专题07 线段中的四类动态模型-2024-2025学年七年级数学上册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（沪科版2024）

专题07 线段中的四类动态模型 线段中的动态模型一直都是一大难点和常考点，它经常以压轴题的形式出现。考查样式也是很丰富，和平时所学的内容结合在一起考。本专题就线段中的动态模型（与中点、和差倍分结合的动点问题；定值问题；存在性（探究性）问题；阅读理解（新定义）等）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型1.线段中点、和差倍分关系中的动态模型 1 模型2.线段上动点问题中的定值模型 3 模型3.线段上动点问题中的存在性（探究性）模型 4 模型4.阅读理解型（新定义）模型 6 8 模型1.线段中点、和差倍分关系中的动态模型 1、在与线段长度有关的问题中，常会涉及线段较多且关系较复杂的问题，而且题中的数据无法直接利用，常设未知数列方程。 2、线段的动态模型解题步骤： 1）设入未知量t表示动点运动的距离； 2）利用和差（倍分）关系表示所需的线段； 3）根据题设条件建立方程求解； 4）观察运动位置可能的情况去计算其他结果。 例1．（23-24七年级上·上海·期末）如图，点C是线段上一点，，，点P从点A处出发，以的速度沿向右运动，终点为点B处；点Q从点B处出发，以的速度沿向左运动，终点为点A处．已知点P和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设点P的运动时间为．(1)当点P运动到点C处时，线段的长度为__________； (2)当P，Q两点重合时，求t的值；(3)是否存在某一时刻，使得C，P，Q这三个点中，有一个点恰好是另外两点所连线段的中点？若存在，求出所有满足条件的t值；若不存在，请说明理由． 例2．（23-24七年级上·陕西咸阳·期末）【问题背景】如图，P是线段上一点，，C，D两动点分别从点P，B同时出发沿射线向左运动，其中一点到达点A处即两动点均停止运动． 【问题探究】（1）点C，D的速度分别是，。①若，当动点C，D运动了2s时，求的长度；②若经过t秒，点C到达中点时，点D也刚好到达的中点，求t的值； 【问题解决】（2）动点C，D的速度分别是，，点C，D在运动时，总有，求的长度． 例3．（23-24七年级上·云南文山·期末）如图，是线段上一点，，、两点同时分别从、出发以、的速度沿直线向左运动（在线段上，在线段上），运动的时间为． (1)当时，请求出 ；(2)若、运动到任一时刻时，总有，请求出的长； (3)在（2）的条件下，是直线上一点，且，求的长． 模型2.线段上动点问题中的定值模型 例1．（23-24七年级上·山东临沂·期末）（1）如图，已知点在线段上，线段，，点，分别是，的中点，求线段的长度； （2）在（1）的条件下，动点、分别从，同时出发，点以的速度沿向右运动，终点为，点以的速度沿向左运动，终点为，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，当运动多少秒时，、、三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点？（直接写出答案即可） 例2．（23-24七年级上·广东·期末）如图，已知直线l上有两条可以左右移动的线段：，且m，n满足，点M，N分别为中点．    (1)求线段的长；(2)线段以每秒4个单位长度向右运动，线段以每秒1个单位长度也向右运动．若运动6秒后，，求此时线段的长；(3)若，将线段固定不动，线段以每秒4个单位速度向右运动，在线段向右运动的某一个时间段t内，始终有为定值．求出这个定值，并直接写出t在哪一个时间段内． 例3．（2024七年级上·重庆·专题练习）如图①，已知线段，，线段在射线上运动（点A在点B的左侧，点C在点D的左侧），且 (1)若，求的长．(2)当在线段的延长线上时，如图②所示，若点分别是线段的中点，求的长．(3)当运动到某一时刻，使得点D与点B重合时，若点P是线段延长线上任意一点，请判断是否为定值，并说明理由． 模型3.线段上动点问题中的存在性（探究性）模型 例1．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如图，直线上有A、B两点，，上有两个动点P、Q．点P从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿直线向右运动，同时点Q从点B出发，以每秒个单位长度的速度沿直线向右运动．设运动时间为（秒）． (1)请用含t的代数式表示线段的长．(2)当点B是线段的中点时，求t的值． (3)运动过程中，点P和点Q能否重合？若能重合，几秒后重合？ (4)运动过程中，线段与线段的长度能否相等？若能相等请求出t值，若不能请说明理由． 例2．（23-24七年级上·江苏泰州·期末）【背景知识】数轴是重要的数学学习工具，利用数轴可以将数与形完美结合．已知结论：数轴上点表示的数分别为，则两点之间的距离；线段的中点表示的数为． 【知识运用】（）点表示的数分别为，若与互为倒数，与互为相反数．则两点之间的距离为______；线段的中点表示的数为______． 【拓展迁移】（）在（）的条件下，动点从点出发以每秒个单位的速度沿数轴向左运动，动点从点出发以每秒个单位的速度沿数轴向左运动，点是线段的中点． ①点表示的数是______（用含的代数式表示）； ②在运动过程中，点中恰有一点是另外两点连接所得线段的中点，求运动时间； ③线段的长度随时间的变化而变化，当点在点左侧时，是否存在常数，使为定值？若存在，求常数及该定值；若不存在，请说明理由． 例3．（2024·四川·成都实外七年级开学考试）已知线段AB＝m（m为常数），点C为直线AB上一点，点P、Q分别在线段BC、AC上，且满足CQ＝2AQ，CP＝2BP． （1）如图，若AB＝6，当点C恰好在线段AB中点时，则PQ＝　 　； （2）若点C为直线AB上任一点，则PQ长度是否为常数？若是，请求出这个常数；若不是，请说明理由； （3）若点C在点A左侧，同时点P在线段AB上（不与端点重合），线段AP、CQ、PQ有怎样的数量关系？请写出你的结论，并说明你的理由． 模型4.阅读理解型（新定义）模型 例1．（23-24七年级上·安徽·期末）（1）【新知理解】如图1，点在线段上，图中有3条线段，分别是，，，若其中任意一条线段是另一条线段的两倍，则称点是线段的“妙点”．根据上述定义，线段的三等分点______这条线段的“妙点”．（填“是”或“不是”） （2）【新知应用】如图2，，为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为7，若点在线段上，且点为线段的“妙点”，当点在数轴的负半轴上时，点对应的数为______． （3）【拓展探究】  已知，为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为，且，满足，动点，分别从，两点同时出发，相向而行，若点的运动速度为每秒2个单位长度，点的运动速度为每秒3个单位长度，当点，相遇时，运动停止．求当点恰好为线段的“妙点”时，点在数轴上对应的数． 例2．（2023秋·湖南岳阳·七年级统考期末）材料阅读：当点C在线段上，且时，我们称n为点C在线段上的点值，记作．如点C是的中点时，则，记作；反过来，当时，则有．因此，我们可以这样理解：与具有相同的含义． 初步感知：(1)如图1，点C在线段上，若，则_______；若，则_______； (2)如图2，已知线段，点P、Q分别从点A和点B同时出发，相向而行，运动速度均为，当点P到达点B时，点P、Q同时停止运动，设运动时间为．请用含有t的式子表示和，并判断它们的数量关系． 拓展运用：(3)已知线段，点P、Q分别从点A和点B同时出发，相向而行，若点P、Q的运动速度分别为和，点Q到达点A后立即以原速返回，点P到达点B时，点P、Q同时停止运动，设运动时间为ts．则当t为何值时，等式成立． 例3．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）如图1，数轴上A，B两点表示的数分别是和3，将这两点在数轴上以相同的速度同时相向运动，若A，B分别到达M，N两点（我们用表示以点A、点B为端点的线段的长，、表示的含义以此类推），且满足（k为正整数），我们称两点完成了一次“准相向运动”．如图2若它们按照原来的速度和方向继续运动，分别到达，两点，且满足（k为正整数）我们称两点完成了二次“准相向运动”…． (1)若A，B两点完成了一次“准相向运动”．①当时，M，N两点表示的数分别为 、 ； ②当k为任意正整数时，求M，N两点表示的数；(2)如图2所示，若A，B两点完成了两次“准相向运动”，并分别到达，两点，若k不变，求，两点所表示的数（用含k的式子表示）； (3)若A，B两点完成了n次“准相向运动”，并分别到达两点，当时是否存在点，使其表示的数为65？如果存在，求完成的次数n和此时点所表示的数；如果不存在，说明理由． 1．