专题2.3 函数的单调性、奇偶性、对称性与周期性【九大题型】（讲义）-2025年高考数学二轮复习【举一反三】专练（新高考专用）

专题2.3 函数的单调性、奇偶性、对称性与周期性【九大题型】 【新高考专用】 1、函数的单调性、奇偶性、对称性与周期性 本节是高考的重点、热点内容，函数的单调性、奇偶性、周期性是高考的必考内容，从近几年的高考情况来看，重点关注单调性、奇偶性结合在一起，与函数图象、函数零点和不等式相结合进行考查，解题时要充分运用转化思想和数形结合思想.对于选择题和填空题部分，重点考查基本初等函数的单调性，利用性质判断函数单调性及求最值、解不等式、求参数范围等，难度较小；对于解答题部分，一般与导数结合，综合性强，考查难度较大. 【知识点1 函数的单调性与最值的求法】 1．求函数的单调区间 求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间. 2．函数单调性的判断 (1)函数单调性的判断方法：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法. (2)函数y=f(g(x))的单调性应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则. 3．求函数最值的三种基本方法： (1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值. (2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值. (3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值. 4．复杂函数求最值： 对于较复杂函数，可运用导数，求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值. 【知识点2 函数的奇偶性及其应用】 1．函数奇偶性的判断 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件： (1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； (2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立. 2．函数奇偶性的应用 (1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值. (2)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题. 3．常见奇偶性函数模型 (1)奇函数： ①函数或函数． ②函数． ③函数或函数 ④函数或函数． (2)偶函数： ①函数． ②函数． ③函数类型的一切函数． ④常数函数. 【知识点3 函数的周期性与对称性常用结论】 1．函数的周期性常用结论(a是不为0的常数) (1)若f(x+a)=f(x)，则T=a； (2)若f(x+a)=f(x-a)，则T=2a； (3)若f(x+a)=-f(x)，则T=2a； (4)若f(x+a)=，则T=2a； (5)若f(x+a)=，则T=2a； (6)若f(x+a)=f(x+b)，则T=|a-b|(a≠b); 2．对称性的三个常用结论 (1)若函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则y=f(x)的图象关于直线对称. (2)若函数f(x)满足f(a+x)=-f(b-x)，则y=f(x)的图象关于点对称. (3)若函数f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c，则y=f(x)的图象关于点对称. 【题型1 函数单调性的判断及单调区间的求解】 【例1】（2024·全国·模拟预测）下列函数中，在区间上是减函数的是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】用函数单调性定义可判断得结果. 【解答过程】选项A：任取，则， 又，所以，即，所以函数在为减函数，故A正确； 选项B：任取，则， 又，所以，即，所以函数在为增函数，故B错误； 选项C：任取，则， 又，所以，即，所以函数在为增函数，故C错误； 选项D：任取，则， 又，所以，即，所以函数在为增函数，故D错误； 故选：A. 【变式1-1】（2024·海南海口·模拟预测）函数的单调递减区间是（    ） A． B．和 C． D．和 【解题思路】将绝对值函数转化成分段函数，由二次函数的性质即可求 【解答过程】， 则由二次函数的性质知，当时，的单调递减区间为； 当，的单调递减区间为， 故的单调递减区间是和. 故选：B. 【变式1-2】（24-25高一上·北京丰台·期中）下列函数中，在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据一次函数，二次函数，反比例函数，绝对值函数及单调性定义判断． 【解答过程】在上，是增函数，是增函数， 在上是减函数，在上是增函数， 时，是减函数， 故选：D． 