题号猜押06 浙江中考数学17-21题（12大考点，简答题）（浙江专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

题号猜押06 浙江中考数学17~21题（简答题） 考点1 实数相关概念与负指数幂计算 1．（2026•西湖区校级一模）计算：． 【考点】负整数指数幂；绝对值；零指数幂． 【分析】分别计算各项后合并即可得到结果． 【解答】解：原式＝2﹣1+4 ＝5． 2．（2026•鹿城区校级一模）计算：． 【考点】负整数指数幂；绝对值；立方根；实数的运算． 【分析】根据负整数指数幂，绝对值，立方根，实数的运算的运算法则进行计算． 【解答】解：原式＝4+3﹣3＝4． 3．（2026•衢江区模拟）计算：． 【考点】负整数指数幂；绝对值；零指数幂． 【分析】先根据零指数幂、绝对值、负整数指数幂的运算法则计算，再根据有理数加减法则计算即可． 【解答】解： ＝1 ＝1． 考点2 整式的混合运算 1．（2026•拱墅区一模）（1）计算：（﹣1）×（﹣3）+（﹣1﹣1）2； （2）化简：x（x﹣2）+（x﹣1）2． 【考点】整式的混合运算；有理数的混合运算． 【分析】（1）先算括号里面的，再算乘方，然后算乘法，最后算加减即可； （2）利用单项式乘多项式法则，完全平方公式展开，然后去括号，合并同类项即可． 【解答】解：（1）原式＝（﹣1）×（﹣3）+（﹣2）2 ＝3+4 ＝7； （2）原式＝x2﹣2x+（x2﹣2x+1） ＝x2﹣2x+x2﹣2x+1 ＝2x2﹣4x+1． 2．（2026•钱塘区二模）（1）计算：20260+（﹣2）2﹣|﹣3|； （2）化简：a（2﹣a）+（a+1）（a﹣1）． 【考点】平方差公式；零指数幂；实数的运算；单项式乘多项式． 【分析】（1）根据零指数幂，绝对值的定义以及有理数的乘方的计算方法进行计算即可； （2）根据单项式乘多项式，平方差公式进行计算即可． 【解答】解：（1）原式＝1+4﹣3＝2； （2）原式＝2a﹣a2+a2﹣1＝2a﹣1． 3．（2026•绍兴一模）已知实数a，b满足a﹣b＝4，a2+b2＝14． （1）求ab的值． （2）阅读如图材料，求a3﹣b3的值． 【考点】完全平方公式． 【分析】（1）把原式变形为2ab＝a2+b2﹣（a﹣b）2，再代入计算即可； （2）把原式变形为（a﹣b）（a2+b2）+ab（a﹣b），再代入计算即可． 【解答】解：（1）（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2， ∴2ab＝a2+b2﹣（a﹣b）2， ∴2ab＝14﹣42＝﹣2， ∴ab＝﹣1． （2）（a﹣b）（a2+b2）＝a3+ab2﹣a2b﹣b3， ∴a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+b2）+a2b﹣ab2＝（a﹣b）（a2+b2）+ab（a﹣b）， ∴a3﹣b3＝4×14+（﹣1）×4＝52． 考点3 代数式类证明式问题 1．（2026•临安区一模）考拉兹猜想（又称3n+1猜想）是近代数学中最著名的未解猜想之一，由德国数学家考拉兹提出，其内容是：任意正整数n，若是偶数就除以2，若是奇数就乘3加1，重复操作，最终都会得到1．例如，当n＝10时，分步进行考拉兹运算：第1步：10÷2＝5；第2步：5×3+1＝16；第3步：16÷2＝8；第4步：8÷2＝4；第5步：4÷2＝2；第6步：2÷2＝1． （1）若从某正整数n出发，第一步考拉兹运算得到16，求所有满足条件的正整数n； （2）小杭同学说：若3n+1（n为任意正整数）已被证明符合考拉兹猜想，则2m（m为任意正整数）一定也符合考拉兹猜想． ∵2m为偶数， ∴2m÷2＝m， 若m为奇数，则下一步考拉兹运算后为3m+1， 若m为偶数，则下一步考拉兹运算继续除以2，多次运算，直至出现奇数p，则下一步考拉兹运算得到3p+1， ∴2m可以多次考拉兹运算为3n+1的形式， ∴2m一定也符合考拉兹猜想． 若3n+1（n为任意正整数）已被证明符合考拉兹猜想，请继续证明4k+1（k为任意正整数）一定也符合考拉兹猜想． 【考点】合并同类项；有理数的混合运算；数学常识． 【分析】（1）分两种情况讨论：当n是偶数时，n＝32；当n是奇数时，n＝5； （2）4k+1经过三步考拉兹运算后得到3k+1，由此证明即可． 【解答】（1）解：当n是偶数时，n÷2＝16，解得n＝32； 当n是奇数时，3n+1＝16，解得n＝5； 综上所述：n的值为5或32； （2）证明：∵4k+1是奇数，第一步运算为（4k+1）×3+1＝12k+4， ∵12k+4是偶数，第二步运算为（12k+4）÷2＝6k+2； ∵6k+2是偶数，第三步运算为（6k+2）÷2＝3k+1； ∵3n+1（n为任意正整数）已被证明符合考拉兹猜想，此时k＝n， ∴3k+1经过有限次考拉兹运算后最终得到1， 由于4k+1经过三步考拉兹运算后得到3k+1， ∴4k+1（k为任意正整数）一定也符合考拉兹猜想． 2．（2026•富阳区一模）阅读理解下面内容，并解决问题： 据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求出它的立方根，华罗庚脱口而出地报出答案，邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙． 你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请阅读下面的问题和解答： （1）由103＝1000，1003＝1000000，你能确定是几位数吗？ ∵1000＜59319＜1000000， ∴， ∴是两位数． （2）由59319的个位上的数是9，你能确定的个位上的数是几吗？ ∵只有个位数是9的立方数的个位数依然是9， ∴的个位数是9． （3）如果划去59319后面的三位319得到59，而33＝27，43＝64，由此你能确定的十位上的数是几吗？ ∵27＜59＜64， ∴3040， ∴的十位数是3． 所以，59319的立方根是39． 问题：已知整数103823是整数的立方． （1）说明是一个几位数； （2）求的值． 【考点】立方根． 【分析】（1）通过比较103＝1000和1003＝1000000，发现1000＜103823＜1000000，因此，确定其为两位数； （2）确定个位数字：因为只有73的个位是3，而103823的个位是3，所以个位数字是7．确定十位数字：划去后三位得103，比较43＝64和53＝125，发现64＜103＜125，因此，十位数字是4．组合结果：结合个位和十位数字，得到． 【解答】解：（1）因为1000＝103，1000000＝1003， 且1000＜103823＜1000000， 所以， 可知是两位数； （2）由于只有个位数是7的立方数的个位数是3， 因为73＝343， 所以103823的个位数字是3， 所以的个位数字是7， 划去103823后面的三位823得到103， 因为43＝64，53＝125， 且64＜103＜125， 所以， 因此的十位数字是4， 结合个位和十位数字，可知． 3．（2026•鹿城区校级模拟）在二次根式的学习中，我们学会了估计一个无理二次根式的整数部分，例如由，可得的整数部分为1，接下来如何进一步估算的值呢？小明同学在查询资料后，发现了一种方法： 以为例，易知的整数部分为10，且更接近11；则114＝102+14，114﹣102＝14，；．（实际上， （1）的整数部分为　 　 ；　 　 （结果保留两位小数）． （2）小明在采用这种方法估算时，得到，与熟知的数据相差较大：小明仔细思考后发现问题在于的小数部分与1比较接近，因此在分母中用1来代替会产生较大的误差．请你利用所学的知识，结合本题的方法帮助小明估算的值（结果保留三位小数）． 【考点】二次根式的混合运算；估算无理数的大小． 【分析】（1）用估算写出整数部分8，近似值仿用例子的方法进行求解； （2）结合例题给出的方法进行求解． 【解答】解：（1）∵64＜79＜81， ∴89， ∴的整数部分为8， 79＝82+15， ∴79﹣82＝15， （8）（8）＝15， ∴88.88， 故答案为：8，8.88； （2）∵1.42＜2＜1.52，∴1.41.5，更接近1.4，∴2＝1.42+0.04，2﹣1.42＝0.04，∴（1.4）（1.4）＝0.04，∴1.41.41.414． 4．（2026•钱塘区二模）代数推理是发展逻辑思维和问题解决能力的重要路径，探究数的整除规律就是一个典型的代数推理过程．请阅读材料并解决问题： 因为7×11×13＝1001，所以把正五位数写成的形式． 即． 因为是11的倍数，所以只要能被11整除，则能被11整除． 例如把79134拆成79和134，因为134﹣79＝55＝5×11，所以79134能被11整除． （1）请分别判断20266和91135是否能被11整除，并说明理由． （2）试说明正六位数，只要能被13整除，则能被13整除． 【考点】因式分解的应用． 【分析】（1）模仿例题将20266拆成20和266，然后计算266﹣20＝246，分析246能否被11整除即可，用同样的方法判断91135能否被11整除即可； （2）将变形为，由1001÷13＝77得出能被13整除，从而得出结论． 【解答】解：（1）20266不能被11整除，91135能被11整除．理由如下： 把20266拆成20和266，因为266﹣20＝246，246÷11＝22...4，所以20266不能被11整除； 把91135拆成91和135，因为135﹣91＝44＝4×11，所以91135能被11整除； （2）∵7×11×13＝1001， ∴ ． ∵1001÷13＝77， ∴能被13整除． ∴若能被13整除，则能被13整除， 即：能被13整除． 5．（2026•杭州模拟）“字母表示数”的系统化阐述是16世纪提出的，被后人称为从“算术”到“代数”的一次飞跃，从而大大推动了数学的发展．经过初中数学的学习，我们知道了用字母表示数可以分析从特殊到一般的数学规律，字母与数一样，也可以参与运算．请同学们观察下列关于正整数的平方拆分的等式： 第1个等式：22＝1+12+2；第2个等式：32＝2+22+3； 第3个等式：42＝3+32+4；第4个等式：52＝4+42+5； （1）请用此方法拆分20242． （2）请你用上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数）并运用有关知识，推理说明这个结论是正确的． 