BCD-120, ∴.∠ACE=180°-∠ACB-∠BCD=45. 在Rt△AEC中，AE=CE·tan45°=x(米)， 在Rt△ADE中，tan30°=A5 =x=③ ED +60 3 ∴.x=30w3+30, 经检验：x■30√3+30是原方程的根， .AE=(30W3+30)米. .河的宽度为(30√3+30)米. (2)如图，过点B作BF⊥l,垂足为F, ·86 第四章三角形 5.(2024·哈尔滨)△ABC是直角三角形，AB 考 链接 2V3,∠ABC=30°，则AC的长为 命题二解直角三角形的应用 命题一锐角三角函数及解直角三角形 6.(2023·湖北)综合实践课上，航模小组用航拍 1.(2022·广西)如图，某博物馆大厅电梯的截面 无人机进行测高实践.如图，无人机从地面 图中，AB的长为12米，AB与AC的夹角为 CD的中点A处竖直上升30米到达B处，测 a,则高BC是 () 得博雅楼顶部E的俯角为45°，尚美楼顶部 A.12sina米 B.12cosa米 的俯角为30°，已知博雅楼高度CE为15米， C.12米 D.12米 则尚美楼高度DF为 米.（结 sina cosa 果保留根号) 12米 45 30 第1题图 第2题图 尚美楼 2.(2024·临夏州)如图，在△ABC中，AB= 7.(2022·襄阳)位于岘山的革命烈士纪念塔是襄 AC=5,sinB=号，则BC的长是 ( 阳市的标志性建筑，是为纪念“襄樊战役”中牺 A.3 B.6 C.8 D.9 牲的革命烈士及第一、第二次国内革命战争时 3.(2022·广元)如图，在正方形方格纸中，每个 期为襄阳的解放事业献身的革命烈士而兴建 小正方形的边长都相等，A、B、C、D都在格点 的.某校数学兴趣小组利用无人机测量烈士塔 处，AB与CD相交于点P,则cos∠APC的值 的高度.无人机在点A处测得烈士塔顶部点B 为 () 的仰角为45°，烈土塔底部点C的俯角为61°， 无人机与烈士塔的水平距离AD为10m,求烈 士塔的高度.（结果保留整数.参考数据： sin61°≈0.87，cos61°≈0.48，tan61°≈1.80) ☆ A.③ 5 B.26 5 c D. 5 烈 4.(2024·南通)社团活动课上，九年级学习小组 测量学校旗杆的高度，如图，他们在B处测得 念塔 旗杆顶部A的仰角为60°，BC=6m,则旗杆 AC的高度为 m. 60日 ·87· 一对一初中学业水平考试指导·数学 8.(2022·资阳)小明学了《解直角三角形》内容 tam29.5°≈0n7a.5≈os765° 后，对一条东西走向的隧道AB进行实地测 量.如图所示，他在地面上点C处测得隧道一 100:tan76.5°≈2l 23 端点A在他的北偏东15°方向上，他沿西北方 向前进100√3米后到达点D,此时测得点A 在他的东北方向上，端点B在他的北偏西60 76.59 29.5 方向上.（点A、B、C、D在同一平面内）. (1)求点D与点A的距离： (2)求隧道AB的长度.（结果保留根号） 北 0045 核心素养 (2024·深圳)如图，为了测量某电子厂的高 度，小明用高1.8m的测量仪EF测得顶端A的 仰角为45°，小军在小明的前面5m处用高1.5m 的测量仪CD测得顶端A的仰角为53°，则电子 9.(2023·威海)如图，某育苗基地为了能够最大 厂AB的高度为( )(参考数据：sin53”≈号 限度地遮挡夏季炎热的阳光和充分利用冬天 c0s53°≈ 4 的光照，计划在苗圃正上方搭建一个平行于 ，tan53≈3) 地面的遮阳篷.已知苗圃的（南北）宽AB 6.5米，该地区一年中正午时刻太阳光与地平 面的最大夹角是∠DAE=76.5°，最小夹角 是∠DBE=29.5°.求遮阳篷的宽CD和到地 F D 面的距离CB, A.22.7m B.22.4mC.21.2mD.23.0m 参考数据：血29.5”≈品os29.5°≈部 49 100' ·88·