3.5 二次函数的应用&微专题3 平面直角坐标系中的面积问题-【指南针·中考1对1】2025年中考数学初中学业水平考试指导

一对一初中学业水平考试指导·数学 3.5 二次函数的应用 (3).W=-2x2+280x-8000=-2(x-70)2+ 1800(40≤x≤80)， 当40≤x≤70时，W随x的增大而增大， 当70<x≤80时，W随x的增大而减小， 二次函数的应用 当x=70时，W取得最大值，此时W=1800. 1.利用二次函数解决抛物线形问题； 答：当40≤x≤70时，W随x的增大而增大，当 2.利用二次函数求图形面积的最值问题； 70<x≤80时，W随x的增大而减小，故售价为70元时 3.利用二次函数解决商品销售问题中的最大利 获得最大利润，最大利润是1800元 润问题： 4.应用二次函数解决实际问题的步骤：一找，找 1.(2023·鞍山)网络销售已经成为一种热门 出问题中的变量和常量以及它们之间的函数 的销售方式，某果园在网络平台上直播销 关系；二列，列函数解析式表示它们之间的关 售荔枝.已知该荔枝的成本为6元/千克， 系；三解，应用二次函数的图象及其性质解 销售价格不高于18元/千克，且每售卖 题：四检，检验结果的合理性，特别是检验是 1kg需向网络平台支付2元的相关费用. 否符合实际意义 经过一段时间的直播销售发现，每日销售 量y(kg)与销售价格x(元/千克)之间满 析 足如图所示的一次函数关系， 本y/kg 2200 知识点1二次函数的实际应用 1600 ©例1某超市销售一种商品，成本每千克 40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于80 8 14x(元/千克】 元，经市场调查，每天的销售量y(千克)与每千克 (1)求y与x的函数解析式； 售价x(元)满足一次函数关系，部分数据如下表： (2)当每千克荔枝的销售价格定为多少元 时，销售这种荔枝日获利最大？最大利润 售价x(元/千克) 50 60 70 为多少元？ 销售量y(千克) 100 80 60 (1)求y关于x的函数解析式： (2)设商品每天的总利润为W(元)，求W 关于x的函数解析式（利润=收入一成本）； (3)试说明(2)中总利润W随售价x的变化 而变化的情况，并指出售价为多少元时获得最 大利润，最大利润是多少 【解答】(1)设y关于x的函数解析式为y=x+b, 50k+b=100, 列方程组得60+b80.解得二一2，】 b=200, y关于x的函数解析式是y=-2x+200. (2)由题意可得， W=(x-40)(-2x+200)=-2x2+280x-8000, .W关于x的函数解析式是W=-2x2+280x-8000. 56 第三章函数 知识点2二次函数综合问题 设P,-号+2+6，其中0<1<6， 例2已知：如图，抛物线y=ax2十bx十 则N(t,一t十6). c与坐标轴分别交于点A(0,6),B(6,0),C(-2, ∴PN=PM-MN=-2e+2+6-(-t+6) O),点P是线段AB上方抛物线上的一个动点. (1)求抛物线的解析式； 2+2+6t-6=2+3, (2)当点P运动到什么位置时，△PAB的 ∴Se-Sw+SAEw-PN.AG+-号PN. 面积有最大值？ (3)过点P作x轴的垂线，交线段AB于点 BM=2PN·(AG+BM)=7PN·OB=2× D,再过点P作PE∥x轴，交抛物线于点E,连 （2+3）×6=-+9=-昌u-3+ 接DE,请问是否存在点P,使△PDE为等腰直 角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存 -<0， 在，说明理由。 ∴，当t=3时，△PAB的面积有最大值，此时点P 的坐标为(3，受》， (3)存在，如图2，，PH⊥OB于点H, 备用图 【解答】(1)设抛物线的解析式为 y=a(x-6)(x+2). 将点A0,6)代入，得-12a=6,解得a= 图2 .∠DHB=∠AOB=90°， y=-2x-60x+2)=-2r+2x+6, ∴.DH∥AO. .OA=OB=6, 抛物线的解析式为y=-司2+2x+6. .∠BDH=∠BAO=45 (2)如图1，过点P作PM⊥OB于点M,交AB于点 PE∥x轴，PDLx轴， N,作AGLPM于点G,设直线AB的解析式为y=kx+b. ∴.