【考点】因式分解的应用；列代数式；推理与论证． 【分析】依据材料中的规律解答即可，利用式子的规律和已知解答． 【解答】解：（1）由题意可知： 22＝1+12+2， 32＝2+22+3， 42＝3+32+4， 52＝4+42+5； ∴20242＝2023+20232+2024． 答：20242＝2023+20232+2024． （2）根据题意，含有字母n的等式表示为：（n+1）2＝n+n2+（n+1）． 左边＝（n+1）2， 右边＝n+n2+（n+1）＝n2+2n+1＝（n+1）2， 左边＝右边． 答：（n+1）2＝n+n2+（n+1）． 6．（2026•浙江模拟）若三位数的各位数字满足a＝b+c，则称该三位数为“和首数”．例如：三位数312，因为3＝1+2，所以312是和首数． （1）若一个“和首数”的十位数字是个位数字的2倍还多1，求该三位数． （2）若是和首数，将M的各个数字轮换移位，得到一个新的三位数，求证：M﹣N是9的倍数． 【考点】因式分解的应用；倍数． 【分析】（1）设个位上的数字为x，则十位上的数字为2x+1，得出百位上的数字为：3x+1，确定0≤x＜3，即可求解； （2）根据题意得出a＝b+c，分别表示出M、N，然后代入化简即可． 【解答】（1）解：设个位上的数字为x，则十位上的数字为2x+1，百位上的数字为：3x+1， ∴1≤3x+1＜10， ∴0≤x＜3， 当x＝2时，3x+1＝7，2x+1＝5，该三位数为752； 当x＝1时，3x+1＝4，2x+1＝3，该三位数为431； 当x＝0时，3x+1＝1，2x+1＝1，该三位数为110； （2）证明：∵是和首数， ∴a＝b+c， ∴， ， ∴M﹣N＝110b+101c﹣（101b+11c）＝9b+90c＝9（b+10c）， ∴M﹣N是9的倍数． 考点4 整式的化简求值 1．（2025•浙江）化简求值：x（5﹣x）+x2+3，其中x＝2． 【考点】整式的混合运算—化简求值． 【分析】根据单项式乘多项式的运算法则去掉括号，再合并同类项进行化简，最后将数值代入求出结果． 【解答】解：x（5﹣x）+x2+3 ＝5x﹣x2+x2+3 ＝5x+3， 当x＝2时， 原式＝5×2+3＝13． 2．（2026•上城区一模）化简求值：（x+2）（x﹣2）﹣x（x﹣1）+2x，其中x＝2． 【考点】整式的混合运算—化简求值． 【分析】将原式利用平方差公式，单项式乘多项式法则展开，然后去括号，合并同类项，最后把已知数值代入并计算即可． 【解答】解：原式＝x2﹣4﹣（x2﹣x）+2x ＝x2﹣4﹣x2+x+2x ＝3x﹣4； 当x＝2时， 原式＝3×2﹣4＝6﹣4＝2． 3．（2026•滨江区一模）化简求值：（a﹣2）2﹣2（a﹣2），其中a＝1． 【考点】整式的混合运算—化简求值． 【分析】先化简所求式子，再将a的值代入计算即可． 【解答】解：（a﹣2）2﹣2（a﹣2） ＝a2﹣4a+4﹣2a+4 ＝a2﹣6a+8， 当a＝1时，原式＝12﹣6×1+8＝3． 4．（2026•鹿城区校级模拟）先化简，再求值：（a﹣1）2﹣a（a+1）﹣1，其中a＝3． 【考点】整式的混合运算—化简求值． 【分析】根据完全平方公式、单项式乘以多项式、合并同类项等相关运算化简，再将a＝3代入求值即可． 【解答】解：原式＝a2﹣2a+1﹣a2﹣a﹣1 ＝﹣3a， 当a＝3时，原式＝﹣3×3＝﹣9． 5．（2026•杭州一模）化简求值：（x﹣3）2﹣x（x﹣8），其中x＝﹣2． 【考点】整式的混合运算—化简求值． 【分析】利用完全平方公式和单项式乘以多项式将所求式子化简，再将x＝﹣2代入化简后的式子计算即可． 【解答】解：原式＝x2﹣6x+9﹣x2+8x ＝2x+9， 当x＝﹣2时，原式＝2×（﹣2）+9＝5． 6．（2026•浙江一模）先化简，再求值：（2a+b）2﹣（b﹣2a）（b+2a），其中a＝﹣2，b＝1． 【考点】整式的混合运算—化简求值；完全平方公式；平方差公式． 【分析】先利用完全平方公式，平方差公式进行计算，然后把a，b的值代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【解答】解：（2a+b）2﹣（b﹣2a）（b+2a） ＝4a2+4ab+b2﹣b2+4a2 ＝8a2+4ab， 当a＝﹣2，b＝1时，原式＝8×（﹣2）2+4×（﹣2）×1＝8×4+（﹣8）＝32﹣8＝24． 考点5 分式的约分与分式的值 1．（2026•金华模拟）已知x﹣2y＝0，求分式的值． 【考点】分式的值． 【分析】先把分式的分子、分母分解因式，再约分，然后把已知条件代入求值即可． 【解答】解：， ∵x﹣2y＝0， ∴x＝2y， ∴原式2． 2．（2026•衢州模拟）约分：． 【考点】约分． 【分析】将原式分子、分母进行因式分解后，再进行约分即可得到答案． 【解答】解：原式． 3．（2026•西湖区一模）（1）计算：． （2）化简：． 【考点】分式的加减法；实数的运算． 【分析】（1）根据绝对值的性质、乘方的意义和算术平方根的定义进行计算即可； （2）先按照同分母分式相减法则进行计算，再把分子分解因式，然后约分即可． 【解答】解：（1）原式＝2﹣9+2 ＝2+2﹣9 ＝﹣5； （2）原式 ＝a+1． 考点6 分式的化简求值 1．（2026•丽水一模）先化简，再求值：，其中． 【考点】分式的化简求值． 【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a的值代入进行计算即可． 【解答】解： ＝a﹣1， 当时，原式1． 2．（2026•浙江模拟）先化简，再求值：，其中x＝﹣3． 【考点】分式的化简求值． 【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x＝﹣3代入进行计算即可． 【解答】解： ＝x+2． 当x＝﹣3时，原式＝﹣3+2＝﹣1． 3．（2026•拱墅区校级模拟）化简求值：，其中x＝2． 【考点】分式的化简求值． 【分析】先把括号内通分，再进行同分母的减法运算，接着把除法运算化为乘法运算，则约分得到原式＝x﹣1，然后把x的值代入计算即可． 【解答】解：原式• • ＝x﹣1， 当x＝2时，原式＝2﹣1＝1． 4．（2026•宁波模拟）先化简，再求值：，其中x＝2． 【考点】分式的化简求值． 【分析】先把括号内通分，再进行同分母的减法运算，接着把除法运算化为乘法运算，然后再进行通分后进行同分母的减法运算，最后把x的值代入计算． 【解答】解：原式， ， ， ， ， 当x＝2时，原式． 5．（2026•柯城区一模）小王的解题过程如下： 先化简，再求值：，其中a＝﹣1． 解：原式① ＝2a﹣（a﹣2）…② ＝a+2…③ 当a＝﹣1时，原式＝a+2＝﹣1+2＝1． （1）请指出首次出现错误的步骤序号：　 　 ． （2）写出正确的解答过程． 【考点】分式的化简求值． 【分析】（1）根据分式的化简步骤回答即可． （2）先化简分式，再代入数值求解即可． 【解答】解：（1）首次出现错误的步骤序号②，分母不应该舍去．分式通分后，应该保持分母不变，对分子进行计算． 故答案为：②； （2）原式， ， ， 当a＝﹣1时，原式． 考点7 解一元一次方程、二元一次方程组、一元二次方程 1．（2026•上城区一模）以下是小程同学解一元一次方程的解题过程，请认真阅读并完成任务：解方程：． 小程的解题过程：解：步骤①：去分母，得3（x+1）﹣2（2x﹣1）＝1 步骤②：去括号，得3x+3﹣4x﹣2＝1 步骤③：移项，得3x﹣4x＝1﹣3+2 步骤④：合并同类项，得﹣x＝0 步骤⑤：系数化为1，得x＝0 （1）小程的解题过程从第　 　 步开始出现错误，错误原因是　 　 ． （2）请写出该一元一次方程正确的解答过程． 【考点】解一元一次方程． 【分析】（1）根据等式性质2判断去分母这一步骤即可； （2）通过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可求解． 【解答】解：（1）小程的解题过程从第①步开始出现错误，错误的原因是方程的右边没有乘6， 故答案为：①，方程的右边没有乘6； （2），去分母，得3（x+1）﹣2（2x﹣1）＝6， 去括号，得3x+3﹣4x+2＝6， 移项，得3x﹣4x＝6﹣3﹣2， 合并同类项，得﹣x＝1， 系数化为1，得x＝﹣1． 2．（2026•金华模拟）解方程组：． 【考点】解二元一次方程组．菁 【分析】利用加减消元法解二元一次方程组即可． 【解答】解：， ①+②，得6x＝12， 解得x＝2， 把x＝2代入①，得2×2+y＝3， 解得y＝﹣1， 所以方程组的解是． 3．（2026•浙江模拟）解方程组：． 【考点】解二元一次方程组．菁 【分析】①×2+②得出9x＝36，求出x，再把x＝4代入②求出y即可． 【解答】解：， ①×2+②，得9x＝36， 解得：x＝4， 把x＝4代入②，得4﹣2y＝6， 解得：y＝﹣1， 所以方程组的解是． 4．（2026•浙江模拟）解方程组：． 【考点】解二元一次方程组． 【分析】利用加减消元法解方程组即可． 【解答】解：， ①+②，得5x＝15， 将系数化为1，得x＝3； 把x＝3代入①，得2×3+y＝5， 解得：y＝﹣1， ∴方程组的解为． 5．（2026•湖州一模）解方程：x2﹣4x+3＝0． 【考点】解一元二次方程﹣因式分解法． 【分析】利用因式分解法解出方程． 【解答】解：x2﹣4x+3＝0 （x﹣1）（x﹣3）＝0 x﹣1＝0或x﹣3＝0 x1＝1，x2＝3． 考点8 解分式方程 1．（2025•浙江）解分式方程：0． 【考点】解分式方程． 【分析】先把分式方程转变为整式方程，解整式方程求出x的值，然后检验即可． 【解答】解：， 方程两边同时乘（x+1）（x﹣1），得3（x﹣1）﹣（x+1）＝0， 去括号，得3x﹣3﹣x﹣1＝0， 解得：x＝2， 检验：把x＝2代入（x+1）（x﹣1）≠0， ∴分式方程的解为x＝2． 2．（2026•舟山一模）解方程：． 【考点】解分式方程． 【分析】先去分母，把分式方程化为整式方程，再解得x＝3，最后验根，即可作答． 【解答】解：原方程两边同时乘（x﹣2）得1+2（x﹣2）＝3， 去括号得1+2x﹣4＝3， 解得：x＝3， 检验：把x＝3代入x﹣2≠0， ∴方程的解为x＝3． 3．（2026•拱墅区一模）（1）解方程组：； （2）． 【考点】解分式方程；解二元一次方程组． 