（23-24·河南周口·七年级校考期末）已知有理数，满足：．如图，在数轴上，点是原点，点所对应的数是，线段在直线上运动（点在点的左侧），， 下列结论①，；②当点与点重合时，； ③当点与点重合时，若点是线段延长线上的点，则； ④在线段运动过程中，若为线段的中点，为线段的中点，则线段的长度不变． 其中正确的是（    ） A．① B．①④ C．①②③④ D．①③④ 2．（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）如图，已知直线上的三条线段分别为：，，，将线段固定不动，线段以每秒个单位的速度向右运动，、分别为、中点，设线段的运动时间为，当时， ． 3．（23-24七年级上·浙江绍兴·期中）电子跳蚤游戏盘(如图)为三角形，如果电子跳蚤开始时在边的点，，第一步跳蚤从跳到边上点，且；第二步跳蚤从跳到边上点，且；第三步跳蚤从跳回到边上点，且；…跳蚤按上述规则跳下去，第n次落点为，则与C之间的距离为 ． 4．（2023秋·河北邢台·七年级统考期末）已知长方形中，，，动点从点出发沿以每秒2个单位的速度运动；同时，点也从点出发以每秒3个单位的速度沿运动，当其中一个点到达终点时另一个点也随之停止运动．设运动时间为秒．    （1）当点到达终点时，点在边 ；（2）当点在边上运动时，用表示的式子为 ； （3）点、相遇时， 秒． 5．（2024·广东·七年级期中）已知线段AB＝m（m为常数），点C为直线AB上一点（不与点A、B重合），点M、N分别在线段BC、AC上，且满足CN＝3AN，CM＝3BM． （1）如图，当点C恰好在线段AB中点，且m＝8时，则MN＝　 　； （2）若点C在点A左侧，同时点M在线段AB上（不与端点重合），请判断CN+2AM﹣2MN的值是否与m有关？并说明理由．（3）若点C是直线AB上一点（不与点A、B重合），同时点M在线段AB上（不与端点重合），求MN长度（用含m的代数式表示）． 6．（23-24七年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）如图，直线上有两点，，点是线段上的一点， (1)_______，_______； (2)若点是线段上一点，且满足，求的长； (3)若动点，分别从，同时出发，向右运动，点的速度为，点的速度为．设运动时间为，当点与点重合时，，两点停止运动．①当为何值时，； ②当点经过点时，动点从点出发，以的速度也向右运动．当点追上点后立即返回，以的速度向点运动，遇到点后再立即返回，以的速度向点运动，如此往返，直到点，停止时，点也停止运动．在此过程中，点行驶的总路程是多少？    7．（23-24七年级上·河南商丘·期末）定义：若线段上的一个点把这条线段分成的两条线段，则称这个点是这条线段的三等分点．如图1，点C在线段上，且，则点C是线段的一个三等分点，显然，一条线段的三等分点有两个． (1)已知：如图2，，点P是的三等分点，求的长； (2)已知，线段，如图3，点P从点A出发以每秒1个单位长度的速度在线段上向点B方向运动，点Q从点B出发以每秒2个单位长度的速度在线段上向点A方向运动，设运动时间为t秒． ①若点P点Q同时出发，且当点P与点Q重合时，求t的值； ②若点P点Q同时出发，且当点P是线段的三等分点时，求t的值． 8．（23-24七年级上·广东佛山·期末）综合应用 运动的变化是永恒不变的规律，正如生命中的变幻无常中蕴含着永恒的真理一样．在运动的变化中，往往可以发现不变的规律和智慧，从变化中寻找不变的价值和意义，启迪我们用数学的思维思考问题背后的数理逻辑，从而培养自己的数学思维和逻辑推理能力． 已知点、、是直线上三个点（点在点左侧），点、分别是，的中点 (1)特例探究：如图，当点在线段上，且时，求的长度．(2)一般猜证：若，求线段的长度．(3)归纳结论：经历了上述探究过程，请你用简短的文字概括上述探究得到的结论． 9．（23-24七年级上·甘肃定西·期末）如图，点是线段上一点，，点，分别从点，同时出发以，的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上），运动的时间为． (1)当时，若，请求出的长；(2)若点，运动到任一时刻，总有，请求出的长 (3)在（2）的条件下，若点是直线上一点，且，请求出的长． 10．（23-24七年级上·湖北武汉·期末）（1）如图1，点，，，为直线上从左到右顺次的四个点． ①直线上以，，，为端点的射线共有______条； ②若，，，点为直线上一点，则的最大值为______； （2）从图1的位置开始，点在直线上向左运动，点，在直线上向右与点同时开始运动，运动过程中的长度保持不变，，分别为，的中点（如图2）．在此过程中，请指出三条线段，，之间的数量关系（用一个等式表示）并说明理由； （3）如图3，点，，为数轴上从左到右顺次的三个点，点，表示的数分别为，，为中点．若，且，，求线段的长． 11．（23-24七年级上·山东临沂·期末）已知线段，在上取一点C，点M是的中点，点N是的中点．(1)如图①，若，求线段的长； (2)如图②，若，且点P，Q分别从A，B两点同时出发，点P沿线段以每秒3个单位长度的速度向右运动，到达C点后立即按原速向A折返；点Q沿线段以每秒1个单位长度的速度向左运动，当P，Q中的某点到达A时，两点同时停止运动，求两点第二次相遇时，与点M的距离． 12．（23-24七年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，C为线段上一点，且，的比小5． (1)求的长．(2)点P从A点出发，以1个单位长度/秒的速度在线段上向B点运动，设运动时间为t秒（），D为的中点，E为的中点，若，试求点P运动时间t的值． (3)若P从A点出发，以1个单位长度/秒的速度在线段上向B点运动，同时点Q从B点出发，以个单位/秒的速度在的延长线上与P点同向运动，运动时间，D为的中点，F为的中点，E在上且，当P、Q两点运动过程中，给出下面两个结论：①的值不变；②的值不变，其中只有一个结论是正确的，请判断正确的结论并求其值． 13．（23-24七年级·福建·期末）如图，已知，点C、D分别为线段、上的动点，若点C从点O出发以的速度沿方向运动，同时点D从点B出发以的速度沿方向运动．    (1)如图1，当运动时间为时，求的值；(2)如图1，若在运动过程中，始终保持，求OA的长；(3)如图2，在（2）的条件下，延长BO到点M，使，点P是直线OB上一点，且，求的值． 14．（23-24七年级上·湖南长沙·阶段练习）材料阅读：对线段而言，当点在线段上，且点是的中点时，有，反过来，当有时，则点为线段的中点． (1)如图1，点在线段上，若，则______；若，则______； (2)如图2，已知线段，点分别从点和点同时出发，相向而行，点的运动速度为，点的运动速度为，若它们相遇则点同时停止运动．线段的中点为点，线段的中点为点，运动时，求两中点之间的距离； (3)已知线段，点分别从点和点同时出发，相向而行，若点的运动速度分别为和，点到达点后立即以原速返回，点到达点时，点同时停止运动，设运动时间为s，则当为何值时，等式成立？ 15．（23-24七年级上·湖南永州·期末）如图，数轴上点M表示的数为m，点N表示的数为n，且．      (1)______，______；(2)P为数轴上的动点，设Q为的中点，点P从点M向左运动时，请探究与的数量关系，并说明理由． 16．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）如图，点A、点B在数轴上分别表示数a、b，则A、B两点之间的距离表示为． 【探索新知】如图1，点C将线段分成和两部分，若，则称点C是线段的圆周率点，线段称作互为圆周率伴侣线段 (1)若，则______； (2)若点D也是图1中线段的圆周率点（不同于C点），则______（填“<”、“”、“>”） 【深入研究】如图2，现有一个直径为1个单位长度的圆片，将圆片上的某点与数轴上表示1的点重合，并把圆片沿数轴向右无滑动地滚动1周，该点到达点C的位置 (3)若点M、N均为线段的圆周率点，求线段的长度； (4)在图2中，点P、Q分别从点O、C位置同时出发，分别以每秒3个单位长度、每秒2个单位长度的速度向右匀速运动，运动时间为t秒．当点P在点C左侧时，P、C、Q三点中某一点为其余两点所构成线段的圆周率点，请求出t的值 17．（2024·江苏·七年级校考阶段练习）【概念与发现】当点C在线段AB上，时，我们称n为点C在线段AB上的“点值”，记作． 例如，点C是AB的中点时，即，则；反之，当时，则有． 因此，我们可以这样理解：“”与“”具有相同的含义． 【理解与应用】(1)如图，点C在线段AB上．若，，则________； 若，则________AB． 【拓展与延伸】(2)已知线段，点P以1cm/s的速度从点A出发，向点B运动．同时，点Q以3cm/s的速度从点B出发，先向点A方向运动，到达点A后立即按原速向点B方向返回．当P，Q其中一点先到达终点时，两点均停止运动．设运动时间为t（单位：s）．①小王同学发现，当点Q从点B向点A方向运动时，的值是个定值，则m的值等于________；②t为何值时，． 