特训07 线段与角 解答压轴题（八大题型归纳）-2024-2025学年六年级数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（沪教版，上海专用）

特训07 线段与角 解答压轴题（八大题型归纳） 目录： 题型1：线段中点有关的计算 题型2：线段的和与差 题型3：线段、射线中的动点问题 题型4：定值问题 题型5：余角、补角 题型6：角平分线有关的计算 题型7：角中的旋转问题 题型8：三角板问题 题型1：线段中点有关的计算 1．已知点在线段上，，线段在直线上移动（点，不与点，重合） (1)若，求和的长； (2)若，，线段在线段上移动，且点在点的左侧， ①如图，当点为中点时，求的长； ②点（不与点，，重合）在线段上，，，求的长． 2．（1）如图1，点，，，为直线上从左到右顺次的四个点． ①直线上以，，，为端点的射线共有______条； ②若，，，点为直线上一点，则的最大值为______； （2）从图1的位置开始，点在直线上向左运动，点，在直线上向右与点同时开始运动，运动过程中的长度保持不变，，分别为，的中点（如图2）．在此过程中，请指出三条线段，，之间的数量关系（用一个等式表示）并说明理由； （3）如图3，点，，为数轴上从左到右顺次的三个点，点，表示的数分别为，，为中点．若，且，，求线段的长． 3．如图，点O是数轴的原点，点A在数轴上位于原点左侧，点B在数轴上位于原点右侧，． (1)当，时，点A表示的数为 ，点B表示的数为 ； (2)若点C、D为数轴上任意两点，点M是线段的中点，点N是线段的中点． 当点C与点D重合时，探究与的数量关系，并说明理由． 当时，直接写出的长度（用m，n表示）． 4．学习了线段的中点之后，小明利用数学软件做了n次取线段中点实验：如图，设线段，第1次，取的中点；第2次，取的中点；第3次，取的中点，第4次，取的中点；… (1)请完成下列表格数据． 次数      线段的长 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 ①______ ②________ … … … (2)小明对线段的表达式进行了如下化简： 因为， 所以， 两式相加，得， 所以． 请你参考小明的化简方法，化简的表达式． (3)类比猜想：_____，=_____，随着取中点次数n的不断增大，的长最终接近的值是____． 题型2：线段的和与差 5．已知线段 ，线段 在直线 上运动（ 在 的左侧，在 的左侧）． (1)若 满足 ①当 点与 点重合时， ； ②、分别是 、的中点，当 时，求 的长； (2)当线段 运动到 点距离 点一个单位长度时，若有一点 在 点右侧且位于线段 的延长线上，试求 的值． 6．如图，数轴上点、表示的数分别为和3，点为原点．动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向终点运动，在点出发的同时，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向点运动，到达点后立即以每秒3个单位的速度沿数轴向终点运动． 设点运动时间为秒． (1)当时，点表示的数为_________；当点与点重合时，的值为_________； (2)①在点由点向点运动的过程中，点表示数为_________（用含的代数式表示）； ②当_________时，、第一次相遇； (3)点从点返回后，当时，求点运动的时间的值； (4)若在点运动的同时，点从点以每秒1个单位长度的速度向终点运动，当时，直接写出的值． 7．已知点在线段上，，点、在直线上，点在点的左侧．    (1)若，，线段在线段上移动． ①如图1，当为中点时，求的长； ②若点在线段上，且，，求的长； (2)若，线段在直线上移动，且满足关系式，求的值． 题型3：线段、射线中的动点问题 8．如图，已知点、在线段上． (1)图中共有________条线段； (2)若比较线段的大小：________（填：“>”，“=”，或“<”）； (3)若，，是的中点，是的中点（如下图）． ①求的长度； ②嘉嘉同学分析探究后说，当线段在射线上运动时，线段的长度不变．你同意他的说法吗？并说明理由． 9．如图，点位于数轴原点，点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，点从点出发以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左运动． (1)若点表示的数为，点表示的数为7，当点，运动时间为2秒时，求线段的长； (2)若点，分别表示，6，运动时间为，当为何值时，点是线段的中点． (3)若，是数轴上的一点，且，求的值． 10．