专题06 线段与角的等量代换模型-2024-2025学年七年级数学上册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（北师大版2024）

专题06 线段与角的等量代换模型 等量代换是数学变形的最常见方式之一,它以处理问题步骤简捷、巧妙灵活,给人留下深刻的印象。运用它来解决中学代数和几何的有关问题（本专题主要涉及线段与角度的代换）,还可以避免繁杂运算,具有计算量小的独特优点,因此有着广泛的应用。 1 模型1.线段与角度的等量代换模型 1 34 模型1.线段与角度的等量代换模型 等量即相等的量，代换即替代、更换，等量代换的意思就是相等的量可以互换，更通俗点儿说，如果几个量都等于某一个量，那么这几个量彼此相等。那既然是相等的量，就限定了针对的对象必须是等式。 等量代换的一般形式：如果a=b，b=c，那么a=c，利用的是等式的传递性。 “等量代换”是在数学几何中常用的一种推理证明方法，应用于角度或线段相等关系的推导。 1）线段的等量代换 图1 图2 条件：如图，已知：EG=HF； 结论：EH=GF. 证明:如图1，∵EG=HF，∴EG-HG=HF-HG，∴EH=GF. 如图2，∵EG=HF，∴EG+HG=HF+HG，∴EH=GF. 2）角度的等量代换 （图中：∠AOD=∠1，∠BOC=∠2，∠BOD=∠3，∠AOC=∠4） 条件1：已知∠AOB=∠DOC=90°；结论：∠1=∠2，∠3+∠4=180°. 条件2：已知∠AOB=∠DOC=90°；结论：∠1=∠2，∠3+∠4=180°. 证明：如图1，∵∠AOB=∠DOC，∴∠AOB-∠BOD=∠DOC-∠BOD，∴∠AOD=∠BOC，即：∠1=∠2. ∵∠AOB=∠DOC=90°，∴∠AOB+∠DOC=180°， ∴∠BOD+∠AOD+∠DOC=180°，∴∠BOD+∠AOC=180°，即：∠3+∠4=180°. 如图2，∵∠AOB=∠DOC，∴∠AOB+∠BOD=∠DOC+∠BOD，∴∠AOD=∠BOC，即：∠1=∠2. ∵∠AOB=∠DOC=90°，∴∠AOB+∠DOC=180°， ∵∠BOD+∠AOC+∠AOB+∠DOC=360°，∴∠BOD+∠AOC=180°，即：∠3+∠4=180°. 例1．（23-24七年级上·四川成都·期末）如图，点在线段上，且，则与的大小关系是（    ）    A． B． C． D．无法确定 例2．（23-24·福建三明·七年级统考期末）如图，B、C是线段上两点，且，若，，那么大小为（    ） A．3 B．7 C．10 D．13 例3．（23-24七年级下·湖南衡阳·开学考试）如图：、、、四点在同一直线上．    (1)若．比较线段的大小：___________填“”、“”或“； 若，且，则的长为___________；(2)若线段被点、分成了三部分，且的中点和的中点之间的距离是，求的长． 例4．（23-24重庆七年级课时练习）如图所示，点A、O、E在一条直线上，，那么下列各式中错误的是（    ） A． B． C． D． 例5．（23-24七年级上·浙江·课后作业）如图所示，∠AOC＝90°，∠AOB＝∠COD，则∠BOD＝ °． 例6．（23-24七年级上·四川广元·期末）如图所示，已知点，，在一条直线上，，如果，那么的度数是 ． 例7．（2023春·北京·七年级月考）如图，已知，，则与的关系是（    ） A．大 B．大 C．相等 D．无法确定 例8．（23-24福建厦门·七年级统考期末）下列推理错误的是（    ） A．因为，所以 B．因为，所以 C．因为，所以 D．因为，所以 例9．（23-24成都双流七年级期中）如图，两个直角和有公共顶点O，下列结论：①；②；③；④若平分，则平分；⑤的平分线与的平分线是同一条射线．其中正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 例10．（23-24广东佛山七年级期末）已知：。 （1）如图1，吗？请说明理由． （2）如图2，直线平分，直线平分吗？请说明理由． （3）若，，求的大小． 例11．（23-24山东七年级期中题）已知一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，结合图形，试探索这两个角之间的数量关系． (1)如图1，，，请判断与的数量关系，并说明理由 (2)如图2，，，请判断与的数量关系，并说明理由 (3)由（1）（2）你得出的结论是：如果______，那么______． (4)若两个角的两边互相垂直，且一个角比另一个角的3倍少，则求这两个角度数． 