4.5 图形的相似-【指南针·中考1对1】2025年中考数学初中学业水平考试指导

一时一初中学业水平考试指导·数学·参考答案 43等棱三高到与真角三属得 中考低隔 第五章四边形 第大草圆 知明硫理 1A2D1”4C毫 5.1多边形与平行国造 6.1国的暴本性质 一，两边相等平分线中线线 植心素养 知识横理 知授機理 ，三边 三，自角气食一单一中军末阳率方十#一中 片 2路a=3 一，-1X13W一数m-一卫雨等 一，您合线段长考城优%同减等同重金岗心 二过周心国心.平分篱垂直于平处厘平 平方相平方 第2误时相保之角到 格等红一X1r成1”面型 用等 针对室练 址民横理 三，无数不在具直线上国，属结用图 11”2& 二，正一角带正大边后 玉，一半用等直角自径★，朴 中考鞋捷 一，用成比到相世比相比的平方 相智等或 比例用等林应慢比网对应战此同 三，平行中，心对称对角线的交A子行相等行日射时对调味 二，食的图形能2中0甲博 等射望互相平分民×高全等 1的1.4%减年人d 信心素养 针时细连 针对家搭 中考目腐 1f1UD=2.(2M Lg王0又野 4(11整期野 1.A 23 4C 5,H AC 7n 1略 4.4会号三角形 (相屑和，连整A山， 被心素养 中考值速 :H,G分州题A,《T)的 18,10 幻讯植理 1A2bAC4日质A4,2￥97.49 =,1,重合后状大小 中点， 62,与国有美的位里美系 二，对成边相等相等桂等相罗 4.6解直角三角形 立点N是△D的重C 针对练 年识核理 ACN2HN. 上城鸭玉-士 -共停竖1 品一骨 三.只有年及量直0直得心点直半格 国.切青相等平外 中考链楼 二.a+=∠A十∠B= 又CH站合，D的中线 五，外接商外心是直平分度答国请内切国内6角 三，上年自阴角2经度发装比能角辣大 针对调度 二4为=支8· 早线各边L士m玉安a十A一 核心素养 1.C2.0 又“C是平行陶边形MN和平行具皮行AD的时错对调莲 )不存在 A简迪部的长皮为W5十待，末 角线： 1.1)期2)⊙0的径为1上日 2前1，作Al1)于H, 中考信耀 中零民福 :道风上的.点)是库边感AD 1,A2日人B4455.2观第613拍一5-万) 1.C2.63.64山)精2山c0的羊9为4 的等形点”， 以“A1家X的自积为， T,划士指的高度约为 5D103.C83段7 .△5△xD, ∴A信D的自积为1品 系1点0与点4的用肉为0来： 植心素养 ÷AB-D=43,4-0-5 中寿百接 42D是道An的长度为10，正十百)未 (1雀接，证∠D=∠ED可得AD平分∠AE LC1D表3T4D5CABT.5 '=1t,0u7 气篷蓬的度D的为，m,列地南的距肉省的为+，m (2@0的中径为黑 2州=，州H一于一， 核心素养 M聘g线a-AB·P十a'·-4 6,3身图有美吟计耳 由句吸定理斜.1一(7一一产一，解得g=。 生1或C正明暗2线段AE的长为6 短说核理 4用■3.AH=4,He9。 做专题4全等三角形的常考模型 信心素养 三，缩丹线年径程十r矩用高2 L112①gDd 6+2r 荧型1图新型 5.2矩形，菱形和正方形 针时调除 1.D玉降人(1》二任明跨 知明植辑 1.22B 本1)话谓毫(2C一y丽 一、行国油形平行阳零在作相等中心直角平中考线液 HR 是塑？故转塑 材边形三：图边感相等半国造形 1组2D及非4及云4- 二∠H)=∠立深 484子？