【分析】（1）利用加减消元法解方程组即可； （2）把分式方程转变为整式方程，解整式方程求出x的值，然后检验即可． 【解答】解：（1）， ②﹣①，得5y＝5， 解得：y＝1， 把y＝1代入①，得x﹣2×1＝1， 解得：x＝3， ∴方程组的解为； （2）方程两边同时乘（x+2）（x﹣2），得3（x﹣2）﹣（x+2）＝0， 去括号，得3x﹣6﹣x﹣2＝0， 解得：x＝4， 检验：把x＝4代入（x+2）（x﹣2）≠0， ∴分式方程的解为x＝4． 4．（2026•宁波模拟）解方程：． 【考点】解分式方程． 【分析】根据解分式方程的步骤进行计算． 【解答】解：， 1+x﹣3＝﹣2， 解得：x＝0， 经检验：x＝0是原方程的解． 5．（2026•嘉兴一模）解分式方程：． 【考点】解分式方程． 【分析】根据解分式方程的步骤解答即可． 【解答】解：原方程去分母可得： （x+2）﹣3x＝0， 2﹣2x＝0， ﹣2x＝﹣2， x＝1， 经检验，原方程的解为x＝1． 考点9 解一元一次不等（组） 1．（2026•临安区一模）解不等式：﹣4x+2＜2（x+4），并把它的解表示在数轴上． 【考点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集． 【分析】根据解一元一次不等式的步骤进行求解，并将解集在数轴上表示出来即可． 【解答】解：﹣4x+2＜2（x+4）， ﹣4x+2＜2x+8， ﹣4x﹣2x＜8﹣2， ﹣6x＜6， x＞﹣1． 数轴表示如下： ． 2．（2026•丽水一模）解不等式：x﹣2（x﹣1）≤5． 【考点】解一元一次不等式． 【分析】去括号得，移项合并，系数化为1即可求解． 【解答】解：解不等式：x﹣2（x﹣1）≤5． 去括号得x﹣2x+2≤5， 移项合并得﹣x≤3， 解得x≥﹣3． 3．（2026•温岭市二模）解不等式组：． 【考点】解一元一次不等式组． 【分析】别解两个不等式得到x＜1和x≤6，然后根据“同小取小”确定不等式组的解集． 【解答】解：， 解不等式①得x＜1， 解不等式②得x≤6， 所以不等式组的解集为x＜1． 4．（2026•衢州模拟）解不等式组． 【考点】解一元一次不等式组．菁 【分析】先求出不等式组中每个不等式的解集，再取其解集的公共部分即可得解． 【解答】解：， 解不等式①，得x＞﹣2， 解不等式组②，得x≤﹣1， 所以不等式组的解集是﹣2＜x≤﹣1． 5．（2026•温州一模）解不等式组，并把解集表示在数轴上． 【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集． 【分析】分别求出不等式的解集，利用数轴表示出解集即可． 【解答】解： 由①得x＞﹣3． 由②得x≤2． ∴﹣3＜x≤2． 把不等式组的解集表示在数轴上如图所示： 考点10 全等三角形的性质与判定 1．（2026•绍兴一模）对于题目“如图1，已知AC，BD相交于O，OA＝OB，OC＝OD，证明：△ABC≌△BAD．”小明的解答过程如图2．请指出小明证明过程中错误步骤的序号，并写出正确证明过程． 【考点】全等三角形的判定． 【分析】利用“边边边”证明△ABC≌△BAD，即可． 【解答】解：错误步骤的序号为②． 正确证明如下： 由正确步骤①知△AOD≌△BOC， ∴AD＝BC（全等三角形对应边相等）， ∵OA＝OB，OC＝OD． ∴DB＝CA， 在△ABC和△BAD中， ， ∴△ABC≌△BAD（SSS）． 2．（2026•金华模拟）如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠C＝90°，点E在BC上，且BE＝DC． （1）求证：△ABE≌△BCD． （2）已知DC＝2EC＝2，求AE的长． 【考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形． 【分析】（1）直接利用SAS即可得证； （2）根据勾股求解即可． 【解答】（1）证明：在△ABE和△BCD中， ， ∴△ABE≌△BCD（SAS）； （2）解：∵DC＝2EC＝2，BE＝DC， ∴EC＝1，BE＝DC＝2， ∴AB＝BC＝3， ∵∠ABC＝90°， ∴AE． 3．（2026•台州一模）如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC中点，连结DE，∠ABC的平分线交DE于点F． （1）求证：∠DBF＝∠DFB． （2）若DF＝EF，BC＝12，求BD的长． 【考点】全等三角形的判定与性质；三角形中位线定理． 【分析】（1）先由角平分线得∠DBF＝∠FBC，再用三角形中位线定理证DE∥BC，得∠FBC＝∠DFB，通过等量代换即可得证； （2）先用中位线定理求出DE的长，由DF＝EF算出DF，再结合第一问的等角对等边得出BD＝DF即可． 【解答】（1）证明：∵BF平分∠ABC， ∴∠DBF＝∠FBC， ∵点D，E分别是AB，AC中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE∥BC， ∴∠FBC＝∠DFB， ∴∠DBF＝∠DFB； （2）解：∵点D，E分别是AB，AC中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴， ∵DF＝EF，DF+EF＝DE， ∴DF＝3， ∵∠DBF＝∠DFB， ∴BD＝DF＝3． 4．（2026•拱墅区一模）如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，且BE＝CF． （1）求证：∠B＝∠C． （2）若∠A＝∠B，BC＝6，求BE的长． 【考点】全等三角形的判定与性质． 【分析】（1）证明Rt△BDE≌Rt△CDF，根据全等三角形的性质得到∠B＝∠C； （2）根据等边三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质求解即可． 【解答】（1）证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠DEB＝∠DFC＝90°， ∵点D是BC的中点， ∴BD＝CD， 在Rt△BDE和Rt△CDF中， ， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）， ∴∠B＝∠C； （2）∵∠B＝∠C，∠A＝∠B， ∴∠B＝∠C＝∠A， ∴△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC＝BC，∠B＝60°， ∵点D是BC的中点， ∴BD＝CD＝3， 在Rt△BED中，∠B＝60°， ∴∠BDE＝30°， ∴BEBD． 5．（2026•杭州一模）在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，点E在BC上，AB＝EC，BE＝DC． （1）求证：AE＝ED． （2）已知AB＝2，CD＝3，求△AED的面积． 【考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理． 【分析】（1）证明△ABE≌△ECD（SAS）即可得证； （2）根据△ABE≌△ECD得到EC＝AB＝2，∠AEB＝∠EDC，根据勾股定理求出，证明∠AED＝90°，根据三角形的面积公式即可求解． 【解答】（1）证明：在△ABE和△ECD中， ， ∴△ABE≌△ECD（SAS）， ∴AE＝ED． （2）解：∵△ABE≌△ECD， ∴∠AEB＝∠EDC，EC＝AB＝2， ∵CD＝3，∠C＝90°， ∴DE， ∴AE＝DE， ∵∠EDC+∠DEC＝180°﹣∠C＝90°， ∴∠AEB+∠DEC＝90°， ∴∠AED＝180°﹣（∠AEB+∠DEC）＝90°， ∴． 考点11 平行四边形与特殊平行四边形 1．（2026•温岭市二模）如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BC交BC于点E，连接DE，AF是△ADE的中线． （1）求证：△ADF是等腰三角形； （2）若∠ADE＝∠EDC＝30°，AB＝6，求AD的长． 【考点】平行四边形的性质；解直角三角形；等腰三角形的判定与性质；勾股定理． 【分析】（1）利用直角三角形斜边中线的性质证明即可； （2）解直角三角形求出AE，AD即可． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∵AE⊥BC， ∴AE⊥AD， ∴∠EAD＝90°， ∵AF是△ADE的中线， ∴AFDE＝DF＝EF， ∴△ADF是等腰三角形； （2）∵∠ADE＝∠EDC＝30°， ∴∠ADC＝60°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠B＝∠ADC＝60°， ∵AE⊥BC， ∴∠AEB＝90°， ∴AE＝AB•sin60°＝3， ∵∠DAE＝90°，∠ADE＝30°， ∴tan30°， ∴ADAD＝9． 2．（2026•定海区模拟）已知：如图，在矩形ABCD中，两条对角线相交于点O，∠AOD＝120°，AB＝4． （1）求∠ADB的度数； （2）求矩形ABCD的面积． 【考点】矩形的性质；等边三角形的判定与性质． 【分析】（1）由矩形性质得∠BAD＝90°，OA＝OB，BD＝2OB，由∠AOD＝120°得∠AOB＝60°，由此得△OAB是等边三角形，进而得OA＝OB＝AB＝4，∠OBA＝60°，BD＝8，据此可得∠ADB的度数； （2）在Rt△ABD中，由勾股定理得AB，然后根据矩形的面积公式可得矩形ABCD的面积． 【解答】解：（1）∵四边形是矩形， ∴∠BAD＝90°，OA＝OB，BD＝2OB， ∴△ABD是直角三角形， ∵∠AOD＝120°， ∴∠AOB＝180°﹣∠AOD＝60°， 在△OAB中，OA＝OB，∠AOB＝60°， ∴△OAB是等边三角形， ∵AB＝4， ∴OA＝OB＝AB＝4，∠OBA＝60°， ∴BD＝2OB＝8， 在Rt△ABD中，∠ADB＝90°﹣∠OBA＝30°； （2）在Rt△ABD中，AB＝4，BD＝8， 由勾股定理得：AB， ∴矩形ABCD的面积为：AB×AD． 3．