【变式1-3】（2024·江西·二模）已知函数若，则的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先根据题目条件求出 的值，再根据二次函数的性质求出 的单调递增区间 【解答过程】解：依题意，解得a＝－1，故，可知在上单调递增， 故选：D. 【题型2 利用函数的单调性求参数】 【例2】（2024·广东揭阳·二模）已知函数在上不单调，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据给定条件，利用二次函数的单调性列出不等式求解即得. 【解答过程】函数的图象对称轴为，依题意，，得， 所以的取值范围为. 故选：C. 【变式2-1】（2024·全国·模拟预测）若函数在区间上不单调，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先分析的单调性，再列不等式即可求解. 【解答过程】因为函数在上单调递减，在上单调递增． 又函数在区间上不单调，所以， 故选：B． 【变式2-2】（2024·天津河北·一模）设，则“”是“函数在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解题思路】根据题意，由二次函数的对称轴和函数的单调性的关系以及充分性与必要性的应用，即可得到结果. 【解答过程】函数的对称轴为， 由函数在上单调递增可得，即， 所以“”是“函数在上单调递增”的充分不必要条件. 故选：A. 【变式2-3】（23-24高三上·江西鹰潭·阶段练习）已知函数是上的减函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】首先分析知，，函数单调递减，则也应为减函数，同时注意分界点处的纵坐标大小关系即可列出不等式组，解出即可. 【解答过程】显然当时，为单调减函数， 当时，，则对称轴为， 若是上减函数，则 解得， 故选：A. 【题型3 函数的最值问题】 【例3】（2024·安徽淮北·二模）当实数变化时，函数最大值的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【解题思路】先对内函数对应的方程的根的情况分类讨论，得出时，结果为16，对于时，求出两根，根据图象，就内函数的零点与区间端点的位置进行分类考虑，利用函数单调性分析即得. 【解答过程】若，即时，，其对称轴为，， 此时，因，故的最小值为16； 若，由可得， （Ⅰ）如图1，当时，即时，在上递减， 在上递增， 在上递减，在上递增，又， ① 当时，，故，而在上单调递 减，则此时，； ② 当时，，故，而在上单调 递增，则此时，. （Ⅱ）如图2，当，即时，在上单调递增，在上单调递减， 则此时，而在上单调递减，则. 综上，函数最大值的最小值为8. 故选：D. 【变式3-1】（2024·江西鹰潭·三模）若的最小值是4，则实数的值为（    ） A．6或 B．或18 C．6或18 D．或 【解题思路】分，，三种情况，得出每种情况下的最小值，令其为4，解出的值. 【解答过程】当时，， ，解得，符合题意； 当时，， ，解得，符合题意； 当时，，，舍掉. 故选：A. 【变式3-2】（2024·山西·模拟预测）已知函数的定义域为，若对于任意的，，都有 ，当时，都有，且，则函数在区间上的最大值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【解题思路】令可得，再令可得，再令即可得，再利用函数单调性定义可得该函数为单调递增函数，故的值即为所求. 【解答过程】令，则，令有， 又，所以， 令，所以 ，所以， 设，则，所以， 所以， 则，故在上单调递增， 所以函数在区间上的最大值为. 故选：D. 【变式3-3】（2024·全国·三模）已知函数在上的最小值为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由已知可得当时，可得恒成立，通过分离变量，结合函数性质可求的取值范围 【解答过程】 因为，函数在上的最小值为， 所以对，恒成立， 所以恒成立，即恒成立， 当时，， 当时，可得恒成立. 当或时，不等式显然成立； 当时，， 因为，所以，，， 所以； 当时，， 因为，所以，，， 所以. 综上可得，实数b的取值范围是. 故选：D. 【题型4 函数的奇偶性及其应用】 【例4】（2024·广东惠州·模拟预测）已知在R上的奇函数，当时，，则（    ） A．2 B． C．1 D． 【解题思路】利用函数奇偶性，由内向外求值即可. 【解答过程】由题意，所以. 故选：D. 【变式4-1】（2024·陕西安康·模拟预测）若函数是奇函数，则实数的值是（    ） A．2 B． C． D． 【解题思路】根据得到的方程求解即可 【解答过程】，因为是奇函数，所以有， ，， 因此， 故选：C． 【变式4-2】（2024·河南·模拟预测）已知是定义在上的偶函数，，当时，，则（    ） A． B．0 C． D． 【解题思路】根据题意，推得，得到是周期为4的函数，结合时，函数的解析式，求得的值，进而求得的值，得到答案. 【解答过程】因为是定义在上的偶函数，， 可得，即， 所以函数是以4为周期的周期函数， 可得， 又因为当时，， 可得，所以. 故选：C. 【变式4-3】（2024·浙江绍兴·三模）已知函数满足：对任意实数，，都有成立，且，则（    ） A．为奇函数 B．为奇函数 C．为偶函数 D．为偶函数 【解题思路】由题意令，可得，令，可得，可得关于对称，据此逐项判断可得结论. 