明略 二、平行边样等相尊红并直平分平分等 ∠EO=∠m 平四由形胃因边形带直平有国边形 元1路g)号-家装CC ∠)=∠E 是型3一残三等角型 三，相等直角平行草直角相等单直平分平分 核心素养 -00G.0F 轴中右容的那直角查影相等平行口功毛 1的(g23 针对适 浩1 膜专丽5相叔三角形的常考极型 量专丽指求期影面积的常用方法 黄型1“A"字型 LIY 1A XC 4.5图形的相何 中考百接 美型1直提进用公人 1,A2C人D 第1误时成北例具和相位道到 L玉口友而A或1+屋 1,1C311 表型2“8“字型 4爵支C6AT 美型2和差走 4B多C6日 一4=d一鲜住列中山项气全丹飘区 N1象毫DI.D以A日C 41D:5C600= 三，该比网域比筒 亮型3子排型 植心素养 長型」等机党规 三，相比相日民的穿青 1,C口号略 针对罐 美型4线静型 3,DAC孩Ci,路g) 血旺明略其1溶2一号 6一对一初中学业水平考试指导·数学 4.5 图形的相似 第1课时 成比例线段和相似图形 【方法】平行线分线段成比例的常见图形 理 一、比例线段及其性质 生A入 四条线段中，如果其中两条线段的比等于另 图3 成比例 两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例 图1，若直线L作则提器怨票 线段 线段，简称比例线段 a:b=e:d→ 因2，若DE/BC,品能品能-畏 (b≠0，d≠0)： 比例的基 a:b=b：→ (b≠0，c≠0)，b是a, 本性质 图8，若DE∥BC,别-S-品 c的比例中项 三、相似多边形 合比 34十6 -c+d 性质 b d b d 如果两个多边形对应边成比例，对应角相等，那 定义 么这两个多边形是相似多边形. 等比 T= d =…=m(b十d+…十n≠0)→ (1)相似多边形的对应角相等，对应边成比例： 性质 a十c十…十m_a 性质 (2)相似多边形的周长的比等于 ,面 b+d+十nb 积的比等于 点C把线段AB分成两条线段AC和CB (AC>CB),如果AC是AB和BC的 黄金 ,即AC=AB·BC,那么点C叫做线 典 例精析 分割 段AB的 AC=5,1AB≈0.618AB 知识点1 比例的性质 2 ©例11 ★点拨：判断四条线段是否成比例的方法： 知5学求 方法一：若最短两条线段的比等于最长两 【思路分析】把x,y,:换成同一个字母进行 解答 条线段的比，则这四条线段成比例； 方法二：若最长线段与最短线段的积与另 【解答】令--音-, 外两条线段的积相等，则这四条线段成比例， .x=2k,y=3k,义=4k 二、平行线分线段成比例 ∴原式-4k+6k+41 9k-4k 51 (1)基本事实：两条直线被一组平行线所截， 针对训练 平行线 所得的对应线段 分线段 (2)推论：平行于三角形一边的直线与其他两 1.(2023金昌)若号-则ab- 成比例 边（或两边的延长线）相交，截得的对应线段 A.6 B. 3 C.1 D. 3 ·78· 第四章三角形 知识点2平行线分线段成比例 【思路分析】可设AD=x,由四边形EFDC与矩 形ABCD相似，根据相似多边形对应边的比相等列出 ©例2如图，DE∥FG∥BC,若DB 比例式，求解即可 4FB,则EG与GC的关系是 ( 【解答】AB=2, 设AD=x,则FD=x-2,FE=2, 四边形EFDC与矩形ABCD相似， 嚅怨脚22 A.EG=4GC B.EG=3GC 解得x=1+5,xg=1一5（不合题意，合去）， C.BG-cC D.EG=2GC 经检验x■1+√5是原分式方程的解. 【思路分析】根据平行线分线段成比例定理列出 【点拨】本题考查了翻折变换（折叠问题），相似 线段间的比例关系即可得到答案。 多边形的性质，本题的关键是根据四边形EFDC与矩 【解答】：DE∥FG∥BC,DB=4FB. 形ABCD相似得到比例式. 畏器-是-3G-90c 针对孙练 【点拨】本题考查了平行线分线段成比例的应 3.如图，一块矩形ABCD绸布的长AB=a, 用，能根据基本事实得出比例式是解此题的关箴.注 宽AD=3,按照图中的方式将它裁成相同 意：一组平行线截两条直线，所藏得的对应线段成比例. 的三面矩形彩旗，如果裁出的每面彩旗与 针对训练 矩形ABCD绸布相似，则a的值等于 2.