2.2 一元二次方程-【指南针·中考1对1】2025年中考数学初中学业水平考试指导

一对一初中学业水平考试指导·数学 2.2一元二次方程 续表 知 识 梳 理 (1)若一元二次方程a十kx十c=0的两个根为 一、一元二次方程的有关概念 石，则西十= 新·= 只含有 个未知数，并且未知数的最高 (2)若一元二次方程x十x十q=0的两个根 次数是 的整式方程，叫做一元二次方程。 分别为，，则十= 它的一般形式是 ,其 2= (3)若两个实数x,是某一元二次方程的 中二次项系数是 ,二次项是 ·一次 两个根，则根据(2)可以写出该一元二次方程 项是 ,常数项是 根与系数 为 二、一元二次方程的解法 的关系 (4)常用的转化关系： 直接开 如果(x十a)2=b(b≥0)，则1= ①上+1=西十运 TT:T 平方法 当b<0时，方程没有实数根. ②.z十x=(x1十x)2-2x1: 般步骤：(1)将已知方程化为一般形式：(2)将 ③(.1-)2=(x1十2)2-4x1: 二次项系数化为1：(3)移项：使方程的左边只 ①(x十1)（十1）=十(1十)+1： 有二次项和一次项，右边只有常数项：(4)配 配方法 方：在方程的两边都加上一次项系数一半的平 ⑥2+五=+金=红十)-2五还， TIT 方，将原方程化为(.x十a)=b的形式：(5)开 ⑥1-|=√(1十x)-42. 方：若b≥0，则直接开平方，若b<0,则原一元 二次方程无解. 四、一元二次方程的应用（常见的典型问题）】 若方程a.x2+bz+c=0(a≠0)，且一4ac≥ 解应用题 公式法 ①审：②设：③列：①解：⑤检：⑥答 0,则求根公式是x= 的步骤 第一年产值为a,以后每年的增长（或 把一元二次方程化为左边是两个一次整式的 因式 增长（降低） 降低)率为x,则第二年的产值为 积，右边为0的形式，再根据“若A·B=0,则 分解法 率问题 a(1+x)[或a(1一x)],第三年的产值 A=0或B=0”,化为两个一次方程求解. 为a(1十x)[或a(1-x)]. 三、一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 利润=售价一成本： 利润问题 根的判别关于x的一元二次方程a.x2+bx+e=0 利润率-利澳×100%. 成本 式的概念 (a≠0)的根的判别式4一 几何图形 常利用面积公式和勾股定理建立关 (1)4>0=方程a.x2+b.r+c=0(a≠0)有 面积问题 系式 的实数根： 传播问题 可套用增长率公式进行解答。 (2)4=0台方程a.x+hx十c=0(a≠0)有 判别式与 的实数根： 握手总次数（单循环赛总次数）= 握手（单循环赛） 根的关系 (3)A<0台方程a.x+hx+c=0(a≠0) 与送礼物问题 (n-(m为人数) 2 实数根； 礼物总份数=(n一1)(n为人数) (4)4≥0台方程ax十bx十c=0(a≠0)有 ·24· 第二章方程（组）与不等式（组）】 【解答】：关于x的一元二次方程(m一1)x2+ 典 例精析 2x-3=0有实数根， ÷A=2-4n-10×(-3)≥0. m-1≠0， 知识点1 一元二次方程的解法 ©例1解方程：x2十4x-5=0. 解得m≥号且m1。 【解答】配方法：x十4x=5, 【点拨】 一元二次方程a.x2+bx+c=0(a≠0)的 x2+4x+22=5+22.(x+2)2=9. 根与△=b-4ac有如下关系：当4>0时，方程有两个 x+2=3,或x+2=-3,解得x1=1,x2=-5. 不相等的实数根：当△=0时，方程有两个相等的实数 公式法：G=二4+1Xx(五-1. 根：当4<0时，方程无实数根. 2×1 =二4-，X1x(-五-5. 针对孙练 2×1 3.(2024·宿迁)规定：对于任意实数a、b、c, 因式分解法：(x-1)(x+5)=0,x1=1,x2=-5. 有【a,b】★c=ac+b,其中等式右面是通常 【点拨】解一元二次方程的一般顺序：直接开平 的乘法和加法运算，如【2,3】★1=2×1+ 方法→因式分解法→配方法→公式法 3=5.若关于x的方程【x,x+1】★ 针对孙练 (m.x)=0有两个不相等的实数根，则m 1.(2023·黑龙江)如图，在长为100m,宽为 的取值范围为 ( 50m的矩形空地上修筑四条宽度相等的 Am< B.m 小路，若余下的部分全部种上花卉，且花 圃的面积是3600m,则小路的宽是() C.m>4且m0 D.m<且m0 4.(2023·聊城)若一元二次方程m.x2+2.x+ 1=0有实数解，则m的取值范围是( A.m≥-1 B.m≤1 A.5m B.70m C.m≥-1且m≠0 D.m≤1且m≠0 C.5m或70m D.10m 2.(2023·新疆)用配方法解一元二次方程 知识点3一元二次方程根与系数的关系 x一6.x+8=0,配方后得到的方程是( ⊙例3(2022·南充)已知关于x的一元二 A.(.x+6)2=28 B.