∠DPE=90 若△PDE为等腰直角三角形，则PD=PE 设点P的横坐标为m,0<m<6, ÷PD=2m+2m+6-(m+60=2m+3m PE=22-m, 图1 -2m2+3m-2l2-m, 将点A(0,6),B(6,0)代入， b=6, k=-1, 解得：m=4或m=5一√17（不特合题意的值已舍 得： 解得 6k+b=0,b=6, 去)， 则直线AB的解析式为y=一x+6. ∴.P(4,6)或P(5-√17,3√17-5). ·57. 一对一初中学业水平考试指导·数学 ©例3(2022·毕节)如图，在平面直角坐 由题意可知，抛物线的对称轴为直线x=2, 标系中，抛物线y=一x2+bx十c与x轴交于A, .E(2,-1): B两点，与y轴交于点C,顶点为D(2,1),抛物 ∴.DE=2. 设点M(m,-m2+4m-3), 线的对称轴交直线BC于点E. 若以，点D,E,M,N为顶，点的四边形是平行四边 (1)求抛物线y=-x2+bx十c的表达式； 形，则分以下两种情况： (2)把上述抛物线沿它的对称轴向下平移， ①当DE为边时，DE∥MN,则N(m,m-3), 平移的距离为h(h>0),在平移过程中，该抛物 ∴.MN=|-m2+4m-3-(m-3)|=|-m2+3ml, 线与直线BC始终有交点，求h的最大值： ∴.|-m2+3m=2,解得m=1或m=2(舍)或 (3)M是(1)中抛物线上一点，N是直线BC m3-厘或m-3+厘 上一点.是否存在以点D,E,M,N为顶点的四 2 2 边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标； ∴N(1,-2)减N(3-亚，-3，应)或 2 若不存在，请说明理由， N+厘，3： ②当DE为对角线时， 设点N的横坐标为t,则N(t,t-3), m+t-2+2, (-m2+4m-3+t-3=1+(-1), 备用图 m=1,m=2, 【解答】(1)，抛物线的顶点为D(2,1), 解得 (舍)， t=3 t=2 .抛物线的表达式为：y=一(x-2)2+1=一x2+ .N(3,0). 4x-3. (2)由(1)知，抛物线的表达式为：y=-x2十4x-3, 综上，点N的坐标为1，-2)浅（③-厘， 令x=0,则y=-3, -3应)或(3+亚，-3+亚)减(3,0. .C(0,-3). 2 2 令y=0,则x=1或x=3, .A(1,0),B(3,0). ,直线BC的解析式为：y=x-3. 设平移后的抛物线的解析式为：y=一(x一2)2+ 1-h, 令-(x-2)2+1-h=x-3,整理得x2-3x+h=0. ,该抛物线与直线BC始终有交，点， 4=9-4h≥0， h<是， h的最大值为是 (3)存在，理由如下： ·58· 第三章函数 针对圳练 (3)当a=1,b≤-2时，过直线y=x-1 2.(2024·连云港)在平面直角坐标系Oy (1≤x≤3)上一点G作y轴的平行线，交 中，已知抛物线y=a.x2+bx-1(a、b为常 抛物线于点H.若GH的最大值为4，求b 数，a>0). 的值 (1)若抛物线与x轴交于A(一1,0)、B(4, O)两点，求抛物线对应的函数表达式； ! ! (2)如图，当b=1时，过点C(-1,a)、 D(1,a+22)分别作y轴的平行线，交抛 物线于点M、N,连接MN、MD.求证： MD平分∠CMN; ! 59 一对一初中学业水平考试指导·数学 (3)小强说：“当日销售利润最大时，日销售额 链 接 不是最大.”小红说：“当日销售利润不低于 8000元时，每盒售价x的范围为60≤x≤ 命题一二次函数的应用 80.”你认为他们的说法正确吗？若正确，请 1.(2022·南充)如图，水池中心点O处竖直安装 说明理由：若不正确，请直接写出正确的 一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上 结论 下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移， 水柱落点与点O在同一水平面.安装师傅调 试发现，喷头高2.5m时，水柱落点距O点 2.5m;喷头高4m时，水柱落点距O点3m.那 么喷头高 m时，水柱落点距O点4m. y高度(m) 5 2534落点(m) 2.(2024·自贡)九(1)班劳动实践基地内有一块 面积足够大的平整空地，地上两段围墙AB」 CD于点O(如图)，其中AB上的FO段围墙空 缺.同学们测得AE=6.6m,OE=1.4m,OB 6m,OC=5m,OD=3m,班长买来可切断的围栏 16m,准备利用已有围墙，围出一块封闭的矩形 菜地，则该菜地最大面积是 m2. 