专题2.4 函数的单调性、奇偶性、对称性与周期性（练习）-2025年高考数学二轮复习【举一反三】专练（新高考专用）

专题2.4 函数的单调性、奇偶性、对称性与周期性 【新高考专用】 题型一 函数单调性的判断及单调区间的求解 1．（2024高三·全国·专题练习）设函数在上为增函数，则下列结论正确的是（    ） A．在R上为减函数 B．在R上为增函数 C．在R上为增函数 D．在R上为减函数 2．（2024·江西·二模）已知函数若，则的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·湖南邵阳·阶段练习）函数的单调递减区间为 . 4．（23-24高一上·河南郑州·期中）函数在区间内的单调性是 . 题型二 利用函数的单调性求参数 5．（2024·陕西商洛·一模）已知函数是定义在上的增函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（2024·北京丰台·一模）已知函数的定义域为，存在常数，使得对任意，都有，当时，．若在区间上单调递减，则t的最小值为（    ） A．3 B． C．2 D． 7．（2024·山东·模拟预测）若函数的图像经过点，且在上是减函数，则 ． 8．（24-25高一上·江苏连云港·期中）若函数在上单调递增，则实数的取值范围为 . 题型三 函数的最值问题 9．（2024·江西九江·模拟预测）若，则有（    ） A．最小值3 B．最大值3 C．最小值9 D．最大值9 10．（24-25高一上·北京延庆·期中），设取，，三个函数值中的最小值，则的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 11．（2024·安徽淮北·一模）记不超过的最大整数为.若函数既有最大值也有最小值，则实数的值可以是 （写出满足条件的一个的值即可）. 12．（2024·上海徐汇·二模）已知函数，，其中，，若的最小值为2，则实数的取值范围是 . 题型四 函数的奇偶性及其应用 13．（2024·陕西榆林·模拟预测）已知是定义在R上的奇函数，是定义在R上的偶函数，且，在上单调递减，则（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C． D． 14．（2024·陕西宝鸡·三模）已知函数为偶函数，则（    ） A． B． C． D．1 15．（2024·内蒙古包头·三模）已知函数是定义在R上的奇函数，且，则 ． 16．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知是定义域为的函数，且是奇函数，是偶函数，满足，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是 . 题型五 函数的对称性与周期性综合 17．（2024·四川南充·三模）已知函数的定义域均为R，函数的图象关于原点对称，函数的图象关于y轴对称，，则（    ） A． B． C．3 D．4 18．（2024·陕西榆林·一模）定义在R上的函数，满足，，，，则下列说法中错误的是（   ） A．是函数图象的一条对称轴 B．2是的一个周期 C．函数图象的一个对称中心为 D．若且，，则n的最小值为2 19．（2024·宁夏银川·一模）若定义在上的函数满足是奇函数，，，则 ． 20．（2024·广西南宁·二模）定义域为R的函数的图象关于点对称，函数的图象关于直线对称．若，则 ． 题型六 利用函数的性质比较大小 21．（23-24高一上·河南南阳·阶段练习）已知定义在上的函数满足，且，时，，记，，，则（    ） A． B． C． D． 22．（23-24高一上·陕西西安·期中）已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 23．（2024高一·全国·专题练习）已知函数对于任意的，都有，则的大小关系为 . 24．（24-25高一上·四川成都·期中）定义在区间上的函数满足，时，，若，，，则三个实数a，b，c的大小关系为 ．（用“＜”连接） 题型七 利用函数的性质解不等式 25．（2024·广西柳州·三模）设函数是定义在上的奇函数，且对于任意的x，，都有.若函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 26．（2024·重庆·一模）已知定义在R上的函数满足：，且时，，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 27．（2024·河南·模拟预测）已知定义在上的函数满足：在上单调递减，，则满足的的取值范围为 . 28．（2024·河北保定·二模）已知函数的定义域，对任意，恒有，且当时，恒成立，，则不等式的解集为 . 题型八 抽象函数的性质综合 29．（23-24高二下·辽宁大连·阶段练习）定义域为的函数，对任意，且不恒为0，则下列说法错误的是（    ） A． B．为偶函数 C． D．若，则 30．（2024·河南·模拟预测）已知函数的定义域为R，对于任意实数x，y满足，且 ，则下列结论错误的是（    ） A． B．为偶函数 C．为奇函数 D． 31．（24-25高一上·重庆·期中）已知定义域在上的函数满足：，且当时，. (1)求，的值； (2)证明是偶函数； (3)解不等式. 32．（24-25高一上·河北邯郸·期中）已知定义在上的函数满足，，在上单调递增． (1)求的值． (2)证明：是奇函数． (3)若关于的不等式的解集中恰有2个整数，求的取值范围． 