【解答过程】令，则，，所以， 令，则， 即，又， 所以关于对称， 所以关于对称，故A不正确； 关于对称，故B不正确； 由A可知关于对称，故C不正确； 由A可知关于对称，故为奇函数， 所以为偶数，故D正确. 故选：D. 【题型5 函数的对称性与周期性综合】 【例5】（2024·河北·模拟预测）已知函数的定义域为，且为奇函数，，则一定正确的是（    ） A．的周期为2 B．图象关于直线对称 C．为偶函数 D．为奇函数 【解题思路】根据函数奇偶性、对称性及周期性对选项逐一分析即可. 【解答过程】为奇函数，得， 即，则为奇函数，故C错误； 且图象关于点中心对称，故B错误； 可知，函数周期为4，故A错误； ，又图象关于点中心对称，知， 所以，得关于点对称， 则关于点对称，所以为奇函数，故D正确. 故选：D. 【变式5-1】（2024·甘肃庆阳·一模）已知函数的定义域为R，，，则下列结论错误的是（    ） A． B．是奇函数 C． D．的图象关于点对称 【解题思路】利用赋值法可得，即可判断A，利用，即可根据奇函数的定义判断B，利用可判断的图象关于点对称，即可判断D，结合奇函数的性质，即可求解C. 【解答过程】取，则，即，得，故A正确； 取，则，得，故是奇函数，B正确； 对任意的都有，可得， 因此的图象关于点对称，故D错误； 由于且是奇函数，得，即， 因此，C正确. 故选：D. 【变式5-2】（2024·山东菏泽·模拟预测）已知函数满足：，，则下列说法正确的有（    ） A．是周期函数 B． C． D．图象的一个对称中心为 【解题思路】先证明得到A正确；再给出作为反例说明B，C，D错误. 【解答过程】对于A，由于，故. 从而，这就得到，所以，即. 所以是周期函数，故A正确； 对于B，C，D，取，则满足条件，但，，同时由于，，从而关于的对称点并不在函数图象上，故B，C，D错误； 故选：A. 【变式5-3】（2024·陕西商洛·模拟预测）已知定义在上的函数满足，且，，现有下列4个结论： ①； ②的图象关于直线对称； ③是周期函数； ④. 其中结论正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【解题思路】根据所给等式，结合赋值法推导出函数的对称轴及周期，再逐项分析即可. 【解答过程】因为， 所以， 所以，即， 所以是周期为4的周期函数，则③正确. 令，得， 则，从而，故①错误； 因为， 所以， 所以， 所以的图象关于直线对称，则②正确； 易得的周期为4，且其图象关于直线及对称， 则直线及均为图象的对称轴， 从而. 令，得， 即， 则， 故 ，故④正确. 故选：C. 【题型6 利用函数的性质比较大小】 【例6】（2024·广东深圳·模拟预测）已知函数的定义域为，若对都有，且在上单调递减，则与的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【解题思路】由，得到，利用单调性即可判断大小关系，即可求解． 【解答过程】因为对都有，所以 又因为在上单调递减，且， 所以，即． 故选：A． 【变式6-1】（2024·河北·三模）已知，那么的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】分子有理化，化简后根据函数的单调性判断即可. 【解答过程】由题意可知，， ，由在上单调递增可得， 故选：C. 【变式6-2】（24-25高一上·河北邯郸·期中）已知定义在上的函数满足，且在上单调递增，，，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由题意确定对称轴为，进而确定函数单调性，由单调性即可判断. 【解答过程】由已知得函数的图象关于直线对称， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以．又，所以． 因为，所以． 故，即． 故选：D. 【变式6-3】（24-25高一上·宁夏银川·期中）函数为定义在 R 上的偶函数，且对任意都有 则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】由函数为定义在上的偶函数可得，然后利用的单调性可得答案. 【解答过程】因为函数为定义在上的偶函数， 所以， 因为对任意 都有， 即有在上单调递减， 所以， 故选：D. 【题型7 利用函数的性质解不等式】 【例7】（2024·陕西商洛·一模）已知函数，若不等式成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】构造函数，验证其为奇函数，再将问题转化为，然后由单调性解抽象函数不等式即可； 【解答过程】设，则，故是奇函数． 不等式等价于不等式 即不等式 因为是奇函数，所以 易证是上的减函数，则，即，解得． 故选：B. 【变式7-1】（2024·四川资阳·二模）若定义在R上的偶函数在上单调递增，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据偶函数的性质，结合不等式特征构造新函数，利用新函数的单调性和奇偶性进行求解即可. 【解答过程】由，可得. 令，因为是偶函数，且在上单调递增，所以也是偶函数，且在上单调递增，从而，解得或. 故选：A. 