（2026•萧山区校级模拟）如图，▱ABCD，过点A，C分别作AF⊥CD，CE⊥AB，交CD，AB的延长线于点F，E． （1）求证：四边形AECF为矩形． （2）连接AC，BD交于点O，若AC⊥BD，，BE＝3，求矩形AECF的周长． 【考点】矩形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质；菱形的判定与性质． 【分析】（1）根据有三个角是直角的四边形为矩形，进行证明即可； （2）先证出四边形ABCD是菱形，故设AB＝BC＝CD＝AD＝x，（x＞0），则AE＝x+3，再根据勾股定理得出，CE2＝BC2﹣BE2＝AC2﹣AE2，列出方程，再解方程进行计算即可． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AE∥CF． ∵CE⊥AB，AF⊥CD， ∴CE⊥CD，AF⊥AB， ∴∠E＝∠F＝∠EAF＝∠FCE＝90°， ∴四边形AECF是矩形． （2）解：∵AC⊥BD，四边形ABCD为平行四边形， ∴四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝AD． 设AB＝BC＝CD＝AD＝x，（x＞0），则AE＝x+3， ∵CE2＝BC2﹣BE2＝AC2﹣AE2， 即， ∴x2﹣9＝80﹣（x+3）2， 解得，x＝5， ∴AE＝x+3＝8，AB＝BC＝CD＝AD＝5， ∴， ∴2（AE+CE）＝2×12＝24， ∴矩形AECF的周长是24． 4．（2026•浙江一模）如图，四边形ABCD是正方形，G是BC上任意一点（点G与B、C不重合），AE⊥DG于E，CF⊥DG于F． （1）求证：△AED≌△DFC； （2）求证：AE＝FC+EF． 【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质． 【分析】（1）根据正方形性质得AD＝DC，∠ADC＝90°，再根据AE⊥DG，CF⊥DG得∠AED＝∠DFC＝90°，证明∠DAE＝∠CDF，进而可依据“AAS”判定△AEE和△DFC全等； （2）根据△AEE和△DFC全等得AE＝DF，ED＝FC，然后再根据DF＝ED+EF＝FC+EF即可得出结论． 【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝DC，∠ADC＝90°， ∴∠ADE+∠CDF＝90°， ∵AE⊥DG，CF⊥DG， ∴∠AED＝∠DFC＝90°， ∴∠DAE+∠ADE＝90°， ∴∠DAE＝∠CDF， 在△AEE和△DFC中， ， ∴△AED≌△DFC（AAS）； （2）∵△AED≌△DFC， ∴AE＝DF，ED＝FC， ∵DF＝ED+EF＝FC+EF． ∴AE＝FC+EF． 5．（2026•浙江模拟）如图，一款杯子的轴截面可以抽象成等腰梯形（AB＝CD，AD∥BC，AD≠BC），某同学想知道该杯子最大盛水高度（即C到AD的距离）与杯子内底面的直径，通过测量，得到了如下数据：AC＝AD＝13cm，CD＝10cm．请帮该同学计算： （1）杯子最大盛水高度； （2）内底面的直径（BC的长度）． 【考点】等腰梯形的性质． 【分析】（1）过点C作CF⊥AD于F，设AF＝xcm，根据勾股定理列出方程，解方程求出x，再根据勾股定理求出CF； （2）过点B作BE⊥AD于E，根据矩形的性质得到BC＝EF，计算即可． 【解答】解：（1）如图，过点C作CF⊥AD于F， 设AF＝xcm，则DF＝（13﹣x）cm， 在Rt△ACF中，CF2＝AC2﹣AF2， 在Rt△DCF中，CF2＝CD2﹣DF2， ∴AC2﹣AF2＝CD2﹣DF2，即132﹣x2＝1002﹣（13﹣x）2， 解得：x， 则CF（cm）， 答：杯子最大盛水高度为cm； （2）如图，过点B作BE⊥AD于E， 则四边形EBCF为矩形， ∴BC＝EF， ∵四边形ABCD为等腰梯形， ∴AE＝DF＝13（cm）， ∴BC＝EF＝132（cm）， 答：内底面的直径为cm． 考点12 统计与数据分析 1．（2026•温岭市二模）我市为响应国家“健康第一”的号召，各所学校正式落实将“课间10分钟”延长为“15分钟”，鼓励学生们“走出来”，“动起来”，“乐起来”，在大课间推出5项体育活动（跳绳、排球、羽毛球、踢毽子、健身操），要求每名学生选择一项参与．某校为了解学生参与大课间体育活动的具体情况，随机抽取该校7﹣9年级部分学生开展调查工作并根据收集到的信息进行统计，绘制了如下统计图表．根据图中信息回答下列问题： 7﹣9年级学生活动项目统计表 序号 大课间体育活动项目 抽样调查参与人数（人） A 跳绳 30 B 排球 16 C 羽毛球 a D 踢毽子 14 E 健身操 10 ﹣ 合计 b （1）表格中b＝　 　 ，a＝　 　 ，扇形统计图中“E”所对应的圆心角度数为　 　 °； （2）在选择“跳绳”的人中，男生占比为60%，若该校参加“跳绳”活动的男生人数180人，请估计该校有多少名学生？ 【考点】扇形统计图；用样本估计总体；统计表． 【分析】（1）根据A的人数及百分比进行计算即可得到b的值，再用b减去A、B、D、E的人数即可求出a的值；根据E组的百分比即可得到所在扇形的圆心角的度数； （2）根据选择“跳绳”的人中，男生占比为60%，参加“跳绳”活动的男生人数180人，计算即可． 【解答】解：（1）∵b＝30÷30%＝100， ∴a＝100﹣30﹣16﹣14﹣10＝30；扇形统计图中“E”所对应的圆心角度数为360°＝36°； 故答案为：100，30，36； （2）30×60%＝18（名）， 1801000（名）， 答：估计该校有1000名学生． 2．（2026•舟山模拟）为保障2026年央视春晚机器人武术表演的动作整齐度，技术人员抽取部分机器人开展动作同步误差检测，以此筛选最终上场的设备．规定：同步误差数值越小，代表动作精准度越高．误差单位为毫秒（ms）根据检测结果，绘制了如下未完成的频数统计表与扇形统计图． 机器人动作同步误差数据频数统计表 同步误差（ms） 频数 对应扇形区域 0≤x＜10 5 A 10≤x＜20 a B 20≤x＜30 14 C 30≤x＜40 11 D 40≤x≤50 10 E 根据以上信息，解答下列问题： （1）抽取的机器人数是　 　 台，统计图表中a＝　 　 ．b＝　 　 ． （2）这组数据的中位数落在 组． （3）若规定误差小于30（ms）为“表演合格”，请估计200台同款机器人中合格的台数． 【考点】扇形统计图；中位数；用样本估计总体；频数（率）分布表．版权所有 【分析】（1）根据频数统计表和扇形统计图可知A组台数为5台，所占百分比为10%，由此可得抽取的机器人数，然后问题可求解； （2）根据中位数的定义进行求解即可； （3）由题意可直接进行求解． 【解答】解：（1）抽取的机器人数为5÷10%＝50（台）， ∴a＝50﹣5﹣14﹣11﹣10＝10，； 故答案为：50，10，22； （2）由中位数的定义可知：该组数据的中位数为第25和第26的数据之和的平均数，A组和B组的和为15，A组、B组和C组的和为29， ∴这组数据的中位数落在C组； 故答案为：C； （3）由题意可直接进行求解可得： 200×（10%+20%+28%）＝116（台）； 答：200台同款机器人中合格的台数为116台． 3．（2026•金华模拟）甲、乙两校参加全市的中学生“人工智能”竞赛，参赛人数相等，比赛成绩分别为7分、8分、9分、10分（满分为10分）．依据成绩绘制了如下尚不完整的统计图表： 甲校成绩统计表 分数 7分 8分 9分 10分 人数 11 0 a 8 （1）将图2的统计图补充完整． （2）已知乙校的平均分是8.3分，中位数是8分，请从平均分和中位数的角度分析哪个学校成绩较好？ 【考点】条形统计图；加权平均数；中位数． 【分析】（1）由得9分的人数除以占的百分比求出乙校参赛的总人数，即可得出8分的人数； （2）由于两校参赛人数相等，根据总人数减去其他人数求出甲校得9分的人数，再根据平均数求法得出甲的平均；把分数从小到大排列，利用中位数的定义解答． 【解答】解：（1）乙校参加人数：4÷20%＝20（人）， 得8分人数：20﹣5﹣4﹣8＝3（人）， 如图所示： （2）a＝20﹣11﹣0﹣8＝1， 甲校的平均分为（7×11+8×0+9×1+10×8）＝8.3（分）， 分数从低到高，第10人与第11人的成绩都是7分， 故中位数（7+7）＝7（分）； 由于两校平均分相等，乙校成绩的中位数大于甲校的中位数，所以从平均分和中位数角度上判断，乙校的成绩较好． 4．（2025•浙江）2024年11月9日是浙江省第31个消防日，为增强师生消防安全意识、提高自救防范能力，某县教育与消防部门共同组织消防知识竞赛．全县九年级共120个班，每班选派10名选手参加．随机抽取其中10个班级，统计其获奖人数，结果如表． 班级 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ 获奖人数 7 8 6 8 6 6 9 7 8 5 （1）若①班获奖选手的成绩分别为（单位：分）：83，91，83，90，83，88，91，求该班获奖选手成绩的众数与中位数． （2）根据统计信息，估计全县九年级参赛选手获奖的总人数． 【考点】众数；用样本估计总体；中位数． 【分析】（1）根据众数、中位数的定义即可求解； （2）用样本估计总体即可求解． 【解答】解：①班获奖选手的成绩从小到大排列为：83，83，83，88，90，91，91， 排在中间的数是88，故该班获奖选手成绩的中位数为88分； 83出现的次数最多，故该班获奖选手成绩的众数为83分； （2）随机抽取的10个班级获奖人数的平均数为：（7+8+6+8+6+6+9+7+8+5）＝7（人）， 120×7＝840（人）， 答：估计全县九年级参赛选手获奖的总人数为840人． 5．（2026•浙江模拟）某学校举办机器人制作比赛，10名评委对每个机器人进行独立评分（10分制，分数为整数），并绘制如下统计图： （1）求机器人“小目”得分的众数，并说明其含义． （2）优秀机器人需满足“平均分不低于9分，且中位数不低于9分”，请问“小目”能否获得优秀机器人？ 【考点】众数；中位数． 【分析】（1）根据众数是一组数据出现次数最多的数解答即可； （2）求出机器人“小目”平均分和中位数解答即可． 【解答】解：（1）根据众数是一组数据出现次数最多的数可知： 众数为10分， 说明：在10位评委中，给机器人“小目”打10分的人数最多，反映出多数评委认为它表现优秀． （2）机器人“小目”平均分（分）， ∵10个数据从小到大排列为：7，8，8，9，9，9，10，10，10，10， ∴中位数为分． ∴两个条件都满足， ∴“小目”能获得“优秀机器人”． 