题型九 函数性质的综合应用 33．（23-24高一上·四川泸州·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求，的值； (2)判断在上的单调性，并用定义证明； (3)设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 34．（24-25高一上·江苏常州·期中）已知函数是定义在R上的奇函数，且，当时，， (1)求函数在R上的解析式； (2)判断函数在上的单调性，并用单调性的定义证明你的结论； (3)解不等式. 35．（24-25高一上·湖北·期中）已知函数为上的奇函数，且. (1)求实数的值； (2)试判断函数在区间的单调性，并说明理由； (3)求函数（其中）的值域. 36．（24-25高一上·河北邯郸·期中）已知是定义在上的函数，，且，都有． (1)求，的值； (2)判断在上的单调性，并用定义证明； (3)若对任意，都存在，使得成立，求的取值范围． 一、单选题 1．（2024·湖北·模拟预测）函数在区间单调递减，则实数取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·海南·模拟预测）若函数的图象关于点对称，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024·四川宜宾·三模）已知函数在上单调递减且对任意满足，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知为奇函数，则 （    ） A． B．14 C． D．18 5．（2024·北京·模拟预测）定义在R上的函数满足：，且，当时，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·江苏苏州·模拟预测）已知定义在区间上，值域为的函数满足：①当时， ；②对于定义域内任意的实数a、b均满足：．则（    ） A． B． C．函数在区间上单调递减 D．函数在区间上单调递增 7．（2024·重庆·模拟预测）已知函数的定义域是，对任意的，，，都有，若函数的图象关于点成中心对称，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 8．（2024·四川绵阳·模拟预测）定义在上的函数满足，，为奇函数，有下列结论： ①直线为曲线的对称轴；②点为曲线的对称中心；③函数是周期函数；④；⑤函数是偶函数. 其中，正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、多选题 9．（2024·河南信阳·模拟预测）若函数在上单调，则实数的值可以为（    ） A． B． C． D．3 10．（2024·全国·模拟预测）已知函数的定义域为，满足且对任意的，有，则（    ） A． B． C． D． 11．（2024·山东·模拟预测）已知定义在上的函数，满足，且当时，，则（    ） A． B．为偶函数 C． D．若，则x的取值范围为 三、填空题 12．（2024·四川眉山·一模）已知是奇函数，当时，，则 . 13．（2024·新疆·一模）已知定义在上的函数，满足，且，，则 . 14．（2024·内蒙古赤峰·一模）定义在上的函数满足：对任意都有，且当时，恒成立.下列结论中可能成立的有 . ①为奇函数； ②对定义域内任意，都有； ③对，都有； ④. 四、解答题 15．（2024·山东济南·三模）已知函数，且. (1)求的值; (2)判断函数在上是增函数还是减函数，并证明. 16．（24-25高一上·贵州贵阳·期中）已知函数，点是图象上的两点． (1)求的值： (2)用定义判断函数在上的单调性，并求该函数的最大值和最小值. (3)若函数，求函数的值域． 17．（24-25高一上·湖南株洲·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且． (1)求m，n的值； (2)判断在上的单调性，并用定义证明； (3)设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 18．（24-25高一上·辽宁大连·期中）定义在上的函数满足：对任意的，都有，且当时，． (1)判断的奇偶性； (2)求证：函数在上是减函数； (3)若，且，，恒成立，求实数的取值范围． 19．（23-24高一上·上海·期末）若函数与满足：对任意，都有，则称函数是函数在集合上的“约束函数”.已知函数是函数在集合上的“约束函数”. (1)若，，判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)若，，，求实数a的取值范围； (3)若为严格减函数，，，且函数的图象是连续曲线，求证：是上的严格增函数. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.4 函数的单调性、奇偶性、对称性与周期性 【新高考专用】 题型一 函数单调性的判断及单调区间的求解 1．（2024高三·全国·专题练习）设函数在上为增函数，则下列结论正确的是（    ） A．在R上为减函数 B．在R上为增函数 C．在R上为增函数 D．在R上为减函数 【解题思路】通过举反例即可判断A、B、C选项，可以借助单调性的定义证明D选项. 【解答过程】对于A选项，若，则，在上不是减函数，故A错误； 对于B选项，若，则，在上不是增函数，故B错误； 对于C选项，若，则，在上不是增函数，故C错误； 对于D选项，函数在上为增函数，则对于任意的，设，必有，即， 对于，则有 则在上为减函数，故D正确． 