3.4 二次函数的图象与性质-【指南针·中考1对1】2025年中考数学初中学业水平考试指导

第三章函数 3.4二次函数的图象与性质 续表 知 识 梳 理 c=0.抛物线过 决定抛物线与 c>0,抛物线交y轴于 一、二次函数的概念 y轴交点的 形如y=ax2十bx十c(a、b、c为常数，a≠0) 位置 c<0,抛物线交y轴于 的函数叫做二次函数 二、二次函数的图象与性质 」>0，抛物线与x轴有 函数 y=a.x2+hx十c(a≠0) 个交点： 决定抛物线与 4= △=0，抛物线与x轴有 a>0 a<0 x轴的交点 y -4ac 个交点： 个数 △<0，抛物线与x轴 图象 交点 特殊 当，x=1时，y=a+b+c: :oT 关系 当x=一1时，y=a-b+c. 开口方向 向上 向下 四、二次函数的解析式 对称轴 般式：y=ax十bx十c(a≠0). 顶点式：y=a(x一h)产十k(a≠0)，其中 二次函 顶点坐标 )为抛物线的顶点坐标. 数的解 析式 两根式（交点式）：y= 当x= 最值 会时y有 当x= 会时y有 (a≠0)，其中12是抛物线与x轴的两个交 点的横坐标. 最 值 最 值 【温馨提示】求解二次函数解析式的选择方法：已 在对称 y随x的增大而 y随t的增大而 增 知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式：已知抛物线顶 轴左侧 诚 点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式：已知抛物线 性 在对称 y随x的增大而 y随E的增大而 与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式（交点式）. 轴右侧 五、二次函数的平移规律 三、二次函数与字母系数的关系 1.二次函数的平移规律：y=a(x-h)2+k的图 决定抛物线开 a>0,开▣ 象是将图象y=a.x2平移而得到的. 口方向 a<0,开口日 三a前上，0小、向<0平脚因个单位K定 y=x+k 决定抛物线对 b=0,对称轴为 称轴的位置 a,b同号，对称轴在y轴的 a和b (对称轴为 商有语>以、胸A<0创平移轴个弹税长渡 a,b异号，对称轴在y轴的 并上>0、下<平个单位长度 nsn r=- =自上>0，<0外平移个单位长度 y=a(a-+ 【温馨提示】平移口诀：左加右减，上加下减. ·51· 一对一初中学业水平考试指导·数学 2.对称规律（补充） (1)抛物线y=a.x2+bx十c与抛物线y 典例精析 ax2一b.x十c关于y轴对称： (2)抛物线y=a.x2+bx+c与抛物线y 知识点1二次函数的图象与性质 一a.x2一bx一c关于x轴对称： ②例1关于二次函数y=2x2+4x-1,下 (3)抛物线y=ax2+bx十c与抛物线y= 列说法正确的是 () 一ax2+bx一c关于原点成中心对称 A.图象与y轴的交点坐标为(0,1) 六、二次函数与一元二次方程和不等式的关系 B.图象的对称轴在y轴的右侧 1.二次函数与一元二次方程的关系 C.当x<0时，y的值随x值的增大而减小 (1)一元二次方程a.x2+b.x十c=0(a≠0)的解 D.y的最小值为一3 就是二次函数y=a.x2+bx十c(a≠0)与x轴 【解答】y=2x2+4x-1=2(.x+1)2-3. (即y=0)的交点的横坐标的值： ∴.当x=0时，y=一1，故选项A错误：该西数的对 (2)当b一4ac>0时，方程有两个不相等的实 称轴是直线x=一1，故选项B错误：当x<一1时，y的 数根，二次函数y=a.x2+b.x+c(a≠0)与x轴 值随x的增大而减小，故选项C错误；当x=一1时，y 有两个交点，且两个交点的横坐标的值就是 取得最小值，此时y=一3，故选项D正确。 方程的解； 【点拨】本题也可根据二次函数的解析式画出函 (3)当b一4ac=0时，方程有两个相等的实数 数图象，利用数形结合来解决问题。 根，二次函数y=a.x2+bx+c(a≠0)与x轴有 针对训练 一个交点，且该交点的横坐标的值就是方程 1.(2023·兰州)关于二次函数y=一3(x 的解： 一2)2一3，下列说法正确的是 (4)当？-4ac<0时，方程无实数根，二次函 A.对称轴为x=一2 数y=a.x2+bx+c(a≠0)与x轴无交点， B.顶点坐标为(2,3) 2.二次函数与不等式的关系 C.