3.3 反比例函数-【指南针·中考1对1】2025年中考数学初中学业水平考试指导

一对一初中学业水平考试指导·数学 3.3 反比例函数 四、反比例函数解析式的确定 用待定系数法确定反比例函数解析式的一 般步骤： 一、反比例函数的定义 ①设出所求的反比例函数解析式为：y= 如果两个变量x,y之间可以表示为 (k≠0)： 反比例函 数的概念 (k≠0，且k为常数)的形式，那么称y是x ②根据已知条件列出关于k的方程； 的反比例函数，它的图象叫做 ③求系数k的值： (1)y=(k为常数，k≠0)： ④把k代人所设函数解析式y=中， 三种形式 (2)y=kx一1(k为常数，k≠0)： 五、反比例函数的应用 (3)xy=k(k为常数，k≠0). 解反比例函数的实际问题时，先确定函数 解析式，再利用图象找出解决问题的方案，这里 二、反比例函数的图象和性质 要特别注意自变量的取值范围要使实际问题有 k的符号 k>0 k<0 意义 图象 典例 精 析 L.图象在第一、三象 L图象在第二、四象 知识点1反比例函数的图象和性质 限内： 限内： ©例1 2.在每个象限内y 2.在每个象限内y随 已知反比例函数y=一兰，下列结 随x的增大而 的增大而 论不正确的是 () A.图象必经过点(-1,2) 性质 3.反比例函数的图象既是轴对称图形，又是 B.在每个象限内，y随x的增大而增大 中心对称图形，它有两条对称轴y=x, C.图象在第二、四象限内 y=一x: D.若x>x2,则y>y2 4若正比例函数与反比例函数交于两点，则 【解答】A项：图象必经过点（一1,2），说法正确：B 这两点关于原点对称. 项：k=一2<0，在每个象限内，y随x的增大而增大，说 三、反比例函数解析式中k的几何意义 法正确：C项：k=一2<0，图象在第二、四象限内，说法正 确；D项：当西>0>时，为<0<为，说法错误.故选D 【点拨】掌握反比例函数的性质：(1)反比例函数 P(x.y) (x.y) y=(k≠0)的图象是双曲线：(2)当>0时，双曲线的 两支分别位于第一、三象限，在每个象限内y随x的增 =2k(P 大而减小：(3)当k<0时，双曲线的两支分别位于第二、 为P关于原点的 四象限，在每个象限内y随x的增大而增大.注意：反 对称点) 比例函数的图象与坐标轴没有交点. ·46· 第三章函数 针对训练 针对训练 1(2023·武汉)关于反比例函数y= ,下列 2.如图，O是坐标原点，点B在x轴上，在 △OAB中，AO=AB=5,OB=6,点A在 结论正确的是 A.图象位于第二、四象限 反比例函数y=(k≠0)的图象上，则k B.图象与坐标轴有公共点 的值为 C.图象所在的每一个象限内，y随x的 增大而减小 D.图象经过点(a,a十2)，则a=1 知识点2反比例函数解析式中k的几何意义 知识点3反比例函数和一次函数的综合应用 ©例2(2022·长春)如图，在平面直角坐 ©例3如图，在平面直角坐标系xOy中， 标系中，点P在反比例函数y=(k>0,x>O) 的图象上，其纵坐标为2，过点P作PQ∥y轴， 一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y= 交x轴于点Q,将线段QP绕点Q顺时针旋转 的图象相交于点A(-4,-2),B(m,4),与y轴 60°得到线段QM.若点M也在该反比例函数的 相交于点C. 图象上，则k的值为 (1)求反比例函数和一 A号 次函数的表达式： B.√3 (2)求点C的坐标及 C.23 D.4 △AOB的面积： 【解答】作MN⊥x轴于N, (3)观察图象，直接写出 “P在反比例函数y=(k>0. 不等式ax+b->0的解集。 