如图①，已知点C在线段上，线段厘米，厘米，点M，N分别是，的中点． (1)求线段的长度； (2)根据第（1）题的计算过程和结果，设，其他条件不变，求的长度； (3)动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2厘米/秒的速度沿向右运动，终点为B，点Q以1厘米/秒的速度沿向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，求运动多少秒时： ①点P恰好为线段的中点？ ②直接写出C、P、Q三点中有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点？（除①外） 11．如图，嘉淇设计了一动画，已知数轴上点，，表示的数分别为，，，是的中点，机器人（看成点）从点出发，以个单位长度秒的速度沿数轴正方向运动，当机器人到达点时，机器人（看成点）同时从点出发，以个单位长度秒的速度沿数轴正方向运动．设机器人的运动时间为秒． (1)的长为________个单位长度，的值为________； (2)当时，求点表示的数； (3)当机器人，之间的距离小于等于个单位长度时，机器人变成彩色，求机器人变成彩色的总时长； (4)当机器人，和点中有一个点到其他两点的距离相等时，直接写出的值． 12．如图，数轴上点分别表示数，其中，． (1)当时，线段的中点表示的数是_______； (2)若数轴上另有一点表示数3． ①若点在线段上，且，求式子的值； ②点为线段上一动点，点为线段上一动点，当时，线段的最大长度为5，求的值． 题型4：定值问题 13．【感悟体验】如图，三点在同一直线上，点在线段的延长线上，且，请仅用一把圆规在图中确定点的位置． 【认识概念】在同一直线上依次有四点，且，那么称与互为“对称线段”，其中为的“对称线段”，亦为的“对称线段”． 如图，下列情形中与互为“对称线段”的是 （直接填序号）． ；；． 【运用概念】如图，与互为“对称线段”，点为的中点，点为的中点，且． （1）若，求的长； （2）若，求的长； 【拓展提升】如图，在同一直线上依次有四点，且（为常数），点为的中点，点在上且．是否存在的值使得的长为定值？若存在，请求出的值以及这个定值（用含的代数式表示）；若不存在，请说明理由． 题型5：余角、补角 14．已知，与互余，与互补． (1)如图，当点B在的内，且点B、D在的同侧时． ①若，则________． ②若是的角平分线，则_______．（用含的式子表示） (2)直接写出所有可能的度数是_________． 15．定义：如果两个角的度数的和是，那么这两个角叫做互为半余角，其中一个角称为另一个角的半余角，例如：，，因为，所以和互为半余角． (1)如果，是的半余角，那么的度数是_______； (2)如图，已知，射线在的内部，满足，是的平分线． ①在的内部画射线，使．并写出图中的半余角：________； ②是的半余角，当是的时，求的度数． 题型6：角平分线有关的计算 16．已知点是直线上的一点，是三条射线，，是的平分线． (1)当时． 若射线在直线的同侧（图），，求的度数 根据中的结果，猜想和的数量关系是_______； 当与在直线两旁时（如图），设，请通过计算，用的代数式表示，说明中的关系是否仍然成立； (2)当，与在直线两旁时（如图），上述和的数量关系是否仍然成立？若成立，请仿照中的方法说明理由；若不成立，请写出和此时具备的数量关系并证明． 17．【探究发现】 如图①，点，在线段上，点，分别是，的中点． （1）若，，，求的长； （2）若，，则 ； （3）若，，则 ；（用含，的代数式表示） 【类比应用】 如图②，射线，在内部，，分别平分，． （4）若，，则 ； （5）若，，则 ．（用含，的代数式表示） 18．已知和是直角．    (1)如图，当射线在内部时，请探究和之间的关系； (2)如图，当射线，射线都在外部时，过点作线，射线，满足，∠DOF＝，求的度数； (3)如图，在(2)的条件下，在平面内是否存在射线，使得，若存在，请求出的度数；若不存在，请说明理由． 题型7：角中的旋转问题 19．刘星对几何中角平分线等兴趣浓厚，请你和他一起探究下面问题吧．已知，射线，分别是和的角平分线． (1)如图1，若射线在的内部，且，求的度数； (2)如图2，若射线在的内部绕点旋转，求的度数 (3)若射线在的外部绕点旋转（旋转中，均指小于的角），其余条件不变，请借助图3探究的大小． 20．阅读材料． (1)【特例感知】如图1，已知线段，，点C和点D分别是，的中点．若，则________． (2)【知识迁移】我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，已知在内部转动，射线和射线分别平分和． ①若，，求的度数．