函数的最大值是一3 (1)y=ax2十b.x十c(a≠0)的图象在x轴上方 D.函数的最小值是一3 的点的横坐标都满足a.x2+bx+c>0(a≠0)， 所以图象在x轴上方的点的横坐标x的取值 知识点2二次函数的平移 范围就是一元二次不等式ax2十b.x+c>0 @例2抛物线y=(x一2)2一1可以由抛 (a≠0)的解集： 物线y=x平移而得到，下列平移正确的是 (2)y=a.x2十bx十c(a≠0)的图象在x轴下方 的点的横坐标都满足ax2+bx十c<0(a≠0)， A.先向左平移2个单位长度，然后向上平 所以图象在x轴下方的点的横坐标x的取值 移1个单位长度 范围就是一元二次不等式a.x2+b.x+c<0 B.先向左平移2个单位长度，然后向下平 (a≠0)的解集. 移1个单位长度 52· 第三章函数 C.先向右平移2个单位长度，然后向上平 x=-2时，y<0,∴.4u-2b+c<0.故⑤正确， 移1个单位长度 【点拨】本题考查了二次函数图象与系数的关系： D.先向右平移2个单位长度，然后向下平 对于二次函数y=ax+bx+(a≠0)的图象，当a>0时， 移1个单位长度 开口向上，当a<0时，开口向下；对称轴为直线x 【解答】抛物线y=x的顶点为(0,0)，抛物线y= a与b同号，对称轴在y轴的左侧a与b异号对 b (x-2)2-1的顶，点为(2，-1).则抛物线y=x向右平 称轴在y轴的右侧：当c>0时，抛物线交y轴于正半轴， 移2个单位长度，向下平移1个单位长度得到抛物线 当c<0时，抛物线交y轴于负半轴，当c=0时，抛物线过 y=(x-2)2-1. 原点：当4=一4ac>0时，抛物线与x轴有两个交点. 针对训练 针对训练 :2.(2023·牡丹江)将抛物线y=(x+3)2向下 4.(2022·资阳)如图是二次函数y=a.x十 平移1个单位长度，再向右平移 bx十c的图象，其对称轴为直线x=一1， 个单位长度后，得到的新抛物线经过原点， 且过点(0,1).有以下四个结论：①ab> 3.(2024·牡丹江)将抛物线y=a.x2十bx+3 0,②a-b+c>1,③3a+c<0,④若顶点 向下平移5个单位长度后，经过点（一2， 坐标为(-1,2)，当m≤x≤1时，y有最大 4),则6a-3b-7 值2、最小值一2，则此时m的取值范围 是一3≤m≤一1.其中正确结论的序号是 知识点3二次函数的图象与系数的关系 ②例3二次函数y=a.x2十bx十c(a≠0)的 图象如图所示，下列结论：①2a十b>0:②abx<0: ③-4ac>0;④a+b+c<0:⑤4a-2b+c<0,其 中正确的个数是 () 知识点4确定二次函数的解析式 ②例4如图，已知抛物线y=x2十bx+c 经过A(-1,0),B(3,0)两点， A.2 B.3 C.4 D.5 (1)求抛物线的解析式和顶点坐标： 【解答】根据二次函数与系数之间的关系可以逐条 (2)当0<x<3时，求y的取值范围： 分桥对称轴工=品1小2☑十6>0，故①正确：”抛 (3)点P为抛物线上一 物线开口向下，a<0,,抛物线与y轴的交点在x轴的 点，若S△mB=10,求出此时 点P的坐标. 下方c<0.”-会>0b>0∴h>0,故@错误： 【解答】(1)把A(-1,0)、 ,抛物线与x轴有两个交点，4=-4ac>0,故③正 B(3,0)分别代入y=x2+x+ 确：，x=1时，y>0,.a+b+c>0,故④错误； c中， ·53· 一对一初中学业水平考试指导·数学 1-b+c=0. b=-2, 得： 解得： 9+3b+c=0, c=-3. .抛物线的解析式为y=x2-2x一3. y=x2-2x-3=(x-1)2-4, .顶点坐标为(1，-4). 命题一二次函数的图象与性质 (2)由图可得当0<x<3时，一4≤y<0. 1.(2024·福建)已知二次函数y=x2-2a.x十a (3)A(-1,0),B(3,0),∴.AB=4. 设Px,,则Sam=2ABX=2y=10, (a≠0)的图象经过A(号，)，B(3a,)两点， .ly=5.∴.y=±5. 则下列判断正确的是 ①当y=5时x2-2x-3=5,解得：=-2,2=4， A.可以找到一个实数a,使得y>@ 此时点P的坐标为（一2,5）或(4,5)： B.无论实数a取什么值，都有y>a ②当y=-5时，x2-2x-3=-5,方程无解」 C.可以找到一个实数a,使得2<0 综上所述，点P的坐标为（一2,5）或(4,5). 