x x>0)的图象上，其纵坐标为2 【解答】(1)：点A(-4,一2)在反比例函数y= P号，2 的图象上k=-4X(-2》=8 .PQ-2. 由旋转可知QM=QP=2, 心反比例函数的表达式为y=8 ∠PQM=60°， :点B(m,0在反比例函数y=8的图象上， .∠MQN=90°-60°=30°， MN-7QM-1. .4m=8,解得m=2,∴.点B的坐标为(2,4). 将点A(-4,-2),B(2,4)代入y-ax+b中， ∴QN=2-1平=3. 「-2=-4a+b :ON·MN=k,点M也在该反比例函效的图 得4=2a+b: 解得a1, b-2. 象上， ∴.一次函数的表达式为y=x+2. k-含+， (2)令y=x十2中，x=0,则y=2 点C的坐标为(0,2). 解得k=23. 故选C. SAO= Cx( 【点拨】本题主要考查反比例函数中k的几何意 义，表示出对应线段的长度是解题的关健。 ×2×(2+1-4) =6. ·47· 一对一初中学业水平考试指导·数学 (3)-4<x<0或x>2. 知识点4反比例函数的应用 【点拔】本题考查了反比例函数与一次函数的交点 坐标、反比例函数图象上点的坐标特征以及用待定系数法 ②例+小林到批发市场进了一批单价为 求函数表达式，解题的关键是：(1)利用待定系数法求函数 5元的小商品，在夜市营销中统计该批商品的销 表达式：(2)利用分割图形求面积法求出△AOB的面积. 售单价x(元)与日销售量y(个)之间有如下 针对孙练 关系： 销售单价x(元) 6 7.2 7.5 3.(2023·鞍山)如图，直线AB与反比例函 日销售量y(个) 60 50 48 45 数y=(x<0)的图象交于点A(-2, (1)猜测并确定y与x之间的函数关系式： m),B(n,2),过点A作AC∥y轴交x轴 (2)设经营此小商品的销售利润为心元，求 于点C,在x轴正半轴上取一点D,使 出心与x之间的函数关系式.若物价局规定此 OC=2OD,连接BC,AD,若△ACD的面 小商品的售价最高不能超过9元/个，请你求出 积是6. 当日销售单价x定为多少时，才能获得最大日 (1)求反比例函数的解析式； 销售利润。 (2)点P为第一象限内直线AB上一点， 【解答】(1)由表中数据可知，销售单价x与日销 且△PAC的面积等于△BAC面积的2 售量y的乘积为定值360， 倍，求点P的坐标 y与x之间的函效关系为反比例函数， 设y与工之间的函数关系式为y=(k为常数且 k≠0)， 把(6,60)代入解析式得60-音，解得：k-360, 心y与x之间的函数关系式为y360 (2)由题意得：=(x-5)y=360-1800 x 5≤x≤9， .当x=9时，最大，最大值为160， ∴.当日销售单价x定为9元时，才能获得最大日销 售利润。 针对孙练 4.(2023·达州)【背景】在一次物理实验中， 小冉同学用一固定电压为12V的蓄电池， 通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完 成控制灯泡L(灯丝的阻值R=22)亮度 的实验（如图），已知串联电路中，电流与 电阻R,R之间关系为1=R十R,通过实 验得出如下数据： 48 第三章函数 2.(2023·湖北)在反比例函数y=4二的图象上 R/O 3 6 有两点A(x1,y),B(x2,2),当x<0<x2 3 2.42 b 时，有y<y2,则k的取值范围是 () (1)a= ,b= A.k<0 B.k>0 C.k<4 D.k>4 (2)【探究】根据以上实验，构建出函数 3.(2022上海)已知反比例函数y=(k≠0). y= x十2x≥0)，结合表格信息，探究函 12 且在各自象限内，y随x的增大而增大，则下 数y一异，：≥0的图象与性质 列点可能在这个函数图象上的为 () A.