(x-6)=28 次方程x2+3.x十k-2=0有实数根. C.(x+3)2=1 D.(x-3)2=1 (1)求实数k的取值范围： (2)设方程的两个实数根分别为x,x2,若 知识点2一元二次方程根的判别式 (1+1)(.x2+1)=-1,求k的值 ©例2(2022·西藏)已知关于x的一元二 【解答】(1)：关于x的一元二次方程x2+3.x+ 次方程(m一1)x2+2x一3=0有实数根，则m的 k一2=0有实数根， 取值范围是 ( ∴.4=3-4×1×(k-2)≥0， Am≥号 B.m<3 解得<，即长的取值范国是6<： Cm>号且m nm≥号且m (2),方程x2+3.x+k一2=0的两个实数根分别为 ·25· 一对一初中学业水平考试指导·数学 ∴.x1十x4=-3,x1x2=k-2. (x1+1)(x2+1)=-1. 增长率.已知该景区5月1日至5月21 .x1x2+(1十x)+1=-1, 日已接待游客2.125万人，则5月份后10 .k-2+(-3)+1=-1, 天日均接待游客人数最多是多少万人？ 解得k=3. 针对训练 5.(2023·内江)已知a、b是方程x2+3.x-4= 0的两根，则a2+4a+b一3= 6.(2023·岳阳)已知关于x的一元二次方程 ! x2+2m.x+m2-m+2=0有两个不相等 的实数根x1、x2,且x1十x2十x1x2=2,则 实数m= + 知识点4一元二次方程的应用 ©例4(2023·大连)为了让学生养成热爱 读书的习惯，某学校抽出一部分资金用于购买 书籍.已知2020年该学校用于购买图书的费用 为5000元，2022年用于购买图书的费用是 7200元，求2020~2022年买书资金的年平均增 长率 【解答】解：设2020~2022年买书资金的年平均 增长率为x, 链 根据题意得：5000(1十x)2=7200, 解得：1=0.2=20%，x2=-2.2(不符合题意，舍 命题一 一元二次方程的解 去 1.(2022·包头)若x1,x2是方程x2-2x-3=0 答：2020~2022年买书资金的年平均增长率 的两个实数根，则xx的值为 () 为20%. 【点拨】注意复习年平均增长（降低）率的集中类 A.3或-9 B.-3或9 型，最终量是否是三次累积的结果 C3或-6 D.-3或6 2.(2022·资阳)若a是一元二次方程.x2+2x-3=0 针对训练 的一个根，则2a2+4a的值是 7.(2023·郴州)随着旅游旺季的到来，某景 3.(2024·深圳)一元二次方程x2-4x+a=0的 区游客人数逐月增加，2月份游客人数为 一个解为x=1,则a= 1.6万人，4月份游客人数为2.5万人 命题二一元二次方程根的判别式 (1)求这两个月中该景区游客人数的月平 4.(2022·辽宁)下列一元二次方程无实数根的 均增长率： 是 () (2)预计5月份该景区游客人数会继续增 A.x2+x-2=0 B.x2-2x=0 长，但增长率不会超过前两个月的月平均 C.x2+x+5=0 D.x2-2x+1=0 26· 第二章方程（组）与不等式（组）】 5.(2023·锦州)若关于x的一元二次方程kx2一 命题四一元二次方程的应用 2.x十3=0有两个实数根，则k的取值范围是 9.(2024·淄博)“我运动，我健康，我快乐！”随着 ( 人们对身心健康的关注度越来越高.某市参 A号 R≤号 加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32 万人增加到2023年的50万人. C.k<3且k≠0 D.k≤3且k0 (1)求该市参加健身运动人数的年均增长率： (2)为支持市民的健身运动，市政府决定从A 命题三，一元二次方程根与系数的关系 公司购买某种套装健身器材.该公司规定：若 6.(2022·益阳)若x=一1是方程x2十x+m=0 购买不超过100套，每套售价1600元；若超 的一个根，则此方程的另一个根是 ( 过100套，每增加10套，售价每套可降低40 A.-1 B.0 C.1 D.2 元.但最低售价不得少于1000元.已知市政 7.(2022·鄂州)若实数a、b分别满足a2-4a+ 府向该公司支付货款24万元，求购买的这种 3=0,B-4b+3=0,且a≠6，则2+2的值为 健身器材的套数. 8.(2023·湖北)已知关于x的一元二次方程 x2-(2m+1)x十m2十m=0. (1)求证：无论m取何值时，方程都有两个不 相等的实数根： (2)设该方程的两个实数根为a,b,若(2a+b)· (a十2b)=20,求m的值. 核心素养 将关于x的一元二次方程x2一x+q=0 变形为x2=p.x一q,就可以将x表示为关于x 的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如 x3=x·x2=x(px一q)=…,我们将这种方法称 为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高 的代数式.