【点拨】本题考查了二次函数与不等式、二次函 D.无论实数a取什么值，都有y2<0 数的对称性、待定系数法求二次函数解析式.数形结合 2.(2024·乐山)已知二次函数y=x2一2.x(-1≤ 是数学中的重要思想之一，解决函数问题更是如此，同 x≤t一1)，当x=-1时，函数取得最大值：当 学们要引起重视. x=1时，函数取得最小值，则t的取值范围是 针对孙练 () A.0<t≤2 B.0<t≤4 5.在“探索函数y=a.x2+bx+c的系数a,b, C.2≤t≤4 D.t≥2 c与图象的关系”活动中，老师给出了直角 3.(2022·荆门)抛物线y=x2+3上有两点 坐标系中的四个点：A(0,2),B(1,0),C A(,y),B(x2,y2),若y<2,则下列结论 (3,1),D(2,3).同学们探索了经过这四 正确的是 () 个点中的三个点的二次函 A.0≤1<x2 数图象，发现这些图象对 B.x2<x1≤0 应的函数表达式各不相 C.x2<x1≤0或0≤r1<x2 同，其中a的值最大为 D.以上都不对 A. B C.o D.2 命题二二次函数图象的变换 6.规定：两个函数，2的图象关于y轴对 4.(2022·通辽)在平面直角坐标系中，将二次函 称，则称这两个函数互为“Y函数”，例如： 数y=(x-1)2+1的图象向左平移1个单位 函数y1=2.x+2与y2=-2.x+2的图象 长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的 关于y轴对称，则这两个函数互为“Y函 解析式为 () 数”.若函数y=kx2+2(k-1)x+k-3(k A.y=(x-2)2-1 B.y=(x-2)2+3 C.y=x2+1 D.y=x2-1 为常数)的“Y函数”图象与x轴只有一个 5.(2023·西藏)将抛物线y=(x-1)2+5平移 交点，则其“Y函数”的解析式为 后，得到抛物线的解析式为y=x2+2x+3,则 平移的方向和距离是 () 54· 第三章函数 A.向右平移2个单位长度，再向上平移3个 命题四二次函数图象与x轴的交点 单位长度 9.(2022·潍坊)抛物线y=x2十x十c与x轴只 B.向右平移2个单位长度，再向下平移3个 有一个公共点，则c的值为 () 单位长度 C.向左平移2个单位长度，再向上平移3个 A.- R司 单位长度 C.-4 D.4 D.向左平移2个单位长度，再向下平移3个 10.关于抛物线y=a.x2一2x十1(a≠0)，给出下 单位长度 列结论： 6.(2023·益阳)我们在学习一次函数、二次函数 ①当a<0时，抛物线与直线y=2.x+2没有 图象的平移时知道：将一次函数y=2x的图 交点； 象向上平移1个单位得到y=2x+1的图象； ②若抛物线与x轴有两个交点，则其中一定 将二次函数y=x2+1的图象向左平移2个单 有一个交点在点(0,0)与(1,0)之间； 位得到y=(x+2)2+1的图象，若将反比例函 ③若抛物线的顶点在点(0,0)，(2,0)，(0,2) 数y=5的图象向下平移3个单位，如图所 围成的三角形区域内（包括边界），则a≥1. 其中正确结论的序号是 示，则得到的图象对应的函数表达式是 核 心 素养 1.(2024·镇江)对于二次函数y=x2-2a.x+3(a 是常数)，下列结论：①将这个函数的图象向 下平移3个单位长度后得到的图象经过原点： ②当a=一1时，这个函数的图象在函数 命题三二次函数的图象与系数的关系 y=一x图象的上方：③若a≥1，则当x>1时， 7.(2022·凉山州)已知抛物线y=ax2+bx+c经 函数值y随自变量x增大而增大：④这个函数 过点(1,0)和点(0，一3)，且对称轴在y轴的 的最小值不大于3.其中正确的是 左侧，则下列结论错误的是 () (填写序号). A.a>0 2.(2022·赤峰)如图，抛物线y=-x2-6x-5 B.a+b=3 交x轴于A,B两点，交y轴于点C,点D(m, C.抛物线经过点（一1,0） m+1)是抛物线上的点，则点D关于直线AC D.关于x的一元二次方程a.x2十bx十c=一1 的对称点的坐标为 有两个不相等的实数根 8.(2022·青岛)已知二次函数y=ax2+bx十c的 图象开口向下，对称轴为直线x=一1，且经过 点（一3,0），则下列结论正确的是 () A.3a+c=0 B.c<0 C.a+b+c>0 D.b>0 ·55·一对一初中学业水平考试熟导·数学·参考答案 第三章 五 数 的如 2.