1．（2023·河北石家庄·七年级校考期中）如图，AB＝CD，那么AC与BD的大小关系是（  ） A．AC＜BD B．AC＝BD C．AC＞BD D．不能确定 2．（2023·福建福州·七年级校考阶段练习）如图，点C，D是线段AB上任意两点，点M是线段AC的中点，点N是线段DB的中点，若，，则线段CD的长等于（　　） A． B． C． D． 3．（2023·安徽滁州·七年级校考期末）如图，点C，D在线段AB上，且AC＝CD＝DB，点E是线段AB的中点．若AD＝8，则CE的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 4．（2023.湖南省娄底市七年级期末）如图，点，分别是线段上两点（，），用圆规在线段上截取，，若点与点恰好重合，，则为（    ） A．4 B．4.5 C．5 D．5.5 5．（2023·湖北黄石·七年级统考期末）如图，顺次为线段上的两点，是的中点，则的值是（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 6．（2023秋·山西·七年级统考期末）如图，在同一平面内，，若，则的度数不可能为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24七年级上·北京大兴·期末）如图，点在一条直线上，，那么的度数为（  ） A． B． C． D． 8．（23-24七年级上·重庆·期中）已知：如图所示，则(　　) A． B． C． D．与的大小无法比较 9．（23-24河北省石家庄七年级月考）试说明“若，，，则”是真命题．以下是排乱的推理过程： ①因为（已知）；②因为，（已知）； ③所以，（等式的性质）；④所以（等量代换）； ⑤所以（等量代换）．正确的顺序是(   ) A．①→③→②→⑤→④ B．②→③→⑤→①→④ C．②→③→①→⑤→④ D．②→⑤→①→③→④ 10．（23-24安徽铜陵·七年级统考期末）如图，，下列结论：其中正确的是（　　） A． B． C． D． 11．（23-24山东枣庄·七年级期末）已知，如图，则 度． 12．（23-24山东青岛·七年级校考期末）如图（射线在内部），与都是直角，则下列说法正确的是 ．（填序号） ①若，则；②图中共有5个角；③；④与的和不变；⑤时，平分． 13．（2023秋·重庆南岸·七年级统考期末）如图，∠AOC=∠BOD=，若∠BOC=，则∠AOD= ．（用含，的代数式表示）． 14．（2023秋·内蒙古巴彦淖尔·七年级校考期末）如图，和都是直角，且与的度数之比为，则的度数为 ．    15．（2023·河北石家庄·七年级统考期末）如图，，则 （选填“>”、“=”或“<”）． 16．（23-24七年级上·山西吕梁·期末）如图，点A，B，C，D四点在同一条直线上，并且．    (1)若，求的长； (2)若，点M是的中点，点N是的中点，并且，求的长． 17．（23-24七年级上·福建福州·期末）如图1，已知在线段上． (1)图中共有______条线段；(2)若．①比较线段的大小： ______（填：“”“”或“”）； ②若，，是的中点，是的中点，求的长度． 18．（2023·浙江·七年级专题练习）如图，是的平分线，． (1)若，求的度数； (2)比较和的大小，并说明理由． 19．（2023·吉林长春·七年级校考阶段练习）如图：． (1)，求的度数；(2)若，求的度数． 20．（2023.浙江七年级期末）如图所示，若已知C，D是线段AB上两点，且AC=DB，E是AB中点，那么点E�的位置有什么特点？你能说明原因吗？ 21．（2023秋·广东清远·七年级统考期末）如图，∠AOC和∠BOD都是直角．如果∠DOC＝28°，(1)求∠AOD 的度数；(2)求∠AOB的度数． 22．（2023秋·云南曲靖·七年级统考期末）如图所示，，平分，平分． (1)试判断与的关系，并说朋理由；(2)若，求的度数． 23．（23-24山东省威海市七年级期中）如图，已知平分，平分．    (1)如图①，求的度数； (2)如图②，如果，那么是多少度？ (3)如图②，如果，那么是多少度？ 24．（23-24七年级·贵州黔西·阶段练习）已知一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，结合图形，试探索这两个角之间的数量关系． (1)如图1，，，则与的数量关系是______．