6．（2026•上城区一模）2026年，杭州某中学开展“最美杭州”文明实践，调查初三年级学生参与“西湖先锋”社区公益、西湖景区文明引导等志愿服务的次数，随机抽取了该年级部分学生进行调查，得到如下不完整的频数分布表： 志愿服务次数 1次 2次 3次 4次 5次 6次 频数（人数） 2 5 a 8 b 8 已知以下信息： ①参与志愿服务次数为2次的学生，占本次抽取总人数的10%； ②参与志愿服务次数为3次的学生，占本次抽取总人数的20%． 请根据以上信息，解答下列问题： （1）表格中的a＝　 　 ，b＝　 　 ； （2）求本次调查中，学生参与志愿服务次数的众数和中位数； （3）若该校初三年级共有450名学生，据调查结果，估计该校初三年级本学期志愿服务次数不低于4次的学生总人数，为学校后续组织志愿者活动提供人数参考． 【考点】众数；用样本估计总体；频数（率）分布表；中位数． 【分析】（1）用2次的人数和占比求总人数，再用占比求a，最后用总人数减其他项人数得b； （2）找出人数最多的次数作为众数；找到第25、26个数据，取其平均数为中位数； （3）先算出样本中次数不低于4次的人数占比，再乘全校总人数，估计出总人数． 【解答】解：（1）已知参与2次的学生有5人，占总人数的10%，因此总人数为：5÷10%＝50（人）， 参与3次的学生占总人数的20%， 因此：a＝50×20%＝10， 总人数减去其他次数的人数，可得b＝50﹣2﹣5﹣10﹣8﹣8＝17； 故答案为：10；17； （2）众数：是一组数据中出现次数最多的数值，次数为5次的人数最多（12人），因此众数为5次； 中位数：将数据从小到大排列后，位于中间位置的数（若数据总数为偶数，则为中间两个数的平均数， 总人数为50，中位数是第25、26个数据的平均数， 前3组累计人数：2+5+10＝17， 前4组累计人数：17+8＝25， 前5组累计人数：25+12＝37， 第25个数据为4次，第26个数据为5次，因此中位数为：4.5（次）， 答：众数是5次，中位数是4.5次； （3）样本中，次数不低于4次的人数为：8+17+8＝33（人）， 占比为：100%＝66%， 估计全校450名学生中，次数不低于4次的人数为：450×66%＝297（人）， 答：估计该校初三年级本学期志愿服务次数不低于4次的学生总人数为297人． 1．（2026•钱塘区二模）解下列方程： （1）x2﹣4x＝0； （2）． 【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；解分式方程． 【分析】（1）利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可； （2）根据解分式方程的步骤，对所给分式方程进行求解即可． 【解答】解：（1）x2﹣4x＝0， x（x﹣4）＝0， 则x＝0或x﹣4＝0， 所以x1＝0，x2＝4； （2）， 3+2＝x﹣1， x＝6， 当x＝6时，x﹣1≠0， 所以x＝6是原方程的解． 2．（2026•浙江模拟）先化简，再求值．（a+b）2+（a﹣b）（2a+b）﹣3a2，其中． 【考点】整式的混合运算—化简求值． 【分析】先根据完全平方公式和多项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可． 【解答】解：原式＝a2+2ab+b2+2a2+ab﹣2ab﹣b2﹣3a2 ＝ab， ∵， ∴原式． 3．（2026•宁波校级一模）①计算： ②先化简，再求值．[（x+2y）（x﹣2y）﹣（x+4y）2]÷4y，其中x＝5，y＝2． 【考点】整式的混合运算—化简求值；实数的运算． 【分析】①先分别求出平方的相反数、三次方、立方根、平方根，再按照整式的混合运算的顺序来运算； ②先用平方差公式和完全平方公式将代数式化简，再将给定的值代入计算即可． 【解答】解：① ＝﹣1+（﹣8）（﹣3）×（） ＝﹣1+（﹣1）﹣1 ＝﹣3 ②[（x+2y）（x﹣2y）﹣（x+4y）2]÷4y ＝[x2﹣4y2﹣x2﹣16y2﹣8xy]÷4y ＝（﹣20y2﹣8xy）÷4y ＝﹣5y﹣2x 将x＝5，y＝2代入上式得， 原式＝﹣5y﹣2x ＝﹣5×2﹣2×5 ＝﹣10﹣10 ＝﹣20 4．（2026•富阳区一模）解分式方程：． 【考点】解分式方程． 【分析】把分式方程转变为整式方程，解整式方程求出x的值，然后检验即可． 【解答】解：方程两边同时乘2x，得6﹣（5x﹣1）＝2x， 去括号，得6﹣5x+1＝2x， 移项、合并同类项，得7x＝7， 解得：x＝1， 检验：把x＝1代入2x≠0， ∴分式方程的解为x＝1． 5．（2026•萧山区校级模拟）解不等式组：． 【考点】解一元一次不等式组． 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【解答】解：， 解不等式①得：x， 解不等式②得：x≤0， ∴不等式组的解集为x≤0． 6．（2026•浙江一模）解分式方程：． 【考点】解分式方程． 【分析】根据解分式方程的方法，先把原方程转化为整式方程，然后解分式方程求出x的值，最后再检验即可． 【解答】解：， 方程两边同时乘3（x+2），得3x﹣3（x+2）＝x﹣4， 去括号，得3x﹣3x﹣6＝x﹣4， 解得：x＝﹣2， 检验：把x＝﹣2代入3（x+2）＝0， ∴x＝﹣2是原分式方程的增根， ∴原分式方程无解． 7．（2026•杭州模拟）先化简，再求值：，其中． 【考点】分式的化简求值． 【分析】利用分式的运算法则化简，再代值计算即可求解． 【解答】解：原式 ， 代入，原式． 8．（2026•萧山区一模）设A＝3x，B＝2（x﹣1）． （1）当x＝﹣3时，求A+B的值； （2）当A＞3，且B＜4时，求x的取值范围． 【考点】不等式的性质． 【分析】（1）先化简再代入即可； （2）根据题意列不等式组，再求解即可． 【解答】解：（1）A+B＝3x+2（x﹣1） ＝3x+2x﹣2 ＝5x﹣2， 当x＝﹣3时，原式＝5×（﹣3）﹣2 ＝﹣15﹣2 ＝﹣17． （2）根据题意可得， 解得：， ∴1＜x＜3． 9．（2026•莲都区校级模拟）【阅读理解】我们已经学过完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2，适当地变形，可以解决很多的数学问题． 例：若a+b＝3，ab＝2，求a2+b2的值． 解：由完全平方公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2， 因此a2+b2＝（a+b）2﹣2ab． 因为a+b＝3，ab＝2， 所以a2+b2＝32﹣2×2＝5． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： （1）填空：若x﹣y＝3，xy＝10，则x2+y2＝　 　 ； 【类比应用】（2）若关于x的方程满足x2﹣3x+1＝0，求的值． 【考点】分式的化简求值；完全平方公式． 【分析】（1）仿照材料中的解题思路进行计算，即可解答； （2）利用完全平方公式进行计算，即可解答． 【解答】解：（1）由完全平方公式：（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2， 因此x2+y2＝（x﹣y）2+2xy． 因为x﹣y＝3，xy＝10， 所以x2+y2＝32+2×10＝29， 故答案为：29； （2）∵x2﹣3x+1＝0， ∴x﹣30， ∴x3， ∴（x）2＝（x）2﹣4•x•32﹣4＝5． 10．（2026•萧山区一模）为了引导学生对家乡历史、人文、经济、社会等更多的关注，某初中对全体八、九年级的学生进行了以“知家乡、爱家乡”为主题的知识竞赛． 【数据的收集和整理】 学校从两个年级抽取数量相同的学生成绩进行分析，并将学生测试成绩（得分为x）分成四个等级，A：60≤x＜70；B：70≤x＜80；C：80≤x＜90；D：90≤x≤100，获得以下信息： ①抽查九年级测试成绩条形统计图和抽查同学测试成绩扇形统计图（均不完整）； ②两个年级被抽查的同学中满分100分的共有2人，本次达到D组成绩的有10人，其中八年级的D等级的成绩各不相同，九年级测试成绩D等级的全部成绩如下：91，92，93，93，93，94，100． 【问题解决】请根据以上信息，完成下列问题： （1）本次共抽取　 　 人的成绩，两个年级中D组成绩的众数是　 　 ； （2）小靓发现自己的分数正好是她所在年级抽查学生成绩的中位数，小丽看了这个分数后说：“小靓的成绩在我们年级的成绩是中上等水平”，请你根据这些信息，判断小靓是哪个年级的学生，并说明理由． 【考点】条形统计图；中位数；众数；全面调查与抽样调查；扇形统计图．菁 【分析】（1）利用“本次达到 组成绩的学生人数 其占比”，即可求得本次共抽取学生人数；根据众数的定义，即可确定两个年级中D组成绩的众数； （2）分析八年级和九年级学生成绩中位数的范围，结合题意即可获得答案． 【解答】解：（1）本次共抽取学生人数为10÷10%＝100 （人），根据题意，本次达到D组成绩的有10人，其中八年级的D等级的成绩各不相同，九年级测试成绩等级的全部成绩如下：91，92，93，93，93，94，100，且两个年级被抽查的同学中满分100分的共有2人， ∴出现次数最多的是93，即两个年级中D组成绩的众数是93． 故答案为：100；93； （2）小靓是九年级学生， 理由如下：根据条形统计图可知，九年级A组学生6人，B组学生18人，C组学生19人，D组学生7人， 所以九年级学生成绩的中位数的取值范围为 80≤x九年级成绩中位数≤90， 由（1）可知，本次共抽取学生100人， ∴此次抽取的八年级学生人数为50人，其中达到D组成绩的有10﹣7＝3 （人），达到C组成绩的有100×30%﹣19＝11 （人）， ∴八年级学生成绩在A、B两组的人数为50﹣3﹣11＝36人，所以八年级学生成绩的中位数的取值范围为 x八年级成绩中位数＜80， 若小靓的分数正好是她所在年级抽查学生成绩的中位数，且在小丽所在年级的成绩为中上等水平，则小靓是九年级学生． 11．（2026•钱塘区二模）2026年“浙BA”系列篮球赛之超冠赛于4月24日开赛，下面是杭州代表队甲、乙两名球员在赛前10场热身赛中，每场比赛统计的篮板数据（单位：个）． 