故选：D. 2．（2024·江西·二模）已知函数若，则的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先根据题目条件求出 的值，再根据二次函数的性质求出 的单调递增区间 【解答过程】解：依题意，解得a＝－1，故，可知在上单调递增， 故选：D. 3．（24-25高一上·湖南邵阳·阶段练习）函数的单调递减区间为 . 【解题思路】将绝对值函数转化为分段函数形式，作出函数图像，结合图像可知单调递减区间. 【解答过程】 画出函数图象，如图可知， 当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，函数在上单调递增， 综上所述，函数的单调递减区间为. 故答案为：. 4．（23-24高一上·河南郑州·期中）函数在区间内的单调性是 单调递减 . 【解题思路】化简函数解析式，用定义证明函数的单调性即可. 【解答过程】因为， ，且，则 ， 由，则， 于是， ，即， 所以在单调递减. 故答案为：单调递减. 题型二 利用函数的单调性求参数 5．（2024·陕西商洛·一模）已知函数是定义在上的增函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由题意可知函数在每一段上为增函数，且在时，一次函数的值不小于二次函数的值，然后解不等式组可求得结果. 【解答过程】因为是定义在上的增函数， 所以，解得. 故选：B. 6．（2024·北京丰台·一模）已知函数的定义域为，存在常数，使得对任意，都有，当时，．若在区间上单调递减，则t的最小值为（    ） A．3 B． C．2 D． 【解题思路】根据函数的周期性和绝对值型函数的单调性进行求解即可. 【解答过程】因为存在常数，使得对任意，都有， 所以函数的周期为， 当时，函数在单调递减， 所以当时，函数在上单调递减， 因为在区间上单调递减， 所以有， 故选：B. 7．（2024·山东·模拟预测）若函数的图像经过点，且在上是减函数，则 ． 【解题思路】因函数图像过，且在上是减函数，根据一次函数的性质，，可得. 【解答过程】因为函数的图像经过点，且在上是减函数， 所以，且， 得或（舍去）． 故答案为：． 8．（24-25高一上·江苏连云港·期中）若函数在上单调递增，则实数的取值范围为 . 【解题思路】根据分段函数在R上单调递增列出不等式组，解此不等式组即可作答. 【解答过程】由题意可得，解得. 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 题型三 函数的最值问题 9．（2024·江西九江·模拟预测）若，则有（    ） A．最小值3 B．最大值3 C．最小值9 D．最大值9 【解题思路】根据二次函数的性质进行求解即可. 【解答过程】令，对称轴为，开口向下， 因为，所以当时，有最大值9，没有最小值， 故选：D. 10．（24-25高一上·北京延庆·期中），设取，，三个函数值中的最小值，则的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【解题思路】作出函数的图象，利用图象求出其最大值. 【解答过程】在同一坐标系内作出直线，，， 由取，，三个函数值中的最小值， 得的图象为下图中实线构成的折线图， 则的最大值即为的图象最高点对应的纵坐标值， 观察图象知，的图象最高点是直线与的交点， 由，得，因此的图象最高点是， 所以的最大值为2. 故选：B. 11．（2024·安徽淮北·一模）记不超过的最大整数为.若函数既有最大值也有最小值，则实数的值可以是 （答案不唯一，取内得任一值即可） （写出满足条件的一个的值即可）. 【解题思路】根据题意取，，，则，将问题转化为在区间上既有最大值，又有最小值，然后，，和四种情况分析讨论即可求出答案. 【解答过程】取，，. 则. 题意等价于在区间上既有最大值，又有最小值. 当时，在上为增函数，只有最小值，无最大值； 当时，在上递减，在上递增，此时，有最小值，无最大值； 当时，在上递减，在上递增，此时，最大值为，最小值为； 当时，在上为减函数，有最大值，无最小值. 综上，的取值范围是. 故答案为：（答案不唯一，取内得任一值即可）. 12．（2024·上海徐汇·二模）已知函数，，其中，，若的最小值为2，则实数的取值范围是 . 【解题思路】根据讨论函数单调性，再根据单调性确定函数最值，最后根据最值确定的取值范围. 【解答过程】①当时，在上单调递增， 所以，因此满足题意； ②当时，在上单调递增，在上单调递减 （i）当时，在上单调递增， 所以，则， ， 所以，，， ，， ， 或或 ； （ii）当时，在上单调递增，在上单调递减， 所以 ，即， ； 综上，的取值范围为. 故答案为：. 题型四 函数的奇偶性及其应用 13．（2024·陕西榆林·模拟预测）已知是定义在R上的奇函数，是定义在R上的偶函数，且，在上单调递减，则（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C． D． 【解题思路】由函数奇偶性的定义判断AB，由函数单调性判断CD. 【解答过程】由，得是奇函数，且定义域（全体实数）关于原点对称， 由，且定义域（全体实数）关于原点对称，得为偶函数，故A，B选项均错误． 由题易知函数在R上单调递减，函数在上单调递增， 由，得，从而，即C选项错误． 由，得，从而，即D选项正确． 故选：D. 14．（2024·陕西宝鸡·三模）已知函数为偶函数，则（    ） A． B． C． D．