【变式7-2】（2024·重庆·模拟预测）已知函数的定义域是，对任意的，，，都有，若函数的图象关于点成中心对称，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由题意，构造函数，判断函数的奇偶性和单调性，结合函数的奇偶性和单调性解不等式即可. 【解答过程】由函数图象关于点中心对称，知函数图象关于点中心对称， 所以为奇函数. 令，则，所以为偶函数， 对于，有，所以在上单调递增， 所以在上单调递减. 由，得，， 当时，变形为，即，解得； 当时，变形为，即，解得， 综上，不等式的解集为. 故选：B. 【变式7-3】（2024·广西柳州·三模）设函数是定义在上的奇函数，且对于任意的x，，都有.若函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由的奇偶性可判断 也为奇函数，然后结合，及单调性的定义可判断单调递增，结合单调性及奇函数的定义可求． 【解答过程】，， 由于是定义在上的奇函数，即， ，故为奇函数， 对于任意的，，有， ， 当时，有， 即， ， 单调递增， ， ， ， 整理可得，， 解可得，或， 故选：D. 【题型8 抽象函数的性质综合】 【例8】（2024·河南·模拟预测）已知函数的定义域为R，对于任意实数x，y满足，且 ，则下列结论错误的是（    ） A． B．为偶函数 C．为奇函数 D． 【解题思路】由条件等式通过取特殊值求，由此判断A，D，再取特殊值确定，的关系结合函数的奇偶性的定义判断选项B，C. 【解答过程】因为，， 取，可得，又，所以；A对； 取，可得，因为，所以，所以为偶函数，C错，B对； 取，可得，又， ； 所以，D对； 故选：C. 【变式8-1】（2024·安徽·二模）已知函数满足，当时，，则（    ） A．为奇函数 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【解题思路】根据赋值法可得，，进而可得，即可判断A，根据函数单调性的定义可判断在上为减函数，即可求解B，代值逐步求解即可判断CD. 【解答过程】令，，，所以； 令，，则． 令，得，故为偶函数．A错误， 任取，，，则， 则，故在上为减函数． 由已知，可得，故，解得，且．B错误， 若，则，C正确， 若，则，， ，所以，故D错误， 故选：C． 【变式8-2】（2024·辽宁抚顺·一模）已知定义域为的函数满足，，且当时，恒成立，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．为奇函数 D．在区间是单调递增函数 【解题思路】赋值法可判断A，利用奇偶函数的定义及赋值法判断BC，由函数的特例可判断D. 【解答过程】令，则， 所以，因为当时，， 所以， 令，所以， 即，解得：，故A错误； 由题意，函数的定义域为，关于原点对称， 令，则，即 令代换，则，即， 所以，令代换，所以，故B错误； 由将代入， 可得，化简可得， 所以为奇函数，故C正确； 令，则，解得：，，故D错误. 故选：C. 【变式8-3】（2024·广西玉林·三模）函数对任意x，总有，当时，，，则下列命题中正确的是（    ） A．是偶函数 B．是R上的减函数 C．在上的最小值为 D．若，则实数x的取值范围为 【解题思路】利用赋值法，结合函数奇偶性的定义，即可判断A； 根据函数单调性的定义，结合条件，即可判断B； 根据函数的单调性，和奇偶性，以及条件，即可判断C； 不等式转化为，利用函数的单调性，即可判断D. 【解答过程】解：取，，则，解得，， 则．即，函数是奇函数，所以选项A错误； 令，，且，则，因为当时，，所以． 则．即， 函数是R上的增函数，所以选项B错误； 因为函数是R上的增函数，所以函数在上的最小值为， ，，． 故，在的最小值为-2，所以选项C正确； ，即， 因为函数是R上的增函数，所以，所以， 所以实数x的取值范围为，所以选项D不正确． 故选：C． 【题型9 函数性质的综合应用】 【例9】（2024·全国·模拟预测）已知定义在R上的函数满足，当时，.若，，则t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意可得当时，的单调性和最值，进而结合以及恒成立问题分析求解. 【解答过程】由题意可知：当时，， 可知在上单调递减，在上单调递增，且的最小值为； 当时，，； 当时，，； 当时，，； 当时，，. 令，解得或， 因为，，所以， 故选：D. 【变式9-1】（2024·河南新乡·三模）设函数的定义域为，满足，且当时，.若对任意，都有成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由题设条件画出函数的图象，由图象分析得出的取值范围. 【解答过程】因为当时，；， 所以，即若在上的点的横坐标增加2，则对应值变为原来的；若减少2，则对应值变为原来的2倍. 当时，，， 故当时，对任意，不成立， 当时，， 同理当时，， 以此类推，当时，必有. 函数和函数的图象如图所示： 因为当时，， 令，解得，（舍去）， 因为当时，成立，所以. 故选：A. 【变式9-2】（2024·贵州·模拟预测）已知函数，下列结论正确的是（    ） A．是偶函数 B．在上单调递增 C．的图象关于直线对称 D．的图象与轴围成的三角形面积为2 【解题思路】去掉绝对值，得到，画出其图象，进而判断出四个选项. 