材料一：甲、乙两名球员10场比赛的篮板数据（按照从小到大排序）． 甲 3 4 4 5 5 5 5 6 6 7 乙 4 6 6 6 7 8 8 8 8 9 材料二：甲、乙两名球员10场比赛的篮板相关统计数据． 平均数 中位数 众数 方差 甲 a 5 c 1.2 乙 7 b 8 d 根据以上信息，解决下列问题： （1）写出a，b，c，d的值． （2）请根据统计数据，对甲、乙两名球员的篮板能力进行评价分析． 【考点】方差；中位数；众数． 【分析】（1）根据平均数、中位数、众数和方差的定义求解即可； （2）根据平均数、中位数和方差的意义解答即可． 【解答】解：（1）由题意得，甲的平均数a5， 乙的中位数b7.5， 甲的众数c＝5， 乙的方差d2； （2）乙的篮板能力更强，因为乙的平均数、中位数和众数均大于甲，甲的篮板能力比乙稳定，因为甲的方差比乙小． 12．（2026•富阳区一模）如图，是一座桥梁的平面示意图，BC＝AD，DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别为点E，F，且DE＝CF． （1）证明：AF＝BE； （2）若BE＝1，DE＝2，求AC的长． 【考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理． 【分析】（1）证明Rt△ADE≌Rt△BCF（HL），得AE＝BF，即可解决问题； （2）由（1）可知，AF＝BE＝1，再由CF＝DE＝2，然后由勾股定理求出AC的长即可． 【解答】（1）证明：∵DE⊥AB，CF⊥AB， ∴∠DEA＝∠CFB＝90°， 在Rt△ADE和Rt△BCF中， ， ∴Rt△ADE≌Rt△BCF（HL）， ∴AE＝BF， ∴AE﹣EF＝BF﹣EF， 即AF＝BE； （2）由（1）可知，AF＝BE＝1， ∵CF⊥AB， ∴∠CFA＝90°， ∵CF＝DE＝2， ∴AC， 答：AC的长为． 13．（2026•莲都区校级模拟）【教材呈现】下图是华师版八年级下册数学教材第121页的部分内容．如图，在正方形ABCD中，CE⊥DF． （1）求证：CE＝DF． （2）【结论应用】如图2，设CE，DF相交于点G，若AB＝3，图中阴影部分的面积和与正方形ABCD的面积之比为2：3，求△DCG的面积 【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质． 【分析】（1）根据AAS证△CDF≌△BCE即可得证； （2）设三角形DCG的面积为x，根据题意列出方程求解即可得出△DCG的面积． 【解答】（1）证明：设DF、EC交于点G， ∵DF⊥CE， ∴∠FGC＝90°， ∴∠DFC+∠ECB＝90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴BC＝DC，∠B＝∠FCD＝90°， ∴∠BEC+∠BCE＝90°， ∴∠BEC＝∠CFD， 在△CDF和△BCE中， ， ∴△CDF≌△BCE（AAS）， ∴CE＝DF； （2）由（1）知，S△BEC＝S△CDF， ∴四边形BEGF的面积+△FGC的面积＝△FGC的面积+△DGC的面积， 即四边形BEGF的面积＝△DGC的面积， 设△DCG的面积为x， 则阴影部分的面积为：3×3﹣2x＝9﹣2x， 即， 解得． ∴若AB＝3，图中阴影部分的面积和与正方形ABCD的面积之比为2：3，则△DCG的面积为． 14．（2026•滨江区一模）如图，在四边形ABCD中，E是边AB的中点，DB，CE交于点F，且满足DF＝FB，AF∥DC． （1）求证：四边形AFCD为平行四边形． （2）若∠EFB＝90°，BF＝5，EF＝2，求BC的长． 【考点】四边形综合题． 【分析】（1）因为DF＝FB，所以F是DB的中点，而E是AB的中点，根据三角形中位线定理得EF∥AD，即CF∥AD，因为AF∥CD，所以四边形AFCD是平行四边形； （2）由F是DB的中点，E是AB的中点，EF＝2，根据三角形中位线定理AD＝2EF＝4，由平行四边形的性质昨CF＝AD＝4，而∠CFB＝∠EFB＝90°，BF＝5，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】（1）证明：∵DB，CE交于点F，DF＝FB， ∴F是DB的中点， ∵E是AB的中点， ∴EF∥AD， ∴CF∥AD， ∵AF∥CD， ∴四边形AFCD是平行四边形． （2）解：∵F是DB的中点，E是AB的中点，EF＝2， ∴AD＝2EF＝4， ∵四边形AFCD是平行四边形， ∴CF＝AD＝4， ∵∠CFB＝∠EFB＝90°，BF＝5， ∴BC， ∴BC的长是． 15．（2026•金华模拟）若一个整式能表示成a2﹣b2（a，b都是整式），则称这个式子为“平方差式”，若a，b为整数，称“平方差数”则．如3＝22﹣12；2a+1＝（a+1）2﹣a2等． （1）写出一个大于30且小于40的“平方差数”； （2）已知T＝x2﹣4y2+6x+8y+k（k是常数）是“平方差式”，求出符合条件的一个k值，并说明理由． 【考点】因式分解的应用． 【分析】（1）根据平方差数定义，尝试不同整数组合a2﹣b2，找到结果在30到40之间的数； （2）对T＝x2﹣4y2+6x+8y+k分组配方，将含x和y的项分别配成完全平方形式，使剩余常数项为0，从而确定k的值． 【解答】解：（1）设平方差数为a2﹣b2（a、b为整数）， 尝试不同整数组合： 当a＝7，b＝1时，72﹣12＝49﹣1＝48（大于40，不符合）； 当a＝6，b＝2时，62﹣22＝36﹣4＝32（30＜32＜40，符合）； 当a＝6，b＝1时，62﹣12＝36﹣1＝35（30＜35＜40，符合）； （2）将T＝x2﹣4y2+6x+8y+k分组配方： T＝（x2+6x）﹣（4y2﹣8y）+k ＝（x2+6x+9）﹣9﹣（4y2﹣8y+4）+4+k ＝（x+3）2﹣（2y﹣2）2+（k﹣5）， 因为T是平方差式，所以常数项需为0， 即k﹣5＝0， 解得k＝5． 此时T＝（x+3）2﹣（2y﹣2）2，符合平方差式定义． 16．（2026•绍兴一模）如图，在矩形ABCD中，点E在边BC上，以E为圆心，BE长为半径画弧交边CD于点F，连结BF交线段AE于点P，恰有AB＝AP，连结EF． （1）判断AE与EF的位置关系，并说明理由． （2）若，AB＝4，求PE的长． 【考点】矩形的性质；解直角三角形． 【分析】（1）根据等边对等角及对顶角相等得到∠ABP＝∠APB＝∠EPF，根据等边对等角得到∠EBF＝∠BFE，可知∠EPF+∠BFE＝90°，根据三角形内角和定理求出∠AEF＝90°，即可得到AE与EF的位置关系； （2）根据三角函数得到，设PE＝x，则BE＝EF＝3x，在Rt△ABE中，根据勾股定理列方程求解即可． 【解答】解：（1）AE⊥EF．理由如下： ∵AB＝AP， ∴∠ABP＝∠APB＝∠EPF， ∵BE＝EF， ∴∠EBF＝∠BFE， 又∵∠ABP+∠EBF＝90°， ∴∠EPF+∠BFE＝90°， ∵∠AEF＝180°﹣∠EPF﹣∠BFE＝180°﹣90°＝90°， ∴AE⊥EF； （2）∵∠AEF＝90°，， ∴， 设PE＝x，则BE＝EF＝3x， 在Rt△ABE中，由AB2+BE2＝AE2得 42+（3x）2＝（x+4）2， 16+9x2＝16+x2+8x， 解得x1＝1，x2＝0（舍去）， ∴PE＝x＝1． 17．（2026•嘉兴一模）已知一列数，我们将第1个数记为a1，第2个数记为a2，第3个数记为a3，…，第n个数记为an，这n个数的和记为Sn（即Sn＝a1+a2+⋯+an），并且这列数从第3个数开始满足a3＝a1+a2，a4＝a2+a3，…，an＝an﹣2+an﹣1．例如，当a1＝1，a2＝1时，a3＝a1+a2＝1+1＝2，a4＝a2+a3＝1+2＝3，…；S3＝a1+a2+a3＝1+1+2＝4，S4＝a1+a2+a3+a4＝1+1+2+3＝7，… （1）当a1＝1，a2＝1时，求a5和S5的值； （2）若a2＝4，且S5＝18，求a1的值． 【考点】规律型：数字的变化类． 【分析】（1）根据所给计算方式进行计算即可； （2）根据题意，得出关于a1的方程，据此进行计算即可． 【解答】解：（1）由题知， 因为a1＝1，a2＝1， 所以a3＝1+1＝2，a4＝1+2＝3，a5＝2+3＝5， 则S5＝1+1+2+3+5＝12； （2）由题知， 因为a2＝4， 所以a3＝a1+4，a4＝a3+a2＝a1+8，a5＝a4+a3＝2a1+12． 因为S5＝18， 所以a1+4+a1+4+a1+8+2a1+12＝18， 解得a1＝﹣2． 18．（2026•衢州模拟）如图1，在▱ABCD中，BC＝5，对角线AC＝7，∠BAC＝45°．作DE⊥AC，垂足为点E，且DE＜AE． （1）求DE的长． （2）如图2，连结BE，求△ABE的中线AF的长． 【考点】平行四边形的性质． 【分析】（1）利用勾股定理建立关于DE的方程，解方程即可； （2）作BH⊥AC，垂足为H，FN⊥AC，垂足为N，利用三角形全等和中位线性质得到FN，AN＝CN，再利用勾股定理得到中线AF长． 【解答】解：（1）∵在▱ABCD中，BC＝5，∠BAC＝45°． ∴∠ACD＝45°，AD＝5， ∵作DE⊥AC，垂足为点E， ∴△CDE是等腰直角三角形， ∴CE＝DE， ∵AC＝7， ∴AE＝7﹣DE， 在Rt△ADE中，由勾股定理可得： （7﹣DE）2+DE2＝52， 整理得DE2﹣7DE+12＝0， 解得DE＝3或4． ∵DE＜AE． ∴DE＝3， （2）如图，作BH⊥AC，垂足为H，FN⊥AC，垂足为N， 在△ABH和△CDE中， ， ∴△ABH≌△CDE（AAS）， ∴BH＝DE＝3， ∵BH∥FN，F是BE的中点， ∴FN是△BEH的中位线， ∴FN，AN＝CN， 在Rt△AFN中，由勾股定理可得： AF． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 题号猜押06 浙江中考数学17~21题（简答题） 考点1 实数相关概念与负指数幂计算 1．（2026•西湖区校级一模）计算：． 2．（2026•鹿城区校级一模）计算：． 3．（2026•衢江区模拟）计算：． 考点2 整式的混合运算 1．（2026•拱墅区一模）（1）计算：（﹣1）×（﹣3）+（﹣1﹣1）2； （2）化简：x（x﹣2）+（x﹣1）2． 