3.(2023·十堰)“端午节”吃粽子是中国传统习 俗，在“端午节”来临前，某超市购进一种品牌 棕子，每盒进价是40元，并规定每盒售价不得 少于50元，日销售量不低于350盒.根据以往 销售经验发现，当每盒售价定为50元时，日销 售量为500盒，每盒售价每提高1元，日销售 量减少10盒.设每盒售价为x元，日销售量 为p盒. (1)当x=60时，p= (2)当每盒售价定为多少元时，日销售利润 W(元)最大？最大利润是多少？ ·60· 第三章函数 命题二二次函数与几何图形的综合 4.(2024·凉山州)如图，抛物线y=-x2十bx十c与直线y=x十2相交于A(-2,0),B(3,m)两点，与 x轴相交于另一点C. (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线AB上方抛物线上的一个动点（不与A、B重合），过点P作直线PD⊥x轴于点 D,交直线AB于点E,当PE=2ED时，求P点坐标： (3)抛物线上是否存在点M使△ABM的面积等于△ABC面积的一半？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由。 D ·61· 一对一初中学业水平考试指导·数学 5.(2022·黔东南州)如图，抛物线y=ax2+2x+c的对称轴是直线x=1,与x轴交于点A,B(3,0), 与y轴交于点C,连接AC 备用图 (1)求此抛物线的解析式； (2)已知点D是第一象限内抛物线上的一个动点，过点D作DM⊥x轴，垂足为点M,DM交直线 BC于点N,是否存在这样的点N,使得以A,C,N为顶点的三角形是等腰三角形.若存在，请求出 点N的坐标；若不存在，请说明理由； (3)已知点E是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点F,使以点B、C、E、F为顶点的四 边形为矩形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由， ·62· 第三章函数 微专题3平面直角坐标系中的面积问题 类型1一边在坐标轴上或平行于坐标轴的三角形面积的计算 1.(2023·湘西州)如图，点A在函数y=2(x>0) 3.(2023·朝阳)如图，点A是反比例函数y= 的图象上，点B在函数y=3(x>0)的图象上， (k≠0，x>0)的图象上一点，过点A作AB⊥x轴 于点B,点P是y轴上任意一点，连接PA,PB. 且AB∥x轴，BC⊥x轴于点C,则四边形ABCO 若△ABP的面积等于3，则k的值为 的面积为 ( A.1 B.2 C.3 D.4 第3题图 第5题图 4.(2023·阜新)正比例函数y=x的图象与反比 第1题图 第2题图 例函数y-的图象相交于A,B两点，过点A 2.(2023·长沙)如图，在平面直角坐标系中，点A 作AC⊥x轴，垂足为点C,连接BC,则△ABC 在反比例函数y=(k为常数，k>0,x>0)的 2 的面积是 图象上，过点A作x轴的垂线，垂足为B,连 5.(2023·烟台)如图，在直角坐标系中，⊙A与x 接OA.若△OAB的面积为号，则k= 轴相切于点B,CB为⊙A的直径，点C在函数 y=(k>0,x>0)的图象上，D为y轴上一点， △ACD的面积为6，则k的值为 类型2三边都不平行于坐标轴或不在坐标轴上的三角形面积的计算 6.(2023·张家界)如图，矩形OABC的顶点A、C 7.(2023·宜宾)如图，在平面直角坐标系2Oy中， 分别在y轴、x轴的正半轴上，点D在AB上， 点A、B分别在y轴、x轴上，BC⊥x轴，点M, 且AD=子AB,反比例函数y=(k>0)的图 N分别在线段BC、AC上，BM=CM,NC 象经过点D及矩形OABC的对称中心M,连 2AN,反比例函数y=(x>0)的图象经过M 接OD,OM,DM.若△ODM的面积为3，则k N两点，P为x轴正半轴上一点，且OP:BP 的值为 () 1:4,△APN的面积为3，则k的值为() A.2 B.3 C.4 D.5 A.5 B智 C. 144 25 D.器 63·一时一初中孕业水平考武靴界·处学·《考答案 第三章孟数 个星正横 点F*5为(2，严)减红.严)为 3.1平面夏角坐标界及品数 小工，青日丽挥转钢不且干9N0元t 目W3g60. 框2，以风C为动时，E 如识精理 一10：-70P+9030之400，解得：m,1 十指减=十a, 一，x4)0:y到，b时制等互为相反数候膜制 506r65, ,十福一y■于十a一Ψ 二.