4.3 等腰三角形与直角三角形-【指南针·中考1对1】2025年中考数学初中学业水平考试指导

一时一初中学业水平考试指导·数学·参考答案 43等棱三高到与真角三属得 中考低隔 第五章四边形 第大草圆 知明硫理 1A2D1”4C毫 5.1多边形与平行国造 6.1国的暴本性质 一，两边相等平分线中线线 植心素养 知识横理 知授機理 ，三边 三，自角气食一单一中军末阳率方十#一中 片 2路a=3 一，-1X13W一数m-一卫雨等 一，您合线段长考城优%同减等同重金岗心 二过周心国心.平分篱垂直于平处厘平 平方相平方 第2误时相保之角到 格等红一X1r成1”面型 用等 针对室练 址民横理 三，无数不在具直线上国，属结用图 11”2& 二，正一角带正大边后 玉，一半用等直角自径★，朴 中考鞋捷 一，用成比到相世比相比的平方 相智等或 比例用等林应慢比网对应战此同 三，平行中，心对称对角线的交A子行相等行日射时对调味 二，食的图形能2中0甲博 等射望互相平分民×高全等 1的1.4%减年人d 信心素养 针时细连 针对家搭 中考目腐 1f1UD=2.(2M Lg王0又野 4(11整期野 1.A 23 4C 5,H AC 7n 1略 4.4会号三角形 (相屑和，连整A山， 被心素养 中考值速 :H,G分州题A,《T)的 18,10 幻讯植理 1A2bAC4日质A4,2￥97.49 =,1,重合后状大小 中点， 62,与国有美的位里美系 二，对成边相等相等桂等相罗 4.6解直角三角形 立点N是△D的重C 针对练 年识核理 ACN2HN. 上城鸭玉-士 -共停竖1 品一骨 三.只有年及量直0直得心点直半格 国.切青相等平外 中考链楼 二.a+=∠A十∠B= 又CH站合，D的中线 五，外接商外心是直平分度答国请内切国内6角 三，上年自阴角2经度发装比能角辣大 针对调度 二4为=支8· 早线各边L士m玉安a十A一 核心素养 1.C2.0 又“C是平行陶边形MN和平行具皮行AD的时错对调莲 )不存在 A简迪部的长皮为W5十待，末 角线： 1.1)期2)⊙0的径为1上日 2前1，作Al1)于H, 中考信耀 中零民福 :道风上的.点)是库边感AD 1,A2日人B4455.2观第613拍一5-万) 1.C2.63.64山)精2山c0的羊9为4 的等形点”， 以“A1家X的自积为， T,划士指的高度约为 5D103.C83段7 .△5△xD, ∴A信D的自积为1品 系1点0与点4的用肉为0来： 植心素养 ÷AB-D=43,4-0-5 中寿百接 42D是道An的长度为10，正十百)未 (1雀接，证∠D=∠ED可得AD平分∠AE LC1D表3T4D5CABT.5 '=1t,0u7 气篷蓬的度D的为，m,列地南的距肉省的为+，m (2@0的中径为黑 2州=，州H一于一， 核心素养 M聘g线a-AB·P十a'·-4 6,3身图有美吟计耳 由句吸定理斜.1一(7一一产一，解得g=。 生1或C正明暗2线段AE的长为6 短说核理 4用■3.AH=4,He9。 做专题4全等三角形的常考模型 信心素养 三，缩丹线年径程十r矩用高2 L112①gDd 6+2r 荧型1图新型 5.2矩形，菱形和正方形 针时调除 1.D玉降人(1》二任明跨 知明植辑 1.22B 本1)话谓毫(2C一y丽 一、行国油形平行阳零在作相等中心直角平中考线液 HR 是塑？故转塑 材边形三：图边感相等半国造形 1组2D及非4及云4- 二∠H)=∠立深 484子？明略 二、平行边样等相尊红并直平分平分等 ∠EO=∠m 平四由形胃因边形带直平有国边形 元1路g)号-家装CC ∠)=∠E 是型3一残三等角型 三，相等直角平行草直角相等单直平分平分 核心素养 -00G.0F 轴中右容的那直角查影相等平行口功毛 1的(g23 针对适 浩1 膜专丽5相叔三角形的常考极型 量专丽指求期影面积的常用方法 黄型1“A"字型 LIY 1A XC 4.5图形的相何 中考百接 美型1直提进用公人 1,A2C人D 第1误时成北例具和相位道到 L玉口友而A或1+屋 1,1C311 表型2“8“字型 4爵支C6AT 美型2和差走 4B多C6日 一4=d一鲜住列中山项气全丹飘区 N1象毫DI.D以A日C 41D:5C600= 三，该比网域比筒 亮型3子排型 植心素养 長型」等机党规 三，相比相日民的穿青 1,C口号略 针对罐 美型4线静型 3,DAC孩Ci,路g) 血旺明略其1溶2一号 6一对一初中学业水平考试指导·数学 4.3等腰三角形与直角三角形 三、直角三角形 知 理 有一个角是 的三角形叫做直角三 定义 角形 一、等腰三角形 (1)直角三角形的两个锐角 定义 有 相等的三角形叫做等腰三角形， (2)直角三角形斜边上的中线等于斜边的 (1)等腰三角形的两底角 (简写成“等边 (3)在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那 对等角”)： 性质 么它所对的直角边等于斜边的 .