1 【解题思路】根据函数的奇偶性即可求值． 【解答过程】解：由于为偶函数，则恒成立， 则，则有， 可得， 经验证满足恒成立． 故选：B． 15．（2024·内蒙古包头·三模）已知函数是定义在R上的奇函数，且，则 ． 【解题思路】由已知，得，又，可得，则，即可求得. 【解答过程】因为函数是定义在R上的奇函数， 所以，所以， 又，所以，解得， 经检验符合题意，所以，则. 故答案为：. 16．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知是定义域为的函数，且是奇函数，是偶函数，满足，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是 . 【解题思路】根据题意，得到，联立方程组，求得，结合题意转化为成立，构造，得到在单调递增，利用二次函数的性质，分类讨论，即可求解. 【解答过程】因为是奇函数，是偶函数，满足， 可得， 联立方程组，解得， 又因为对任意的，都有成立， 所以，所以成立， 构造， 所以由上述过程可得在单调递增， (i)若，则对称轴，解得； (ii) 若，在单调递增，满足题意； (iii) 若，则对称轴恒成立； 综上可得，，即实数的取值范围为. 故答案为：. 题型五 函数的对称性与周期性综合 17．（2024·四川南充·三模）已知函数的定义域均为R，函数的图象关于原点对称，函数的图象关于y轴对称，，则（    ） A． B． C．3 D．4 【解题思路】利用题设得到①和②，又由，结合①式，推得的周期为12，利用求得和，最后利用的周期性即可求得. 【解答过程】由函数的图象关于原点对称，， 即，即①， 由函数的图象关于y轴对称，可得②， 由可得，又得， 两式相加，，将①式代入，得， 则得，将②式代入得，，则， 于是，即的周期为12. 又，由①可得，得， 又由可得，即得. 因，可得，， 于是， 故选：B. 18．（2024·陕西榆林·一模）定义在R上的函数，满足，，，，则下列说法中错误的是（   ） A．是函数图象的一条对称轴 B．2是的一个周期 C．函数图象的一个对称中心为 D．若且，，则n的最小值为2 【解题思路】由已知可推得关于直线对称，.又有.进而得出，即有，即可得出B项；根据的周期可得出的周期为4，结合的对称性，即可得出A项；由的对称中心，即可得出关于点对称，结合的性质，即可得出C项；根据的周期性以及对称性可得，，然后分讨论求解，即可判断D项. 【解答过程】由可得，所以关于直线对称， 所以关于直线对称，即关于直线对称， 所以关于直线对称，所以关于直线对称， 所以有，所以有，所以. 又由可得，，所以关于点对称， 所以. 对于B项，因为，， 所以，，所以， 所以，的周期为，故B项正确； 对于A项，由已知周期为2，所以的周期为4. 因为关于直线对称，所以是函数图象的一条对称轴，故A项正确； 对于C项，关于点对称，所以关于点对称， 所以关于点对称，所以. 又关于直线对称，所以， 所以，所以有， 所以函数图象的一个对称中心为，故C项正确； 对于D项，由C知，关于点对称，关于点对称， 所以，，，所以. 又的周期为4，所以对，. 因为， 则当时，有. 因为，所以，不满足题意； 当时，，不满足题意； 当时，，满足题意. 故n的最小值为3，D错误. 故选：D. 19．（2024·宁夏银川·一模）若定义在上的函数满足是奇函数，，，则 ． 【解题思路】由是奇函数，可得，由可得，进而得到，从而得出函数的周期为，根据条件赋值可求得，从而得解. 【解答过程】因为是奇函数，所以， 用替换上式中的，可得， 在中，用替换，可得， 所以，用替换该式中的，可得， 所以，所以函数的周期为， 在中，令，得， 在中，令，得， 在中，令，得， 所以， 所以. 故答案为：. 20．（2024·广西南宁·二模）定义域为R的函数的图象关于点对称，函数的图象关于直线对称．若，则 2499 ． 【解题思路】根据抽象函数的对称性、周期性运算得解. 【解答过程】因为的图象关于点对称，所以， 则即， 又的图象关于直线对称，则， 所以，即， 可得，则是以4为周期的函数. 因为， 由，令，得， 所以，，， 所以 . 故答案为：2499. 题型六 利用函数的性质比较大小 21．（23-24高一上·河南南阳·阶段练习）已知定义在上的函数满足，且，时，，记，，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意能得到函数关于直线轴对称，且在上单调递增，然后根据离对称轴的远近比较大小. 【解答过程】由，时，得函数在上单调递减， 由得函数关于直线轴对称， 所以函数在上单调递增. 又因为（最远离），（最靠近）， 所以. 故选：A. 22．（23-24高一上·陕西西安·期中）已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先比较的大小，再由函数的单调性和奇偶性求解即可. 【解答过程】当时，恒成立， 可知函数在上单调递增， 又因为函数是偶函数， 所以， 设，则， 所以，又， 所以，所以， 又因为函数在上单调递增， 所以. 故选：A. 23．（2024高一·全国·专题练习）已知函数对于任意的，都有，则的大小关系为 （或） . 【解题思路】由函数单调递减的性质即可求解. 【解答过程】因为函数对于任意的，都有， 所以在区间上是减函数， 所以，所以. 故答案为：(或). 24．（24-25高一上·四川成都·期中）定义在区间上的函数满足，时，，若，，，则三个实数a，b，c的大小关系为 ．（用“＜”连接） 【解题思路】利用已知的恒等式进行赋值，由函数单调性的定义判断函数的单调性，由恒等式将转化为，利用单调性比较大小即可． 