（写解答过程） ②请你猜想，和三个角有怎样的数量关系？直接写出结论． (3)【类比探究】 如图3，在内部转动，若，，，，则的度数为________．（用含有k的式子直接表示计算结果） 21．已知线段，，线段在线段上运动，E、F分别是、的中点． (1)若，则______cm． (2)当线段在线段上运动时，试判断的长度是否发生变化？如果不变，请求出的长度；如果变化，请说明理由． (3)我们发现角的很多规律和线段一样，如图②，已知在内部转动，、分别平分和，若，，则______．由此，你猜想、和有怎样的数量关系．（直接写出猜想即可） 22．如图，平面上顺时针排列射线，，，，，为钝角，且，射线，分别平分，． (1)如图1，若，求和的度数； (2)如图2，当的大小发生改变时，和之间是否存在着固定的等量关系？如果存在，求出他们之间的等量关系；如果不存在，说明理由； (3)在（1）的条件下，与重合的（，的对应边分别是，）绕点以每秒的速度顺时针旋转，与此同时与重合的（，的对应边分别是，）绕点顺时针以每秒的速度旋转．则第一次在内部时持续了______秒（直接写出结果即可）． 23．学习了角的大小比较后，我们知道利用度量法可以进行两个角的大小比较C、D为一个量角器在上方边缘上的两个动点，连接、． (1)当C，D两点运动到如图1所示的位置时，请你直接由量角器读出______，______； (2)若从出发以每秒的速度向终边运动，同时从出发，以每秒的速度向终边运动，运动时间为t，当时，运动时间t是多少？ (3)如图2，过点O作的垂线与量角器的边缘交于点E，若，是的平分线，从出发，当C与B重合时停止运动，请探究这个运动过程中，与的数量关系． 题型8：三角板问题 24．已知，如图1，将一块直角三角板的直角顶点放置于直线上，直角边与直线重合，其中，然后将三角板绕点顺时针旋转，设，从点引射线和，平分，． (1)如图2，填空：当时，______． (2)如图2，当时，求的度数（用含的代数式表示）； (3)如图3，当时，请判断的值是否为定值，若为定值，求出该定值，若不是定值，请说明理由． 25．将一副三角板按图1摆放，把它抽象成几何图形，便得到图2，已知，．保持三角板不动，将三角板绕点C以每秒的速度顺时针转动（即三角板的每一条边都绕点C以相同速度顺时针转动），如图3所示，设转动时间为t秒（）． (1)当 时，平分，此时 度； (2)在三角板转动的过程中，请判断与有怎样的数量关系，并说明理由； (3)如图4，在三角板转动的过程中，分别作和的平分线和，请求出当t为何值时，． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 特训07 线段与角 解答压轴题（八大题型归纳） 目录： 题型1：线段中点有关的计算 题型2：线段的和与差 题型3：线段、射线中的动点问题 题型4：定值问题 题型5：余角、补角 题型6：角平分线有关的计算 题型7：角中的旋转问题 题型8：三角板问题 题型1：线段中点有关的计算 1．已知点在线段上，，线段在直线上移动（点，不与点，重合） (1)若，求和的长； (2)若，，线段在线段上移动，且点在点的左侧， ①如图，当点为中点时，求的长； ②点（不与点，，重合）在线段上，，，求的长． 【答案】(1)， (2)；或 【分析】本题主要考查了等式的性质，代数式求值，线段的和与差等知识点，运用数形结合思想和分类讨论思想是解题的关键． （1）根据及已知条件，即可得出答案； （2）根据及已知条件，先求出和的长；当点为中点时，则，然后根据即可求出的长，根据即可求出的长；分两种情况讨论：）当在点左侧时；）当在点右侧时；分别画出图形，然后根据线段的和差关系即可得出答案． 【解析】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ， 当点为中点时， 则， ， ， ； 分两种情况： ）当在点左侧时， 如图， ，， ， ， ， ， ； ）当在点右侧时， 如图， ，， ， ， ， ， ； 综上所述，或． 2．（1）如图1，点，，，为直线上从左到右顺次的四个点． ①直线上以，，，为端点的射线共有______条； ②若，，，点为直线上一点，则的最大值为______； （2）从图1的位置开始，点在直线上向左运动，点，在直线上向右与点同时开始运动，运动过程中的长度保持不变，，分别为，的中点（如图2）．在此过程中，请指出三条线段，，之间的数量关系（用一个等式表示）并说明理由； （3）如图3，点，，为数轴上从左到右顺次的三个点，点，表示的数分别为，，为中点．若，且，，求线段的长． 【答案】（1）①8；②9；（2）；（3）5 【分析】本题主要考查了与线段中点有关的线段和差计算，数轴上两点的距离计算，射线的条数问题： （1）①根据射线的定义进行求解即可；②分点P在点A左侧，点P在A、B之间，点P在点D右侧三种情况讨论求解即可； （2）如图所示，当点B在点C左边时，由线段中点的定义得到，，根据，推出，则；如图所示，当点B在点C右侧时，由线段中点的定义得到，，根据．推出则； （3）由中点的定义得到，，求出，则，再由，推出，则． 【解析】解：（1）①由题意得，图中的射线有射线，共8条射线， 故答案为：8； ②∵，，， ∴， 如图所示，当点P在点A左侧时（包括A）， 如图所示，当点P在A、D之间时，， 如图所示，当点P在点D右侧时（包括B），； 综上所述，的最大值为9； 故答案为：9； （2），理由如下： 如图所示，当点B在点C左边时， ∵，分别为，的中点， ∴，， ∴ ， ， ∴； 如图所示，当点B在点C右侧时， ∵，分别为，的中点， ∴，， ∴ ， ， ∴； 综上所述，； （3）∵为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．如图，点O是数轴的原点，点A在数轴上位于原点左侧，点B在数轴上位于原点右侧，． (1)当，时，点A表示的数为 ，点B表示的数为 ； (2)若点C、D为数轴上任意两点，点M是线段的中点，点N是线段的中点． 当点C与点D重合时，探究与的数量关系，并说明理由． 当时，直接写出的长度（用m，n表示）． 【答案】(1)， (2)或或 【分析】本题考查了数轴上点的表示，线段中点的相关计算，数轴上动点问题； （1）由线段关系可求，，即可求解； （2）分类讨论：当在的左边时，当在、之间时，当在之间右边时，即可求解； 当、在的左边，且在的左边，由线段的中点得，，由线段和差得，由，即可求解； 、其它不同位置情况同理可求； 掌握线段的中点，能根据动点不同位置进行分类讨论是解题的关键． 【解析】（1）解：，， ， ， 点A表示的数为，点B表示的数为； 故答案：，； （2）解：，理由如下： 如图，当在的左边时， 点M是线段的中点，点N是线段的中点， ，， ； 如图，当在、之间时， 点M是线段的中点，点N是线段的中点， ，， ； 如图，当在之间右边时， 点M是线段的中点，点N是线段的中点， ，， ； 综上所述：； 第一种情况，如图，当、在的左边，且在的左边， 点M是线段的中点，点N是线段的中点， ，，则， ； ； 第二种情况，如图，当、在的左边，且在的右边， ∵点M是线段的中点，点N是线段的中点， ∴，， ∴， ； 第三种情况，如图，当、在的右边，且在的左边， ∵点M是线段的中点，点N是线段的中点， ∴，， ∴ ； 第四种情况，如图，当、在的右边，且在的右边， ∵点M是线段的中点，点N是线段的中点， ∴，， ∴ ； 第五种情况，如图，当、在的右边，且在的左边， ∵点M是线段的中点，点N是线段的中点， ∴，，则， ∴ ； 第六种情况，如图，当、在的右边，且在的右边， ∵点M是线段的中点，点N是线段的中点， ∴，， ∴ ； 综上所述，或或． 4．学习了线段的中点之后，小明利用数学软件做了n次取线段中点实验：如图，设线段，第1次，取的中点；第2次，取的中点；第3次，取的中点，第4次，取的中点；… (1)请完成下列表格数据． 次数      线段的长 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 ①______ ②________ … … … (2)小明对线段的表达式进行了如下化简： 因为， 所以， 两式相加，得， 所以． 请你参考小明的化简方法，化简的表达式． (3)类比猜想：_____，=_____，随着取中点次数n的不断增大，的长最终接近的值是____． 【答案】(1)①；② (2) (3) 【分析】本题考查规律型：数字的变化类，找到规律并会表现出来是解题关键． （1）根据表中的规律可求出，根据可得出答案； （2）参照小明对线段的表达式的化简可得的表达式； （3）根据类比猜想可得答案． 【解析】（1）解：，； 故答案为：，； （2）因为， 所以． 两式相加，得． 所以； （3），随着取中点次数的不断增大的长最终接近的值是． 故答案为：． 题型2：线段的和与差 5．已知线段 ，线段 在直线 上运动（ 在 的左侧，在 的左侧）． (1)若 满足 ①当 点与 点重合时， ； ②、分别是 、的中点，当 时，求 的长； (2)当线段 运动到 点距离 点一个单位长度时，若有一点 在 点右侧且位于线段 的延长线上，试求 的值． 【答案】(1)①；②； (2)8或4 【分析】（1）①本题考查了线段的和差，解题的关键是根据平方非负性求出a，b得值；②本题考查了线段得和差，解题的关键是正确画图，注意两种情况； （2）本题考查了线段的和差，解题的关键是正确画图，注意两张情况． 