反之 (2)等腰三角形顶角的 ,底边上的 亦然： 性质 ,底边上的 互相重合（简写成 (4)勾股定理：在直角三角形中，两条直角边a,b “三线合一”)： 的 等于斜边c的 ,即 (3)等腰三角形是轴对称图形，一般有一条对 称轴 (1)有一个角是直角的三角形是直角三角形： (2)有两个角互余的三角形是直角三角形： (1)有两边相等的三角形是等腰三角形： (3)如果三角形一边上的中线等于这条边的 判定 (2)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个 判定 ,那么这个三角形为直角三角形： 角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）. ()勾股定理的逆定理：如果三角形的两条边的 等于第三边的 ,那么这个 S2ah(a为底边长，h为底边上的高)： 三角形为直角三角形. 面积 等腰三角形底边上的高为h=√：一（受）广，其 面积 S=之山=宁hu,6为直角边c为斜边：A为 中b为等腰三角形的腰，a为底边长， 斜边上的高). 二、等边三角形 【提醒】1.熟记常见的勾股数：(1)3,4,5：(2)5,12， 13:(3)6.8,10:(4)7,24.25:(5)8.15,17:(6)9.40,41. 定义 都相等的三角形叫做等边三角形。 2.勾股数的倍数也是勾股数 (1)具有等腰三角形的所有性质： 四、等腰直角三角形 (2)等边三角形的三边相等，三个角都相等，且都 性质 (1)两直角边相等： 性质 等于 (2)两锐角相等且等于45°. (3)等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴. (1)顶角为90°的等腰三角形是等腰直角三 角形： (1)三边都相等的三角形是等边三角形： (2)有两个角为45°的三角形是等腰直角三 (2)三个内角都相等的三角形是等边三角形： 判定 角形： (3)有一个角是 的等腰三角形是等边三 判定 (3)有一个角为45°的直角三角形是等腰直角三 角形. 角形； (4)两直角边相等的直角三角形是等腰直角三 S 面积 名h=得。a为任意边长，为任意一边上 角形 的高). 面积 2a21 2(a为直角边.c为斜边). ·70· 第四章三角形 针对训练++ 典例精析 1.(2023·锦州)如图，在△ABC中，BC的垂 直平分线交BC于点D,交AB于点E,连 知识点1等腰三角形的性质与判定 接CE.若CE=CA,∠ACE=40°，则∠B ③例1如图，在△ABC中，CD是AB边 的度数为 上的高，BE是AC边上的中线，且BD=CE. 求证： (I)点D在BE的垂直平分线上： (2)∠BEC=3∠ABE. 知识点2直角三角形的相关计算 ⊙例2如图，在Rt△ABC中，∠ACB 90°，点D是AB的中点，BE⊥CD,交CD的延 长线于点E.若AC=2,BC=2√2，则BE的长为 【思路分析】(1)连接DE,根据垂直的定义得 () 到∠ADC=∠BDC=90°，根据直角三角形的性质得到 DE=CE,根据线段垂直平分线的性质即可得到结论： (2)根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性 质即可得到结论 【解答】证明：(1)连接DE,如 A. C.5 D.2 答案图， CD是AB边上的高， 【思路分析】由AC,BC的长度易求三角形ABC ∴.∠ADC=∠BDC=90. 的面积，由点D是AB的中点，从而得到△BCD的面积 ,BE是AC边上的中线， 是△ABC面积的一半，从而得到BE的长度， ..AE=CE. 答案图 【解答】 △ABC的面积=2×AC×BC-号×2× ∴.DE=CE. 22=22. .BD=CE, :点D是AB的中点 ..BD=DE. ∴点D在BE的垂直平分线上 :.CD-AB. (2),DE=AE. ∴△BCD的面积=△ABC面积×号-2. ∴.