根据“降次法”，已知：x2一x一1=0， 且x>0,则x-2.x3+3x的值为 () A.1-√5 B.3-√5 C.1+5 D.3+√5 ·27·一时一初中学业水平考试指导·数学·《考答案 一刘一初中学业水平春试指导·数学·讲解香春答案 第一饭块统红习 长省w=0时：限式=一 桑型2会人的化简兼值 中专低履 当m一时.总式=一 1C2.0314ru4 第一章数与式 中号国魔 612士a14号京6g71 5解：方程两边同1x一，得x一一一y4 11架数 1A2A344D523餐度1 M当一一时，式一当4-3财.式一 拆得=1是检段，当一4计，年一 所风厚方程的解为，= 知阻核理 核心素养 幅(+)（位》-” 第二章方程（组）与不等式（始] 系D5.发w之一且阳中-1生D 一，1.整数分数有理数无理数之作用我0直实数 二，厚点王方匀单位老度实数符草0眼点厚点 2.1一次本程（山 12减-111.A1246 数老表。名阴反数利职为一·+同 知明整理 技11A数机器人根罗象骨是的元，B州机器人履剪象价是 一，式子等式4二每200r+各0去分月去杯号 30无： 2)斯买A秘钱器人植鞋口斤和甘鞋机器人限程特行 都为害 4 期合年同类项系数化为 三、梦数 龙舞量少.最少龙镜是口口元 +=M 二、再4：中y=d力0.6D)m元代人商元法减 14)甲能工队增加人线行每天推建国高水果©来： 图，太大干小干大于小>= u十=h,a-= 消心进 )乙流工队原来每天静宣海题本果的来， 针对密适 u00, LA1.21中去计附园乘木常分时的现 被心素养 六十6=d一h=a高， 4方系打棉加减 4B多月他- 系C71日 24一元一次不善式《加》 针对害塔 一 中考每摇 疑说棱理 LA2.D天AA鞋5.B系4 1.4二北根天 一，未划数的顶取周范用不要心不交<< 中率臂糯 知境镜理 查里>> LC1A1B4D.5,D4.B1,D&A集报 一，整赖条式开得层方的国量成风式民 5A4.12.D8B 二，本知」数式一元次不等式介并兔填系量化为 1L,C12(1331- 相心看养 解的公共嘉分 核心素养 三，料更二次根式 针时调体 纤时调峰 2.2一无二次方程 1》11人42=144=1 1.2整《 1,2112-1且≠031成2 幻识植理 51)叶用A种客不5两：这次研学去了1分人 知识理 未A支D真31.28B失C间A 一、12aP◆Ay+=0Ce04◆FA新 但)满伞橙共有》种阻车常 一，6算荐号数值 中零低腐 方军：网情种客车，的两A种客车： 二，承用数字得数平得数酯数的花和套数项 1.I 2C XB 4D 5A 6.B T.A 8.B 9.C 14.A 二M4话-46生 军，用概厚种客车，9柄A种客车： 次数单更式项式 1-4 有军：网7两罪种客车，3解A种客车： 三，字母酯数第数不受 住【05+2得B+2石 三，一如：同个不相等科个相等设有实数里一色 43)引周属形种客车，2：辆A种客车量合开 中零民预 2)54-气=w-1中3园 1.D2.A支B4.0 日明，8：一8 五，na+十0a+aa士 针封越 系解：解不等式将r, =1+%ar-C1+Ha-1 计对线 L410口4口5.-13 解不尊式得：C。 17,5一10)22-&24 -2+(-51x,有 ?.这有个月中流量区验客人数的月平料潜长率为经%： ,不9式的的解集为x运1， 5CkI7BkD类Do1 =×24-1)十23 (后月份日母无日将传青箱客人数多是01万人 作解氟素示在数精上，所不 中表百相 ■6m一3+131 中率简怪 L111十4 LB1A又D425aa-a 山)当4-4-3时，T-A十+为十十 LA 2.6 3.3 4C 5D 6H 7.+ -6-5-4-3-2-l0123456 6+1a+4-)7.Hr+4082☒ =8一5+5一5+生一5十…+5，一 装(1鸣(w的值为一2晚1 6w经10<<十。A只 9B1aD11.y=12.=1a-0 一5 复(1核市海加健身站动人的的甲的增长水考品%： 1推11甲种树的的价格为元程：乙种树的静格为3元/保 招心素养 (1+W8'一1 响买的这种健巴杨的客数为0套： 2)乙种何的种横数量系得少于面保 =了月+，3 核心宝养 依心素养 13分式 13.B 14.C 15.2 知识赖理 植心素养 23分式方程 微专题2含参数的分式方程与不等式{超引 一.字县钟=#A=◆且B≠0 12中2 知识植理 是型】食零规的分风方很 三，转分情骨式公国其公同式 微专题】数与式的益算 一，未细数帮式方假上分目构元量同垫分得第式本1.自2D&A4A 三告世益杀，是是除城 奏型1“架鼠的满合运算 程整式方程量物公分母量模会补明 针对塔 桌型2令参数的不泽式（红 针对律据 1,2211元4134,0 名A在非7，日8一3wG一2，字虞-1但日 LB 20 3.D 4.C &A L言2-43.n>0压n14-十50