【解答过程】因为定义在区间上的函数满足：， 设，且满足， 由，有，则， 可得，则， 因为时， 所以，即，所以， 故函数在上为单调递增函数， 因为，所以， 取，，则， 则， 因为，所以，即． 故答案为：． 题型七 利用函数的性质解不等式 25．（2024·广西柳州·三模）设函数是定义在上的奇函数，且对于任意的x，，都有.若函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由的奇偶性可判断 也为奇函数，然后结合，及单调性的定义可判断单调递增，结合单调性及奇函数的定义可求． 【解答过程】，， 由于是定义在上的奇函数，即， ，故为奇函数， 对于任意的，，有， ， 当时，有， 即， ， 单调递增， ， ， ， 整理可得，， 解可得，或， 故选：D. 26．（2024·重庆·一模）已知定义在R上的函数满足：，且时，，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据函数单调性和奇偶性则得到不等式，解出即可. 【解答过程】任取，则， 而时，，则， ， 所以在上单调递减， ，， 取，则，令， 得， 所以为上的奇函数， ，即，则，解得 故选：A. 27．（2024·河南·模拟预测）已知定义在上的函数满足：在上单调递减，，则满足的的取值范围为 . 【解题思路】令，可得，可知函数为奇函数，由奇函数性质分析可知在定义域内单调递减，根据函数单调性和奇偶性分析求解. 【解答过程】因为，且， 令，可得， 则，即， 可知函数为定义在上的奇函数， 且在上单调递减，可知在上单调递减， 所以在定义域内单调递减， 又因为，即， 由奇函数性质可得：， 由单调性可得，所以满足的的取值范围为. 故答案为：. 28．（2024·河北保定·二模）已知函数的定义域，对任意，恒有，且当时，恒成立，，则不等式的解集为 . 【解题思路】根据条件，构造，利用的奇偶性和单调性，将问题转化成求解，即可求出结果. 【解答过程】由，得， 设，则，取，得， 取，得；取，得， 所以是偶函数，所以， 因为当时，，两边同时乘以， 得，两边同时除以，得， 即，即，所以在上单调递减. 由，得，由，得， 所以可化为， 即，所以，解得或， 所以不等式的解集为， 故答案为：. 题型八 抽象函数的性质综合 29．（23-24高二下·辽宁大连·阶段练习）定义域为的函数，对任意，且不恒为0，则下列说法错误的是（    ） A． B．为偶函数 C． D．若，则 【解题思路】对于A，令，或，结合不恒为0，可得，由此即可判断； 对于B，由，不妨令，即可判断； 对于C，令，通过换元即可判断； 对于D，令，得关于中心对称，结合为偶函数，可得为周期为4的函数，算出即可判断. 【解答过程】对于A，令，有，所以或， 若，则只令，有，即恒为0， 所以只能，故A正确； 对于B，由A可知，不妨令， 有， 即，且函数的定义域为全体实数，它关于原点对称， 所以偶函数，即为偶函数，故B正确； 对于C，令，有， 令，由，得， 所以当时，有，即当时，，故C正确； 对于D，若，令，有， 所以关于中心对称， 又为偶函数， 所以，所以是周期为4的周期函数， 又，， 所以， 所以， 所以，故D错误. 故选：D. 30．（2024·河南·模拟预测）已知函数的定义域为R，对于任意实数x，y满足，且 ，则下列结论错误的是（    ） A． B．为偶函数 C．为奇函数 D． 【解题思路】由条件等式通过取特殊值求，由此判断A，D，再取特殊值确定，的关系结合函数的奇偶性的定义判断选项B，C. 【解答过程】因为，， 取，可得，又，所以；A对； 取，可得，因为，所以，所以为偶函数，C错，B对； 取，可得，又， ； 所以，D对； 故选：C. 31．（24-25高一上·重庆·期中）已知定义域在上的函数满足：，且当时，. (1)求，的值； (2)证明是偶函数； (3)解不等式. 【解题思路】（1）令和计算即可； （2）令结合（1）的结论及偶函数的定义证明即可； （3）令，根据条件判定函数的单调性计算即可解不等式. 【解答过程】（1）令，则； 令，则； （2）易知函数定义域关于原点对称， 令，则，满足偶函数的定义，证毕； （3）令，易知， 则， 所以在上单调递增， 又为偶函数，所以在上单调递减， 所以， 则， ，即， 即不等式的解集为. 32．（24-25高一上·河北邯郸·期中）已知定义在上的函数满足，，在上单调递增． (1)求的值． (2)证明：是奇函数． (3)若关于的不等式的解集中恰有2个整数，求的取值范围． 【解题思路】（1）根据赋值法可得到结果； （2）利用奇函数的定义可得到结果； （3）根据函数的单调性得到有关的不等式，再根据题意求解取值范围即可. 【解答过程】（1）在中， 令，得； 令，得； 令，，得，即； （2）证明：令，得，解得， 令，，得，所以， ， 所以是奇函数； （3）由，得， 即， 又在上是增函数，即， 所以，即， 当时，不等式的解集为，解集中有无数个正整数，不满足题意， 当时，不等式等价于，不等式的解集为，解集中有无数个正整数，不满足题意， 当时，不等式等价于， 若，即，则不等式的解集为，要想有2个整数解，则，即， 若，则不等式的解集为，不满足题意； 若，即，则不等式的解集为，要想有2个整数解，则， 即， 综上所述，的取值范围为或. 题型九 函数性质的综合应用 33．