【解答过程】A选项，， 画出其函数图象，如下： 故不是偶函数，A错误； B选项，在上单调递减，故B错误； C选项，的图象关于直线对称，C正确； D选项，的图象与轴围成的三角形面积为，D错误. 故选：C. 【变式9-3】（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数是定义在上的函数，，函数的图象关于点对称，且对任意的，均有，则下列关于函数的说法中，正确的个数是（    ） ①； ②； ③函数在上单调递增； ④不等式的解集为. A．1 B．2 C．3 D．4 【解题思路】根据题意可知函数是以4为周期的周期函数，且在上单调递增，在上单调递减，上单调递增，逐一判断选项即可. 【解答过程】由函数的图象关于点对称，得的图象关于点对称，即函数是奇函数， 由，得的图象关于直线对称， ，因此是以4为周期的周期函数，①正确； 对任意的，均有， 不妨设，则，即，因此在上单调递增， ，，②正确； 由函数是上的奇函数，在上单调递增，得函数在上单调递增， 在上单调递减，上单调递增，③错误； 由，在上单调递增，在上单调递减，得当时，，则有， 又函数是以4为周期的周期函数，因此不等式的解集为，④正确. 故选：C. 1．（2022·天津·高考真题）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】分析函数的定义域、奇偶性、单调性及其在上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项. 【解答过程】函数的定义域为， 且， 函数为奇函数，CD选项错误； 又当时，，B选项错误. 故选：A. 2．（2022·全国·高考真题）已知函数的定义域为R，且，则（    ） A． B． C．0 D．1 【解题思路】法一：根据题意赋值即可知函数的一个周期为，求出函数一个周期中的的值，即可解出． 【解答过程】[方法一]：赋值加性质 因为，令可得，，所以，令可得，，即，所以函数为偶函数，令得，，即有，从而可知，，故，即，所以函数的一个周期为．因为，，，，， 所以一个周期内的．由于22除以6余4， 所以．故选：A． [方法二]：【最优解】构造特殊函数 由，联想到余弦函数和差化积公式 ，可设，则由方法一中知，解得，取， 所以，则 ，所以符合条件，因此的周期，，且，所以， 由于22除以6余4， 所以． 故选：A． 3．（2022·全国·高考真题）已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据对称性和已知条件得到，从而得到，，然后根据条件得到的值，再由题意得到从而得到的值即可求解. 【解答过程】因为的图像关于直线对称， 所以， 因为，所以，即， 因为，所以， 代入得，即， 所以， . 因为，所以，即，所以. 因为，所以，又因为， 联立得，， 所以的图像关于点中心对称，因为函数的定义域为R， 所以 因为，所以. 所以. 故选：D. 4．（2023·全国·高考真题）若为偶函数，则（    ） A． B．0 C． D．1 【解题思路】根据偶函数性质，利用特殊值法求出值，再检验即可. 【解答过程】因为 为偶函数，则 ，解得， 当时，，，解得或， 则其定义域为或，关于原点对称. ， 故此时为偶函数. 故选：B. 5．（2024·广东江苏·高考真题）已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】代入得到，再利用函数性质和不等式的性质，逐渐递推即可判断. 【解答过程】因为当时，所以， 又因为， 则， ， ， ， ，则依次下去可知，则B正确； 且无证据表明ACD一定正确. 故选：B. 6．（2024·上海·高考真题）已知，，且是奇函数，则 ． 【解题思路】根据奇函数的性质可求参数. 【解答过程】因为是奇函数，故即， 故， 故答案为：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.3 函数的单调性、奇偶性、对称性与周期性【九大题型】 【新高考专用】 1、函数的单调性、奇偶性、对称性与周期性 本节是高考的重点、热点内容，函数的单调性、奇偶性、周期性是高考的必考内容，从近几年的高考情况来看，重点关注单调性、奇偶性结合在一起，与函数图象、函数零点和不等式相结合进行考查，解题时要充分运用转化思想和数形结合思想.对于选择题和填空题部分，重点考查基本初等函数的单调性，利用性质判断函数单调性及求最值、解不等式、求参数范围等，难度较小；对于解答题部分，一般与导数结合，综合性强，考查难度较大. 【知识点1 函数的单调性与最值的求法】 1．求函数的单调区间 求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间. 2．函数单调性的判断 (1)函数单调性的判断方法：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法. (2)函数y=f(g(x))的单调性应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则. 3．求函数最值的三种基本方法： (1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值. (2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值. (3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值. 4．