小提正. 小了高日利不于00元时, 点(. 3.1 年面_海坐系及品数 w2s8000. 加识理 C+icr-r+p. -10-20+0000001 如以为这时 一、(0)0)10 等互为相数 0. -(-(-- +--r+-+ 2.当日错到不子80元10毫 二、一确定 全体实数 使分母不为零的实数 模开方数 数小的说法正确,灯的没法描误 ③或r+-r- 大干成等干零的实数 使室数不零的实数 部析 料 111 4.】物战的析式为,一一十士 幅-1或。-一2。 (-1y+(3 达 图法 点 连线 不(0减- ('的1a) 计 中考u 3111114- 7F100.-D. 20.0. 1.8 10.131-111 4B +-1+1a++t减 . 中考接 1.A 2.C 3.B 4D 546.C7 11) 1.1B 2.A3A 1-.-3 5B 11 4(1: -1+-1-. 7 C.A (2点D的变标为(0.-幻,0-. -1 --或---1 核心素善 上迹,吞在这料的点F点F的坐标为(23-/)& 心 点的1题-1 A (0析为--一} 32一次面提 5.. 存在,一- 为--30) 知难 段路23的析式为y-站+3. (1+T1-.D. -.-y- 点P标-0-1△风 这点2x0代人去--。 五.- 2.直线BC的析式方y些一+. 3.4 二次品数的图象与性度 微专题3 面直角标系中的至积问题 2..--,”-- 点是为一++段,点1+3) 短理 类型! 一这在垒标输上或平行于生标轴的三角型 M-00nA-r-1B 3-十十-上十--+} 二、线一一(一一)小大减境大 面计其 A-0+1+-+--. ,w-+ -+(3+--2。 1.81共30452 t 1111C31 三、上向文 左边边 点正平输 丰 AC-AV.A-Av. 类望? 互这都不年行于坐标轴或不在坐样轴上的 一)两-无 △10--10 4(-1+ 4C 7.H 1.形面的计其 -π-n1 (25的会量占“满量37 士一2.-0(不题,去)。 2.N的标为(1). 第四章 三角形 1.C2:134① 8A AC-CVA-Cv1o-2 *考 4.! 用形时基认识 6-一,--十- 哥上一一一(不合题意,含去士 1.C 2D 3.. 4D 5B 6D 2.C 中考辑招 知07 2.的为/,③- 8(A现给过40元.B铁始用元 一、点一n n ③AV-CV时.AV-C. 坦少的第是跑买A2B101.C2C3.D4D5D1--7.C9B 二、两条线线180相等 30 2-+10. 所雪用12宫. 0 40 相等 分线 一。 .( 心善 三、共动 相等 直角 一线段 中点垂直丁 相等 (2由图象可料,小要音行车的迹度 1②21-.-0(01 垂直平 .离 加[) :400-12n/mi. 一 学行 等 阳 互补 相等 相等 互料 3.5 三次品的 1.A2.D34D t对词 .出后-12mn两人选. 附5 地上点v的标为1或(3 11--100+300 一_). 1.60 2.402170 3C 4C 4.C 6A 7.3 8B 中考 2.时小所的路程为1x-区m. (2)当结单定为18远过,培售过神客校日段到段大,段大 (3在在这点由如下设! 为人时,们甲地的离是90 和回11000元 商: 心落 1.Pi.. 框心善 2.(1物线对虫的数表达式为y--! 1.0段80217 7.0).C0.. 11-或 c2H证3一} :1. 42 三形瓦其 3.3 反比例品数 中考 ①%1、1BC-Cr+. 1.2it.4 --r++- 一、不等动 等排角 直角 陪 拓识理 31.(10 .-1-. 三、中点 平行丁 一丰 程 重心 内直顶 二、大于于18010*大1 ___ (2)当每盘段定为元时,每天售的和回W元1最夫,最 选 rv)(-. 一等心 大是110元. 1C2-1t (小的. 对纯 -0③. 18101.A 3.(1)段比阿涵歌解析式为iy-- 段日为,死。 _1-0+ 7+-1- 1.C 1B 318 410 5.8 第1-nr+1000--10-0+25000. 中考排 r00. -0时y大,时,-。 4(001.1 _--- 心盖养 一后时,W荫最大此时W-70. 123,①根表格数据批点,在平面直虫标事中所也对成 .0:) 14