2．（2026•钱塘区二模）（1）计算：20260+（﹣2）2﹣|﹣3|； （2）化简：a（2﹣a）+（a+1）（a﹣1）． 3．（2026•绍兴一模）已知实数a，b满足a﹣b＝4，a2+b2＝14． （1）求ab的值． （2）阅读如图材料，求a3﹣b3的值． 考点3 代数式类证明式问题 1．（2026•临安区一模）考拉兹猜想（又称3n+1猜想）是近代数学中最著名的未解猜想之一，由德国数学家考拉兹提出，其内容是：任意正整数n，若是偶数就除以2，若是奇数就乘3加1，重复操作，最终都会得到1．例如，当n＝10时，分步进行考拉兹运算：第1步：10÷2＝5；第2步：5×3+1＝16；第3步：16÷2＝8；第4步：8÷2＝4；第5步：4÷2＝2；第6步：2÷2＝1． （1）若从某正整数n出发，第一步考拉兹运算得到16，求所有满足条件的正整数n； （2）小杭同学说：若3n+1（n为任意正整数）已被证明符合考拉兹猜想，则2m（m为任意正整数）一定也符合考拉兹猜想． ∵2m为偶数， ∴2m÷2＝m， 若m为奇数，则下一步考拉兹运算后为3m+1， 若m为偶数，则下一步考拉兹运算继续除以2，多次运算，直至出现奇数p，则下一步考拉兹运算得到3p+1， ∴2m可以多次考拉兹运算为3n+1的形式， ∴2m一定也符合考拉兹猜想． 若3n+1（n为任意正整数）已被证明符合考拉兹猜想，请继续证明4k+1（k为任意正整数）一定也符合考拉兹猜想． 2．（2026•富阳区一模）阅读理解下面内容，并解决问题： 据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求出它的立方根，华罗庚脱口而出地报出答案，邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙． 你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请阅读下面的问题和解答： （1）由103＝1000，1003＝1000000，你能确定是几位数吗？ ∵1000＜59319＜1000000， ∴， ∴是两位数． （2）由59319的个位上的数是9，你能确定的个位上的数是几吗？ ∵只有个位数是9的立方数的个位数依然是9， ∴的个位数是9． （3）如果划去59319后面的三位319得到59，而33＝27，43＝64，由此你能确定的十位上的数是几吗？ ∵27＜59＜64， ∴3040， ∴的十位数是3． 所以，59319的立方根是39． 问题：已知整数103823是整数的立方． （1）说明是一个几位数； （2）求的值． 3．（2026•鹿城区校级模拟）在二次根式的学习中，我们学会了估计一个无理二次根式的整数部分，例如由，可得的整数部分为1，接下来如何进一步估算的值呢？小明同学在查询资料后，发现了一种方法： 以为例，易知的整数部分为10，且更接近11；则114＝102+14，114﹣102＝14，；．（实际上， （1）的整数部分为　 　 ；　 　 （结果保留两位小数）． （2）小明在采用这种方法估算时，得到，与熟知的数据相差较大：小明仔细思考后发现问题在于的小数部分与1比较接近，因此在分母中用1来代替会产生较大的误差．请你利用所学的知识，结合本题的方法帮助小明估算的值（结果保留三位小数）． 4．（2026•钱塘区二模）代数推理是发展逻辑思维和问题解决能力的重要路径，探究数的整除规律就是一个典型的代数推理过程．请阅读材料并解决问题： 因为7×11×13＝1001，所以把正五位数写成的形式． 即． 因为是11的倍数，所以只要能被11整除，则能被11整除． 例如把79134拆成79和134，因为134﹣79＝55＝5×11，所以79134能被11整除． （1）请分别判断20266和91135是否能被11整除，并说明理由． （2）试说明正六位数，只要能被13整除，则能被13整除． 5．（2026•杭州模拟）“字母表示数”的系统化阐述是16世纪提出的，被后人称为从“算术”到“代数”的一次飞跃，从而大大推动了数学的发展．经过初中数学的学习，我们知道了用字母表示数可以分析从特殊到一般的数学规律，字母与数一样，也可以参与运算．请同学们观察下列关于正整数的平方拆分的等式： 第1个等式：22＝1+12+2；第2个等式：32＝2+22+3； 第3个等式：42＝3+32+4；第4个等式：52＝4+42+5； （1）请用此方法拆分20242． （2）请你用上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数）并运用有关知识，推理说明这个结论是正确的． 6．（2026•浙江模拟）若三位数的各位数字满足a＝b+c，则称该三位数为“和首数”．例如：三位数312，因为3＝1+2，所以312是和首数． （1）若一个“和首数”的十位数字是个位数字的2倍还多1，求该三位数． （2）若是和首数，将M的各个数字轮换移位，得到一个新的三位数，求证：M﹣N是9的倍数． 考点4 整式的化简求值 1．（2025•浙江）化简求值：x（5﹣x）+x2+3，其中x＝2． 2．（2026•上城区一模）化简求值：（x+2）（x﹣2）﹣x（x﹣1）+2x，其中x＝2． 3．（2026•滨江区一模）化简求值：（a﹣2）2﹣2（a﹣2），其中a＝1． 4．（2026•鹿城区校级模拟）先化简，再求值：（a﹣1）2﹣a（a+1）﹣1，其中a＝3． 5．（2026•杭州一模）化简求值：（x﹣3）2﹣x（x﹣8），其中x＝﹣2． 6．（2026•浙江一模）先化简，再求值：（2a+b）2﹣（b﹣2a）（b+2a），其中a＝﹣2，b＝1． 考点5 分式的约分与分式的值 1．（2026•金华模拟）已知x﹣2y＝0，求分式的值． 2．（2026•衢州模拟）约分：． 3．（2026•西湖区一模）（1）计算：． （2）化简：． 考点6 分式的化简求值 1．（2026•丽水一模）先化简，再求值：，其中． 2．（2026•浙江模拟）先化简，再求值：，其中x＝﹣3． 3．（2026•拱墅区校级模拟）化简求值：，其中x＝2． 4．（2026•宁波模拟）先化简，再求值：，其中x＝2． 5．（2026•柯城区一模）小王的解题过程如下： 先化简，再求值：，其中a＝﹣1． 解：原式① ＝2a﹣（a﹣2）…② ＝a+2…③ 当a＝﹣1时，原式＝a+2＝﹣1+2＝1． （1）请指出首次出现错误的步骤序号：　 　 ． （2）写出正确的解答过程． 考点7 解一元一次方程、二元一次方程组、一元二次方程 1．（2026•上城区一模）以下是小程同学解一元一次方程的解题过程，请认真阅读并完成任务：解方程：． 小程的解题过程：解：步骤①：去分母，得3（x+1）﹣2（2x﹣1）＝1 步骤②：去括号，得3x+3﹣4x﹣2＝1 步骤③：移项，得3x﹣4x＝1﹣3+2 步骤④：合并同类项，得﹣x＝0 步骤⑤：系数化为1，得x＝0 （1）小程的解题过程从第　 　 步开始出现错误，错误原因是　 　 ． （2）请写出该一元一次方程正确的解答过程． 2．（2026•金华模拟）解方程组：． 3．（2026•浙江模拟）解方程组：． 4．（2026•浙江模拟）解方程组：． 5．（2026•湖州一模）解方程：x2﹣4x+3＝0． 考点8 解分式方程 1．（2025•浙江）解分式方程：0． 2．（2026•舟山一模）解方程：． 3．（2026•拱墅区一模）（1）解方程组：； （2）． 4．（2026•宁波模拟）解方程：． 5．（2026•嘉兴一模）解分式方程：． 考点9 解一元一次不等（组） 1．（2026•临安区一模）解不等式：﹣4x+2＜2（x+4），并把它的解表示在数轴上． 2．（2026•丽水一模）解不等式：x﹣2（x﹣1）≤5． 3．（2026•温岭市二模）解不等式组：． 4．（2026•衢州模拟）解不等式组． 5．（2026•温州一模）解不等式组，并把解集表示在数轴上． 考点10 全等三角形的性质与判定 1．（2026•绍兴一模）对于题目“如图1，已知AC，BD相交于O，OA＝OB，OC＝OD，证明：△ABC≌△BAD．”小明的解答过程如图2．请指出小明证明过程中错误步骤的序号，并写出正确证明过程． 2．（2026•金华模拟）如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠C＝90°，点E在BC上，且BE＝DC． （1）求证：△ABE≌△BCD． （2）已知DC＝2EC＝2，求AE的长． 3．（2026•台州一模）如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC中点，连结DE，∠ABC的平分线交DE于点F． （1）求证：∠DBF＝∠DFB． （2）若DF＝EF，BC＝12，求BD的长． 4．（2026•拱墅区一模）如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，且BE＝CF． （1）求证：∠B＝∠C． （2）若∠A＝∠B，BC＝6，求BE的长． 5．（2026•杭州一模）在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，点E在BC上，AB＝EC，BE＝DC． （1）求证：AE＝ED． （2）已知AB＝2，CD＝3，求△AED的面积． 考点11 平行四边形与特殊平行四边形 1．（2026•温岭市二模）如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BC交BC于点E，连接DE，AF是△ADE的中线． （1）求证：△ADF是等腰三角形； （2）若∠ADE＝∠EDC＝30°，AB＝6，求AD的长． 2．（2026•定海区模拟）已知：如图，在矩形ABCD中，两条对角线相交于点O，∠AOD＝120°，AB＝4． （1）求∠ADB的度数； （2）求矩形ABCD的面积． 3．（2026•萧山区校级模拟）如图，▱ABCD，过点A，C分别作AF⊥CD，CE⊥AB，交CD，AB的延长线于点F，E． （1）求证：四边形AECF为矩形． （2）连接AC，BD交于点O，若AC⊥BD，，BE＝3，求矩形AECF的周长． 4．（2026•浙江一模）如图，四边形ABCD是正方形，G是BC上任意一点（点G与B、C不重合），AE⊥DG于E，CF⊥DG于F． （1）求证：△AED≌△DFC； （2）求证：AE＝FC+EF． 5．