（不用说明理由） (2)如图2，，，则与的数量关系是______，并请说明理由． (3)由（1）（2）可以直接写出结论：如果_________________，那么_____________． 25．（23-24河南南阳·七年级统考期末）阅读材料并回答问题． 数学课上，老师提出了如下问题：已知点在直线上，，在同一平面内，过点作射线，满足．当时，如图1所示，求的度数．    甲同学：以下是我的解答过程（部分空缺） 解：如图2，∵点O在直线上，∴　　　　， ∵，∴　　　　， ，∴平分，∴　　　　， ∵，，∴　　　　． 乙同学：“我认为还有一种情况．” 请完成以下问题：(1)请将甲同学解答过程中空缺的部分补充完整． (2)判断乙同学的说法是否正确，若正确，请在图1中画出另一种情况对应的图形，并求的度数，写出解答过程；若不正确，请说明理由．(3)将题目中“”的条件改成“”，其余条件不变，当在到之间变化时，如图3所示，为何值时，成立？请直接写出此时的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 线段与角的等量代换模型 等量代换是数学变形的最常见方式之一,它以处理问题步骤简捷、巧妙灵活,给人留下深刻的印象。运用它来解决中学代数和几何的有关问题（本专题主要涉及线段与角度的代换）,还可以避免繁杂运算,具有计算量小的独特优点,因此有着广泛的应用。 1 模型1.线段与角度的等量代换模型 1 34 模型1.线段与角度的等量代换模型 等量即相等的量，代换即替代、更换，等量代换的意思就是相等的量可以互换，更通俗点儿说，如果几个量都等于某一个量，那么这几个量彼此相等。那既然是相等的量，就限定了针对的对象必须是等式。 等量代换的一般形式：如果a=b，b=c，那么a=c，利用的是等式的传递性。 “等量代换”是在数学几何中常用的一种推理证明方法，应用于角度或线段相等关系的推导。 1）线段的等量代换 图1 图2 条件：如图，已知：EG=HF； 结论：EH=GF. 证明:如图1，∵EG=HF，∴EG-HG=HF-HG，∴EH=GF. 如图2，∵EG=HF，∴EG+HG=HF+HG，∴EH=GF. 2）角度的等量代换 （图中：∠AOD=∠1，∠BOC=∠2，∠BOD=∠3，∠AOC=∠4） 条件1：已知∠AOB=∠DOC=90°；结论：∠1=∠2，∠3+∠4=180°. 条件2：已知∠AOB=∠DOC=90°；结论：∠1=∠2，∠3+∠4=180°. 证明：如图1，∵∠AOB=∠DOC，∴∠AOB-∠BOD=∠DOC-∠BOD，∴∠AOD=∠BOC，即：∠1=∠2. ∵∠AOB=∠DOC=90°，∴∠AOB+∠DOC=180°， ∴∠BOD+∠AOD+∠DOC=180°，∴∠BOD+∠AOC=180°，即：∠3+∠4=180°. 如图2，∵∠AOB=∠DOC，∴∠AOB+∠BOD=∠DOC+∠BOD，∴∠AOD=∠BOC，即：∠1=∠2. ∵∠AOB=∠DOC=90°，∴∠AOB+∠DOC=180°， ∵∠BOD+∠AOC+∠AOB+∠DOC=360°，∴∠BOD+∠AOC=180°，即：∠3+∠4=180°. 例1．（23-24七年级上·四川成都·期末）如图，点在线段上，且，则与的大小关系是（    ）    A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】根据，即可的出结论． 【详解】解：∵，， ∴，即：；故选C． 【点睛】本题考查线段的和差计算，正确的识图，理清线段之间的和差关系，是解题的关键． 例2．（23-24·福建三明·七年级统考期末）如图，B、C是线段上两点，且，若，，那么大小为（    ） A．3 B．7 C．10 D．13 【答案】B 【分析】根据线段的和差关系计算即可得到结论． 【详解】解：∵，∴AB+BC＝CD+BC，∴AC＝BD ∵，，∴BD＝7，∴AC＝7，故选：B． 【点睛】本题考查了两点间的距离，利用线段的和差是解题关键． 例3．（23-24七年级下·湖南衡阳·开学考试）如图：、、、四点在同一直线上．    (1)若．比较线段的大小：___________填“”、“”或“； 若，且，则的长为___________；(2)若线段被点、分成了三部分，且的中点和的中点之间的距离是，求的长． 【答案】(1)①，②15(2) 【分析】（1）①根据等式的性质，得出答案；求出的值，在求出、的长，进而求出的长即可；（2）根据线段的比，线段中点的意义，设未知数，列方程求解即可． 【详解】（1）解：①，，即，，故答案为：； ②∵，且，，， ，故答案为：； （2）解：如图所示，    设每份为，则， 是的中点，点是的中点，， 又，，解得，，． 【点睛】本题考查线段及其中点的有关计算，理解线段中点的意义是正确计算的关键． 例4．（23-24重庆七年级课时练习）如图所示，点A、O、E在一条直线上，，那么下列各式中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据角的和与差进行比较，，即；利用，选项D正确，再减去共同角，可得，由此得到正确选项． 【详解】∵ ∴即，所以A正确； ∵∴，所以D正确； ∴即，所以B正确．故选C． 【点睛】考查角的和与差的知识点，学生要掌握等量代换的方法找到相等的角，熟悉了解角的和与差是解题的关键． 例5．（23-24七年级上·浙江·课后作业）如图所示，∠AOC＝90°，∠AOB＝∠COD，则∠BOD＝ °． 【答案】90 【分析】利用余角的定义计算． 【详解】解：∠AOC=90°即∠AOB+∠BOC=90° ∵∠AOB=∠COD∴∠COD+∠BOC=90°即∠BOD=90°．故答案为：90 【点睛】此题主要考查了学生互为余角的性质．利用此性质即可求出要求的角． 例6．（23-24七年级上·四川广元·期末）如图所示，已知点，，在一条直线上，，如果，那么的度数是 ． 【答案】 【分析】先根据，求出，再根据即可求出 ． 【详解】解：因为，， 所以， 因为，所以．故答案为： 【点睛】本题考查了角的计算，理解角的和差关系是解题关键． 例7．（2023春·北京·七年级月考）如图，已知，，则与的关系是（    ） A．大 B．大 C．相等 D．无法确定 【答案】C 【分析】由，，可知，进而可得答案． 【详解】解：∵，∴故选C． 【点睛】本题考查了余角．解题的关键在于明确同角的余角相等． 例8．（23-24福建厦门·七年级统考期末）下列推理错误的是（    ） A．因为，所以 B．因为，所以 C．因为，所以 D．因为，所以 【答案】A 【分析】根据余角、补角的性质，利用等量代换思想逐项分析即可得出答案． 【详解】解：与不一定相等，根据，不能推出，故A选项推理错误，符合题意；，通过等量代换可得，故B选项推理正确，不合题意； ，通过等量代换可得，故C选项推理正确，不合题意； ，根据等角的余角相等可得，故D选项推理正确，不合题意；故选A． 【点睛】本题考查余角、补角，掌握等量代换思想是解题的关键． 例9．（23-24成都双流七年级期中）如图，两个直角和有公共顶点O，下列结论：①；②；③；④若平分，则平分；⑤的平分线与的平分线是同一条射线．其中正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了角度之间的和差运算，角平分线的定义．根据，得出，则，即可判断①；当时，，即可判断②；易得，即可推出，即可判断③；根据平分，得出，进而得出，即可判断④；设的平分线为，则，结合，推出，即可判断⑤． 【详解】解：∵， ∴，即，故①正确，符合题意； 当时，，故②不正确，不符合题意； ∵，∴， ∴，故③正确，符合题意； ∵平分，∴， ∵，∴，∴平分，故④正确，符合题意； 设的平分线为，∵平分，∴， ∵，∴， ∴，即平分，故⑤正确，符合题意； 综上：正确的有①③④⑤，共4个．故选：C． 例10．（23-24广东佛山七年级期末）已知：。 （1）如图1，吗？请说明理由． （2）如图2，直线平分，直线平分吗？请说明理由． （3）若，，求的大小． 【答案】（1），见解析；（2）直线平分，见解析；（3）150°或110° 【分析】（1）根据角的和差关系可得结论；（2）根据角平分线的定义求解即可； （3）分在内部和外部两种情况进行求解即可． 【详解】解：（1）．理由如下： 即 （2）直线平分．理由如下： ， 又 直线平分即直线平分． （3），， ①当在内部时，如图所示： ②当在外部时，如图所示： 综上所述，的度数为150°或110°． 【点睛】本题考查了解度的计算，角平分线的定义，正确识别图形是解题的关键． 例11．（23-24山东七年级期中题）已知一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，结合图形，试探索这两个角之间的数量关系． (1)如图1，，，请判断与的数量关系，并说明理由 (2)如图2，，，请判断与的数量关系，并说明理由 (3)由（1）（2）你得出的结论是：如果______，那么______． (4)若两个角的两边互相垂直，且一个角比另一个角的3倍少，则求这两个角度数． 【答案】(1)，理由见解析(2)，理由见解析 (3)一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，这两个角相等或互补(4)，或， 【分析】（1）根据垂线的定义，得出，，根据直角三角形两锐角互余，得出，，最后根据，得出结论即可；（2）根据垂线的定义得出，，，根据四边形内角和，得出，最后得出结论即可；（3）根据解析（1）（2）总结归纳出结论即可；（4）设另一个角的度数为，则这个角的度数为，根据这两个角相等或互补两种情况列出关于的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵，，∴，， ∴，，∵∴． （2）∵，，∴，， ∴，∴． （3）一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，这两个角相等或互补． （4）设另一个角的度数为，则这个角的度数为， 根据题意可得或 解得或， 当时，，当时，，∴这两个角的度数为，或，． 【点睛】本题主要考查补角的定义和垂直的定义，余角的性质，直角三角形的性质，四边形内角和，在解题的过程中，要注意分类讨论． 1．（2023·河北石家庄·七年级校考期中）如图，AB＝CD，那么AC与BD的大小关系是（  ） A．AC＜BD B．AC＝BD C．AC＞BD D．不能确定 【答案】B 【分析】由题意可知AB=CD，根据等式的基本性质，两边都减去BC，等式仍然成立． 【详解】根据题意和图示可知AB=CD，而BC为AB和CD共有线段，故AC=BD，故选：B． 【点睛】注意根据等式的性质进行变形，读懂题意是解题的关键． 2．（2023·福建福州·七年级校考阶段练习）如图，点C，D是线段AB上任意两点，点M是线段AC的中点，点N是线段DB的中点，若，，则线段CD的长等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由AB−MN=m−n，得AM+BN=m−n，再根据中点的性质得AC+BD=2m−2n，最后由CD=AB−(AC+BD)即可求出结果． 【详解】解：∵AB=m，MN=n，∴AB−MN=m−n，∴AM+BN=m−n， ∵点M是AC的中点，点N是DB的中点，∴AM=MC，BN=DN， ∴AC+BD=AM+MC+BN+DN=2(AM+BN)=2(m−n)=2m−2n.， ∴CD=AB−(AC+BD)=m−(2m−2n)=2n−m，故选：D． 【点睛】本题考查了与线段中点有关的计算，解题的关键是掌握线段中点的性质． 3．（2023·安徽滁州·七年级校考期末）如图，点C，D在线段AB上，且AC＝CD＝DB，点E是线段AB的中点．若AD＝8，则CE的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】根据线段中点的定义，可得AC=CD=DB=4，代入数据进行计算即可得解求出AB的长；再求出AE的长，最后CE=AE-AC． 【详解】解：∵AC=CD=DB，点E是线段AB的中点， ∴AD=AC+CD=8．AC=CD=DB=4，∴AB=3AC=12，AE=AB=6， 则CE=AE-AC=6-4=2．故选：A． 【点睛】本题考查了线段的和差，两点间的距离，主要利用线段中点的定义，比较简单，准确识图是解题的关键． 4．（2023.湖南省娄底市七年级期末）如图，点，分别是线段上两点（，），用圆规在线段上截取，，若点与点恰好重合，，则为（    ） A．4 B．4.5 C．5 D．5.5 【答案】C 【分析】根据题意可得，，再由即可得到答案． 【详解】解：，，点E与点F恰好重合， ∴，，∴，， ∴，故选：C． 【点睛】本题主要考查了与线段中点有关的计算，解题的关键在于能够根据题意得到，． 5．（2023·湖北黄石·七年级统考期末）如图，顺次为线段上的两点，是的中点，则的值是（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】B 【分析】由是的中点，解得，再由线段的和差将整理成，将整理成，最后由整体思想解题即可． 【详解】解：是的中点， ，BE=AB-AE， ，AE=AD+DE， 故选：B． 【点睛】本题考查线段的和差、线段的中点等知识，是重要考点，难度较易，解题的关键是掌握线段的和差计算方式． 6．（2023秋·山西·七年级统考期末）如图，在同一平面内，，若，则的度数不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据的位置，分情况进行讨论，第一种情况：都在的内部，第二种情况：都在的外部；第三种情况任其一个在内部，另一个在的外部，即可求出答案． 【详解】解：当都在的内部，画出图如图所示， 此时，故A不符合题意； 当都在的外部，画出图如图所示， 此时，故D不符合题意； 当任其一个在内部，另一个在的外部，画出图如图所示， 或 此时或，故B不符合题意，故选：C． 【点睛】本题考查了角度的和差运算，解题的关键是根据题意作出图形，分类进行讨论． 7．（23-24七年级上·北京大兴·期末）如图，点在一条直线上，，那么的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了几何图中角度的计算，先计算出，再利用平角求出的度数即可，由图形得出角之间的关系是解此题的关键． 【详解】解：， ， ，故选：D． 8．（23-24七年级上·重庆·期中）已知：如图所示，则(　　) A． B． C． D．与的大小无法比较 【答案】C 【分析】已知，由等式性质得到即可得到答案． 【详解】解：∵，∴，即．故选：C． 【点睛】本题考查角的有关计算．根据等式性质得到是解题的关键． 9．（23-24河北省石家庄七年级月考）试说明“若，，，则”是真命题．以下是排乱的推理过程： ①因为（已知）；②因为，（已知）； ③所以，（等式的性质）；④所以（等量代换）； ⑤所以（等量代换）．正确的顺序是(   ) A．①→③→②→⑤→④ B．②→③→⑤→①→④ C．②→③→①→⑤→④ D．②→⑤→①→③→④ 【答案】C 【分析】写出正确的推理过程，进行排序即可． 【详解】证明：因为，（已知）， 所以，（等式的性质）； 因为（已知），所以（等量代换）． 所以（等量代换）．∴排序顺序为：②→③→①→⑤→④．故选C． 【点睛】本题考查推理过程．熟练掌握推理过程，是解题的关键． 10．（23-24安徽铜陵·七年级统考期末）如图，，下列结论：其中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据角的和差关系，由已知条件进行解答即可． 【详解】解：， ，即，故正确； 又，，故正确； ，故正确；，故正确．正确的是，故选：D． 【点睛】本题考查了角的计算，解题的关键是明确题意，分清角的和差关系． 11．（23-24山东枣庄·七年级期末）已知，如图，则 度． 【答案】140 【分析】利用角的和差关系先求出，，再利用角的和差关系求出的度数． 【详解】解：∵， ∴，∴．故答案为：140． 【点睛】本题主要考查了角的和差，关键是熟练掌握角的运算中的和差关系． 12．（23-24山东青岛·七年级校考期末）如图（射线在内部），与都是直角，则下列说法正确的是 ．（填序号） ①若，则；②图中共有5个角；③；④与的和不变；⑤时，平分． 【答案】①③④⑤ 【分析】①先根据余角的定义求出，再根据角的和差关系即可判定；②根据角的定义数出图中的角即可判定；③根据同角的余角相等即可求解；④根据角的和差关系即可判定； ⑤先根据余角的定义求出°即可判定． 【详解】解：∵与都是直角， ∴若，则，则，故①正确； 图中，，，，，共6个角，故②错误； ∵，∴，故③正确； ∵， ∴与的和不变，故④正确； ∵，∴， ∵，∴，即平分，故⑤正确． 说法正确的是①③④⑤．故答案为：①③④⑤． 【点睛】本题考查了余角性质，以及角的计算，属基础题，准确识图是解题的关键． 13．（2023秋·重庆南岸·七年级统考期末）如图，∠AOC=∠BOD=，若∠BOC=，则∠AOD= ．（用含，的代数式表示）． 【答案】 【分析】由 可得：从而可得答案． 【详解】解： 故答案为： 【点睛】本题考查的是角的和差关系，掌握利用角的和差关系进行计算是解题的关键． 14．（2023秋·内蒙古巴彦淖尔·七年级校考期末）如图，和都是直角，且与的度数之比为，则的度数为 ．    【答案】130 【分析】由和都是直角及周角的定义可得，再由与的度数之比为，求出，即可求解． 【详解】 和都是直角 与的度数之比为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了周角的定义及直角的定义、角的和差，熟练掌握知识点是解题的关键． 15．（2023·河北石家庄·七年级统考期末）如图，，则 （选填“>”、“=”或“<”）． 【答案】= 【分析】根据等量代换，即可求解． 【详解】解：∵，∴∠AOC+∠AOD=∠BOD+∠AOD， ∴∠AOC=∠BOD．故答案为：= 【点睛】本题主要考查了等量代换，熟练掌握等量代换是解题的关键． 16．（23-24七年级上·山西吕梁·期末）如图，点A，B，C，D四点在同一条直线上，并且．    (1)若，求的长； (2)若，点M是的中点，点N是的中点，并且，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查线段及其中点的有关计算，理解线段中点的意义是正确计算的关键． （1）根据等式的性质，得出答案 （2）设，则，根据中点的定义得到，根据题意列方程解题即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）设， ∵， ∴， ∵M是的中点， ∴，    ∵， ∴， ∵N是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴． 17．（23-24七年级上·福建福州·期末）如图1，已知在线段上． (1)图中共有______条线段；(2)若．①比较线段的大小： ______（填：“”“”或“”）； ②若，，是的中点，是的中点，求的长度． 【答案】(1)6(2)①＝；② 【分析】（1）根据图形依次数出线段的条数即可； （2）①根据等式的性质即可得到答案；②依据线段的和差关系进行计算，即可得出的长度． 【详解】（1）解：∵在线段上， ∴图中共有线段．共6条．故答案为：6； （2）①若，则，即．故答案为：； ②∵，，∴， ∵是的中点，是的中点，∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了线段数量、线段的长度计算和线段中点的性质，解题关键是熟练掌握线段的和、差、倍、分及计算方法． 18．（2023·浙江·七年级专题练习）如图，是的平分线，． (1)若，求的度数； (2)比较和的大小，并说明理由． 【答案】(1)的度数为；(2)，理由见解析 【分析】（1）依据角平分线的定义，即可得到的度数，再根据角的和差关系，即可得出的度数；（2）依据等式的性质，即可得到． 【详解】（1）解：∵是的平分线，，∴， 又∵，∴； （2）解：． 理由：∵，∴，∴． 【点睛】本题主要考查了角的大小比较以及角平分线的定义的运用，从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线． 19．（2023·吉林长春·七年级校考阶段练习）如图：． (1)，求的度数；(2)若，求的度数． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据互余的定义，结合图形即可求出结论； （2）根据互余的概念，结合题意得出各个角度，再根据即可得出结论． 【详解】（1）解：， 由可得， ，； （2）解：由（1）知，，， ，解得，即， ． 【点睛】本题考查互余的定义，看懂图形，熟练掌握各个角之间的互余和数量关系是解决问题的关键． 20．（2023.浙江七年级期末）如图所示，若已知C，D是线段AB上两点，且AC=DB，E是AB中点，那么点E�的位置有什么特点？你能说明原因吗？ 【答案】点E也是线段CD的中点， 【分析】由E是AB中点可知AE=BE，再结合AC=BD可得CE=DE. 【详解】∵E是线段AB中点，∴AE=BE，� 又∵AE-AC=BE-DB，∴CE=DE，即E是CD的中点． 【点睛】本题考查了线段上点的特点，理解中点的含义，运用等量关系进行适当变化. 21．（2023秋·广东清远·七年级统考期末）如图，∠AOC和∠BOD都是直角．如果∠DOC＝28°， (1)求∠AOD 的度数；(2)求∠AOB的度数． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据求一个角的余角即可求解；（2）根据求解即可 【详解】（1）∠AOC，∠DOC＝28°， （2），∠BOD 【点睛】本题考查了求一个角的余角，角度的和差计算，掌握几何图形的角度计算是解题的关键． 22．（2023秋·云南曲靖·七年级统考期末）如图所示，，平分，平分． (1)试判断与的关系，并说朋理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析(2) 【分析】（1）根据，可得，即可求解； （2）根据，可得，再由角平分线的定义可得，从而得到，再由，即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下：∵， ∴，∴； （2）解：，，∴， ∵平分，平分，∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了有关角平分线的计算，角与角之间的数量关系，明确题意，熟练掌握角与角之间的数量关系是解题的关键． 23．（23-24山东省威海市七年级期中）如图，已知平分，平分．    (1)如图①，求的度数； (2)如图②，如果，那么是多少度？ (3)如图②，如果，那么是多少度？ 【答案】(1)(2)(3) 【分析】本题主要考查了有关角平分线的计算，明确题意，准确得到角与角间的关系是解题的关键． （1）根据角平分线的概念求解即可； （2）首先求出，然后根据角平分线的概念求解即可； （3）首先求出，然后根据角平分线的概念求解即可． 【详解】（1）解：，平分，平分， ； （2）， ， 平分，； （3）， ， 平分，， ． 24．（23-24七年级·贵州黔西·阶段练习）已知一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，结合图形，试探索这两个角之间的数量关系． (1)如图1，，，则与的数量关系是______．（不用说明理由） (2)如图2，，，则与的数量关系是______，并请说明理由． (3)由（1）（2）可以直接写出结论：如果_________________，那么_____________． 【答案】(1)相等(2)互补，理由见详解(3)一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，这两个角相等或互补 【分析】（1）由余角的性质，等角的余角相等，可得；（2）根据四边形内角和为，可求得； （3）由（1）（2）的分析可直接得出结论． 【详解】（1）解：如图1， ，，，，，， ，．故答案为：相等． （2）解：如图2，，，，， ，．故答案为：互补． （3）解：由（1）（2）的分析可得结论：如果一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补；故答案为：一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，这两个角相等或互补． 【点睛】本题主要考查余角的定义、垂直的定义及三角形内角和，熟练掌握余角的定义、垂直的定义及三角形内角和是解题的关键． 25．（23-24河南南阳·七年级统考期末）阅读材料并回答问题． 数学课上，老师提出了如下问题：已知点在直线上，，在同一平面内，过点作射线，满足．当时，如图1所示，求的度数．    甲同学：以下是我的解答过程（部分空缺） 解：如图2，∵点O在直线上，∴　　　　， ∵，∴　　　　， ，∴平分，∴　　　　， ∵，，∴　　　　． 乙同学：“我认为还有一种情况．” 请完成以下问题：(1)请将甲同学解答过程中空缺的部分补充完整． (2)判断乙同学的说法是否正确，若正确，请在图1中画出另一种情况对应的图形，并求的度数，写出解答过程；若不正确，请说明理由．(3)将题目中“”的条件改成“”，其余条件不变，当在到之间变化时，如图3所示，为何值时，成立？请直接写出此时的值． 【答案】(1)180，140，70，160(2)正确，理由见解析，或(3)或 【分析】（1）根据平角定义和角平分线的定义补充即可； （2）由题意，还有在的外部时的情况，根据平角定义求解即可； （3）由题意，，，分在的内部和在的外部，由求出即可． 【详解】（1）解：∵点O在直线上，∴， ∵，∴， ，∴平分，∴， ∵，，∴，故答案为：180；140；70；160； （2）解：正确，理由如下： 当在的外部时，如图所示：         ∵点O在直线上，∴，∵，∴， ∵，∴，∵，∴， ，∴， 综上所述，或； （3）解：∵，，∴，， 当在的内部时，如图， ∵，∴平分，∴，即 ∴，解得：； 当在的外部时，如图， ∵，∴， ∵，∴， 解得：，综上，或． 【点睛】本题考查角的运算、角平分线的有关计算、平角定义，能根据图形进行角度运算，能利用分类讨论思想解决问题是解答的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！21 学科网（北京）股份有限公司 $$