复杂函数求最值： 对于较复杂函数，可运用导数，求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值. 【知识点2 函数的奇偶性及其应用】 1．函数奇偶性的判断 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件： (1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； (2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立. 2．函数奇偶性的应用 (1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值. (2)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题. 3．常见奇偶性函数模型 (1)奇函数： ①函数或函数． ②函数． ③函数或函数 ④函数或函数． (2)偶函数： ①函数． ②函数． ③函数类型的一切函数． ④常数函数. 【知识点3 函数的周期性与对称性常用结论】 1．函数的周期性常用结论(a是不为0的常数) (1)若f(x+a)=f(x)，则T=a； (2)若f(x+a)=f(x-a)，则T=2a； (3)若f(x+a)=-f(x)，则T=2a； (4)若f(x+a)=，则T=2a； (5)若f(x+a)=，则T=2a； (6)若f(x+a)=f(x+b)，则T=|a-b|(a≠b); 2．对称性的三个常用结论 (1)若函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则y=f(x)的图象关于直线对称. (2)若函数f(x)满足f(a+x)=-f(b-x)，则y=f(x)的图象关于点对称. (3)若函数f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c，则y=f(x)的图象关于点对称. 【题型1 函数单调性的判断及单调区间的求解】 【例1】（2024·全国·模拟预测）下列函数中，在区间上是减函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2024·海南海口·模拟预测）函数的单调递减区间是（    ） A． B．和 C． D．和 【变式1-2】（24-25高一上·北京丰台·期中）下列函数中，在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2024·江西·二模）已知函数若，则的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【题型2 利用函数的单调性求参数】 【例2】（2024·广东揭阳·二模）已知函数在上不单调，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2024·全国·模拟预测）若函数在区间上不单调，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2024·天津河北·一模）设，则“”是“函数在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2-3】（23-24高三上·江西鹰潭·阶段练习）已知函数是上的减函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型3 函数的最值问题】 【例3】（2024·安徽淮北·二模）当实数变化时，函数最大值的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式3-1】（2024·江西鹰潭·三模）若的最小值是4，则实数的值为（    ） A．6或 B．或18 C．6或18 D．或 【变式3-2】（2024·山西·模拟预测）已知函数的定义域为，若对于任意的，，都有 ，当时，都有，且，则函数在区间上的最大值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式3-3】（2024·全国·三模）已知函数在上的最小值为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型4 函数的奇偶性及其应用】 【例4】（2024·广东惠州·模拟预测）已知在R上的奇函数，当时，，则（    ） A．2 B． C．1 D． 【变式4-1】（2024·陕西安康·模拟预测）若函数是奇函数，则实数的值是（    ） A．2 B． C． D． 【变式4-2】（2024·河南·模拟预测）已知是定义在上的偶函数，，当时，，则（    ） A． B．0 C． D． 【变式4-3】（2024·浙江绍兴·三模）已知函数满足：对任意实数，，都有成立，且，则（    ） A．为奇函数 B．为奇函数 C．为偶函数 D．为偶函数 【题型5 函数的对称性与周期性综合】 【例5】（2024·河北·模拟预测）已知函数的定义域为，且为奇函数，，则一定正确的是（    ） A．的周期为2 B．图象关于直线对称 C．