（23-24高一上·四川泸州·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求，的值； (2)判断在上的单调性，并用定义证明； (3)设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 【解题思路】（1）由题可得图象过点结合可得，的值； （2）由单调性证明步骤可证得结论； （3）由题可得，后讨论k结合单调性可得，即可得范围. 【解答过程】（1）)因为函数是定义在上的奇函数，且， 则，解得，.所以函数， 经检验，函数为奇函数，所以，； （2）在上单调递增. 证明如下：设 则， 其中，， 所以，即， 故函数在上单调递增； （3）因为对任意的，总存在，使得，所以， 因为在上单调递增，所以， 当时，；所以恒成立，符合题意； 当时，在上单调递增，则， 所以，解得； 当时，函数在上单调递减，则， 所以，解得.， 综上所述，实数的取值范围为. 34．（24-25高一上·江苏常州·期中）已知函数是定义在R上的奇函数，且，当时，， (1)求函数在R上的解析式； (2)判断函数在上的单调性，并用单调性的定义证明你的结论； (3)解不等式. 【解题思路】（1）根据函数的奇偶性求出，再利用函数的奇偶性求解析式即可； （2）由（1）得当时，利用定义法即可证明函数的单调性； （3）由（2）知在上也单调递增，利用函数的单调性解不等式可得，分类讨论t的取值，解一元二次不等式即可. 【解答过程】（1）因为是定义在R上的奇函数，所以，， 又，所以.又当时，， 得，解得. 经检验，符合题意. 所以当时，， 若，则，得，所以， 故； （2）在上单调递增，证明如下： 由（1）知，当时，， 设，则， 所以， 即， 所以在上单调递增； （3）由（2）知在上单调递增，所以在上也单调递增. 而，， 由，得， 当时，，所以成立； 当时，，即，解得； 当时，，即，无解. 综上，原不等式的解集为. 35．（24-25高一上·湖北·期中）已知函数为上的奇函数，且. (1)求实数的值； (2)试判断函数在区间的单调性，并说明理由； (3)求函数（其中）的值域. 【解题思路】（1）根据奇偶性定义以及函数值解方程可得结果； （2）利用单调性定义按照步骤即可证明在区间单调递增； （3）由换元法得出函数的表达式，再由（2）中的结论得出其在上的单调性，利用二次函数性质分类讨论即可得出结果. 【解答过程】（1）根据题意可得，即，可得； 再由可得，解得； 当，可得， 经检验此时满足，为奇函数， 所以， （2）取任意，且， 则 ; 由，可得，； 所以，即可得， 即函数在区间的单调递增； （3）由， 由(2)得当  时，， 所以，即， 所以函数在上单调递减； 因此函数在上单调递减，在上单调递增， 又函数为上的奇函数，所以函数的减区间为，递增区间为, 当时，, 令，有 ①当时，即，, 此时函数的值域为; ②当时，即时， 可得 此时函数的值域为 ③当时，即时， ， 此时函数的值域为 ④当时， 即， ， 此时函数的值域为， 综上所述，时，其值域为; 当时，值域为 当时，值域为； 当时，值域为. 36．（24-25高一上·河北邯郸·期中）已知是定义在上的函数，，且，都有． (1)求，的值； (2)判断在上的单调性，并用定义证明； (3)若对任意，都存在，使得成立，求的取值范围． 【解题思路】（1）根据题意得到该函数为奇函数，再根据奇函数的性质求得结果； （2）由（1）可得解析式，根据定义法可证明出该函数的单调性； （3）根据单调性得到最大值，再根据恒成立问题以及能成立问题求解不等式. 【解答过程】（1）因为，都有， 则是定义在上的奇函数，得，解得， 所以， 由，可得，解得， 此时，满足， 所以，； （2）证明：由（1）知，设， 则， 因为，所以，， 所以，即． 故函数在上为单调递减函数； （3）由（2）知在上为单调递减函数， 所以在上的最大值为， 因为对任意，使得都成立， 所以，所以， 因为存在，使得成立，所以， 又因为，所以是关于的单调递增函数， 所以， 即，解得或， 所以的取值范围为． 一、单选题 1．（2024·湖北·模拟预测）函数在区间单调递减，则实数取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】时，代入可知满足题意；时，求出二次函数的对称轴结合函数在右半部分单调递减得出开口方向，列出不等式组，求解即可得出答案． 【解答过程】当时，在上单调递减，满足题意； 当时，的对称轴为直线，由在上单调递减， 知，解得． 综上，a的取值范围为． 故选：D. 2．（2024·海南·模拟预测）若函数的图象关于点对称，且，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据函数图象的对称问题，得到为奇函数，再根据奇函数的含义得到的值，即可求得结果. 【解答过程】因为的图象关于点对称， 所以函数为奇函数， 则，即，且为奇函数， 所以，得， 所以， 故选：A. 3．（2024·四川宜宾·三模）已知函数在上单调递减且对任意满足，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先根据已知得出对称轴,再根据单调性解不等式即可. 【解答过程】因为,所以的对称轴为, 在单调递减，则在单调递增， 又因为，由对称性可得, 所以, 故选：D. 4．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知为奇函数，则 （    ） A． B．14 C． D．18 【解题思路】先根据条件得到的对称中心，再根据对称性求和即可. 【解答过程】因为为奇函数，所以， 即，故的对称中心为，即， 所以， 又，即， 所以 . 故选：D. 5．