18.（2023春·福建福州·七年级统考开学考试）如图，已知，点C、D分别为线段、上的动点，若点C从点O出发以的速度沿方向运动，同时点D从点B出发以的速度沿方向运动．(1)如图1，当运动时间为时，求的值；(2)如图1，若在运动过程中，始终保持，求OA的长；(3)如图2，在（2）的条件下，延长BO到点M，使，点P是直线OB上一点，且，求的值．    19．（2023秋·河北唐山·七年级统考期末）操作与探究：（1）已知：如图线段长为，点从点A以的速度向点运动，点运动时间为，则______，______ （2）已知：如图，在长方形中，，，动点以的速度从A点沿着运动，运动时间为，用含的式子表示______ 拓展与延伸：（3）已知：如图，在（2）的基础上，动点从点出发，沿着线段向点运动，速度为，、同时出发，运动时间为．其中一点到达终点，另一个点也停止运动．当点在上运动时，为何值时，？ 20.（23-24七年级上·江苏泰州·期中）如图1，已知数轴上从左向右依次有四点、、、，其中，点对应的数是． (1)若，则点对应的数是______； (2)如图2，在（1）的条件下，若一小球甲在数轴上从点处以单位/秒的速度向右运动，同时另一小球乙从点处以单位/秒的速度向左运动，当甲乙两小球开始运动时，立即在点和点处各放一块挡板，其中，当球在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为秒，问：为何值时，甲、乙两小球之间的距离为个单位． (3)在（2）的条件下，将线段、分别绕点、点竖直向上折起，连接线段，围成如图3的长方形中，点从点出发，以单位/的速度沿点－－－匀速运动，最终到达点．设点运动时间为秒，问：为何值时，的面积为？ 21．（23-24七年级上·江西赣州·期末）已知：如图，点是线段上一定点，，两点分别从点出发以、的速度在直线上运动，运动方向如图中箭头所示（点在线段上，点在线段上）。(1)若，当点、运动了，此时 ， ；（直接填空） (2)当点运动了时，求的值．(3)若点、运动时，总有，则 （填空）。(4)在（3）的条件下，是直线上一点，且，求的值．    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 线段中的四类动态模型 线段中的动态模型一直都是一大难点和常考点，它经常以压轴题的形式出现。考查样式也是很丰富，和平时所学的内容结合在一起考。本专题就线段中的动态模型（与中点、和差倍分结合的动点问题；定值问题；存在性（探究性）问题；阅读理解（新定义）等）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型1.线段中点、和差倍分关系中的动态模型 1 模型2.线段上动点问题中的定值模型 4 模型3.线段上动点问题中的存在性（探究性）模型 7 模型4.阅读理解型（新定义）模型 11 16 模型1.线段中点、和差倍分关系中的动态模型 1、在与线段长度有关的问题中，常会涉及线段较多且关系较复杂的问题，而且题中的数据无法直接利用，常设未知数列方程。 2、线段的动态模型解题步骤： 1）设入未知量t表示动点运动的距离； 2）利用和差（倍分）关系表示所需的线段； 3）根据题设条件建立方程求解； 4）观察运动位置可能的情况去计算其他结果。 例1．（23-24七年级上·上海·期末）如图，点C是线段上一点，，，点P从点A处出发，以的速度沿向右运动，终点为点B处；点Q从点B处出发，以的速度沿向左运动，终点为点A处．已知点P和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设点P的运动时间为．(1)当点P运动到点C处时，线段的长度为__________； (2)当P，Q两点重合时，求t的值；(3)是否存在某一时刻，使得C，P，Q这三个点中，有一个点恰好是另外两点所连线段的中点？若存在，求出所有满足条件的t值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2)(3)值为4或7或． 【分析】本题考查了一元一次方程在线段上动点问题中的应用，线段的中点，能根据不同的中点进行分类讨论是解题的关键．（1）先求出当点P运动到点C处时，所用时间，再求出点Q移动的路程即可解答； （2）当、两点重合时，、两点运动的距离之和为线段的长；（3）分类讨论：①当点是线段的中点时，②当点是线段的中点时，③当点是线段的中点时． 【详解】（1）解：∵，， ∴，∴， ∴，∴，故答案为， （2）解：由题意可得：，， 当、重合时，，解得：； （3）由题意可得：， ①当点是线段的中点时，，解得：； ②当点是线段的中点时，，解得：； ③当点是线段的中点时，解得：； 综上所述，满足条件的值为4或7或． 例2．（23-24七年级上·陕西咸阳·期末）【问题背景】如图，P是线段上一点，，C，D两动点分别从点P，B同时出发沿射线向左运动，其中一点到达点A处即两动点均停止运动． 【问题探究】（1）点C，D的速度分别是，。①若，当动点C，D运动了2s时，求的长度；②若经过t秒，点C到达中点时，点D也刚好到达的中点，求t的值； 【问题解决】（2）动点C，D的速度分别是，，点C，D在运动时，总有，求的长度． 【答案】（1）①；②；（2） 【分析】本题考查了线段上动点问题、线段中点的有关计算、一元一次方程的实际应用． （1）①先根据线段的和差计算，再根据运动时间得出、，然后根据线段的和差即可得出答案；②先根据运动时间得出，再根据线段的中点得出，然后根据列方程求解即可得出答案；（2）设运动时间为，则，得出，再根据线段的和差及等量代换得出，从而得出答案． 【详解】（1）① C，D运动了 ； ②根据题意得， 点C为的中点，点D为的中点； （2）设运动时间为，则 ． 例3．（23-24七年级上·云南文山·期末）如图，是线段上一点，，、两点同时分别从、出发以、的速度沿直线向左运动（在线段上，在线段上），运动的时间为． (1)当时，请求出 ； (2)若、运动到任一时刻时，总有，请求出的长； (3)在（2）的条件下，是直线上一点，且，求的长． 【答案】(1)(2)(3)或 【分析】本题考查了线段的和差问题与动点问题，根据题意确定各相关线段之间的数量关系是解题关键． （1）由题意可得，根据即可求解； （2）根据可得，根据，即可求解；（3）分类讨论①当点Q在线段上时②当点Q在的延长线上时两种情况，画出对应的图形即可求解． 【详解】（1）解：当时，根据、的运动速度知：，， ∴，故答案为：． （2）解：根据C、D的运动速度知：， ∵，∴，即， ∵，，∴，则； （3）解：①当点Q在线段上时，    ∵，∴；∵，∴ 又∵，∴； ②当点在的延长线上时，    ∵，∴，∵，∴ ∴．综上所述，或． 模型2.线段上动点问题中的定值模型 例1．（23-24七年级上·山东临沂·期末）（1）如图，已知点在线段上，线段，，点，分别是，的中点，求线段的长度； （2）在（1）的条件下，动点、分别从，同时出发，点以的速度沿向右运动，终点为，点以的速度沿向左运动，终点为，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，当运动多少秒时，、、三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点？（直接写出答案即可） 【答案】（1）（2）当或或时，、、三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点 【分析】本题考查了线段中点的有关计算、一元一次方程的应用、数轴上的动点问题等知识点，构造数轴是解决第二问较为巧妙的方法．（1）根据、即可求解；（2）以点为原点，射线方向为正方向，构造数轴，可得点表示的数为：；点表示的数为：；点表示的数为：；分类讨论若点为线段的中点若点为线段的中点若点为线段的中点，三种情况即可求解． 【详解】解：（1）∵，，点，分别是，的中点， ∴∴ （2）以点为原点，射线方向为正方向，构造数轴，如图所示： 则点表示的数为：；点表示的数为：；点表示的数为：； 若点为线段的中点：，解得：； 若点为线段的中点：，解得：； 若点为线段的中点：，解得：； 综上所述：当或或时，、、三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点 例2．（23-24七年级上·广东·期末）如图，已知直线l上有两条可以左右移动的线段：，且m，n满足，点M，N分别为中点．    (1)求线段的长；(2)线段以每秒4个单位长度向右运动，线段以每秒1个单位长度也向右运动．若运动6秒后，，求此时线段的长；(3)若，将线段固定不动，线段以每秒4个单位速度向右运动，在线段向右运动的某一个时间段t内，始终有为定值．求出这个定值，并直接写出t在哪一个时间段内． 【答案】(1)线段的长是4，线段的长是8(2)16或8 (3)当时，为定值，定值为6 【分析】（1）根据非负数的性质即可得到结论；（2）若6秒后，在点左边时，若6秒后，在点右边时，根据题意列方程即可得到结论；（3）根据题意分类讨论于是得到结果． 