当日销图到不任于参司无射，向C,黛 (8友1++3+ 二，摩确电全体实曹能什母不为零的实数2前开方数 较不星的便法正确，个红的议其情议. 大干成等干零剪实数使院数不零的美数解所块到 -+432, 1115 4围物线的解析式为y=一广十r十 D不新减小(2减4= 11”的爱材为1,3) n1,4或，D 中有甘接 1目1.到1-2且t+日 中来脑接 LA主C3B4 D 5E 5.C T子<2 81的餐解为上卫，山+正该二国 2 2 十0■1十1，n十10+4减 L.非2.A玉A4t-,-)成B4>1几文≠1 4(141 十3=1十，n十D=1一2， g5程G,A 域D鹤标为(@，一，仙一号. w==1或w=2,41, 核心素来 14厘 点F的学标4：D便一2,1 A 情心莹养 线1)y=-r+2+3. 草上所法，存在这释的▲F点F的坐标为(：名一正)减 32一次画量 (11直线■析大为方两一一正 力存在.用由下：ym一+4+3.X0,3我 如识破理 双线解折试为：一一，< 设线的析式考y:十3， (±正减，1减-n 一，.y=r中的y=r 点P生5为(-4.1或1一1,43境110)减14.0 将点赏3.)代人特m, 微专题1平面直角坐标系中的正积问型 五、所=6h才A中 3.4三成品报的图套与准魔 品线C的解析式为y一十三 2=一甘一多y=一山+为y=女一0 设点德家标，=广+为+8，则点，1+3). 到型「一连在全排轴上或平行千坐标袖的三角相 划积植理 1,)-年十6七时y=十6-wy=4十4)十6 M-10,3》.=15+了=10， 面帆竹计其 方机上一十卡 二线-是（云，"）小大减小地大 A=+1+(2+a-2r=+0. 1.B1世44+5点4 针璃练 曾大减小 N=十8+1-3=2， 墨型2三连都不平行于坐稳精成不在皇种物上的 1.312C表H 三，向上向下输左自有边原直正丰输黄年轴 ①当AC=AN时，=AN 4iy--r+图 两一无再一无 10=r-r+10, 工属形而其的计其 解有h一2，诉一（不合画位，介去2 4L TH 同，h山4（一一利 )值车的例余观量占”情电量“的3， 针对辑修 品点N的个标为2：1： 第四章三角形 中秀感整 1,C2友4324①LA @当=N时.kC=y,0=2 4】因形的基本队国 4x四2一1点y=一十4一4 L.心2.D3.x14D&B6BT.C 解周h石h一56不合避意，舍去 初丑楼理 中考辑接 长4柳域前写同切元：罪种球抗有明君元，： 点N的争标为8,3一： 一，周点一有线程 2骑用最少的方案足南买4种球相副，B种4n0制.1L21D4D多口4，-三一37黑A9 8当AV=N时.Aw=CY 二，两条性制性1相等等子40 所酒青用1沙无 一r+1e, 了相尊外线 三，公共边相尊直角一季线维中点且利直于相等 集1动 结心夏养 2)由图象可再：小毕簧月行力通度是 解尚1一子 垂直平线 国、际离一平行阳等阳等型并用等相等亚料 35二次斋鞋的是 二点豹童标为宁，子 针对铜博 针对销辉 轴上，点N的每为，11使(5,3 1,A1D人与4D L.1》y=-0+300 中考性接 :粗器时小w所在的在程为12X9一风m山 (2?有销唇单香定为8时销售这种赛授目侯料追大，最大 一成{号，) 1.02.40成1D3C4C50kA7.A车B 门有人解满时，德门国甲地的青是（口无 利用为上0元 门)有在这律点F,理由划下：设E 情心看养 框心事泰 111发-减2 3(1抛鸭线时应能两数表达大有一十2一齐一 ,a,01,C0,3) 42三每利风其洗减 (证明暗口6的面界一3 =2 如组楼使理 33反式例品数 中考植接 ①周1，且C为林角其，A一密十E 一，不等边等量转角宜角第角 如识频理 1,书264 3)=1+w一a中w+-1F. 二，大于春手1了矿有大甲 以角线二，诚小W大三， 三，中点平行于一丰害积看心相等内直角顶A (当句鱼售设建为品元时，每天静售的闲W元处大-解 养C 针时国适 大州料是10元： 针买到练 小雀的悦送正精，向： (.+正)减(1.-正) 复山漫比网函数的解行太为g=一立 2日销有国为y发。 2Bx30).0,32 中考链接 ym=一1+100m-m石-0十2出i w+1=+6+土，=+5减小二厘-=+k LC2B人.164结5.精 2白2. 当=0时，y自前大，处时y=形， 结心青养 41)211 与了后时，罪简最大时螺一30， 山解：①整表格数据禁点，在平角中标系中格对成