(2,3) B.(-2,3) ①在平面直角坐标系中画出对应函数 C.(3,0) D.(-3,0) 2 +2x≥0)的图象； 命题二反比例函数中系数k的几何意义 4.(2022·内江)如图，在平面直角坐标系中，点 M为x轴正半轴上一点，过点M的直线l∥y 轴，且直线1分别与反比例函数y=8和y 的图象交于P,Q两点.若S△0=15，则k 的值为 () 2 ②随着自变量x的不断增大，函数值y的 变化趋势是 A.38 B.22 C.-7 D.-22 (3)【拓展】结合(2)中函数图象分析，当 5.(2023·锦州)如图，在平面直角坐标系中， >0时22 之x+6的解集为 △AOC的边OA在y轴上，点C在第一象限 内，点B为AC的中点，反比例函数y= (x>0)的图象经过B,C两点.若△AOC的面 积是6，则k的值为 命题一 反比例函数的图象与性质 1.(2024,浙江)反比例函数y=4的图象上有P (1,),Q(1十4,2)两点.下列正确的选项是 命题三反比例函数与一次函数的综合 ( 6.(2024·镇江)如图，在平面直角坐标系中，过 A.当t<-4时，2<y<0 点A(m,0)且垂直于x轴的直线l与反比例 B.当-4<t<0时，2<y<0 C.当-4<1<0时，0<y< 函数y=一4的图象交于点B,将直线1绕点 D.当t>0时，0<y1<y B逆时针旋转45°，所得的直线经过第一、二、 ·49· 一对一初中学业水平考试指导·数学 四象限，则m的取值范围是 A.m<-2或m>2 核心素养 B.-2<m<2且m≠0 C.-2<m<0或m>2 (2024·南充)如图，直线y=kx+b经过A D.m<-2或0<m<2 (0,-2),B(-1,0)两点，与双曲线y="(x<0) 交于点C(a,2) 3 2 234 第6题图 第7題图 7.(2022·内江)如图，已知一次函数y=k.x+b 的图象经过点P(2,3),与反比例函数y=2 (1)求直线和双曲线的解析式 的图象在第一象限交于点Q(m,).若一次函 (2)过点C作CD⊥x轴于点D,点P在x 数y的值随x值的增大而增大，则n的取值 轴上，若以O,A,P为顶点的三角形与△BCD相 范围是 似，直接写出点P的坐标. 8.(2022·镇江)如图，一次函数y=2x十b与反 比例函数y=(k≠0)的图象交于点A1,4). 与y轴交于点B. (1)k= :6= (2)连接并延长AO,与反比例函数y=(k≠ O)的图象交于点C,点D在y轴上，若以O C、D为顶点的三角形与△AOB相似，求点D 的坐标. ·50·一时一初中孕业水平考武靴界·处学·《考答案 第三章孟数 个星正横 点F*5为(2，严)减红.严)为 3.1平面夏角坐标界及品数 小工，青日丽挥转钢不且干9N0元t 目W3g60. 框2，以风C为动时，E 如识精理 一10：-70P+9030之400，解得：m,1 十指减=十a, 一，x4)0:y到，b时制等互为相反数候膜制 506r65, ,十福一y■于十a一Ψ 二.当日销图到不任于参司无射，向C,黛 (8友1++3+ 二，摩确电全体实曹能什母不为零的实数2前开方数 较不星的便法正确，个红的议其情议. 大干成等干零剪实数使院数不零的美数解所块到 -+432, 1115 4围物线的解析式为y=一广十r十 D不新减小(2减4= 11”的爱材为1,3) n1,4或，D 中有甘接 1目1.到1-2且t+日 中来脑接 LA主C3B4 D 5E 5.C T子<2 81的餐解为上卫，山+正该二国 2 2 十0■1十1，n十10+4减 L.非2.A玉A4t-,-)成B4>1几文≠1 4(141 十3=1十，n十D=1一2， g5程G,A 域D鹤标为(@，一，仙一号. w==1或w=2,41, 核心素来 14厘 点F的学标4：D便一2,1 A 情心莹养 线1)y=-r+2+3. 