【详解】（1）解：∵，∴，， ∴，，∴，，即线段的长是4，线段的长是8； （2）解：∵，，∴，， 设运动后点M对应点为，点N对应点为，分两种情况， 若6秒后，在的左侧时：， ∴，即，解得． 若6秒后，在的右侧时：， ∴，即，解得． 即线段的长为16或8； （3）解：∵，，， ∴，， ∵线段固定不动，线段以每秒4个单位速度向右运动， ∴运动t秒后，，， 当时，； 当时，； 当时，； 故当时，为定值，定值为6． 【点睛】本题考查非负数的性质，一元一次方程的应用，线段的和差关系，以及数轴上的动点问题，解题的关键是掌握分类讨论思想． 例3．（2024七年级上·重庆·专题练习）如图①，已知线段，，线段在射线上运动（点A在点B的左侧，点C在点D的左侧），且 (1)若，求的长．(2)当在线段的延长线上时，如图②所示，若点分别是线段的中点，求的长．(3)当运动到某一时刻，使得点D与点B重合时，若点P是线段延长线上任意一点，请判断是否为定值，并说明理由． 【答案】(1)或(2)(3)是，见解析 【分析】此题主要考查了线段中点的定义，线段的计算，理解线段中点的定义，熟练掌握线段的计算是解决问题的关键．先根据非负数的性质求出，，则． （1）若，则有以下两种情况，①当点C在点B的左侧时，则，根据可得的长；②当点C在点B的右侧时，根据可得的长； （2）设，则，根据线段中点定义得，， ，从而得，由此可得的长； （3）设，根据点D与点B重合，点C在点D的左侧得点C在线段上，再根据点P在线段的延长线上画出图形，结合图形得，则，据此可得出结论． 【详解】（1）解：∵，，， ，解得：，， 若，则有以下两种情况，①当点C在点B的左侧时，如图1①所示： ，，； ②当点C在点B的右侧时，如图1②所示： ，； 综上所述：线段的长为或． （2）解：设，如图2所示： ，∵点分别是线段的中点， ， ，∴， ∴； （3）解：为定值，理由如下：设， ∵点D与点B重合，点C在点D的左侧，∴点C在线段上， 又∵点P在线段的延长线上，如图3所示： ∴，∴， ∴．∴为定值． 模型3.线段上动点问题中的存在性（探究性）模型 例1．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如图，直线上有A、B两点，，上有两个动点P、Q．点P从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿直线向右运动，同时点Q从点B出发，以每秒个单位长度的速度沿直线向右运动．设运动时间为（秒）． (1)请用含t的代数式表示线段的长．(2)当点B是线段的中点时，求t的值． (3)运动过程中，点P和点Q能否重合？若能重合，几秒后重合？ (4)运动过程中，线段与线段的长度能否相等？若能相等请求出t值，若不能请说明理由． 【答案】(1)当时，；当时，(2)(3)能重合，(4) 【分析】（1）根据题意，点P每秒个单位长度，点P运动到点B需要用时间为，当时，秒过后，点P运动的路程为，结合，得，得到；当时，秒过后，点P运动的路程为，结合，得，得到即．（2）设点P、Q出发t秒钟后，点B是线段的中点．根据题意得到等量关系：列式计算即可； （3）假设点P、Q出发t秒钟后，点P和点Q重合，则，列式计算即可； （4）需要分类讨论：当点P在点Q左侧和右侧两种情况下的t的值． 【详解】（1）解：根据题意，点P的速度为每秒个单位长度，点P运动到点B需要用时间为，当时，秒过后，点P运动的路程为， ∵，∴，∴； 当时，秒过后，点P运动的路程为， ∵，，∴即． （2）解：根据题意，点P每秒个单位长度，点P运动到点B需要用时间为， 当时，秒过后，点P运动的路程为， ∵，∴，∴； ∵点Q从点B出发，以每秒个单位长度的速度沿直线向右运动． ∴秒过后，点Q运动的路程为， ∵点B是线段的中点．∴，∴，解得， 即点P、Q出发秒钟后，点B是线段的中点． （3）解：假设点P、Q出发t秒钟后，点P和点Q重合，则， ∴．解得：；故点P、Q出发秒钟后，点P和点Q重合． （4）解：当点P在点Q左侧时，线段与线段的长度不可能相等． 当点P在点Q右侧时，设点P、Q出发t秒钟后，线段与线段的长度相等，根据题意，得，解得：．当时，线段与线段的长度相等． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，线段的中点，线段的和差，数轴，列代数式，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 例2．（23-24七年级上·江苏泰州·期末）【背景知识】数轴是重要的数学学习工具，利用数轴可以将数与形完美结合．已知结论：数轴上点表示的数分别为，则两点之间的距离；线段的中点表示的数为． 【知识运用】（）点表示的数分别为，若与互为倒数，与互为相反数．则两点之间的距离为______；线段的中点表示的数为______． 【拓展迁移】（）在（）的条件下，动点从点出发以每秒个单位的速度沿数轴向左运动，动点从点出发以每秒个单位的速度沿数轴向左运动，点是线段的中点． ①点表示的数是______（用含的代数式表示）； ②在运动过程中，点中恰有一点是另外两点连接所得线段的中点，求运动时间； ③线段的长度随时间的变化而变化，当点在点左侧时，是否存在常数，使为定值？若存在，求常数及该定值；若不存在，请说明理由． 【答案】（）；；（）；或；存在，，此时定值． 【分析】（）根据题意，求出，再根据结论解答即可求解； （）根据题意，表示出秒后点表示的数，再根据线段中点计算公式求解即可； 根据线段中点计算公式分三种情况解答即可求解； 根据两点之间的距离公式求出，得到，当时即可求出常数的值，进而求出定值． 【详解】解：（）∵与互为倒数，与互为相反数， ∴，，∴； 线段的中点表示的数为；故答案为：；； （）秒后，点表示的数为，点表示的数为， ∵点是线段的中点，∴点表示的数是，故答案为：； 当点为中点时，则，解得，不合，舍去； 当点为中点时，则，解得； 当点为中点时，则，解得；∴运动时间的值为或； 当点在点左侧时，，， ∴， 当时，∴，此时，定值． 【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离计算公式，线段中点计算公式，掌握两点间的距离计算公式和线段中点计算公式是解题的关键． 例3．（2024·四川·成都实外七年级开学考试）已知线段AB＝m（m为常数），点C为直线AB上一点，点P、Q分别在线段BC、AC上，且满足CQ＝2AQ，CP＝2BP． （1）如图，若AB＝6，当点C恰好在线段AB中点时，则PQ＝　 　； （2）若点C为直线AB上任一点，则PQ长度是否为常数？若是，请求出这个常数；若不是，请说明理由； （3）若点C在点A左侧，同时点P在线段AB上（不与端点重合），线段AP、CQ、PQ有怎样的数量关系？请写出你的结论，并说明你的理由． 【答案】（1）4；（2）PQ是一个常数，即是常数m；（3）2PQ﹣2AP=CQ，见解析． 【分析】（1）根据已知AB＝6，CQ＝2AQ，CP＝2BP，以及线段的中点的定义解答； （2）由题意根据已知条件AB＝m（m为常数），CQ＝2AQ，CP＝2BP进行分析即可； （3）根据题意，画出图形，求得2AP﹣2PQ+CQ＝0，即可得出2PQ﹣2AP=CQ． 【详解】解：（1）∵CQ＝2AQ，CP＝2BP∴CQ＝AC，CP＝BC， ∵点C恰好在线段AB中点，∴AC＝BC＝AB， ∵AB＝6，∴PQ＝CQ+CP＝AC+BC＝×AB+×AB＝×AB＝×6＝4；故答案为：4； （2）①点C在线段AB上： ∵CQ＝2AQ，CP＝2BP∴CQ＝AC，CP＝BC， ∵AB＝m（m为常数），∴PQ＝CQ+CP=AC+BC＝×（AC+BC）＝AB=m； ②点C在线段BA的延长线上： ∵CQ＝2AQ，CP＝2BP，∴CQ＝AC，CP＝BC， ∵AB＝m（m为常数），∴PQ＝CP﹣CQ＝BC﹣AC＝×（BC﹣AC）＝AB＝m； ③点C在线段AB的延长线上： ∵CQ＝2AQ，CP＝2BP，∴CQ＝AC，CP＝BC， ∵AB＝m（m为常数）∴PQ＝CQ﹣CP＝AC﹣BC＝×（AC﹣BC）＝AB＝m； 故PQ是一个常数，即是常数m； （3）如图： ∵CQ＝2AQ， ∴2AP+CQ﹣2PQ＝2AP+CQ﹣2（AP+AQ）＝2AP+CQ﹣2AP﹣2AQ＝CQ﹣2AQ＝2AQ﹣2AQ＝0， ∴2PQ﹣2AP=CQ． 【点睛】本题主要考查线段上两点间的距离，掌握线段的中点的性质、线段的和差运算是解题的关键． 模型4.阅读理解型（新定义）模型 例1．（23-24七年级上·安徽·期末）（1）【新知理解】如图1，点在线段上，图中有3条线段，分别是，，，若其中任意一条线段是另一条线段的两倍，则称点是线段的“妙点”．根据上述定义，线段的三等分点______这条线段的“妙点”．（填“是”或“不是”） （2）【新知应用】如图2，，为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为7，若点在线段上，且点为线段的“妙点”，当点在数轴的负半轴上时，点对应的数为______． （3）【拓展探究】  已知，为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为，且，满足，动点，分别从，两点同时出发，相向而行，若点的运动速度为每秒2个单位长度，点的运动速度为每秒3个单位长度，当点，相遇时，运动停止．求当点恰好为线段的“妙点”时，点在数轴上对应的数． 【答案】（1）是；（2）；（3）或 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是正确的理解题意和分类讨论的思想的应用． （1）根据“妙点”的定义即可判断；（2）根据点为线段的“妙点”，且点在数轴的负半轴上，则，设为，建立方程求解即可；（3）设当点恰好为线段的“妙点”时，的运动时间为，或，利用方程的思想解得，继而求得点在数轴上对应的数． 【详解】（1）如图1，∵C为线段的三等分点， ∴，∴点为线段的“妙点”故答案为：是 （2）如图2，∵点对应的数为，点对应的数为7，∴， 又点为线段的“妙点”，当点在数轴的负半轴上时，设为， ∵，∴，解得：， 点对应的数为，故答案为： （3），∴，∴ 设当点恰好为线段的“妙点”时，的运动时间为，则， 依题意：或， 即或，解得：或， 又当点，相遇时，，得，即， 当时，，故点在数轴上对应的数为， 当时，，故点在数轴上对应的数为，故答案为：或 例2．（2023秋·湖南岳阳·七年级统考期末）材料阅读：当点C在线段上，且时，我们称n为点C在线段上的点值，记作．如点C是的中点时，则，记作；反过来，当时，则有．因此，我们可以这样理解：与具有相同的含义． 初步感知：(1)如图1，点C在线段上，若，则_______；若，则_______； (2)如图2，已知线段，点P、Q分别从点A和点B同时出发，相向而行，运动速度均为，当点P到达点B时，点P、Q同时停止运动，设运动时间为．请用含有t的式子表示和，并判断它们的数量关系． 拓展运用：(3)已知线段，点P、Q分别从点A和点B同时出发，相向而行，若点P、Q的运动速度分别为和，点Q到达点A后立即以原速返回，点P到达点B时，点P、Q同时停止运动，设运动时间为ts．则当t为何值时，等式成立． 【答案】(1)，(2)；； (3)存在t为4或，使等式成立 【分析】（1）根据材料阅读，即可求解；（2）根据材料阅读，可表示和，即可求解；（3）分两种情况：当点Q到达点A之前时，当点Q到达点A返回时，结合，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：，∵，∴，故答案为：， （2）解：∵，∴，∵∴， ∴，∴； （3）解：当点Q到达点A之前时， ∵∴， ∵∴，∴， ∵，∴，         解得：； 当点Q到达点A返回时，此时，∴ ∵，∴，∵∴   ∴                              ∴存在t的值为4或，使等式成立． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，理解新定义是解题的关键． 例3．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）如图1，数轴上A，B两点表示的数分别是和3，将这两点在数轴上以相同的速度同时相向运动，若A，B分别到达M，N两点（我们用表示以点A、点B为端点的线段的长，、表示的含义以此类推），且满足（k为正整数），我们称两点完成了一次“准相向运动”．如图2若它们按照原来的速度和方向继续运动，分别到达，两点，且满足（k为正整数）我们称两点完成了二次“准相向运动”…． (1)若A，B两点完成了一次“准相向运动”．①当时，M，N两点表示的数分别为 、 ； ②当k为任意正整数时，求M，N两点表示的数；(2)如图2所示，若A，B两点完成了两次“准相向运动”，并分别到达，两点，若k不变，求，两点所表示的数（用含k的式子表示）； (3)若A，B两点完成了n次“准相向运动”，并分别到达两点，当时是否存在点，使其表示的数为65？如果存在，求完成的次数n和此时点所表示的数；如果不存在，说明理由． 【答案】(1)①5，；②M点为，N点为 (2)为，为(3)存在，n为5，为 【分析】（1）①由题意可得，从而得到，再由，可得，即可求解；②根据，可得，即可． （2）由（1）中②可得两点的值，再进行一次“准相向运动”计算，根据点和也关于中点1对称，且k值不变即可求解．（3）根据题意可得，根据，可得点，到的中点的距离相等，从而表达出对应和的值，从特殊取值过程中，研究n和点以及点的关系，总结出一般规律进行解题． 【详解】（1）解：①∵A点和B点的速度相同，时间也相同，那么运动路程也相同， ∴．∴．∴． ∵数轴上A，B两点表示的数分别是和3，∴， 又∵，， ∴M点为5，N点为，故答案为：5，． ②∵A点和B点的速度相同，时间也相同，那么运动路程也相同， ∴．∴．∴． ∵数轴上A，B两点表示的数分别是和3， ∴，且中点所对应的数为1， 又∵，∴中点所对应的数也为1， ∵，， ∴M点为，即，N点为，即； （2）解：由（1）中②可得M点为，N点为，点和也关于中点1对称， ∴．∴， ∴．∴为，为． （3）解：存在，理由：∵，A，B两点完成了n次“准相向运动”， ∴， ∵数轴上A，B两点表示的数分别是和3，∴的中点所表示的数为1， ∵A点和B点的速度相同，时间也相同，那么运动路程也相同， ∴．∴．∴，∴点，到的中点的距离相等， 当n为1时，根据（1）得：此时点为5，为， 当n为2时，为，为， 当n为3时，为，为， 当n为4时，为，为， 以此类推发现n为奇数时，为正数，而正数的规律是， 令，∴， ∴，∴． ． 当表示的数为65时，，解得：． 又∵和关于1对称，∴为． 答：存在次数n使得为65，此时n为5，为． 【点睛】本题考查列代数式的表达能力，数轴上表示数，利用数轴上线段中点解决相关问题，乘方，数的规律总结能力以及数轴相关知识运用，难度偏大，利用数形相结合是解题的关键． 1．（23-24·河南周口·七年级校考期末）已知有理数，满足：．如图，在数轴上，点是原点，点所对应的数是，线段在直线上运动（点在点的左侧），， 下列结论①，；②当点与点重合时，； ③当点与点重合时，若点是线段延长线上的点，则； ④在线段运动过程中，若为线段的中点，为线段的中点，则线段的长度不变． 其中正确的是（    ） A．① B．①④ C．①②③④ D．①③④ 【答案】D 【分析】根据平方式和绝对值的非负性求出，，即可判断①结论；根据点与点重合时，得到点表示的数为2，即可判断②结论；设点对应的数是，根据数轴上两点之间距离公式得出，，，即可判断③结论；先根据数轴上两点之间距离公式得到，再利用线段中点得到，即可判断④结论． 【详解】解：，，，，，①结论正确； 点所对应的数是，点所对应的数是4，，， 当点与点重合时，且点在点的左侧， 点表示的数为2，，②结论错误； 当点与点重合时，点对应的数是4，点对应的数是2， 设点对应的数是，则，，， ，③结论正确； ，，， 为线段的中点，为线段的中点，， ，④结论正确，结论正确的是①③④，故选D． 【点睛】本题考查了数轴的性质，解题关键是掌握数轴上两点之间的距离公式，线段中点的含义． 2．（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）如图，已知直线上的三条线段分别为：，，，将线段固定不动，线段以每秒个单位的速度向右运动，、分别为、中点，设线段的运动时间为，当时， ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了两点间的距离，运动秒后，点表示，点表示，点表示，点表示，根据线段中点的定义得到点表示，点表示，然后利用线段的和的定义即可得到结论． 【详解】解：设运动秒后，点表示，点表示，点表示，点表示， 为中点，为中点，点表示，点表示， ，，， 当时，．故答案为：． 3．（23-24七年级上·浙江绍兴·期中）电子跳蚤游戏盘(如图)为三角形，如果电子跳蚤开始时在边的点，，第一步跳蚤从跳到边上点，且；第二步跳蚤从跳到边上点，且；第三步跳蚤从跳回到边上点，且；…跳蚤按上述规则跳下去，第n次落点为，则与C之间的距离为 ． 【答案】5 【分析】本题首先根据题意，分别计算电子跳骚的位置和三角形的顶点的距离，找到循环的规律：经过6次跳，电子跳蚤回到起跳点．根据这一规律确定第2022次落点的位置，可得答案． 【详解】解：∵，∴，∴，∵，∴， ∵，∴，∴，∴， ∴，∴，∴， 此时与重合，即经过6次跳，电子跳蚤回到起跳点． ∵，即与重合，∴与C之间的距离为．故答案为：5 【点睛】本题考查了规律型：此题主要是能够根据题意利用线段的和差计算出有关线段的长，发现电子跳蚤的落点的循环规律，掌握由特殊到一般推导规律是解题的关键． 4．（2023秋·河北邢台·七年级统考期末）已知长方形中，，，动点从点出发沿以每秒2个单位的速度运动；同时，点也从点出发以每秒3个单位的速度沿运动，当其中一个点到达终点时另一个点也随之停止运动． 设运动时间为秒．    （1）当点到达终点时，点在边 ；（2）当点在边上运动时，用表示的式子为 ； （3）点、相遇时， 秒． 【答案】 7.2 【分析】（1）由题意知，点从，运动时间为秒，点从，运动时间为秒，由，可知当点到达终点时，点运动路程为，由，可判断点的位置； （2）由题意知，；（3）由题意知，，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，点从，运动时间为秒， 点从，运动时间为秒， ∵，∴当点到达终点时，点运动路程为， ∵，∴点在边上，故答案为：； （2）解：由题意知，，故答案为：； （3）解：由题意知，，解得，，故答案为：7.2． 【点睛】本题考查动点，列代数式，一元一次方程的应用．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 5．（2024·广东·七年级期中）已知线段AB＝m（m为常数），点C为直线AB上一点（不与点A、B重合），点M、N分别在线段BC、AC上，且满足CN＝3AN，CM＝3BM． （1）如图，当点C恰好在线段AB中点，且m＝8时，则MN＝　 　； （2）若点C在点A左侧，同时点M在线段AB上（不与端点重合），请判断CN+2AM﹣2MN的值是否与m有关？并说明理由．（3）若点C是直线AB上一点（不与点A、B重合），同时点M在线段AB上（不与端点重合），求MN长度（用含m的代数式表示）． 【解题思路】（1）设AN＝x，BM＝y，则CN＝3x，CM＝3y．由AB＝8列出方程，求得x+y，再进而求得MN；（2）把MN＝AM+AN代入CN+2AM﹣2MN中计算便可知道结果； （3）设AN＝x，BM＝y，则CN＝3x，CM＝3y，①当C点在B点右边时，不符合题意，舍去；②当点C在点A的左边，由AB＝CB﹣CA得出y﹣xm，进而得MN＝3（y﹣x）；③当点C在线段（AB上时，由AB＝CB+CA得y+xm，进而得MN＝3（y+x），最后总结结论． 【解答过程】解：（1）设AN＝x，BM＝y，则CN＝3x，CM＝3y． ∵AB＝AN+CN+CM+MB＝m，∴x+3x+3y+y＝m＝8，∴x+y＝2， MN＝NC+CM＝3x+3y＝3（x+y）＝6． （2）CN+2AM﹣2MN的值与m无关．理由如下： 如图1， ∵CN＝3AN，∴CN+2AM﹣2MN＝3AN+2AM﹣2（AN+AM）＝AN ∵AN与m的取值无关，∴CN+2AM﹣2MN的值与m无关； （3）设AN＝x，BM＝y，则CN＝3x，CM＝3y ①当C点在B点右边时，∵满足CM＝3BM，M在线段AB上，如图2 此时，M不是线段BC上的点，不符合题意，舍去； ②当点C在点A的左边，如图3， ∵AB＝CB﹣CA＝（CM+MB）﹣（CN+AN）＝m， ∴（3y+y）﹣（x+3x）＝m，∴y﹣xm， ∴MN＝CM﹣CN＝3y﹣3x＝3（y﹣x）m； ③当点C在线段（AB上时，如图4， ∵AB＝CB+CA＝（CM+MB）+（CN+AN）＝m，∴（3y+y）+（x+3x）＝m，∴x+ym， ∴MN＝CM+CN＝3y+3x＝3（y+x）m；∴MN长度为m．综上，MN长度为m 6．（23-24七年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）如图，直线上有两点，，点是线段上的一点， (1)_______，_______； (2)若点是线段上一点，且满足，求的长； (3)若动点，分别从，同时出发，向右运动，点的速度为，点的速度为．设运动时间为，当点与点重合时，，两点停止运动．①当为何值时，； ②当点经过点时，动点从点出发，以的速度也向右运动．当点追上点后立即返回，以的速度向点运动，遇到点后再立即返回，以的速度向点运动，如此往返，直到点，停止时，点也停止运动．在此过程中，点行驶的总路程是多少？    【答案】(1)8，4(2)(3)①或② 【分析】本题考查线段的和与差，一元一次方程的应用，两点间的距离： （1）由于，点O是线段上的一点，，则，依此即可求解； （2）根据图形可知，点C是线段上的一点，可设的长是，根据，列出方程求解即可； （3）①分在线段上和在线段的延长线上时，两种情况讨论求解即可；②求出点P经过点O到点P，Q停止时的时间，再根据路程速度时间即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：8，4； （2）设的长是， 当点在线段上时，如图：    则：，解得：； 当点在线段上时，如图：    则：，解得：（舍去）； 故的长是； （3）①由题意，得：，，则：， 当在线段上时，，由题意，得：， 解得：， 当在线段的延长线上时，，由题意，得：，解得：； 综上：或； ②∵， ∴点运动到点时，，此时两点的间的距离为：， 当点与点重合时，所需时间为：秒， ∴点行驶的总路程是． 7．（23-24七年级上·河南商丘·期末）定义：若线段上的一个点把这条线段分成的两条线段，则称这个点是这条线段的三等分点．如图1，点C在线段上，且，则点C是线段的一个三等分点，显然，一条线段的三等分点有两个． (1)已知：如图2，，点P是的三等分点，求的长； (2)已知，线段，如图3，点P从点A出发以每秒1个单位长度的速度在线段上向点B方向运动，点Q从点B出发以每秒2个单位长度的速度在线段上向点A方向运动，设运动时间为t秒． ①若点P点Q同时出发，且当点P与点Q重合时，求t的值； ②若点P点Q同时出发，且当点P是线段的三等分点时，求t的值． 【答案】(1)7或14； (2)①；②当或6时，点P是线段的三等分点． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、两点间的距离、线段的三等分点的定义等知识点，掌握分类讨论思想成为解题的关键是解题的关键． （1）分，两种情况考虑：当时，由 结合的长度即可得出的长度；当时，由 结合的长度即可得出的长度； （2）①求出点P点和点Q相遇时间即可；②分点P、点Q相遇前及点P、Q相遇后两种情况解答即可． 【详解】（1）解：当时，； 当时，． 综上所述：的长为或． 故答案为14或7． （2）解：①由题意可得：， ∵点P点Q同时出发，且当点P与点Q重合， ∴,，解得：． ②当点P、点Q重合前点P是线段的三等分点时， 当时，有，解得：； 当时，有，解得：； 当点P、点Q重合后，点P是线段的三等分点时，显然不符合题意． 8．（23-24七年级上·广东佛山·期末）综合应用 运动的变化是永恒不变的规律，正如生命中的变幻无常中蕴含着永恒的真理一样．在运动的变化中，往往可以发现不变的规律和智慧，从变化中寻找不变的价值和意义，启迪我们用数学的思维思考问题背后的数理逻辑，从而培养自己的数学思维和逻辑推理能力． 已知点、、是直线上三个点（点在点左侧），点、分别是，的中点 (1)特例探究：如图，当点在线段上，且时，求的长度．(2)一般猜证：若，求线段的长度．(3)归纳结论：经历了上述探究过程，请你用简短的文字概括上述探究得到的结论． 【答案】(1)；(2)；(3)直线上任意一点与直线上两定点所成线段中点间的距离等于两定点距离的一半． 【分析】此题考查了线段的和差、线段中点的相关计算，弄清各线段之间的数量关系是解题的关键． （）根据点，分别是的中点，，即可得到； （）分点在射线上、点在线段上以及点在射线上三种情况，利用中点及线段和差的关系讨论求解即可； 【详解】（1）解：点、分别是，的中点． ， ∵， ， 的长度为； （2）解：当点在射线上时， 点、分别是，的中点． ， ∵， ， 的长度为； 当点在线段上时， 点、分别是，的中点． ， ∵， ， 的长度为； 当点在射线上时， 点、分别是，的中点． ， ∵， ， 的长度为； 综上，的长度为； （3）解：由（2）可知直线上任意一点与直线上两定点所成线段中点间的距离等于两定点距离的一半． 9．（23-24七年级上·甘肃定西·期末）如图，点是线段上一点，，点，分别从点，同时出发以，的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上），运动的时间为． (1)当时，若，请求出的长；(2)若点，运动到任一时刻，总有，请求出的长 (3)在（2）的条件下，若点是直线上一点，且，请求出的长． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查线段的和差运算，动点问题，数形结合，理解图形中的等量关系式解题的关键． （1）由题意，当时，，则，可得，由即可求解； （2）由，可知，即，即可求解； （3）分类讨论，当点在线段上时和点在的延长线上时，分别求解即可． 【详解】（1）根据点，的运动速度可知，，， ∴， ∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴． （2）根据点，的运动速度可知，， ∵， ∴，即， ∴． （3）如图1，当点在线段上时， ∵， ∴， ∵为， ∴， ∴； 如图2，当点在线段的延长线上时， . 综上所述，或. 10．（23-24七年级上·湖北武汉·期末）（1）如图1，点，，，为直线上从左到右顺次的四个点． ①直线上以，，，为端点的射线共有______条； ②若，，，点为直线上一点，则的最大值为______； （2）从图1的位置开始，点在直线上向左运动，点，在直线上向右与点同时开始运动，运动过程中的长度保持不变，，分别为，的中点（如图2）．在此过程中，请指出三条线段，，之间的数量关系（用一个等式表示）并说明理由； （3）如图3，点，，为数轴上从左到右顺次的三个点，点，表示的数分别为，，为中点．若，且，，求线段的长． 【答案】（1）①8；②9；（2）；（3）5 【分析】本题主要考查了与线段中点有关的线段和差计算，数轴上两点的距离计算，射线的条数问题： （1）①根据射线的定义进行求解即可；②分点P在点A左侧，点P在A、B之间，点P在点D右侧三种情况讨论求解即可； （2）如图所示，当点B在点C左边时，由线段中点的定义得到，，根据，推出，则；如图所示，当点B在点C右侧时，由线段中点的定义得到，，根据．推出则； （3）由中点的定义得到，，求出，则，再由，推出，则． 【详解】解：（1）①由题意得，图中的射线有射线，共8条射线， 故答案为：8； ②∵，，， ∴， 如图所示，当点P在点A左侧时（包括A）， 如图所示，当点P在A、D之间时，， 如图所示，当点P在点D右侧时（包括B），； 综上所述，的最大值为9； 故答案为：9； （2），理由如下： 如图所示，当点B在点C左边时， ∵，分别为，的中点， ∴，， ∴ ， ， ∴； 如图所示，当点B在点C右侧时， ∵，分别为，的中点， ∴，， ∴ ， ， ∴； 综上所述，； （3）∵为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 11．（23-24七年级上·山东临沂·期末）已知线段，在上取一点C，点M是的中点，点N是的中点．(1)如图①，若，求线段的长； (2)如图②，若，且点P，Q分别从A，B两点同时出发，点P沿线段以每秒3个单位长度的速度向右运动，到达C点后立即按原速向A折返；点Q沿线段以每秒1个单位长度的速度向左运动，当P，Q中的某点到达A时，两点同时停止运动，求两点第二次相遇时，与点M的距离． 【答案】(1) (2)与点M的距离为2 【分析】本题考查了线段的中点，线段的和与差运算，数轴上的动点问题： （1）由点M是的中点，求出，由点N是的中点即可求出的长度； （2）求出和的长度，设t秒后点P，Q第一次相遇，列方程求出t的值，设m秒后点P，Q再次相遇，列方程求出m的值，从而求出与点M的距离． 【详解】（1）解：，点M是的中点， ， ， ， 点N是的中点， ． （2）解：由（1）可知：， ，， ，． 设P，Q第一次相遇时间为t秒， ， ∴， 点Q在点C左侧，距离为2， 设P，Q又经过m秒相遇， ， ∴， 点P，Q在第二相遇时一共走了6秒， 与点M的距离为（个单位）． 12．（23-24七年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，C为线段上一点，且，的比小5． (1)求的长．(2)点P从A点出发，以1个单位长度/秒的速度在线段上向B点运动，设运动时间为t秒（），D为的中点，E为的中点，若，试求点P运动时间t的值． (3)若P从A点出发，以1个单位长度/秒的速度在线段上向B点运动，同时点Q从B点出发，以个单位/秒的速度在的延长线上与P点同向运动，运动时间，D为的中点，F为的中点，E在上且，当P、Q两点运动过程中，给出下面两个结论：①的值不变；②的值不变，其中只有一个结论是正确的，请判断正确的结论并求其值． 【答案】(1)，(2)6(3)正确的结论为①， 【分析】（1）设，则，根据的比小5，可得到关于x的方程，即可求解； （2）根据题意得：，，再根据中点的定义，可得，，从而得到，进而得到，再由，即可求解； （3）根据题意得：，再由D为的中点， E在上且，可得，从而得到，即可求解． 【详解】（1）解：设，则， ∵的比小5， ∴，解得：， ∴，； （2）解：由（1）得：， 根据题意得：，， ∵D为的中点，E为的中点， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：； （3）解：正确的结论为①， 根据题意得：， ∵D为的中点， E在上且， ∴， ∵F为的中点， ∴， ∴，是定值； 不是定值． 【点睛】本题考查了有关线段中点的计算，一元一次方程的应用，利用数形结合思想解答是解题的关键． 13．（23-24七年级·福建·期末）如图，已知，点C、D分别为线段、上的动点，若点C从点O出发以的速度沿方向运动，同时点D从点B出发以的速度沿方向运动．    (1)如图1，当运动时间为时，求的值；(2)如图1，若在运动过程中，始终保持，求OA的长；(3)如图2，在（2）的条件下，延长BO到点M，使，点P是直线OB上一点，且，求的值． 【答案】(1)(2)(3)或 【分析】（1）先求出，，根据，求出，，最后求出结果即可； （2）设运动时间为，则，，求出，，根据，得出，求出，再根据求出结果即可； （3）当点P在O、B之间时，根据，得出，，求出，根据求出，根据，得出，求出，最后求出比值即可；当点P在点B右边时，可得，进而可得结果． 【详解】（1）解：当运动时间为时，，， ∵，∴，∴， ∵，∴；    （2）解：设运动时间为，则，，∴，， ∵，∴，∴ ∵，∴，∴． （3）解：∵，∴，，， ∵，∴点P在点O右边， 当点P在O、B之间时，∴， ∵，∴，∴，∴．    当点P在点B右边时，∵，， ∴，∴；综上，或． 【点睛】本题主要考查了线段的和差运算，解题的关键是数形结合，根据线段之间的数量关系求出结果． 14．（23-24七年级上·湖南长沙·阶段练习）材料阅读：对线段而言，当点在线段上，且点是的中点时，有，反过来，当有时，则点为线段的中点． (1)如图1，点在线段上，若，则______；若，则______； (2)如图2，已知线段，点分别从点和点同时出发，相向而行，点的运动速度为，点的运动速度为，若它们相遇则点同时停止运动．线段的中点为点，线段的中点为点，运动时，求两中点之间的距离； (3)已知线段，点分别从点和点同时出发，相向而行，若点的运动速度分别为和，点到达点后立即以原速返回，点到达点时，点同时停止运动，设运动时间为s，则当为何值时，等式成立？ 【答案】(1)，(2)之间的距离(3)或时，等式成立 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，线段中点等知识．运动过程中用含的式子表达线段的长度是解决本题的关键．（1）用含式子表示，即可求解； （2）由题意先求和，根据中点定义求出和，即可求得的距离； （3）分两种情况：当点到达点之前时，当点到达点返回时，分别表示、，代入题中等式，即可求出时间． 【详解】（1）解：，， 又，，． （2）如图， 点的运动速度为，点的运动速度为，运动时间为， ，， 又、是线段、的中点，，， ． （3）当点到达点之前时，即时， 由题意得，，，， 又，，解得：； 当点到达点返回时，即时， 由题意得，，， 又，，解得：， 综上所述，当或时，等式成立． 15．（23-24七年级上·湖南永州·期末）如图，数轴上点M表示的数为m，点N表示的数为n，且．      (1)______，______； (2)P为数轴上的动点，设Q为的中点，点P从点M向左运动时，请探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)， (2)当点P在线段上时，；当点P在点N左侧，点Q在线段上时，；当点P、点Q均在点N左侧时，，理由见详解 【分析】本题考查了绝对值的非负性，线段的中点、和差的计算， （1）根据几个非负性项之和为0，则每一个非负性均为0，据此即可求解； （2）分当点P在线段上时；当点P在点N左侧，点Q在线段上时；当点P、点Q均在点N左侧时，三种情况讨论，画出图形，根据线段的中点、和差即可计算求解． 【详解】（1）∵，又∵，， ∴，，∴，，故答案为：，； （2）当点P在线段上时，；当点P在点N左侧，点Q在线段上时，；当点P、点Q均在点N左侧时，，理由如下：设点P表示的数为x， ∵，，∴， 当点P在线段上时，如图，    ∵点P表示的数为x，点N表示的数为，点M表示的数为， ∴，，∴， ∵Q为的中点，∴， ∴， ∴，∴； 当点P在点N左侧，点Q在线段上时，即，如图，    ∴，，∴， ∵Q为的中点，∴，且， ∴，则：，∴， ∴，∴， ∵，∴，∴； 当点P、点Q均在点N左侧时，如图，    ∴，，∴， ∵Q为的中点，∴，且，∴， ∴，∴， ∴， 综上所述：当点P在线段上时，；当点P在点N左侧，点Q在线段上时，；当点P、点Q均在点N左侧时，． 16．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）如图，点A、点B在数轴上分别表示数a、b，则A、B两点之间的距离表示为． 【探索新知】如图1，点C将线段分成和两部分，若，则称点C是线段的圆周率点，线段称作互为圆周率伴侣线段 (1)若，则______； (2)若点D也是图1中线段的圆周率点（不同于C点），则______（填“<”、“”、“>”） 【深入研究】如图2，现有一个直径为1个单位长度的圆片，将圆片上的某点与数轴上表示1的点重合，并把圆片沿数轴向右无滑动地滚动1周，该点到达点C的位置 (3)若点M、N均为线段的圆周率点，求线段的长度； (4)在图2中，点P、Q分别从点O、C位置同时出发，分别以每秒3个单位长度、每秒2个单位长度的速度向右匀速运动，运动时间为t秒．