(2023·北京)如图，直线AD,BC交于点 O,AB∥EF∥CD,若AO=2,OF=1, FD=2.则装的值为 A.3√2 B.22 C.33 D.23 4 4本4 中 知识点3相似多边形的性质 @©例3如图，已知矩形ABCD中，AB= 命题比例线段 2,在BC上取一点E,沿AE将△ABE向上折 1.(2024·哈尔滨)如图，在四边形ABCD中， 叠，使B点落在AD上的F点处，若四边形 AD∥BC,点E在AB上，EF∥AD交CD于 EFDC与矩形ABCD相似，则AD= () 点F,若AE:BE=1:2,DF=3,则FC的长为 () A.5 B.√5+1C.4 D.23 A.6 B.3 C.5 D.9 ·79· 一对一初中学业水平考试指导·数学 2.(2022·雅安)如图，在△ABC中，D,E分别是 (3)如图2，若CO的延长线交AB于点F, AB和AC上的点，DE∥BC,若 =2,那么 当m、n之间满足关系式 时，AF =2BF. DE BC A合 B.1 c D.3 图 图2 第2题图 第3题图 3.(2023·哈尔滨)如图，AC,BD相交于点O, AB∥DC,M是AB的中点，MN∥AC,交BD 于点N,若DO:OB=1:2,AC=12,则MN 的长为 () A.2 B.4 C.6 D.8 4.如图，AB,CD相交于点E,且AC∥EF∥DB, 点C,F,B在同一条直线上.已知AC=p, EF=r,DB=q,则p、q、r之间满足的数量关 系式是 () A.1+1=1 B.1+1-2 r qp pr q D.1+1-2 p qr g r p 5已知吃=-，则大y 核 心 素养 △ABC中，D、E分别为BC、AC边上的动点， BD=CD,AE=EC,AD与BE相交于点O 如图1.当m=2=1时，距 SAAOE S四边形TE (2②当m=1.5时，求证8器 3CE ·80· 第四章三角形 第2课时 相似三角形 二、位似图形的有关概念 知 识梳 理 如果两个图形不仅形状相似，而且每组对应顶 点的连线或延长线相交于同一点，那么这样的 定义 一、相似三角形的性质与判定 两个图形叫做 ,这个点叫做 如果两个三角形的对应角相等，对应边成比例， 定义 (1)位似图形上的任意一对对应点到位似中心 那么这两个三角形叫做相似三角形。 的 之比等于相似比，面积比等于相似 (1)对应角 性质 比的平方： (2)对应边 (2)对应边平行或重合： 性质 (3)相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应 (3)对应角相等. 角平分线的比和周长的比都等于 (1)确定位似中心： 画位似 (4)相似三角形面积的比等于 (2)确定原图形中的顶点关于位似中心的对 图形的 应点： (1)平行于三角形的一边的直线与其他两边（或 步骤 (3)描出新图形 两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角 形 (2)两角分别 的两个三角形相似： 典 例 精 析 判定(3)两边 且夹角 的两个三角形 相似： 知识点1相似三角形的性质与判定 (4)三边 的两个三角形相似： ②例1如图，在平行四边形ABCD中，连 (5)满足斜边和一条直角边 的两 个直角三角形相似， 接对角线AC,延长AB至点E,使BE=AB,连 接DE,分别交BC,AC于点F,G. 【拓展】 常见相似三角形的基本类型。 (1)求证：BF=CF: (2)若BC=6,DG=4,求FG的长 【解答】(1)证明：：四边形 ABCD是平行四边形， 心BCDE 心1∠1■∠B 心∠1■∠B ∴.AD∥BC,AD=BC, A型图 ∴△EBF∽△EAD, ..BF _EB1 AD EA-2 .BF-AD-BC. 已知1BDE 心绑∠A=∠D ∴.BF=CF; X型图 (2)解：，四边形ABCD是平行四边形， .AD∥CF ∴.