（2024·北京·模拟预测）定义在R上的函数满足：，且，当时，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，由条件可得函数的周期为，然后求得其一个周期的值域，即可得到结果. 【解答过程】由可得， 即关于对称，即， 由可得关于对称， 即，所以， 令，则，代入可得， 即，则， 所以的周期为， 由是定义在R上的函数，且关于对称， 可得，又当时，， 即，所以， 当时，， 且关于对称，则时，， 又关于对称，则时，， 即在一个周期内的值域为， 则的最小值为. 故选：B. 6．（2024·江苏苏州·模拟预测）已知定义在区间上，值域为的函数满足：①当时， ；②对于定义域内任意的实数a、b均满足：．则（    ） A． B． C．函数在区间上单调递减 D．函数在区间上单调递增 【解题思路】赋值：令代入可得，令代入可得函数为奇函数，再根据函数单调性定义可以证明函数在的单调性. 【解答过程】对A，令，则， ，即， 故，所以A不正确； 对B，取代入：， 即，即在上为奇函数， 设， 所以，且， 故： 即：，故B错误； 对C，由B知函数在上单调递增，故C错误； 对D，由C结合函数为奇函数且， 所以在上单调递增，故D正确. 故选：D. 7．（2024·重庆·模拟预测）已知函数的定义域是，对任意的，，，都有，若函数的图象关于点成中心对称，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由题意，构造函数，判断函数的奇偶性和单调性，结合函数的奇偶性和单调性解不等式即可. 【解答过程】由函数图象关于点中心对称，知函数图象关于点中心对称， 所以为奇函数. 令，则，所以为偶函数， 对于，有，所以在上单调递增， 所以在上单调递减. 由，得，， 当时，变形为，即，解得； 当时，变形为，即，解得， 综上，不等式的解集为. 故选：B. 8．（2024·四川绵阳·模拟预测）定义在上的函数满足，，为奇函数，有下列结论： ①直线为曲线的对称轴；②点为曲线的对称中心；③函数是周期函数；④；⑤函数是偶函数. 其中，正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【解题思路】根据可得函数对称轴，可判断①；根据可得函数周期，可判断③；根据，结合对称轴和周期可得对称中心，可判断②；根据周期性和对称性求出，进而可得判断④；根据周期性和对称中心可得奇偶性判断⑤. 【解答过程】由知直线为曲线的对称轴，①正确； 因为，所以 所以是周期为4的周期函数，③正确； 由为奇函数有，令得，则的图象关于点对称， 又直线为曲线的对称轴，以是周期为4的周期函数 则的对称中心为，②错误； 令，则，所以，在中，令，则. 于是，，，，则，所以，④正确； 因为的图象关于点对称，因为周期为4， 所以，所以为奇函数，⑤错误. 故选：C. 二、多选题 9．（2024·河南信阳·模拟预测）若函数在上单调，则实数的值可以为（    ） A． B． C． D．3 【解题思路】分别讨论和两种情况，结合二次函数的图像分析，即可得到答案. 【解答过程】①当，即时，，所以的对称轴为，则的图象如下： 结合图象可知，要使函数在上单调，则或，解得：或，即或； ②当，即或，令，则的对称轴为，则的图象如下： 结合图象可知，要使函数在上单调， 则，或，或，或 解得：，或， 综上：或； 故选：BD. 10．（2024·全国·模拟预测）已知函数的定义域为，满足且对任意的，有，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】B选项，赋值得到；C选项，令，结合得到，故C正确；A选项，中，赋值得到，题目条件中令得到；D选项，求出函数的周期为，并且，从而求出D正确. 【解答过程】B选项，， 令得，因为，所以，故B正确： C选项，令得， 即，所以，故C正确； A选项，由C选项知，，故， 中， 令得，解得，故A错误； D选项，中，令得 ①， 中，将换成得 ②，①②两式相加得， 即， 则，所以． 故函数的周期为， 由得， 由得， 故， 所以，故D正确. 故选：BCD． 11．（2024·山东·模拟预测）已知定义在上的函数，满足，且当时，，则（    ） A． B．为偶函数 C． D．若，则x的取值范围为 【解题思路】用赋值法先令求得，再令即可求得判断A；然后令可判断奇偶性判断B；任取，则，由可得单调性判断C；利用奇偶性与单调性解不等式判断D. 【解答过程】对于A，在中， 令得，因此， 再令得，则，故A错； 对于B，令得， 所以，是偶函数，故B正确； 对于C，设，则，， 所以，在上是增函数， 从而，故C正确； 对于D，是偶函数，则，又在上是增函数，所以，解得且，故D错误. 故选：BC. 三、填空题 12．（2024·四川眉山·一模）已知是奇函数，当时，，则 . 【解题思路】由是奇函数，得函数关于对称，进而结合代值计算即可. 【解答过程】由是奇函数，得函数关于对称， 又当时，， 则. 故答案为：. 13．（2024·新疆·一模）已知定义在上的函数，满足，且，，则 . 【解题思路】 根据所给条件推出为偶函数且周期为，再求出、、，最后根据周期性计算可得. 【解答过程】因为，所以， 所以， 又，所以， 即，即，所以为偶函数， 所以， 所以，所以的周期为， 又，， 所以，，，则， ， 所以，又， 所以 . 故答案为：. 14．（2024·内蒙古赤峰·一模）定义在上的函数满足：对任意都有，且当时，恒成立.下列结论中可能成立的有 ①③④ . ①为奇函数； ②对定义域内任意，都有； ③对，都有； ④. 【解题思路】令，求得，进而推得，可判定①正确；结合函数的单调性的判定方法，进而可判定②不正确；根据，结合基本不等式，可判定③正确；根据，结合裂项法求和，可判定④正确. 