当点P在点C左侧时，P、C、Q三点中某一点为其余两点所构成线段的圆周率点，请求出t的值 【答案】(1)(2)(3)(4)或 【分析】（1）根据线段之间的数量关系代入解答即可； （2）根据线段的圆周率点的定义及相关线段的大小比较即可解题； （3）由题意可知，点C表示的数是，设M点离O点近，且，根据题意可得关于x的一元一次方程，求解即可；（4）根据题意分类讨论计算即可：①点P在点C左侧，；②点P在点C左侧，． 【详解】（1）解：由题意得，∴， ∵，∴； （2）解：如图，∵， 当时，，，即点也是图1中线段的圆周率点， 与的数量关系是相等；故答案为：； （3）解：由题意可知，点C表示的数是， ∵点M、N均为线段的圆周率点，不妨设M点离O点近，且， ∴，∴，解得：， ∴，∴； （4）解：由题意可知，点P、C、Q所表示的数分别为：， 当P、C、Q三点中某一点为其余两点所构成线段的圆周率点时， ①如图①，点P在点C左侧， ∵，，∴； 如图②，点P在点C左侧， ∵，∴，∴； 综上所述，t的值为或． 【点睛】本题考查了一元一次方程在新定义类动点问题中的应用，有一定综合性，通过数形结合并分类讨论，是解题的关键． 17．（2024·江苏·七年级校考阶段练习）【概念与发现】当点C在线段AB上，时，我们称n为点C在线段AB上的“点值”，记作． 例如，点C是AB的中点时，即，则；反之，当时，则有． 因此，我们可以这样理解：“”与“”具有相同的含义． 【理解与应用】(1)如图，点C在线段AB上．若，，则________； 若，则________AB． 【拓展与延伸】(2)已知线段，点P以1cm/s的速度从点A出发，向点B运动．同时，点Q以3cm/s的速度从点B出发，先向点A方向运动，到达点A后立即按原速向点B方向返回．当P，Q其中一点先到达终点时，两点均停止运动．设运动时间为t（单位：s）．①小王同学发现，当点Q从点B向点A方向运动时，的值是个定值，则m的值等于________；②t为何值时，． 【答案】(1)，(2)①3；②2或6 【分析】（1）根据“点值”的定义即可得出答案； （2）①设运动时间为t，再根据的值是个定值即可得出m的值； ②分点Q从点B向点A方向运动时和点Q从点A向点B方向运动时两种情况加以分析即可 【详解】（1）解：∵，，∴∴，∵，∴ （2）解：①设运动时间为t，则AP=t，AQ=10-3t，则， ∵的值是个定值，∴的值是个定值，∴m=3 ②当点Q从点B向点A方向运动时，∵∴∴t=2 当点Q从点A向点B方向运动时，∵∴∴t=6∴t的值为2或6 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，理解新定义，并能运用是本题的关键． 18.（2023春·福建福州·七年级统考开学考试）如图，已知，点C、D分别为线段、上的动点，若点C从点O出发以的速度沿方向运动，同时点D从点B出发以的速度沿方向运动．    (1)如图1，当运动时间为时，求的值；(2)如图1，若在运动过程中，始终保持，求OA的长；(3)如图2，在（2）的条件下，延长BO到点M，使，点P是直线OB上一点，且，求的值． 【答案】(1)(2)(3)或 【分析】（1）先求出，，根据，求出，，最后求出结果即可； （2）设运动时间为，则，，求出，，根据，得出，求出，再根据求出结果即可； （3）当点P在O、B之间时，根据，得出，，求出，根据求出，根据，得出，求出，最后求出比值即可；当点P在点B右边时，可得，进而可得结果． 【详解】（1）解：当运动时间为时，，， ∵，∴，∴， ∵，∴；    （2）解：设运动时间为，则，，∴，， ∵，∴，∴ ∵，∴，∴． （3）解：∵，∴，，， ∵，∴点P在点O右边， 当点P在O、B之间时，∴， ∵，∴，∴，∴．    当点P在点B右边时，∵，，∴，∴； 综上，或． 【点睛】本题主要考查了线段的和差运算，解题的关键是数形结合，根据线段之间的数量关系求出结果． 19．（2023秋·河北唐山·七年级统考期末）操作与探究： （1）已知：如图线段长为，点从点A以的速度向点运动，点运动时间为，则______，______ （2）已知：如图，在长方形中，，，动点以的速度从A点沿着运动，运动时间为，用含的式子表示______ 拓展与延伸：（3）已知：如图，在（2）的基础上，动点从点出发，沿着线段向点运动，速度为，、同时出发，运动时间为．其中一点到达终点，另一个点也停止运动．当点在上运动时，为何值时，？ 【答案】（1）；；（2）或；（3）11或13 【分析】(1)根据点P运动的速度及的长，即可解答； (2)根据点P运动的速度及、的长，即可解答； (3)分两种情况，列出方程即可分别求解． 【详解】解：（1）线段长为，点从点A以的速度向点运动， ，，故答案为：，； （2），，动点以的速度从A点沿着运动， 当点P在上时，，当点P在上时，， 故答案为：或； （3）当点在点的左边时，，即，，解得， 当点在点的右侧时，，，解得，故为11或13时，． 【点睛】本题考查了动点问题，列代数式，一元一次方程的应用，采用分类讨论的思想是解决本题的关键． 20.（23-24七年级上·江苏泰州·期中）如图1，已知数轴上从左向右依次有四点、、、，其中，点对应的数是． (1)若，则点对应的数是______； (2)如图2，在（1）的条件下，若一小球甲在数轴上从点处以单位/秒的速度向右运动，同时另一小球乙从点处以单位/秒的速度向左运动，当甲乙两小球开始运动时，立即在点和点处各放一块挡板，其中，当球在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为秒，问：为何值时，甲、乙两小球之间的距离为个单位． (3)在（2）的条件下，将线段、分别绕点、点竖直向上折起，连接线段，围成如图3的长方形中，点从点出发，以单位/的速度沿点－－－匀速运动，最终到达点．设点运动时间为秒，问：为何值时，的面积为？ 【答案】(1)(2)或(3)或 【分析】（1）根据，，得到，再利用两点之间的距离公式即可求解； （2）由题意可得甲、乙碰到板子的时间均为，分为碰板前后两种情况讨论，①甲、乙碰到板子前（），得到，解得，符合题意；②甲、乙碰到板子后（），得到，解得，符合题意，由此即可解答；（3）先分别计算出当点运动到点、、时的时间值，再分类讨论当运动到、、上的情况，根据面积公式列方程求出时间即可． 【详解】（1），， ，， 点对应的数是，点对应的数是，故答案为：； （2），，即， 由题意可得甲、乙碰到板子的时间均为，分类讨论，分为碰板前后两种情况， ①甲、乙碰到板子前（），甲距离点：，乙距离点：， 解得：，，符合题意； ②甲、乙碰到板子后（）甲与点的距离为：，乙与点的距离为：， ，解得：，，符合题意， 综上所述，或为时，甲、乙两小球之间的距离为个单位； （3）当点运动到点时，， 当点运动到点时，，当点运动到点时，， ①当点在运动时， ，， 即，解得：，符合题意；        ②当点在运动时，，， 由（2）得，， 即，解得：，符合题意； ③当点在运动时，，， ，即，解得：，不符合题意； 综上所述，为或时，的面积为． 【点睛】本题考查数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，线段的和差关系，三角形的面积，解题的关键是掌握两点之间的距离公式，理解题意找到其中蕴含的等量关系，学会用分类讨论的思想解决问题． 21．（23-24七年级上·江西赣州·期末）已知：如图，点是线段上一定点，，两点分别从点出发以、的速度在直线上运动，运动方向如图中箭头所示（点在线段上，点在线段上）。(1)若，当点、运动了，此时 ， ；（直接填空） (2)当点运动了时，求的值．(3)若点、运动时，总有，则 （填空）。(4)在（3）的条件下，是直线上一点，且，求的值．    【答案】(1)；(2)(3)4(4)或1 【分析】本题考查了线段上的动点问题，线段的和差，一元一次方程的应用； （1）由已知条件得、的长，由即可求解； （2）由已知条件得，，由，即可求解； （3）的运动速度可知：，由线段的和得，即可求解；解法二：、运动时间为，的长度为，得，，由，即可求解； （4）①当点在线段上时，由线段和差得，可求，由即可求解；②当点在线段的延长线上时，同理可求，即可求解； 能用已知线段的和差表示所求线段，根据点的不同位置进行分类讨论，用方程思想求解是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，， ，， ，故答案：；； （2）解：由题意得，， ；故的值为； （3）解：的运动速度可知：， ，，即 ， 又 ，，，．故答案为：4． 解法二 设、运动时间为，的长度为，得 ， ， ， ， ． 又 ， ， 解得：； 故答案为：4； （4）解：①当点在线段上时，如图1，   ， 又， ， ， ； ②当点 在线段的延长线上时，如图2，   ， 又 ， ， ． 综上所述 或1． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$