草上所法，存在这释的▲F点F的坐标为(：名一正)减 32一次画量 (11直线■析大为方两一一正 力存在.用由下：ym一+4+3.X0,3我 如识破理 双线解折试为：一一，< 设线的析式考y:十3， (±正减，1减-n 一，.y=r中的y=r 点P生5为(-4.1或1一1,43境110)减14.0 将点赏3.)代人特m, 微专题1平面直角坐标系中的正积问型 五、所=6h才A中 3.4三成品报的图套与准魔 品线C的解析式为y一十三 2=一甘一多y=一山+为y=女一0 设点德家标，=广+为+8，则点，1+3). 到型「一连在全排轴上或平行千坐标袖的三角相 划积植理 1,)-年十6七时y=十6-wy=4十4)十6 M-10,3》.=15+了=10， 面帆竹计其 方机上一十卡 二线-是（云，"）小大减小地大 A=+1+(2+a-2r=+0. 1.B1世44+5点4 针璃练 曾大减小 N=十8+1-3=2， 墨型2三连都不平行于坐稳精成不在皇种物上的 1.312C表H 三，向上向下输左自有边原直正丰输黄年轴 ①当AC=AN时，=AN 4iy--r+图 两一无再一无 10=r-r+10, 工属形而其的计其 解有h一2，诉一（不合画位，介去2 4L TH 同，h山4（一一利 )值车的例余观量占”情电量“的3， 针对辑修 品点N的个标为2：1： 第四章三角形 中秀感整 1,C2友4324①LA @当=N时.kC=y,0=2 4】因形的基本队国 4x四2一1点y=一十4一4 L.心2.D3.x14D&B6BT.C 解周h石h一56不合避意，舍去 初丑楼理 中考辑接 长4柳域前写同切元：罪种球抗有明君元，： 点N的争标为8,3一： 一，周点一有线程 2骑用最少的方案足南买4种球相副，B种4n0制.1L21D4D多口4，-三一37黑A9 8当AV=N时.Aw=CY 二，两条性制性1相等等子40 所酒青用1沙无 一r+1e, 了相尊外线 三，公共边相尊直角一季线维中点且利直于相等 集1动 结心夏养 2)由图象可再：小毕簧月行力通度是 解尚1一子 垂直平线 国、际离一平行阳等阳等型并用等相等亚料 35二次斋鞋的是 二点豹童标为宁，子 针对铜博 针对销辉 轴上，点N的每为，11使(5,3 1,A1D人与4D L.1》y=-0+300 中考性接 :粗器时小w所在的在程为12X9一风m山 (2?有销唇单香定为8时销售这种赛授目侯料追大，最大 一成{号，) 1.02.40成1D3C4C50kA7.A车B 门有人解满时，德门国甲地的青是（口无 利用为上0元 门)有在这律点F,理由划下：设E 情心看养 框心事泰 111发-减2 3(1抛鸭线时应能两数表达大有一十2一齐一 ,a,01,C0,3) 42三每利风其洗减 (证明暗口6的面界一3 =2 如组楼使理 33反式例品数 中考植接 ①周1，且C为林角其，A一密十E 一，不等边等量转角宜角第角 如识频理 1,书264 3)=1+w一a中w+-1F. 二，大于春手1了矿有大甲 以角线二，诚小W大三， 三，中点平行于一丰害积看心相等内直角顶A (当句鱼售设建为品元时，每天静售的闲W元处大-解 养C 针时国适 大州料是10元： 针买到练 小雀的悦送正精，向： (.+正)减(1.-正) 复山漫比网函数的解行太为g=一立 2日销有国为y发。 2Bx30).0,32 中考链接 ym=一1+100m-m石-0十2出i w+1=+6+土，=+5减小二厘-=+k LC2B人.164结5.精 2白2. 当=0时，y自前大，处时y=形， 结心青养 41)211 与了后时，罪简最大时螺一30， 山解：①整表格数据禁点，在平角中标系中格对成