【解答过程】对于①中，由对任意都有， 令，可得，所以， 任取，可得，可得， 所以，所以函数是上的奇函数，所以①正确； 对于②中，设，可得，则 则有， 因为当时，恒成立，且函数为为奇函数， 所以当时，恒成立，可得， 即，即，在为减函数， 又因为为奇函数，所以函数在为减函数， 且当时，；当时，， 又由， 因为，不妨设，可得，， 所以，即， 所以②不正确； 对于③中，对于，可得，则， 可得，且， 因为，当且仅当时，等号成立， 所以，所以， 即，所以③正确； 对于④中，因为函数为奇函数， 可得， 所以 ，因为，所以， 所以，所以④正确. 故答案为：①③④. 四、解答题 15．（2024·山东济南·三模）已知函数，且. (1)求的值; (2)判断函数在上是增函数还是减函数，并证明. 【解题思路】（1）将代入函数求值即可； （2）利用单调性的定义判断即可. 【解答过程】（1）， （2）函数为增函数，证明如下： 设是上的任意两个实数，且， 则 当时，，， 从而，即， ∴函数在上为增函数. 16．（24-25高一上·贵州贵阳·期中）已知函数，点是图象上的两点． (1)求的值： (2)用定义判断函数在上的单调性，并求该函数的最大值和最小值. (3)若函数，求函数的值域． 【解题思路】（1）根据题意将两点代入函数解析式列出方程组即可求解； （2）根据函数单调性的定义判断即可，进而结合单调性求解最值； （3）由题意可得，令，进而结合对勾函数的性质求解即可. 【解答过程】（1）由题意，得，解得. （2）由（1）知，， 任取，且， 则， 因为，所以，， 则，即， 所以函数在上单调递减， 则，. （3）由（1）知，， 则，， 令，则， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，且时，， 所以函数的值域为． 17．（24-25高一上·湖南株洲·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且． (1)求m，n的值； (2)判断在上的单调性，并用定义证明； (3)设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 【解题思路】（1）由题可得图象过点结合可得m，n的值； （2）由单调性证明步骤可证得结论； （3）由题可得，后讨论结合单调性可得，即可得范围． 【解答过程】（1）因为函数是定义在上的奇函数，且， 则，解得．所以函数， 经检验，函数为奇函数，所以，. （2）在上单调递增．证明如下： 设， 则， 其中，，， 则，即， 所以函数在上单调递增. （3）因为对任意的，总存在，使得，则， 因为在上单调递增，可得， 当时，；所以恒成立，符合题意； 当时，在上单调递增，则， 即，解得； 当时，函数在上单调递减， 则，即，解得； 综上所述，实数的取值范围为． 18．（24-25高一上·辽宁大连·期中）定义在上的函数满足：对任意的，都有，且当时，． (1)判断的奇偶性； (2)求证：函数在上是减函数； (3)若，且，，恒成立，求实数的取值范围． 【解题思路】（1）根据所给关系式令，即可求出，再令，即可得到与的关系，即可判断； （2）利用定义法证明，结合时，即可证明； （3）求出的值域，从而得到恒成立，设，即可得到，解得即可. 【解答过程】（1）为奇函数， 证明：因为的定义域为，且对，，， 令，则，则； 令，则，则，即， 所以函数是奇函数. （2）设任意的且，由， 则. 又当时，，所以当时，有， 所以，即， 所以函数在上是减函数. （3）因为，所以， 又在上单调递减，所以 ， 所以恒成立， 等价于：恒成立， 即恒成立， 设，是关于的一次函数， 所以，即，则， 所以. 19．（23-24高一上·上海·期末）若函数与满足：对任意，都有，则称函数是函数在集合上的“约束函数”.已知函数是函数在集合上的“约束函数”. (1)若，，判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)若，，，求实数a的取值范围； (3)若为严格减函数，，，且函数的图象是连续曲线，求证：是上的严格增函数. 【解题思路】（1）先分析得到，然后根据得到的关系，由此完成证明； （2）根据题设条件将问题转化为“时，”，然后构造并进行分类讨论，由此求解出结果； （3）先根据条件证明“，都有”，然后采用反证法证明“当时，”和“当时，”，由此完成证明. 【解答过程】（1）因为，所以对有， 令，且 ， 因为， 所以， 所以， 所以，且定义域为关于原点对称， 所以是偶函数； （2）当时，对称轴且开口向上，对称轴且开口向上， 所以在上单调递增，在上单调递增， 不妨假设， 所以， 即， 设， 当时，，在上单调递增，显然满足要求， 当时，为二次函数，对称轴，开口向上，故只需即可，解得， 当时，为二次函数，对称轴，开口向下，此时不满足要求， 综上可知，的取值范围是； （3）不妨设，因为是严格减函数，所以，即， 而，所以， 所以对，都有， ①首先证明：当时，， 假设存在，且， 设，则，， 所以使得，则，则， 这与“，都有”矛盾， 所以不存在，使得； 假设存在，使得， 设，则，， 所以使得，则，则， 这与“，都有”矛盾， 所以不存在，使得， 由上可知，当时，； ②再证明：当时，， 假设存在，使得，则， 设，则， 所以，使得，则，则， 这与“，都有”矛盾， 所以假设不成立，即对任意，都有， 所以是上的严格增函数. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$