为偶函数 D．为奇函数 【变式5-1】（2024·甘肃庆阳·一模）已知函数的定义域为R，，，则下列结论错误的是（    ） A． B．是奇函数 C． D．的图象关于点对称 【变式5-2】（2024·山东菏泽·模拟预测）已知函数满足：，，则下列说法正确的有（    ） A．是周期函数 B． C． D．图象的一个对称中心为 【变式5-3】（2024·陕西商洛·模拟预测）已知定义在上的函数满足，且，，现有下列4个结论： ①； ②的图象关于直线对称； ③是周期函数； ④. 其中结论正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【题型6 利用函数的性质比较大小】 【例6】（2024·广东深圳·模拟预测）已知函数的定义域为，若对都有，且在上单调递减，则与的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【变式6-1】（2024·河北·三模）已知，那么的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（24-25高一上·河北邯郸·期中）已知定义在上的函数满足，且在上单调递增，，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（24-25高一上·宁夏银川·期中）函数为定义在 R 上的偶函数，且对任意都有 则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【题型7 利用函数的性质解不等式】 【例7】（2024·陕西商洛·一模）已知函数，若不等式成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（2024·四川资阳·二模）若定义在R上的偶函数在上单调递增，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（2024·重庆·模拟预测）已知函数的定义域是，对任意的，，，都有，若函数的图象关于点成中心对称，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（2024·广西柳州·三模）设函数是定义在上的奇函数，且对于任意的x，，都有.若函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【题型8 抽象函数的性质综合】 【例8】（2024·河南·模拟预测）已知函数的定义域为R，对于任意实数x，y满足，且 ，则下列结论错误的是（    ） A． B．为偶函数 C．为奇函数 D． 【变式8-1】（2024·安徽·二模）已知函数满足，当时，，则（    ） A．为奇函数 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式8-2】（2024·辽宁抚顺·一模）已知定义域为的函数满足，，且当时，恒成立，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．为奇函数 D．在区间是单调递增函数 【变式8-3】（2024·广西玉林·三模）函数对任意x，总有，当时，，，则下列命题中正确的是（    ） A．是偶函数 B．是R上的减函数 C．在上的最小值为 D．若，则实数x的取值范围为 【题型9 函数性质的综合应用】 【例9】（2024·全国·模拟预测）已知定义在R上的函数满足，当时，.若，，则t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】（2024·河南新乡·三模）设函数的定义域为，满足，且当时，.若对任意，都有成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（2024·贵州·模拟预测）已知函数，下列结论正确的是（    ） A．是偶函数 B．在上单调递增 C．的图象关于直线对称 D．的图象与轴围成的三角形面积为2 【变式9-3】（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数是定义在上的函数，，函数的图象关于点对称，且对任意的，均有，则下列关于函数的说法中，正确的个数是（    ） ①； ②； ③函数在上单调递增； ④不等式的解集为. A．1 B．2 C．3 D．4 1．（2022·天津·高考真题）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 2．（2022·全国·高考真题）已知函数的定义域为R，且，则（    ） A． B． C．0 D．1 3．（2022·全国·高考真题）已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（    ） A． B． C． D． 4．（2023·全国·高考真题）若为偶函数，则（    ） A． B．0 C． D．1 5．（2024·广东江苏·高考真题）已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（2024·上海·高考真题）已知，，且是奇函数，则 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$