（2026•浙江模拟）如图，一款杯子的轴截面可以抽象成等腰梯形（AB＝CD，AD∥BC，AD≠BC），某同学想知道该杯子最大盛水高度（即C到AD的距离）与杯子内底面的直径，通过测量，得到了如下数据：AC＝AD＝13cm，CD＝10cm．请帮该同学计算： （1）杯子最大盛水高度； （2）内底面的直径（BC的长度）． 考点12 统计与数据分析 1．（2026•温岭市二模）我市为响应国家“健康第一”的号召，各所学校正式落实将“课间10分钟”延长为“15分钟”，鼓励学生们“走出来”，“动起来”，“乐起来”，在大课间推出5项体育活动（跳绳、排球、羽毛球、踢毽子、健身操），要求每名学生选择一项参与．某校为了解学生参与大课间体育活动的具体情况，随机抽取该校7﹣9年级部分学生开展调查工作并根据收集到的信息进行统计，绘制了如下统计图表．根据图中信息回答下列问题： 7﹣9年级学生活动项目统计表 序号 大课间体育活动项目 抽样调查参与人数（人） A 跳绳 30 B 排球 16 C 羽毛球 a D 踢毽子 14 E 健身操 10 ﹣ 合计 b （1）表格中b＝　 　 ，a＝　 　 ，扇形统计图中“E”所对应的圆心角度数为　 　 °； （2）在选择“跳绳”的人中，男生占比为60%，若该校参加“跳绳”活动的男生人数180人，请估计该校有多少名学生？ 2．（2026•舟山模拟）为保障2026年央视春晚机器人武术表演的动作整齐度，技术人员抽取部分机器人开展动作同步误差检测，以此筛选最终上场的设备．规定：同步误差数值越小，代表动作精准度越高．误差单位为毫秒（ms）根据检测结果，绘制了如下未完成的频数统计表与扇形统计图． 机器人动作同步误差数据频数统计表 同步误差（ms） 频数 对应扇形区域 0≤x＜10 5 A 10≤x＜20 a B 20≤x＜30 14 C 30≤x＜40 11 D 40≤x≤50 10 E 根据以上信息，解答下列问题： （1）抽取的机器人数是　 　 台，统计图表中a＝　 　 ．b＝　 　 ． （2）这组数据的中位数落在 组． （3）若规定误差小于30（ms）为“表演合格”，请估计200台同款机器人中合格的台数． 3．（2026•金华模拟）甲、乙两校参加全市的中学生“人工智能”竞赛，参赛人数相等，比赛成绩分别为7分、8分、9分、10分（满分为10分）．依据成绩绘制了如下尚不完整的统计图表： 甲校成绩统计表 分数 7分 8分 9分 10分 人数 11 0 a 8 （1）将图2的统计图补充完整． （2）已知乙校的平均分是8.3分，中位数是8分，请从平均分和中位数的角度分析哪个学校成绩较好？ 4．（2025•浙江）2024年11月9日是浙江省第31个消防日，为增强师生消防安全意识、提高自救防范能力，某县教育与消防部门共同组织消防知识竞赛．全县九年级共120个班，每班选派10名选手参加．随机抽取其中10个班级，统计其获奖人数，结果如表． 班级 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ 获奖人数 7 8 6 8 6 6 9 7 8 5 （1）若①班获奖选手的成绩分别为（单位：分）：83，91，83，90，83，88，91，求该班获奖选手成绩的众数与中位数． （2）根据统计信息，估计全县九年级参赛选手获奖的总人数． 5．（2026•浙江模拟）某学校举办机器人制作比赛，10名评委对每个机器人进行独立评分（10分制，分数为整数），并绘制如下统计图： （1）求机器人“小目”得分的众数，并说明其含义． （2）优秀机器人需满足“平均分不低于9分，且中位数不低于9分”，请问“小目”能否获得优秀机器人？ 6．（2026•上城区一模）2026年，杭州某中学开展“最美杭州”文明实践，调查初三年级学生参与“西湖先锋”社区公益、西湖景区文明引导等志愿服务的次数，随机抽取了该年级部分学生进行调查，得到如下不完整的频数分布表： 志愿服务次数 1次 2次 3次 4次 5次 6次 频数（人数） 2 5 a 8 b 8 已知以下信息： ①参与志愿服务次数为2次的学生，占本次抽取总人数的10%； ②参与志愿服务次数为3次的学生，占本次抽取总人数的20%． 请根据以上信息，解答下列问题： （1）表格中的a＝　 　 ，b＝　 　 ； （2）求本次调查中，学生参与志愿服务次数的众数和中位数； （3）若该校初三年级共有450名学生，据调查结果，估计该校初三年级本学期志愿服务次数不低于4次的学生总人数，为学校后续组织志愿者活动提供人数参考． 1．（2026•钱塘区二模）解下列方程： （1）x2﹣4x＝0； （2）． 2．（2026•浙江模拟）先化简，再求值．（a+b）2+（a﹣b）（2a+b）﹣3a2，其中． 3．（2026•宁波校级一模）①计算： ②先化简，再求值．[（x+2y）（x﹣2y）﹣（x+4y）2]÷4y，其中x＝5，y＝2． 4．（2026•富阳区一模）解分式方程：． 5．（2026•萧山区校级模拟）解不等式组：． 6．（2026•浙江一模）解分式方程：． 7．（2026•杭州模拟）先化简，再求值：，其中． 8．（2026•萧山区一模）设A＝3x，B＝2（x﹣1）． （1）当x＝﹣3时，求A+B的值； （2）当A＞3，且B＜4时，求x的取值范围． 9．（2026•莲都区校级模拟）【阅读理解】我们已经学过完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2，适当地变形，可以解决很多的数学问题． 例：若a+b＝3，ab＝2，求a2+b2的值． 解：由完全平方公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2， 因此a2+b2＝（a+b）2﹣2ab． 因为a+b＝3，ab＝2， 所以a2+b2＝32﹣2×2＝5． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： （1）填空：若x﹣y＝3，xy＝10，则x2+y2＝　 　 ； 【类比应用】（2）若关于x的方程满足x2﹣3x+1＝0，求的值． 10．（2026•萧山区一模）为了引导学生对家乡历史、人文、经济、社会等更多的关注，某初中对全体八、九年级的学生进行了以“知家乡、爱家乡”为主题的知识竞赛． 【数据的收集和整理】 学校从两个年级抽取数量相同的学生成绩进行分析，并将学生测试成绩（得分为x）分成四个等级，A：60≤x＜70；B：70≤x＜80；C：80≤x＜90；D：90≤x≤100，获得以下信息： ①抽查九年级测试成绩条形统计图和抽查同学测试成绩扇形统计图（均不完整）； ②两个年级被抽查的同学中满分100分的共有2人，本次达到D组成绩的有10人，其中八年级的D等级的成绩各不相同，九年级测试成绩D等级的全部成绩如下：91，92，93，93，93，94，100． 【问题解决】请根据以上信息，完成下列问题： （1）本次共抽取　 　 人的成绩，两个年级中D组成绩的众数是　 　 ； （2）小靓发现自己的分数正好是她所在年级抽查学生成绩的中位数，小丽看了这个分数后说：“小靓的成绩在我们年级的成绩是中上等水平”，请你根据这些信息，判断小靓是哪个年级的学生，并说明理由． 11．（2026•钱塘区二模）2026年“浙BA”系列篮球赛之超冠赛于4月24日开赛，下面是杭州代表队甲、乙两名球员在赛前10场热身赛中，每场比赛统计的篮板数据（单位：个）． 材料一：甲、乙两名球员10场比赛的篮板数据（按照从小到大排序）． 甲 3 4 4 5 5 5 5 6 6 7 乙 4 6 6 6 7 8 8 8 8 9 材料二：甲、乙两名球员10场比赛的篮板相关统计数据． 平均数 中位数 众数 方差 甲 a 5 c 1.2 乙 7 b 8 d 根据以上信息，解决下列问题： （1）写出a，b，c，d的值． （2）请根据统计数据，对甲、乙两名球员的篮板能力进行评价分析． 12．（2026•富阳区一模）如图，是一座桥梁的平面示意图，BC＝AD，DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别为点E，F，且DE＝CF． （1）证明：AF＝BE； （2）若BE＝1，DE＝2，求AC的长． 13．（2026•莲都区校级模拟）【教材呈现】下图是华师版八年级下册数学教材第121页的部分内容．如图，在正方形ABCD中，CE⊥DF． （1）求证：CE＝DF． （2）【结论应用】如图2，设CE，DF相交于点G，若AB＝3，图中阴影部分的面积和与正方形ABCD的面积之比为2：3，求△DCG的面积 14．（2026•滨江区一模）如图，在四边形ABCD中，E是边AB的中点，DB，CE交于点F，且满足DF＝FB，AF∥DC． （1）求证：四边形AFCD为平行四边形． （2）若∠EFB＝90°，BF＝5，EF＝2，求BC的长． 15．（2026•金华模拟）若一个整式能表示成a2﹣b2（a，b都是整式），则称这个式子为“平方差式”，若a，b为整数，称“平方差数”则．如3＝22﹣12；2a+1＝（a+1）2﹣a2等． （1）写出一个大于30且小于40的“平方差数”； （2）已知T＝x2﹣4y2+6x+8y+k（k是常数）是“平方差式”，求出符合条件的一个k值，并说明理由． 16．（2026•绍兴一模）如图，在矩形ABCD中，点E在边BC上，以E为圆心，BE长为半径画弧交边CD于点F，连结BF交线段AE于点P，恰有AB＝AP，连结EF． （1）判断AE与EF的位置关系，并说明理由． （2）若，AB＝4，求PE的长． 17．（2026•嘉兴一模）已知一列数，我们将第1个数记为a1，第2个数记为a2，第3个数记为a3，…，第n个数记为an，这n个数的和记为Sn（即Sn＝a1+a2+⋯+an），并且这列数从第3个数开始满足a3＝a1+a2，a4＝a2+a3，…，an＝an﹣2+an﹣1．例如，当a1＝1，a2＝1时，a3＝a1+a2＝1+1＝2，a4＝a2+a3＝1+2＝3，…；S3＝a1+a2+a3＝1+1+2＝4，S4＝a1+a2+a3+a4＝1+1+2+3＝7，… （1）当a1＝1，a2＝1时，求a5和S5的值； （2）若a2＝4，且S5＝18，求a1的值． 18．（2026•衢州模拟）如图1，在▱ABCD中，BC＝5，对角线AC＝7，∠BAC＝45°．作DE⊥AC，垂足为点E，且DE＜AE． （1）求DE的长． （2）如图2，连结BE，求△ABE的中线AF的长． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $