专题07 线段中的四类动态模型-2024-2025学年七年级数学上册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（北师大版2024）

专题07 线段中的四类动态模型 线段中的动态模型一直都是一大难点和常考点，它经常以压轴题的形式出现。考查样式也是很丰富，和平时所学的内容结合在一起考。本专题就线段中的动态模型（与中点、和差倍分结合的动点问题；定值问题；存在性（探究性）问题；阅读理解（新定义）等）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型1.线段中点、和差倍分关系中的动态模型 1 模型2.线段上动点问题中的定值模型 3 模型3.线段上动点问题中的存在性（探究性）模型 5 模型4.阅读理解型（新定义）模型 6 8 模型1.线段中点、和差倍分关系中的动态模型 1、在与线段长度有关的问题中，常会涉及线段较多且关系较复杂的问题，而且题中的数据无法直接利用，常设未知数列方程。 2、线段的动态模型解题步骤： 1）设入未知量t表示动点运动的距离； 2）利用和差（倍分）关系表示所需的线段； 3）根据题设条件建立方程求解； 4）观察运动位置可能的情况去计算其他结果。 例1．（23-24七年级上·河北邯郸·期末）如图，嘉淇设计了一动画，已知数轴上点，，表示的数分别为，，，是的中点，机器人（看成点）从点出发，以个单位长度秒的速度沿数轴正方向运动，当机器人到达点时，机器人（看成点）同时从点出发，以个单位长度秒的速度沿数轴正方向运动．设机器人的运动时间为秒． (1)的长为________个单位长度，的值为________；(2)当时，求点表示的数； (3)当机器人，和点中有一个点到其他两点的距离相等时，直接写出的值． 例2．（23-24七年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，点P是定长线段上一点，从点从点B同时出发分别以每秒厘米的速度沿直线向左运动（C在线段上，D在线段上），并满足下列条件： ①关于m、n的单项式与的和仍为单项式；②在运动过程中，总有． (1)直接写出：_______，_______；(2)求出的值，并说明理由：(3)在运动过程中，分别是的中点，运动t秒时，恰好满足，求此时的值． 例3．（23-24七年级上·湖北武汉·期末）已知，，点为线段的三等分点（），点在点左侧，点在点左侧． (1)若线段在线段上运动．如图，当点为线段的中点时， ；（直接写出结果） 为线段上一点，且，，求线段的长； (2)若线段在射线上运动，且，求线段的长． 模型2.线段上动点问题中的定值模型 例1．（23-24七年级上·广东佛山·阶段练习）如图，已知线段，线段在直线上运动（A在B左侧，C在D左侧），若(1)求线段的长．(2)若点M，N分别为线段的中点，且，求线段的长；(3)当运动到某一时刻时，点D与点B重合，点P是线段延长线上任意一点，则是一个定值，请加以说明． 例2．（23-24七年级上·福建福州·阶段练习）如图1，已知直线l上从左往右依次有A，B，C，D四点，其中，，且m，n满足． (1)填空：__________，__________； (2)如图2，M，N分别为线段的中点，线段以每秒4个单位长度向右运动． ①若线段以每秒l个单位长度也向右运动，当运动6秒后，，求运动前线段的长； ②若线段固定不动，且运动前．已知在线段向右运动的某一个时间段内，始终有为定值，请求出这个定值，并直接写出为定值时所持续的时间长度． 例3．（23-24七年级上·江西抚州·期中）如图，在数轴上A点表示数a，B点示数b，C点表示数c，b是最小的正整数，且a，c满足．    (1)______，______，______． (2)点P从点A出发，以秒的速度沿数轴向右匀速运动，点Q从点C出发，沿数轴向左匀速运动，两点同时出发，当点Q运动到点A时，点P，Q停止运动．当时，点Q运动到的位置恰好是线段的中点，求点Q的运动速度；（注：点O为数轴原点） (3)在（2）的条件下，当点P运动到线段上时，分别取和的中点E，F．请问：的值是否随着时间t的变化而变化？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 模型3.线段上动点问题中的存在性（探究性）模型 例1．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如图，直线上有A、B两点，，上有两个动点P、Q．点P从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿直线向右运动，同时点Q从点B出发，以每秒个单位长度的速度沿直线向右运动．设运动时间为（秒）． (1)请用含t的代数式表示线段的长．(2)当点B是线段的中点时，求t的值． (3)运动过程中，点P和点Q能否重合？若能重合，几秒后重合？ (4)运动过程中，线段与线段的长度能否相等？若能相等请求出t值，若不能请说明理由． 例2．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）【阅读材料】若数轴上两点A、B所表示的数分别为a和b（点A在点B的左侧），则有①A、B两点的中点表示的数为；②A、B两点间的距离为． 【解决问题】数轴上两点A、B所表示的数分别为a和b，且满足， （1）直接写出A、B两点的中点C表示的数为______； （2）若数轴上有一点D，且，则点D在数轴上对应的数为______； 【拓展思考】若数轴上两点A、B所表示的数分别为a和b（点A在点B的左侧），点C为线段上一点（点C不与A、B重合），当时，称点C为线段的左三等分点；当时，则称点C为线段的右三等分点． （3）①如图，若点C为线段的左三等分点，则点C表示的数为：______；（用含a、b的代数式表示）， ②在【解决问题】（1）的条件下，点F以每秒1个单位的速度从原点O出发向右运动，同时，点M从点A出发以每秒3个单位的速度向左运动，点N从点B出发，以每秒6个单位的速度向右运动，点P为线段的左三等分，点Q为的中点．设运动时间为t秒，试探究下列结论：随着t的变化，是否存在m，使得的值为定值，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由． 例3．（23-24七年级上·陕西宝鸡·阶段练习）已知在数轴上有A，B两点，点A表示的数为，点B表示的数为6．若动点M从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时动点N从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t秒． (1)当时，点M表示的数是____________，点N表示的数是____________；(2)当时，求t的值； (3)若点C为的中点，点D为的中点，当点M、N在线段上运动，且点M在点N的左侧时，试猜想与之间的数量关系，并说明理由． 模型4.阅读理解型（新定义）模型 例1．（23-24七年级上·山东烟台·期中）如图1，点C在线段上，图中有三条线段，分别为线段和，若其中一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段的“巧点”． (1)线段的中点______这条线段的“巧点”，线段的三等分点_______这条线段的“巧点”（填“是”或“不是”）； (2)若线段，点C为线段的“巧点”，则_______； (3)如图2，已知．，动点P从点A出发，以的速度沿向点B运动，点Q从点B出发，以的速度沿向点A运动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设运动的时间为t秒，当t为何值时，点P为线段的“巧点”？并说明理由． 例2．（2023秋·湖南岳阳·七年级统考期末）材料阅读：当点C在线段上，且时，我们称n为点C在线段上的点值，记作．如点C是的中点时，则，记作；反过来，当时，则有．因此，我们可以这样理解：与具有相同的含义． 初步感知：(1)如图1，点C在线段上，若，则_______；若，则_______； (2)如图2，已知线段，点P、Q分别从点A和点B同时出发，相向而行，运动速度均为，当点P到达点B时，点P、Q同时停止运动，设运动时间为．请用含有t的式子表示和，并判断它们的数量关系． 拓展运用：(3)已知线段，点P、Q分别从点A和点B同时出发，相向而行，若点P、Q的运动速度分别为和，点Q到达点A后立即以原速返回，点P到达点B时，点P、Q同时停止运动，设运动时间为ts．则当t为何值时，等式成立． 例3．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）如图1，数轴上A，B两点表示的数分别是和3，将这两点在数轴上以相同的速度同时相向运动，若A，B分别到达M，N两点（我们用表示以点A、点B为端点的线段的长，、表示的含义以此类推），且满足（k为正整数），我们称两点完成了一次“准相向运动”．如图2若它们按照原来的速度和方向继续运动，分别到达，两点，且满足（k为正整数）我们称两点完成了二次“准相向运动”…． (1)若A，B两点完成了一次“准相向运动”．①当时，M，N两点表示的数分别为 、 ； ②当k为任意正整数时，求M，N两点表示的数；(2)如图2所示，若A，B两点完成了两次“准相向运动”，并分别到达，两点，若k不变，求，两点所表示的数（用含k的式子表示）； (3)若A，B两点完成了n次“准相向运动”，并分别到达两点，当时是否存在点，使其表示的数为65？如果存在，求完成的次数n和此时点所表示的数；如果不存在，说明理由． 1．（23-24七年级上·四川广元·期末）已知有理数a，b满足∶ ．如图，在数轴上，点O是原点，点A所对应的数是a，线段在直线上运动(点B在点C的左侧)，且，下列结论：    ①，； ②当点B与点O重合时，；③当点C与点A重合时， 若点P是线段延长线上的点， 则；④在线段运动过程中，若M为线段的中点，N 为线段的中点，则线段的长度不变． 其中正确的有（       ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2023秋·河北邢台·七年级统考期末）已知长方形中，，，动点从点出发沿以每秒2个单位的速度运动；同时，点也从点出发以每秒3个单位的速度沿运动，当其中一个点到达终点时另一个点也随之停止运动． 设运动时间为秒．（1）当点到达终点时，点在边 ；（2）当点在边上运动时，用表示的式子为 ；（3）点、相遇时， 秒．    3．（23-24七年级上·浙江绍兴·期中）电子跳蚤游戏盘(如图)为三角形，如果电子跳蚤开始时在边的点，，第一步跳蚤从跳到边上点，且；第二步跳蚤从跳到边上点，且；第三步跳蚤从跳回到边上点，且；…跳蚤按上述规则跳下去，第n次落点为，则与C之间的距离为 ． 4．（23-24九年级下·河北廊坊·阶段练习）如图，点是线段上一点，这样，图中共有三条线段，，若其中一条线段是另一条线段的两倍，则称点是线段的“两倍分点” （1）线段中点 （选填“是”或“不是”）这条线段的“两倍分点”；（2）若，点从点开始，以每秒1个单位的速度沿射线运动，设运动时间为且．则 时，点是线段的“两倍分点”． 5．（23-24七年级上·贵州贵阳·期末）如图，点A，B，C在直线上，已知A，B两点间的距离为24个单位长度，点位于A，B两点之间，且到点的距离为15个单位长度，点P，Q分别从A，B两点同时出发，沿直线向右运动，点的速度是3个单位长度，点的速度是1个单位长度，设运动时间为，在运动过程中，当点P，Q，C这三点中恰好有一点是以另外两点为端点的线段的中点时，满足条件的值为 ．    6．（2022·河南·郑州中学七年级期末）如图，点C是线段AB上的一点，线段AC＝8m，．机器狗P从点A出发，以6m/s的速度向右运动，到达点B后立即以原来的速度返回；机械猫Q从点C出发，以2m/s的速度向右运动，设它们同时出发，运动时间为xs．当机器狗P与机械猫Q第二次相遇时，机器狗和机械猫同时停止运动． (1)BC＝______m，AB＝______m；(2)试通过计算说明：当x为何值时，机器狗P在点A与机械猫Q的中点处？(3)当x为何值时，机器狗和机械猫之间的距离PQ＝2m？请直接写出x的值． 7．（2022·贵州黔西·七年级期末）已知点在线段上，，点、在直线上，点在点的左侧．若，，线段在线段上移动．(1)如图1，当为中点时，求的长；(2)点（异于，，点）在线段上，，，求的长． 8．（2022·重庆七年级期中）如果一点在由两条公共端点的线段组成的一条折线上且把这条折线分成长度相等的两部分，这点叫做这条折线的“折中点”．如图，点D是折线A﹣C﹣B的“折中点”，请解答以下问题： （1）当AC＞BC时，点D在线段　 上； 当AC＝BC时，点D与　 　重合；当AC＜BC时，点D在线段　 　上；（2）若AC＝18cm,BC＝10cm,若∠ACB=90°,有一动点P从C点出发，在线段CB上向点B运动，速度为2cm/s, 设运动时间是t（s）, 求当t为何值，三角形PCD 的面积为10？ （3）若E为线段AC中点，EC＝8cm，CD＝6cm，求CB的长度． 9．（23-24七年级上·广东佛山·期末）综合应用：运动的变化是永恒不变的规律，正如生命中的变幻无常中蕴含着永恒的真理一样．在运动的变化中，往往可以发现不变的规律和智慧，从变化中寻找不变的价值和意义，启迪我们用数学的思维思考问题背后的数理逻辑，从而培养自己的数学思维和逻辑推理能力． 已知点、、是直线上三个点（点在点左侧），点、分别是，的中点 (1)特例探究：如图，当点在线段上，且时，求的长度．(2)一般猜证：若，求线段的长度．(3)归纳结论：经历了上述探究过程，请你用简短的文字概括上述探究得到的结论． 10．（23-24七年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知如图数轴上有三点、、，，点对应的数是20．①若，求点对应的数；②在①的条件下，动点、分别从、两点同时出发向左运动，同时动点从点出发向右运动，点、、的速度分别为10单位长度每秒、5单位长度每秒、2单位长度每秒，点为线段的中点，点为线段的中点，求它们运动多少秒时恰好满足； ③在①的条件下，若点、对应的数分别为、0，动点、分别从、两点同时出发向左运动，点、的速度分别为10单位长度每秒、5单位长度每秒，点为线段的中点，点在从是点运动到点的过程中，的值是否发生变化？若不变，求其值；若变化，请说明理由． 11．（23-24七年级上·辽宁大连·期末）已知式子是关于x的二次多项式，且二次项的系数为b，在数轴上有点A、B、C三个点，且点A、B、C三点所表示的数分别为a、b、c，，规定：数轴上表示数m和n的两个点为端点的线段中点的数为． (1)________；________．(2)若动点P、Q分别从C、O两点同时出发，向右运动，点P的速度为每秒2个单位长度，动点Q的速度为每秒3个单位长度，且点Q不超过点A．在运动过程中，点E为线段的中点，点F为线段的中点，求的值．(3)点P、Q分别自C、B同时出发，点P以每秒6个单位长度向右运动，点Q以每秒2个单位长度向左运动，运动的时间为t秒，若满足，求此时的时间t值． 12．（23-24七年级上·湖北武汉·阶段练习）定义：若线段上的一个点把这条线段分成的两条线段，则称这个点是这条线段的三等分点，如图1，点C在线段上，且，则点C是线段的一个三等分点，显然，一条线段的三等分点有两个，依此类推，一条线段的四等分点有三个． (1)已知：如图2，，点P是的三等分点，直接写出_________； (2)已知，线段，如图3，点P从点A出发以每秒的速度在射线上向点B方向运动；点Q从点B出发，先向点A方向运动，当与点P重合后立马改变方向与点P同向而行且速度始终为每秒，设运动时间为t秒．①若点P、点Q同时出发，且当时，求t的值； ②若点P、点Q同时出发，且当点P是线段的四等分点时，直接写出t的值为______． 13.（2023春·福建福州·七年级统考开学考试）如图，已知，点C、D分别为线段、上的动点，若点C从点O出发以的速度沿方向运动，同时点D从点B出发以的速度沿方向运动．    (1)如图1，当运动时间为时，求的值；(2)如图1，若在运动过程中，始终保持，求OA的长；(3)如图2，在（2）的条件下，延长BO到点M，使，点P是直线OB上一点，且，求的值． 14．（2023秋·河北唐山·七年级统考期末）操作与探究：（1）已知：如图线段长为，点从点A以的速度向点运动，点运动时间为，则______，______ （2）已知：如图，在长方形中，，，动点以的速度从A点沿着运动，运动时间为，用含的式子表示______ 拓展与延伸：（3）已知：如图，在（2）的基础上，动点从点出发，沿着线段向点运动，速度为，、同时出发，运动时间为．其中一点到达终点，另一个点也停止运动．当点在上运动时，为何值时，？ 15．（23-24七年级·福建·期末）如图，已知，点C、D分别为线段、上的动点，若点C从点O出发以的速度沿方向运动，同时点D从点B出发以的速度沿方向运动． (1)如图1，当运动时间为时，求的值；(2)如图1，若在运动过程中，始终保持，求OA的长；(3)如图2，在（2）的条件下，延长BO到点M，使，点P是直线OB上一点，且，求的值．      16．（23-24七年级上·湖南长沙·阶段练习）材料阅读：对线段而言，当点在线段上，且点是的中点时，有，反过来，当有时，则点为线段的中点． (1)如图1，点在线段上，若，则______；若，则______； (2)如图2，已知线段，点分别从点和点同时出发，相向而行，点的运动速度为，点的运动速度为，若它们相遇则点同时停止运动．线段的中点为点，线段的中点为点，运动时，求两中点之间的距离； (3)已知线段，点分别从点和点同时出发，相向而行，若点的运动速度分别为和，点到达点后立即以原速返回，点到达点时，点同时停止运动，设运动时间为s，则当为何值时，等式成立？ 17．（23-24七年级上·湖南永州·期末）如图，数轴上点M表示的数为m，点N表示的数为n，且．      (1)______，______；(2)P为数轴上的动点，设Q为的中点，点P从点M向左运动时，请探究与的数量关系，并说明理由． 18．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）如图，点A、点B在数轴上分别表示数a、b，则A、B两点之间的距离表示为． 【探索新知】如图1，点C将线段分成和两部分，若，则称点C是线段的圆周率点，线段称作互为圆周率伴侣线段 (1)若，则______； (2)若点D也是图1中线段的圆周率点（不同于C点），则______（填“<”、“”、“>”） 【深入研究】如图2，现有一个直径为1个单位长度的圆片，将圆片上的某点与数轴上表示1的点重合，并把圆片沿数轴向右无滑动地滚动1周，该点到达点C的位置 (3)若点M、N均为线段的圆周率点，求线段的长度； (4)在图2中，点P、Q分别从点O、C位置同时出发，分别以每秒3个单位长度、每秒2个单位长度的速度向右匀速运动，运动时间为t秒．当点P在点C左侧时，P、C、Q三点中某一点为其余两点所构成线段的圆周率点，请求出t的值 19．（2024·江苏·七年级校考阶段练习）【概念与发现】当点C在线段AB上，时，我们称n为点C在线段AB上的“点值”，记作． 例如，点C是AB的中点时，即，则；反之，当时，则有． 因此，我们可以这样理解：“”与“”具有相同的含义． 【理解与应用】(1)如图，点C在线段AB上．若，，则________； 若，则________AB． 【拓展与延伸】(2)已知线段，点P以1cm/s的速度从点A出发，向点B运动．同时，点Q以3cm/s的速度从点B出发，先向点A方向运动，到达点A后立即按原速向点B方向返回．当P，Q其中一点先到达终点时，两点均停止运动．设运动时间为t（单位：s）．①小王同学发现，当点Q从点B向点A方向运动时，的值是个定值，则m的值等于________；②t为何值时，． 20.（23-24七年级上·江苏泰州·期中）如图1，已知数轴上从左向右依次有四点、、、，其中，点对应的数是． (1)若，则点对应的数是______； (2)如图2，在（1）的条件下，若一小球甲在数轴上从点处以单位/秒的速度向右运动，同时另一小球乙从点处以单位/秒的速度向左运动，当甲乙两小球开始运动时，立即在点和点处各放一块挡板，其中，当球在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为秒，问：为何值时，甲、乙两小球之间的距离为个单位． (3)在（2）的条件下，将线段、分别绕点、点竖直向上折起，连接线段，围成如图3的长方形中，点从点出发，以单位/的速度沿点－－－匀速运动，最终到达点．设点运动时间为秒，问：为何值时，的面积为？ ` 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 线段中的四类动态模型 线段中的动态模型一直都是一大难点和常考点，它经常以压轴题的形式出现。考查样式也是很丰富，和平时所学的内容结合在一起考。本专题就线段中的动态模型（与中点、和差倍分结合的动点问题；定值问题；存在性（探究性）问题；阅读理解（新定义）等）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型1.线段中点、和差倍分关系中的动态模型 1 模型2.线段上动点问题中的定值模型 5 模型3.线段上动点问题中的存在性（探究性）模型 9 模型4.阅读理解型（新定义）模型 13 18 模型1.线段中点、和差倍分关系中的动态模型 1、在与线段长度有关的问题中，常会涉及线段较多且关系较复杂的问题，而且题中的数据无法直接利用，常设未知数列方程。 2、线段的动态模型解题步骤： 1）设入未知量t表示动点运动的距离； 2）利用和差（倍分）关系表示所需的线段； 3）根据题设条件建立方程求解； 4）观察运动位置可能的情况去计算其他结果。 例1．（23-24七年级上·河北邯郸·期末）如图，嘉淇设计了一动画，已知数轴上点，，表示的数分别为，，，是的中点，机器人（看成点）从点出发，以个单位长度秒的速度沿数轴正方向运动，当机器人到达点时，机器人（看成点）同时从点出发，以个单位长度秒的速度沿数轴正方向运动．设机器人的运动时间为秒． (1)的长为________个单位长度，的值为________；(2)当时，求点表示的数； (3)当机器人，和点中有一个点到其他两点的距离相等时，直接写出的值． 【答案】(1)，；(2)点表示的数为；(3)或或或或． 【分析】（1）本题考查数轴上两点之间的距离，根据点，表示的数，即可算出的长，再利用是的中点，得到，即可解得的值．（2）本题根据线段的和差，得到点只能在点的右边，推出的长，即可解题；（3）分情况进行讨论，然后综合各种情况得到的值； 此题考查了数轴的动点问题和一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意和分类讨论． 【详解】（1）解：∵数轴上点A，B表示的数分别为，，∴， ∵ 是的中点，∴，∴表示的数分别为，即的值为，故答案为：，； （2）解：∵，，∴点只能在点的右边，位置如图所示： ∴，即，整理得，解得， ∴点表示的数为； （3）解：当机器人到达点时，机器人（看成点）同时从点出发，设机器人的运动时间为秒，则机器人的运动时间为秒， 当时，即点到点和点到点距离相等时， 当机器人到达点，此时点与点重合，即， 当机器人过点时，即，解得或， 当时，即点到点和点到点距离相等时， 当机器人到达点时，即， 当机器人超过机器人时，，解得或（舍去）， 当时，即点到点和点到点距离相等时， 当机器人未到达点时，即， 当机器人与机器人相遇时，即，解得或， 综上可知，的值为或或或或． 例2．（23-24七年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，点P是定长线段上一点，从点从点B同时出发分别以每秒厘米的速度沿直线向左运动（C在线段上，D在线段上），并满足下列条件： ①关于m、n的单项式与的和仍为单项式；②在运动过程中，总有． (1)直接写出：_______，_______；(2)求出的值，并说明理由：(3)在运动过程中，分别是的中点，运动t秒时，恰好满足，求此时的值． 【答案】(1)1，2(2)3(3) 【分析】本题考查了线段的和差倍分，一元一次方程的应用，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系是十分关键的一点．（1）根据同类项的定义列方程即可得到结论；（2）设，则，根据题意列方程即可得到结论；（3）设，由（2）知，，根据题意得到，①当点在线段上时，②当点在线段的延长线上时，列方程即可得到结论． 【详解】（1）解：∵关于、的单项式与的和仍为单项式， ∴单项式与是同类项，∴，故答案为：1，2； （2）设运动了t秒，则设，则，     故答案为：3； （3）设，由（2）知，， ①当点在线段上时，，解得：， ②当点在线段的延长线上时，，解得：，(不合题意，舍去)， 综上所述，． 例3．（23-24七年级上·湖北武汉·期末）已知，，点为线段的三等分点（），点在点左侧，点在点左侧． (1)若线段在线段上运动．如图，当点为线段的中点时， ；（直接写出结果） 为线段上一点，且，，求线段的长； (2)若线段在射线上运动，且，求线段的长． 【答案】(1)；线段的长为或；(2)线段的长为或． 【分析】（）利用三等分点的定义求出，利用中点定义求出，再根据线段的和差关系即可求出；分当点在点的右侧和点在点的右侧，点在点的左侧两种情况，画出图形解答即可求解；（）分当线段在线段上、点在的延长线上，点在线段上和线段在线段的延长线上三种情况画出图形解答即可求解；本题考查了中点定义，三等分点定义，线段的和差，一元一次方程的应用，根据题意，画出图形，运用分类讨论思想进行解答是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，∵点为线段的三等分点（）， ∴，， ∵点为线段的中点，∴，∴，故答案为：； 如图，当点在点的右侧时， 设，则，，，，， ∵，∴，解得， ∴，∴； 如图，当点在点的右侧，点在点的左侧时， 设，则，，，，， ∵，∴，解得，∴， ∴；∴线段的长为或； （2）解：如图，当线段在线段上时， 设，则，，∴， ∵，∴，解得，∴； 如图，当点在的延长线上，点在线段上时， 设，则，，∴， ∵，∴，解得，不合，舍去； 如图，当线段在线段的延长线上时， 设，则，，， ∵，∴，解得，∴； 综上，线段的长为或． 模型2.线段上动点问题中的定值模型 例1．（23-24七年级上·广东佛山·阶段练习）如图，已知线段，线段在直线上运动（A在B左侧，C在D左侧），若(1)求线段的长．(2)若点M，N分别为线段的中点，且，求线段的长；(3)当运动到某一时刻时，点D与点B重合，点P是线段延长线上任意一点，则是一个定值，请加以说明． 【答案】(1)(2)(3)见解析． 【分析】（1）根据非负数的性质求出m、n的值即可得到答案；（2）分点C在点B左侧和右侧两种情况讨论求解即可；（3）先根据线段和差关系证明，再由即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴，∴，∴，∴ （2）解：分两种情况讨论：①当点C在点B右侧时，如图所示： ∵点M，N分别为线段的中点， ∴，． ∴； ②当点C在点B左侧时，如图所示： ∵点M，N分别为线段的中点，∴，， ∴；综上所述，； （3）解：定值为2，说明如下： 点D与点B重合，点P是线段延长线上任意一点，如图所示： ∴，∵，∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了非负数的性质，线段的和差关系，利用分类讨论的思想求解是解题的关键，． 例2．（23-24七年级上·福建福州·阶段练习）如图1，已知直线l上从左往右依次有A，B，C，D四点，其中，，且m，n满足． (1)填空：__________，__________； (2)如图2，M，N分别为线段的中点，线段以每秒4个单位长度向右运动． ①若线段以每秒l个单位长度也向右运动，当运动6秒后，，求运动前线段的长； ②若线段固定不动，且运动前．已知在线段向右运动的某一个时间段内，始终有为定值，请求出这个定值，并直接写出为定值时所持续的时间长度． 【答案】(1)4，8 (2)①或8；②定值为6，当时，为定值 【分析】（1）根据非负数的性质即可得到结论； （2）①若6秒后，在点左边时，若6秒后，在点右边时，根据题意列方程即可得到结论； ②根据题意分类讨论于是得到结果． 【详解】（1）解：，，，，，故答案为4，8； （2）解：由（1）可知：，， ∵M，N分别为线段的中点，∴， ∴若6秒后，在点左边时，由， 即，解得：， 若6秒后，在点右边时，则， 即，解得：， ②运动秒后，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，为定值． 【点睛】本题主要考查了非负数的性质，一元一次方程的应用以及数轴和两点间的距离等知识，解答本题的关键是掌握两点间的距离公式，解答第三问注意分类讨论思想，此题难度不大． 例3．（23-24七年级上·江西抚州·期中）如图，在数轴上A点表示数a，B点示数b，C点表示数c，b是最小的正整数，且a，c满足．    (1)______，______，______． (2)点P从点A出发，以秒的速度沿数轴向右匀速运动，点Q从点C出发，沿数轴向左匀速运动，两点同时出发，当点Q运动到点A时，点P，Q停止运动．当时，点Q运动到的位置恰好是线段的中点，求点Q的运动速度；（注：点O为数轴原点） (3)在（2）的条件下，当点P运动到线段上时，分别取和的中点E，F．请问：的值是否随着时间t的变化而变化？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【答案】(1)，1，7(2)点Q的运动速度是或者(3)不变，值为2 【分析】（1）根据绝对值的非负性以及平方的非负性，得，的值，结合b是最小的正整数，即可得的值；（2）先求出点Q，此时，再进行分类讨论，当点P在上时或当点P在上时，根据线段之间的和差关系以及路程等于时间乘速度等知识进行列式，即可作答；（3）易得，，根据线段之间的和差关系得，再代入，化简即可作答． 【详解】（1）解：因为所以， 因为b是最小的正整数，所以； （2）解：∵点Q运动到的位置恰好是线段OA的中点， ∴点Q表示的数是，此时，由，可分两种情况： ①当点P在上时，得，此时； ∴点P运动的时间为，∴点Q的运动速度； ②当点P在上时，得，此时， ∴点P的运动时间是，∴点Q的运动速度， 综上，点Q的运动速度是或者； （3）解：不变，理由如下：设运动时间为t秒，此时，， ∵点E是的中点，∴，∵点F是的中点，，∴， ∴，∴． 【点睛】本题考查了绝对值的非负性以及在数轴上表示有理数，数轴上两点间的距离，数轴上的动点问题，线段之间的和差关系等知识内容，涉及分类讨论，难度适中，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 模型3.线段上动点问题中的存在性（探究性）模型 例1．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如图，直线上有A、B两点，，上有两个动点P、Q．点P从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿直线向右运动，同时点Q从点B出发，以每秒个单位长度的速度沿直线向右运动．设运动时间为（秒）． (1)请用含t的代数式表示线段的长．(2)当点B是线段的中点时，求t的值． (3)运动过程中，点P和点Q能否重合？若能重合，几秒后重合？ (4)运动过程中，线段与线段的长度能否相等？若能相等请求出t值，若不能请说明理由． 【答案】(1)当时，；当时，(2)(3)能重合，(4) 【分析】（1）根据题意，点P每秒个单位长度，点P运动到点B需要用时间为，当时，秒过后，点P运动的路程为，结合，得，得到；当时，秒过后，点P运动的路程为，结合，得，得到即．（2）设点P、Q出发t秒钟后，点B是线段的中点．根据题意得到等量关系：列式计算即可； （3）假设点P、Q出发t秒钟后，点P和点Q重合，则，列式计算即可； （4）需要分类讨论：当点P在点Q左侧和右侧两种情况下的t的值． 【详解】（1）解：根据题意，点P的速度为每秒个单位长度，点P运动到点B需要用时间为，当时，秒过后，点P运动的路程为， ∵，∴，∴； 当时，秒过后，点P运动的路程为， ∵，，∴即． （2）解：根据题意，点P每秒个单位长度，点P运动到点B需要用时间为， 当时，秒过后，点P运动的路程为， ∵，∴，∴； ∵点Q从点B出发，以每秒个单位长度的速度沿直线向右运动． ∴秒过后，点Q运动的路程为， ∵点B是线段的中点．∴，∴，解得， 即点P、Q出发秒钟后，点B是线段的中点． （3）解：假设点P、Q出发t秒钟后，点P和点Q重合，则， ∴．解得：；故点P、Q出发秒钟后，点P和点Q重合． （4）解：当点P在点Q左侧时，线段与线段的长度不可能相等． 当点P在点Q右侧时，设点P、Q出发t秒钟后，线段与线段的长度相等，根据题意，得，解得：．当时，线段与线段的长度相等． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，线段的中点，线段的和差，数轴，列代数式，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 例2．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）【阅读材料】若数轴上两点A、B所表示的数分别为a和b（点A在点B的左侧），则有①A、B两点的中点表示的数为；②A、B两点间的距离为． 【解决问题】数轴上两点A、B所表示的数分别为a和b，且满足， （1）直接写出A、B两点的中点C表示的数为______； （2）若数轴上有一点D，且，则点D在数轴上对应的数为______； 【拓展思考】若数轴上两点A、B所表示的数分别为a和b（点A在点B的左侧），点C为线段上一点（点C不与A、B重合），当时，称点C为线段的左三等分点；当时，则称点C为线段的右三等分点． （3）①如图，若点C为线段的左三等分点，则点C表示的数为：______；（用含a、b的代数式表示）， ②在【解决问题】（1）的条件下，点F以每秒1个单位的速度从原点O出发向右运动，同时，点M从点A出发以每秒3个单位的速度向左运动，点N从点B出发，以每秒6个单位的速度向右运动，点P为线段的左三等分，点Q为的中点．设运动时间为t秒，试探究下列结论：随着t的变化，是否存在m，使得的值为定值，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）3  （2）或11；（3）①；②存在，，理由见解析 【分析】本题考查了数轴上两点间距离，数轴上线段的中点对应的数的表示，数轴上动点的问题，绝对值得非负性的应用，一元一次方程的应用，熟练利用一元一次方程解决数轴上动点问题是解题关键． （1）利用绝对值，乘方的非负性求出a，b值的大小再利用题中给出的方法求出结果即可； （2）由题意可知，D点可能在A点左侧，也可能在B点右侧，根据列出方程求解即可； （3）①设C点为m，则为，为，根据点C为线段的左三等分点，列式结算即可；②由题意得， ， ，，，，得出，，，根据的值为定值，进行求解即可． 【详解】解：，且，，， A、B两点的中点表示的数为，故答案为：； （2）设点D表示的数为x，∵ 当点D在点A左边时，，解得：， 当点D在点B右边时，，解得：，点为或11； （3）①设C点为m，则为，为， 点C为线段的左三等分点，， ∴，解得，点C表示的数为； ②存在．理由如下：由题意得，，，，，， ，，，， 随着t的变化，上式的值为定值，  解得． 例3．（23-24七年级上·陕西宝鸡·阶段练习）已知在数轴上有A，B两点，点A表示的数为，点B表示的数为6．若动点M从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时动点N从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t秒． (1)当时，点M表示的数是____________，点N表示的数是____________；(2)当时，求t的值； (3)若点C为的中点，点D为的中点，当点M、N在线段上运动，且点M在点N的左侧时，试猜想与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，4(2)t的值为3或5(3)，理由见详解 【分析】（1）根据点的的运动列式即可求解； （2）分别表示点M表示的数为，点N表示的数为，分点M在点N左侧和点M在点N右侧两种情况分类列出方程，解方程即可求解；（3）当点M在点N的左侧时，，，即可求出，，根据中点定义得到，，，进而得到，即可得到，整理得到． 【详解】（1）解：当时，点M表示的数是，点N表示的数是． 故答案为：，4； （2）解：由题意得，点M表示的数为，点N表示的数为， 当点M在点N左侧时，，解得； 当点M在点N右侧时，，解得．所以当时，求t的值为3或5； （3）解：．证明：如图，当点M在点N的左侧时，，， 所以，所以， 因为点C为的中点，点D为的中点，所以，， 所以，所以， 所以，所以． 【点睛】本题考查了数轴上点的运动，一元一次方程的应用，与中点有关的线段的计算等知识，根据题意用含t的式子表示点表示的数和线段的长度是解题关键． 模型4.阅读理解型（新定义）模型 例1．（23-24七年级上·山东烟台·期中）如图1，点C在线段上，图中有三条线段，分别为线段和，若其中一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段的“巧点”． (1)线段的中点______这条线段的“巧点”，线段的三等分点_______这条线段的“巧点”（填“是”或“不是”）； (2)若线段，点C为线段的“巧点”，则_______； (3)如图2，已知．，动点P从点A出发，以的速度沿向点B运动，点Q从点B出发，以的速度沿向点A运动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设运动的时间为t秒，当t为何值时，点P为线段的“巧点”？并说明理由． 【答案】(1)是；是(2)或或(3)或或，理由见解析 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，线段中点的有关计算，解题的关键是理解题意，注意进行分类讨论．（1）根据线段“巧点”的定义进行判断即可；（2）根据点C为线段的中点或三等分点时，点C是线段的“巧点”进行解答即可；（3）分三种情况：当时，当时，当时，分别列出方程求出结果即可． 【详解】（1）解：根据“巧点”定义可知，线段的中点是这条线段的“巧点”，线段的三等分点是这条线段的“巧点”；故答案为：是；是． （2）解：∵当点C为线段的中点或三等分点时，点C是线段的“巧点”， ∴，或，或． 故答案为：或或． （3）解：由题意得：，，，t的范围应该在秒之间， ∵点P为的巧点，∴点P应该在点Q的左边，t的范围应该在秒之间， 当时，P为的巧点，∴ ，解得：； 当时，P为的巧点，∴，解得：； 当时，P为的巧点，∴ ，解得：； 所以当t为或或时，点Р为线段的“巧点”． 例2．（2023秋·湖南岳阳·七年级统考期末）材料阅读：当点C在线段上，且时，我们称n为点C在线段上的点值，记作．如点C是的中点时，则，记作；反过来，当时，则有．因此，我们可以这样理解：与具有相同的含义． 初步感知：(1)如图1，点C在线段上，若，则_______；若，则_______； (2)如图2，已知线段，点P、Q分别从点A和点B同时出发，相向而行，运动速度均为，当点P到达点B时，点P、Q同时停止运动，设运动时间为．请用含有t的式子表示和，并判断它们的数量关系． 拓展运用：(3)已知线段，点P、Q分别从点A和点B同时出发，相向而行，若点P、Q的运动速度分别为和，点Q到达点A后立即以原速返回，点P到达点B时，点P、Q同时停止运动，设运动时间为ts．则当t为何值时，等式成立． 【答案】(1)，(2)；； (3)存在t为4或，使等式成立 【分析】（1）根据材料阅读，即可求解；（2）根据材料阅读，可表示和，即可求解；（3）分两种情况：当点Q到达点A之前时，当点Q到达点A返回时，结合，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：，∵，∴，故答案为：， （2）解：∵，∴，∵∴， ∴，∴； （3）解：当点Q到达点A之前时， ∵∴， ∵∴，∴， ∵，∴，         解得：； 当点Q到达点A返回时，此时，∴ ∵，∴，∵∴   ∴                              ∴存在t的值为4或，使等式成立． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，理解新定义是解题的关键． 例3．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）如图1，数轴上A，B两点表示的数分别是和3，将这两点在数轴上以相同的速度同时相向运动，若A，B分别到达M，N两点（我们用表示以点A、点B为端点的线段的长，、表示的含义以此类推），且满足（k为正整数），我们称两点完成了一次“准相向运动”．如图2若它们按照原来的速度和方向继续运动，分别到达，两点，且满足（k为正整数）我们称两点完成了二次“准相向运动”…． (1)若A，B两点完成了一次“准相向运动”．①当时，M，N两点表示的数分别为 、 ； ②当k为任意正整数时，求M，N两点表示的数；(2)如图2所示，若A，B两点完成了两次“准相向运动”，并分别到达，两点，若k不变，求，两点所表示的数（用含k的式子表示）； (3)若A，B两点完成了n次“准相向运动”，并分别到达两点，当时是否存在点，使其表示的数为65？如果存在，求完成的次数n和此时点所表示的数；如果不存在，说明理由． 【答案】(1)①5，；②M点为，N点为 (2)为，为(3)存在，n为5，为 【分析】（1）①由题意可得，从而得到，再由，可得，即可求解；②根据，可得，即可． （2）由（1）中②可得两点的值，再进行一次“准相向运动”计算，根据点和也关于中点1对称，且k值不变即可求解．（3）根据题意可得，根据，可得点，到的中点的距离相等，从而表达出对应和的值，从特殊取值过程中，研究n和点以及点的关系，总结出一般规律进行解题． 【详解】（1）解：①∵A点和B点的速度相同，时间也相同，那么运动路程也相同， ∴．∴．∴． ∵数轴上A，B两点表示的数分别是和3，∴， 又∵，， ∴M点为5，N点为，故答案为：5，． ②∵A点和B点的速度相同，时间也相同，那么运动路程也相同， ∴．∴．∴． ∵数轴上A，B两点表示的数分别是和3， ∴，且中点所对应的数为1， 又∵，∴中点所对应的数也为1， ∵，， ∴M点为，即，N点为，即； （2）解：由（1）中②可得M点为，N点为，点和也关于中点1对称， ∴．∴， ∴．∴为，为． （3）解：存在，理由：∵，A，B两点完成了n次“准相向运动”， ∴， ∵数轴上A，B两点表示的数分别是和3，∴的中点所表示的数为1， ∵A点和B点的速度相同，时间也相同，那么运动路程也相同， ∴．∴．∴，∴点，到的中点的距离相等， 当n为1时，根据（1）得：此时点为5，为， 当n为2时，为，为， 当n为3时，为，为， 当n为4时，为，为， 以此类推发现n为奇数时，为正数，而正数的规律是， 令，∴， ∴，∴． ． 当表示的数为65时，，解得：． 又∵和关于1对称，∴为． 答：存在次数n使得为65，此时n为5，为． 【点睛】本题考查列代数式的表达能力，数轴上表示数，利用数轴上线段中点解决相关问题，乘方，数的规律总结能力以及数轴相关知识运用，难度偏大，利用数形相结合是解题的关键． 1．（23-24七年级上·四川广元·期末）已知有理数a，b满足∶ ．如图，在数轴上，点O是原点，点A所对应的数是a，线段在直线上运动(点B在点C的左侧)，且，下列结论：    ①，； ②当点B与点O重合时，；③当点C与点A重合时， 若点P是线段延长线上的点， 则；④在线段运动过程中，若M为线段的中点，N 为线段的中点，则线段的长度不变． 其中正确的有（       ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查数轴的性质，解题关键是掌握数轴上两点之间的距离公式，线段中点的含义．根据平方式和绝对值的非负性求出，，即可判断①结论；根据点B与点O重合时，得到点C表示的数为2，即可判断②结论；设点P对应的数是x，根据数轴上两点之间距离公式得出，，，即可判断③结论；设B表示的数为c，则C表示的数为， 根据中点定义可求M表示的数为，N表示的数为，然后数轴上两点间距离公式求出，即可判断④结论． 【详解】解：∵， ∴，，∴，，故①正确；∴， 当点B与点O重合时，点B在点C的左侧，∴C对应的数是2，∴，故②错误； 当点C与点A重合时，点C对应的数是4，点B对应的数是2， 设点P对应的数是x，则，，， ∴，故③正确； 设B表示的数为c，则C表示的数为， ∵M为线段的中点，∴M表示的数为， ∵N为线段的中点，A表示的数是4，∴N表示的数为 ∴，故④正确，∴正确的是①③④，故选：C． 2．（2023秋·河北邢台·七年级统考期末）已知长方形中，，，动点从点出发沿以每秒2个单位的速度运动；同时，点也从点出发以每秒3个单位的速度沿运动，当其中一个点到达终点时另一个点也随之停止运动． 设运动时间为秒．    （1）当点到达终点时，点在边 ；（2）当点在边上运动时，用表示的式子为 ； （3）点、相遇时， 秒． 【答案】 7.2 【分析】（1）由题意知，点从，运动时间为秒，点从，运动时间为秒，由，可知当点到达终点时，点运动路程为，由，可判断点的位置； （2）由题意知，；（3）由题意知，，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，点从，运动时间为秒， 点从，运动时间为秒， ∵，∴当点到达终点时，点运动路程为， ∵，∴点在边上，故答案为：； （2）解：由题意知，，故答案为：； （3）解：由题意知，，解得，，故答案为：7.2． 【点睛】本题考查动点，列代数式，一元一次方程的应用．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 3．（23-24七年级上·浙江绍兴·期中）电子跳蚤游戏盘(如图)为三角形，如果电子跳蚤开始时在边的点，，第一步跳蚤从跳到边上点，且；第二步跳蚤从跳到边上点，且；第三步跳蚤从跳回到边上点，且；…跳蚤按上述规则跳下去，第n次落点为，则与C之间的距离为 ． 【答案】5 【分析】本题首先根据题意，分别计算电子跳骚的位置和三角形的顶点的距离，找到循环的规律：经过6次跳，电子跳蚤回到起跳点．根据这一规律确定第2022次落点的位置，可得答案． 【详解】解：∵，∴，∴，∵，∴， ∵，∴，∴，∴， ∴，∴，∴， 此时与重合，即经过6次跳，电子跳蚤回到起跳点． ∵，即与重合，∴与C之间的距离为．故答案为：5 【点睛】本题考查了规律型：此题主要是能够根据题意利用线段的和差计算出有关线段的长，发现电子跳蚤的落点的循环规律，掌握由特殊到一般推导规律是解题的关键． 4．（23-24九年级下·河北廊坊·阶段练习）如图，点是线段上一点，这样，图中共有三条线段，，若其中一条线段是另一条线段的两倍，则称点是线段的“两倍分点” （1）线段中点 （选填“是”或“不是”）这条线段的“两倍分点”； （2）若，点从点开始，以每秒1个单位的速度沿射线运动，设运动时间为且．则 时，点是线段的“两倍分点”． 【答案】 是 ，12，18 【分析】本题考查线段之间的数量关系，与线段中点有关的计算： （1）根据中点的性质以及“两倍分点”的定义，进行判断即可； （2）分四种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：（1）一条线段的中点把这条线段分成相等的两部分，这条线段是每一部分的2倍，所以一条线段的中点是这条线段的“两倍分点”，故答案为：是； （2）∵，点从点开始，以每秒1个单位的速度沿射线运动，∴， ∵点是线段的“两倍分点”∴点在线段上，∴， 当点运动到点时，所需时间为秒，∴， 当时：，解得：； 当时：，解得：； 当时：； 当时：，解得：；故答案为：，12，18． 5．（23-24七年级上·贵州贵阳·期末）如图，点A，B，C在直线上，已知A，B两点间的距离为24个单位长度，点位于A，B两点之间，且到点的距离为15个单位长度，点P，Q分别从A，B两点同时出发，沿直线向右运动，点的速度是3个单位长度，点的速度是1个单位长度，设运动时间为，在运动过程中，当点P，Q，C这三点中恰好有一点是以另外两点为端点的线段的中点时，满足条件的值为 ．    【答案】或或33 【分析】分点为的中点，点为的中点，为的中点，三种情况进行讨论求解． 【详解】解：∵，∴， ①当点为的中点时，，解得：； ②当点为的中点时，，解得：； ③当为的中点时，，解得：； 综上：或或；故答案为：或或33 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，与线段中点有关的计算．解题的关键是读懂题意，利用分类讨论的思想，正确的列出方程． 6．（2022·河南·郑州中学七年级期末）如图，点C是线段AB上的一点，线段AC＝8m，．机器狗P从点A出发，以6m/s的速度向右运动，到达点B后立即以原来的速度返回；机械猫Q从点C出发，以2m/s的速度向右运动，设它们同时出发，运动时间为xs．当机器狗P与机械猫Q第二次相遇时，机器狗和机械猫同时停止运动． (1)BC＝______m，AB＝______m；(2)试通过计算说明：当x为何值时，机器狗P在点A与机械猫Q的中点处？(3)当x为何值时，机器狗和机械猫之间的距离PQ＝2m？请直接写出x的值． 【答案】(1)16，24． (2)当x=，即运动秒时，机器狗P在点A与机械猫Q的中点处． (3)当x=或x=或x=，即运动x=或x=或x=秒时，机器狗和机械猫之间的距离PQ=2m． 【分析】（1）由且AC=8cm得8+BC=，先求出BC的长，然后再求出AB的长即可； （2）先确定机器狗P在点A与机械猫Q的中点处只存在一种情况，即机器狗P与机械猫Q第一次相遇之前，再根据线段AP=AQ列方程求出x的值即可； （3）分三种情况，一是点P在线段AQ上，可根据AP+2=AQ列方程求出x的值；二是点P在线段BQ上且点P到达点B之前，可根据AP-2=AQ列方程求出x的值；三是点P在线段BQ上且点P从点B返回时，可根据2AB减去点P运动的距离等于AQ+2列方程求出x的值即可． (1)解：∵，AB=AC+BC，AC=8m， ∴8+BC=，解得：BC=16m，∴AB=×16=24m．故答案为：16，24． (2)解：由题意可得：：机器狗P在点A与机械猫Q的中点处只存在一种情况，即机器狗P与机械猫Q第一次相遇之前，∴6x={8+2x），解得x=． 答：当x=，即运动秒时，机器狗P在点A与机械猫Q的中点处． (3)解：当点P在线段AQ上且PQ=2m时，则6x+2=8+2x，解得x=； 当点P在线段BQ上且PQ=2m时，则6x-2=8+2x或24×2-6x=8+2x+2，解得x=或x=． 答：当x=或x=或x=，即运动x=或x=或x=秒时，机器狗和机械猫之间的距离PQ=2m． 【点睛】本题主要考查了解一元一次方程、一元一次方程的应用、线段上的动点问题的求解等知识点，正确地用含x的代数式表示线段A P和AQ的长是解答本题的关键. 7．（2022·贵州黔西·七年级期末）已知点在线段上，，点、在直线上，点在点的左侧．若，，线段在线段上移动．(1)如图1，当为中点时，求的长；(2)点（异于，，点）在线段上，，，求的长． 【答案】(1)7(2)3或5 【分析】（1）根据，，可求得，，根据中点的定义求出BE，由线段的和差即可得到AD的长．（2）点F（异于A，B，C点）在线段AB上，，，确定点F是BC的中点，即可求出AD的长． (1)，，，， 如图1，为中点，， ，∴，∴， (2)Ⅰ、当点在点的左侧，如图2， 或 ∵，，点是的中点， ∴，∴，∴， ∵，故图2（b）这种情况求不出； Ⅱ、如图3，当点在点的右侧， 或 ，，∴，∴，． ∵，故图3（b）这种情况求不出；综上所述：的长为3或5． 【点睛】本题考查了两点间的距离，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答的关键．本题较难，需要想清楚各种情况是否存在． 8．（2022·重庆七年级期中）如果一点在由两条公共端点的线段组成的一条折线上且把这条折线分成长度相等的两部分，这点叫做这条折线的“折中点”．如图，点D是折线A﹣C﹣B的“折中点”，请解答以下问题： （1）当AC＞BC时，点D在线段　 上； 当AC＝BC时，点D与　 　重合；当AC＜BC时，点D在线段　 　上； （2）若AC＝18cm,BC＝10cm,若∠ACB=90°,有一动点P从C点出发，在线段CB上向点B运动，速度为2cm/s, 设运动时间是t（s）, 求当t为何值，三角形PCD 的面积为10？ （3）若E为线段AC中点，EC＝8cm，CD＝6cm，求CB的长度． 【答案】（1）AC，C，BC； (2) s；（3）CB的长度是4 cm 或28cm. 分析：（1）根据图形及阅读材料所给的信息直接填空即可；(2)如图4，先表示PC=2t，由折中点的定义得AD=14，根据三角形的面积公式列式可求t的值；（3）分当点D在线段AC上与BC上两种情况求解即可. 【解析】(1)当AC>BC时，如图1，点D在线段AC上； 当AC=BC时，如图2，点D与C重合； 当AC<BC时，如图3，点D在线段BC上； 因此，本题正确答案是：AC，C，BC. （2）如图4，根据题意得：PC=2t，∵AC=18，BC=10 cm，∴AC+BC=18+10=28 cm， ∵D点是折中点，∴AD=14cm，∴CD=18-14=4cm， ∵∠ACB=90°，∴，即，解得， 则当t为秒时，三角形PCD的面积为10cm2； (3)分两种情况：①点D在线段AC上时，如图5， ∵E为线段AC中点,EC=8 cm, ∴AC=2CE=16cm，∵CD=6cm，∴AD=AC-CD=16-6=10cm， ∵D为折中点，∴AD=CD+BC，∴BC=AD-CD=10-6=4cm； ②点D在线段BC上,如图6, ∵E为线段AC中点，EC=8cm，∴AC=2CE=16cm， ∴AD=AC+CD=16+6=22cm， ∴BD=AC+CD=22cm， ∴BC=BD+CD=22+6=28cm. 综上所述，CB的长度是4 cm 或28 cm. 9．（23-24七年级上·广东佛山·期末）综合应用：运动的变化是永恒不变的规律，正如生命中的变幻无常中蕴含着永恒的真理一样．在运动的变化中，往往可以发现不变的规律和智慧，从变化中寻找不变的价值和意义，启迪我们用数学的思维思考问题背后的数理逻辑，从而培养自己的数学思维和逻辑推理能力． 已知点、、是直线上三个点（点在点左侧），点、分别是，的中点 (1)特例探究：如图，当点在线段上，且时，求的长度．(2)一般猜证：若，求线段的长度．(3)归纳结论：经历了上述探究过程，请你用简短的文字概括上述探究得到的结论． 【答案】(1)；(2)；(3)直线上任意一点与直线上两定点所成线段中点间的距离等于两定点距离的一半． 【分析】此题考查了线段的和差、线段中点的相关计算，弄清各线段之间的数量关系是解题的关键． （）根据点，分别是的中点，，即可得到； （）分点在射线上、点在线段上以及点在射线上三种情况，利用中点及线段和差的关系讨论求解即可； 【详解】（1）解：点、分别是，的中点．， ∵，，的长度为； （2）解：当点在射线上时， 点、分别是，的中点． ， ∵，，的长度为； 当点在线段上时， 点、分别是，的中点． ， ∵，，的长度为； 当点在射线上时， 点、分别是，的中点． ， ∵，， 的长度为；综上，的长度为； （3）解：由（2）可知直线上任意一点与直线上两定点所成线段中点间的距离等于两定点距离的一半． 10．（23-24七年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知如图数轴上有三点、、，，点对应的数是20．①若，求点对应的数；②在①的条件下，动点、分别从、两点同时出发向左运动，同时动点从点出发向右运动，点、、的速度分别为10单位长度每秒、5单位长度每秒、2单位长度每秒，点为线段的中点，点为线段的中点，求它们运动多少秒时恰好满足； ③在①的条件下，若点、对应的数分别为、0，动点、分别从、两点同时出发向左运动，点、的速度分别为10单位长度每秒、5单位长度每秒，点为线段的中点，点在从是点运动到点的过程中，的值是否发生变化？若不变，求其值；若变化，请说明理由． 【答案】①点对应的数为：；②当秒或60秒时恰好满足；③不变，值为30． 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，根据已知得出各线段之间的关系等量是解题关键，此题阅读量较大应细心分析．①根据，，得出，利用点对应的数是20，即可得出点对应的数；②设秒时，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，分两种情况讨论，得出方程求出即可；③假设经过的时间为，得出，，进而得出的长为，得出原题得证． 【详解】解：①，，所以， 点对应20，点对应的数为：； ②设秒时，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ∴点表示的数为，点表示的数为， 当在右边时，恰好满足，，解得：； 当在左边时，恰好满足，，解得：； ∴当秒或60秒时恰好满足； ③的值不发生变化．理由如下：设经过的时间为，则，， 于是长为，长的一半则是， 所以长为：，又，所以为定值． 11．（23-24七年级上·辽宁大连·期末）已知式子是关于x的二次多项式，且二次项的系数为b，在数轴上有点A、B、C三个点，且点A、B、C三点所表示的数分别为a、b、c，，规定：数轴上表示数m和n的两个点为端点的线段中点的数为． (1)________；________．(2)若动点P、Q分别从C、O两点同时出发，向右运动，点P的速度为每秒2个单位长度，动点Q的速度为每秒3个单位长度，且点Q不超过点A．在运动过程中，点E为线段的中点，点F为线段的中点，求的值．(3)点P、Q分别自C、B同时出发，点P以每秒6个单位长度向右运动，点Q以每秒2个单位长度向左运动，运动的时间为t秒，若满足，求此时的时间t值． 【答案】(1)16，20(2)2(3)6 【分析】（1）二次多项式的定义判断计算即可．（2）设运动时间为t，则点表示的数为，点Q表示的数为，点E表示的数为，点F表示的数为，，，，分别代入求式子计算即可．（3）设运动时间为t，则点表示的数为，点Q表示的数为，，，两点相遇时间为，解得，当P运动到点A时，，解得，分类计算即可． 【详解】（1）式子是关于x的二次多项式，且二次项的系数为b， 所以解得．故答案为：16，20． （2）因为点A、B、C分别表示数16，20，-8，点E为线段的中点，点F为线段的中点， 设运动时间为t，则点表示的数为，点Q表示的数为，点E表示的数为，点F表示的数为，， ， 所以． （3）设运动时间为t，则点表示的数为，点Q表示的数为，，， 当两点相遇时间为，解得， 当P运动到点A时，，解得， 当时，，， 因为,所以，所以，不可能； 当时，，，， 所以不成立 不可能； 当时，，， 因为,所以，解得，不可能； 当时，，， 因为,所以，解得， 综上所述，此时的时间t为6． 【点睛】本题考查了数轴上的动点问题，多项式的系数与次数即多项式中次数最高的单项式的次数和系数，线段的中点，熟练掌握数轴上的两点之间的距离是解题的关键． 12．（23-24七年级上·湖北武汉·阶段练习）定义：若线段上的一个点把这条线段分成的两条线段，则称这个点是这条线段的三等分点，如图1，点C在线段上，且，则点C是线段的一个三等分点，显然，一条线段的三等分点有两个，依此类推，一条线段的四等分点有三个． (1)已知：如图2，，点P是的三等分点，直接写出_________； (2)已知，线段，如图3，点P从点A出发以每秒的速度在射线上向点B方向运动；点Q从点B出发，先向点A方向运动，当与点P重合后立马改变方向与点P同向而行且速度始终为每秒，设运动时间为t秒．①若点P、点Q同时出发，且当时，求t的值； ②若点P、点Q同时出发，且当点P是线段的四等分点时，直接写出t的值为______． 【答案】(1)30或15 (2)①4秒或14秒；②秒或秒或135秒 【分析】本题考查了线段n等分点的计算，一元一次方程的应用，分类讨论是解答本题的关键． （1）分、两种情况求解即可； （2）①分点P、点Q相遇前及点P、Q相遇后两种情况列方程求解即可； ②分点P、点Q相遇前及点P、Q相遇后两种情况列方程求解即可． 【详解】（1）当时，；当时，． 综上所述：的长为或．故答案为30或15； （2）①当点P、点Q相遇前，由题意得，，解得； 当点P、点Q相遇后，由题意得，，解得． 综上可知，t的值为4秒或14秒； ②当时，．点P、点Q相遇前， 当时，由题意，得，解得； 当时，由题意，得，解得； 点P、点Q相遇后，当时，由题意，得，解得； 当时，由题意，得，解得（舍去）； 综上可知，t的值为秒或秒或135秒．故答案为：秒或秒或135秒． 13.（2023春·福建福州·七年级统考开学考试）如图，已知，点C、D分别为线段、上的动点，若点C从点O出发以的速度沿方向运动，同时点D从点B出发以的速度沿方向运动．    (1)如图1，当运动时间为时，求的值；(2)如图1，若在运动过程中，始终保持，求OA的长；(3)如图2，在（2）的条件下，延长BO到点M，使，点P是直线OB上一点，且，求的值． 【答案】(1)(2)(3)或 【分析】（1）先求出，，根据，求出，，最后求出结果即可； （2）设运动时间为，则，，求出，，根据，得出，求出，再根据求出结果即可； （3）当点P在O、B之间时，根据，得出，，求出，根据求出，根据，得出，求出，最后求出比值即可；当点P在点B右边时，可得，进而可得结果． 【详解】（1）解：当运动时间为时，，， ∵，∴，∴， ∵，∴；    （2）解：设运动时间为，则，，∴，， ∵，∴，∴ ∵，∴，∴． （3）解：∵，∴，，， ∵，∴点P在点O右边， 当点P在O、B之间时，∴， ∵，∴，∴，∴．    当点P在点B右边时，∵，，∴，∴； 综上，或． 【点睛】本题主要考查了线段的和差运算，解题的关键是数形结合，根据线段之间的数量关系求出结果． 14．（2023秋·河北唐山·七年级统考期末）操作与探究：（1）已知：如图线段长为，点从点A以的速度向点运动，点运动时间为，则______，______ （2）已知：如图，在长方形中，，，动点以的速度从A点沿着运动，运动时间为，用含的式子表示______ 拓展与延伸：（3）已知：如图，在（2）的基础上，动点从点出发，沿着线段向点运动，速度为，、同时出发，运动时间为．其中一点到达终点，另一个点也停止运动．当点在上运动时，为何值时，？ 【答案】（1）；；（2）或；（3）11或13 【分析】(1)根据点P运动的速度及的长，即可解答； (2)根据点P运动的速度及、的长，即可解答； (3)分两种情况，列出方程即可分别求解． 【详解】解：（1）线段长为，点从点A以的速度向点运动， ，，故答案为：，； （2），，动点以的速度从A点沿着运动， 当点P在上时，，当点P在上时，， 故答案为：或； （3）当点在点的左边时，，即，，解得， 当点在点的右侧时，，，解得，故为11或13时，． 【点睛】本题考查了动点问题，列代数式，一元一次方程的应用，采用分类讨论的思想是解决本题的关键． 15．（23-24七年级·福建·期末）如图，已知，点C、D分别为线段、上的动点，若点C从点O出发以的速度沿方向运动，同时点D从点B出发以的速度沿方向运动．    (1)如图1，当运动时间为时，求的值；(2)如图1，若在运动过程中，始终保持，求OA的长；(3)如图2，在（2）的条件下，延长BO到点M，使，点P是直线OB上一点，且，求的值． 【答案】(1)(2)(3)或 【分析】（1）先求出，，根据，求出，，最后求出结果即可； （2）设运动时间为，则，，求出，，根据，得出，求出，再根据求出结果即可； （3）当点P在O、B之间时，根据，得出，，求出，根据求出，根据，得出，求出，最后求出比值即可；当点P在点B右边时，可得，进而可得结果． 【详解】（1）解：当运动时间为时，，， ∵，∴，∴， ∵，∴；       （2）解：设运动时间为，则，，∴，， ∵，∴，∴ ∵，∴，∴． （3）解：∵，∴，，， ∵，∴点P在点O右边， 当点P在O、B之间时，∴， ∵，∴，∴，∴． 当点P在点B右边时，∵，， ∴，∴；综上，或． 【点睛】本题主要考查了线段的和差运算，解题的关键是数形结合，根据线段之间的数量关系求出结果． 16．（23-24七年级上·湖南长沙·阶段练习）材料阅读：对线段而言，当点在线段上，且点是的中点时，有，反过来，当有时，则点为线段的中点． (1)如图1，点在线段上，若，则______；若，则______； (2)如图2，已知线段，点分别从点和点同时出发，相向而行，点的运动速度为，点的运动速度为，若它们相遇则点同时停止运动．线段的中点为点，线段的中点为点，运动时，求两中点之间的距离； (3)已知线段，点分别从点和点同时出发，相向而行，若点的运动速度分别为和，点到达点后立即以原速返回，点到达点时，点同时停止运动，设运动时间为s，则当为何值时，等式成立？ 【答案】(1)，(2)之间的距离(3)或时，等式成立 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，线段中点等知识．运动过程中用含的式子表达线段的长度是解决本题的关键．（1）用含式子表示，即可求解；（2）由题意先求和，根据中点定义求出和，即可求得的距离；（3）分两种情况：当点到达点之前时，当点到达点返回时，分别表示、，代入题中等式，即可求出时间． 【详解】（1）解：，， 又，，． （2）如图， 点的运动速度为，点的运动速度为，运动时间为， ，， 又、是线段、的中点，，， ． （3）当点到达点之前时，即时， 由题意得，，，， 又，，解得：； 当点到达点返回时，即时，由题意得，，， 又，，解得：， 综上所述，当或时，等式成立． 17．（23-24七年级上·湖南永州·期末）如图，数轴上点M表示的数为m，点N表示的数为n，且．      (1)______，______；(2)P为数轴上的动点，设Q为的中点，点P从点M向左运动时，请探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)， (2)当点P在线段上时，；当点P在点N左侧，点Q在线段上时，；当点P、点Q均在点N左侧时，，理由见详解 【分析】本题考查了绝对值的非负性，线段的中点、和差的计算， （1）根据几个非负性项之和为0，则每一个非负性均为0，据此即可求解； （2）分当点P在线段上时；当点P在点N左侧，点Q在线段上时；当点P、点Q均在点N左侧时，三种情况讨论，画出图形，根据线段的中点、和差即可计算求解． 【详解】（1）∵，又∵，， ∴，，∴，，故答案为：，； （2）当点P在线段上时，；当点P在点N左侧，点Q在线段上时，；当点P、点Q均在点N左侧时，，理由如下：设点P表示的数为x， ∵，，∴， 当点P在线段上时，如图，    ∵点P表示的数为x，点N表示的数为，点M表示的数为， ∴，，∴， ∵Q为的中点，∴， ∴， ∴，∴； 当点P在点N左侧，点Q在线段上时，即，如图，    ∴，，∴， ∵Q为的中点，∴，且， ∴，则：，∴， ∴，∴， ∵，∴，∴； 当点P、点Q均在点N左侧时，如图，    ∴，，∴， ∵Q为的中点，∴，且，∴， ∴，∴， ∴， 综上所述：当点P在线段上时，；当点P在点N左侧，点Q在线段上时，；当点P、点Q均在点N左侧时，． 18．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）如图，点A、点B在数轴上分别表示数a、b，则A、B两点之间的距离表示为． 【探索新知】如图1，点C将线段分成和两部分，若，则称点C是线段的圆周率点，线段称作互为圆周率伴侣线段 (1)若，则______； (2)若点D也是图1中线段的圆周率点（不同于C点），则______（填“<”、“”、“>”） 【深入研究】如图2，现有一个直径为1个单位长度的圆片，将圆片上的某点与数轴上表示1的点重合，并把圆片沿数轴向右无滑动地滚动1周，该点到达点C的位置 (3)若点M、N均为线段的圆周率点，求线段的长度； (4)在图2中，点P、Q分别从点O、C位置同时出发，分别以每秒3个单位长度、每秒2个单位长度的速度向右匀速运动，运动时间为t秒．当点P在点C左侧时，P、C、Q三点中某一点为其余两点所构成线段的圆周率点，请求出t的值 【答案】(1)(2)(3)(4)或 【分析】（1）根据线段之间的数量关系代入解答即可；（2）根据线段的圆周率点的定义及相关线段的大小比较即可解题；（3）由题意可知，点C表示的数是，设M点离O点近，且，根据题意可得关于x的一元一次方程，求解即可；（4）根据题意分类讨论计算即可：①点P在点C左侧，；②点P在点C左侧，． 【详解】（1）解：由题意得，∴，∵，∴； （2）解：如图，∵， 当时，，，即点也是图1中线段的圆周率点， 与的数量关系是相等；故答案为：； （3）解：由题意可知，点C表示的数是， ∵点M、N均为线段的圆周率点，不妨设M点离O点近，且， ∴，∴，解得：， ∴，∴； （4）解：由题意可知，点P、C、Q所表示的数分别为：， 当P、C、Q三点中某一点为其余两点所构成线段的圆周率点时， ①如图①，点P在点C左侧， ∵，，∴； 如图②，点P在点C左侧， ∵，∴，∴； 综上所述，t的值为或． 【点睛】本题考查了一元一次方程在新定义类动点问题中的应用，有一定综合性，通过数形结合并分类讨论，是解题的关键． 19．（2024·江苏·七年级校考阶段练习）【概念与发现】当点C在线段AB上，时，我们称n为点C在线段AB上的“点值”，记作． 例如，点C是AB的中点时，即，则；反之，当时，则有． 因此，我们可以这样理解：“”与“”具有相同的含义． 【理解与应用】(1)如图，点C在线段AB上．若，，则________； 若，则________AB． 【拓展与延伸】(2)已知线段，点P以1cm/s的速度从点A出发，向点B运动．同时，点Q以3cm/s的速度从点B出发，先向点A方向运动，到达点A后立即按原速向点B方向返回．当P，Q其中一点先到达终点时，两点均停止运动．设运动时间为t（单位：s）．①小王同学发现，当点Q从点B向点A方向运动时，的值是个定值，则m的值等于________；②t为何值时，． 【答案】(1)，(2)①3；②2或6 【分析】（1）根据“点值”的定义即可得出答案； （2）①设运动时间为t，再根据的值是个定值即可得出m的值； ②分点Q从点B向点A方向运动时和点Q从点A向点B方向运动时两种情况加以分析即可 【详解】（1）解：∵，，∴∴，∵，∴ （2）解：①设运动时间为t，则AP=t，AQ=10-3t，则， ∵的值是个定值，∴的值是个定值，∴m=3 ②当点Q从点B向点A方向运动时，∵∴∴t=2 当点Q从点A向点B方向运动时，∵∴∴t=6∴t的值为2或6 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，理解新定义，并能运用是本题的关键． 20.（23-24七年级上·江苏泰州·期中）如图1，已知数轴上从左向右依次有四点、、、，其中，点对应的数是． (1)若，则点对应的数是______； (2)如图2，在（1）的条件下，若一小球甲在数轴上从点处以单位/秒的速度向右运动，同时另一小球乙从点处以单位/秒的速度向左运动，当甲乙两小球开始运动时，立即在点和点处各放一块挡板，其中，当球在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为秒，问：为何值时，甲、乙两小球之间的距离为个单位． (3)在（2）的条件下，将线段、分别绕点、点竖直向上折起，连接线段，围成如图3的长方形中，点从点出发，以单位/的速度沿点－－－匀速运动，最终到达点．设点运动时间为秒，问：为何值时，的面积为？ 【答案】(1)(2)或(3)或 【分析】（1）根据，，得到，再利用两点之间的距离公式即可求解； （2）由题意可得甲、乙碰到板子的时间均为，分为碰板前后两种情况讨论，①甲、乙碰到板子前（），得到，解得，符合题意；②甲、乙碰到板子后（），得到，解得，符合题意，由此即可解答；（3）先分别计算出当点运动到点、、时的时间值，再分类讨论当运动到、、上的情况，根据面积公式列方程求出时间即可． 【详解】（1），， ，， 点对应的数是，点对应的数是，故答案为：； （2），，即， 由题意可得甲、乙碰到板子的时间均为，分类讨论，分为碰板前后两种情况， ①甲、乙碰到板子前（），甲距离点：，乙距离点：， 解得：，，符合题意； ②甲、乙碰到板子后（）甲与点的距离为：，乙与点的距离为：， ，解得：，，符合题意， 综上所述，或为时，甲、乙两小球之间的距离为个单位； （3）当点运动到点时，， 当点运动到点时，，当点运动到点时，， ①当点在运动时， ，， 即，解得：，符合题意；        ②当点在运动时，，， 由（2）得，， 即，解得：，符合题意； ③当点在运动时，，， ，即，解得：，不符合题意； 综上所述，为或时，的面积为． 【点睛】本题考查数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，线段的和差关系，三角形的面积，解题的关键是掌握两点之间的距离公式，理解题意找到其中蕴含的等量关系，学会用分类讨论的思想解决问题． 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