∠A=∠ADE. 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2,BC=2√2， BD=DE, .∠ABE=∠DEB, 由勾股定理得AB=√AC+BC :∠ADE=∠ABE+∠DEB, V2+(22)2=23, .∠A=∠ADE=2∠ABE. .CD-AB-/3. ,∠BEC=∠A+∠ABE, .∠BEC=3∠ABE. BE2S=22_26 CD 33 【点拔】本题考查直角三角形的性质，掌握其性 质是解决问题的关键。 ·71· 一对一初中学业水平考试指导·数学 针对切练 针对训练 3.(2024·南充)如图，在Rt△ABC中，∠C 2.(2022·荆门)数学兴趣小组为测量学校 90°，∠B=30°，BC=6,AD平分∠CAB A与河对岸的科技馆B之间的距离，在A 交BC于点D,点E为边AB上一点，则 的同岸选取点C,测得AC=30,∠A= 线段DE长度的最小值为 45°，∠C=90°，如图，据此可求得A、B之 间的距离为 ( A.√2 B B.3 + C.2 D.3 c A.203 B.60 中 考链接 C.30√2 D.30 命题一等腰三角形的性质及计算 ⊙例3如图，在3×3的网格中，每个小正方形 1.(2023·河北)四边形ABCD的边长如图所示， 的边长均为1，点A,B,C都在格点上，若BD是 对角线AC的长度随四边形形状的改变而变 △ABC的高，则BD的长为 化.当△ABC为等腰三角形时，对角线AC的 长为 () A.19/13 &品G A.2 B.3 C.4 D.5 c是s b 2.(2024·兰州)如图，在△ABC中，AB=AC, 【思路分析】根据勾股定理计算AC的长，利用面 ∠BAC=130°，DA⊥AC,则∠ADB=() 积差可得△ABC的面积，由三角形的面积公式即可得 到结论 1) 【解答】由勾股定理得：AC=√2+3=√13， A.1009 B.115 C.130 D.145 :Sm=3×3-号×1×2-号×1×3-号×2× 3.(2022·桂林)如图，在△ABC中，∠B 3 22.5°，∠C=45°，若AC=2,则△ABC的面积 2 是 () 2AC·BD= 2 BD=713 8鱼5°45入c 13 A.3+ 2 B.1+√2 C.2√2 D.2+√2 ·72· 第四章三角形 4.(2024·重庆)如图，在△ABC中，AB-AC,8.(2023·菏泽)△ABC的三边长a,b,c满足 ∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D.若 (a-b)2+√2a-b-3+|c-3√2|=0，则 BC=2,则AD的长度为 △ABC是 () A,等腰三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.等腰直角三角形 9.(2023·攀枝花)如图，在△ABC中，∠A 5.(2024·内江)如图，在△ABC中，∠DCE 40°，∠C=90°，线段AB的垂直平分线交AB 40°，AE=AC,BC=BD,则∠ACB的度数为 于点D,交AC于点E,则∠EBC D 第9题园 第10题图 命题二直角三角形 10.(2023·随州)如图，在Rt△ABC中，∠C 6.(2022·淮安)如图，在△ABC中，AB= 90°，AC=8,BC=6,D为AC上一点，若BD AC,∠BAC的平分线交BC于点D,E为AC 是∠ABC的角平分线，则AD=· 的中点，若AB=10,则DE的长是 养 “三等分角”大约是在公元前五世纪由古希 A.8 B.6 腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪” C.5 D.4 能三等分任一角.这个三等分角仪由两根有槽 7.(2022·镇江)如图，点A、B、C、D在网格中小 的棒OA、OB组成，两根棒在O点相连并可绕O 正方形的顶点处，AD与BC相交于点O,小正 转动，C点固定，OC=CD=DE,点D,E可在槽 方形的边长为1，则AO的长等于 () 中滑动.若∠BDE=75°，则∠CDE的度数是 A.2 7 .3 e吗 A.60° B.65° D9 5 C.75 D.80° ·73·