△FGC∽△DGA, D 已知D是Rt△ABC斜边上的高 瓷乐解释G-2 母子型图 ·81· 一对一初中学业水平考试指导·数学 针对练 写出点A2的坐标. 1.(2022·杭州)如图，在△ABC中，点D,E, F分别在边AB,AC,BC上，连接DE, EF.已知四边形BFED是平行四边形， = (1)若AB=8,求线段AD的长： 【解答】(1)如图所示：△AB,C,即为所求： (2)若△ADE的面积为1，求平行四边形 (2)如图所示：△A2B2C:即为所求，点A2的坐标 为(-2.-2). BFED的面积 【方法归纳】位似图形的作图五步法： (1)确定位似中心： (2)确定原图形的关键点： (3)确定相似比，即要将图形放大或缩小的倍数： (4)作出原图形中各关键点的对应点： (5)按原图形的顺序连接所作的各个对应点. 针对孙练++++++++++一 2.(2022·河池)如图，在平面直角坐标系中， △ABC的三个顶点的坐标分别为A(4, 1),B(2,3),C(1,2) (1)画出与△ABC关于y轴对称的 △AB1C1: (2)以原点O为位似中心，在第三象限内 画一个△A2B2C2,使它与△ABC的相似 比为2：1，并写出点B2的坐标. 知识点2位似图形 ©例2如图，△ABC三个顶点的坐标分 别为A(0,-3),B(3,一2)，C(2,一4)，正方形网 格中，每个小正方形的边长是1个单位长度 (1)画出△ABC向上平移6个单位长度得 到的△AB1C1: (2)以点C为位似中心，在网格中画出 △AzB,C2,使△A2B,C2与△ABC位似，且 △AB2C2与△ABC的相似比为2：1，并直接 82 第四章三角形 镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一 考 链接 直线上)，直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶 端.已知小菲的眼睛离地面高度为1.6m,同时 命题一相似三角形的性质与判定 量得小菲与镜子的水平距离为2m,镜子与旗 1.(2024·德州)如图，Rt△ABC中，∠ABC= 杆的水平距离为10m,则旗杆高度为 () 90°，BD⊥AC,垂足为D,AE平分∠BAC,分 别交BD,BC于点F,E.若AB:BC=3:4, 则BF:FD为 () A.6.4m B.8m C.9.6m D.12.5m 5.(2023·南京)如图，不等臂跷跷板AB的一端 A碰到地面时，另一端B到地面的高度为 60cm:当AB的一端B碰到地面时，另一端A A.5:3 B.5:4 C.4:3 D.2:1 到地面的高度为90cm,则跷跷板AB的支撑 2.如图，线段AE、BD交于点C,下列条件中，不 点O到地面的高度OH是 () 能判定△ABC和△DCE相似的是 () A、 0 777777777777779 A.∠A=∠D A.36cm B.40cm C.42cm D.45cm B.AB∥DE 命题三位似 C.AC·CD=BC·CE 6.(2022·成都)如图，△ABC和△DEF是以点O D.AC·DE=AB·CE 为位似中心的位似图形.若OA:AD=2：3, 3.(2022·大连)如图，在△ABC中，∠ACB 则△ABC与△DEF的周长比是 90°，分别以点A和点C为圆心，大于2AC的 长为半径作弧，两弧相交于M,N两点，作直 线MN,直线MN与AB相交于点D,连接 CD,若AB=3,则CD的长是 7.(2023·阜新)如图，△ABC和△DEF是以点 O为位似中心的位似图形，相似比为2：3，则 △ABC和△DEF的面积比是 A.6 B.3 C.1.5 D.1 命题二。相似三角形的实际应用 4.(2023·南充)如图，数学活动课上，为测量学校 旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置一平面 83·