【解析】（1）解：， ， ， ①当D点与B点重合时， ； ②如下图1， 分别为线段的中点， ， ； 如上图2，分别为线段的中点， ， ； （2）如下图， 由题意得： ， ； 如下图， ， ． 6．如图，数轴上点、表示的数分别为和3，点为原点．动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向终点运动，在点出发的同时，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向点运动，到达点后立即以每秒3个单位的速度沿数轴向终点运动． 设点运动时间为秒． (1)当时，点表示的数为_________；当点与点重合时，的值为_________； (2)①在点由点向点运动的过程中，点表示数为_________（用含的代数式表示）； ②当_________时，、第一次相遇； (3)点从点返回后，当时，求点运动的时间的值； (4)若在点运动的同时，点从点以每秒1个单位长度的速度向终点运动，当时，直接写出的值． 【答案】(1)； (2)①；②； (3)当时，或． (4)当时， 的值为或或． 【分析】（1）由用右边移动用加法列式计算可得：当时，点表示的数，再当点与点重合时，可得方程，再解方程即可； （2）①利用向左移动用减法，向右移动用加法，再列式计算即可；②再利用速度乘以时间等于路程列方程即可； （3）点从点返回后，Q对应的数为，而对应的数为，可得，利用，建立方程求解即可；当时，，重合，停止运动，此时，从而可得答案； （4）当点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向点运动时，此时Q对应的数为，而对应的数为，对应的数为，再利用两点间距离公式建立方程，当点从点返回后，Q对应的数为，而对应的数为，对应的数为，再利用两点间距离公式建立方程，当时，，重合，停止运动，可得，从而可得答案． 【解析】（1）解：当时，点表示的数为， 当点与点重合时，则 ， 解得：． 故答案为：，12； （2）①当点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向点运动时， 此时Q对应的数为：， ②当、第一次相遇时， ∴， 解得：， 故答案为：，4； （3）当Q，A重合时，， 解得：， 当Q到达点后立即以每秒3个单位的速度沿数轴向终点运动， 此时Q对应的数为：， 而对应的数为， ∴， 当时， ∴， ∴或， 解得：或， 当时，解得， ∴不符合题意，舍去， 当时，，重合，停止运动， 此时， ∴， 解得：， 综上：当时，或． （4）当点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向点运动时， 此时Q对应的数为，而对应的数为，对应的数为， ∴，， ∴， ∴，即， 当时， ∴， 解得：， 当时， ∴， 解得：， 当点从点返回后，Q对应的数为，而对应的数为，对应的数为， ∴，， ∴， ∴，即， 当时， ∴， 解得：， 当时，，重合，停止运动， ∴，， ∴， ∴， ∴，解得：，不符合题意舍去； 综上：当时， 的值为或或． 【点睛】本题考查的是数轴上动点问题，两点之间的距离，线段的含义，一元一次方程的应用，清晰的分类讨论是解本题的关键． 7．已知点在线段上，，点、在直线上，点在点的左侧．    (1)若，，线段在线段上移动． ①如图1，当为中点时，求的长； ②若点在线段上，且，，求的长； (2)若，线段在直线上移动，且满足关系式，求的值． 【答案】(1)①；② (2)或 【分析】（1）根据已知条件得到，，①由线段中点的定义得到，求得，由线段的和差得到；②点在点的左侧，点是的中点，所以，可以根据进行求解，当点在点的右侧，，，求出的长度，再根据进行求解即可； （2）当在点的右侧时，设，，则，，，求得，当在点的左侧时，设，，则，，，求得，分别代入关系式即可得出答案． 【解析】（1）解：①，，， ，， 如图， 为中点， ， ， ； ②如图， ， 点在点的左侧， 点是的中点， ， ， ； 当点在点的右侧，如图 ，， ， ， （不合题意，舍去）， 综上所述，的长为； （2），，满足关系式， 如图，当在点的右侧时： 设，，则， ，， ，， ， ， ， ， 解得，，    ； 如图，当在点的左侧时： 设，，则， ，， ，， ， ， ， ， 解得，，    ． 故答案为是或． 【点睛】本题考查了两点间的距离，熟悉各线段间的和、差及倍数关系，根据题意分情况讨论是解答本题的关键． 题型3：线段、射线中的动点问题 8．如图，已知点、在线段上． (1)图中共有________条线段； (2)若比较线段的大小：________（填：“>”，“=”，或“<”）； (3)若，，是的中点，是的中点（如下图）． ①求的长度； ②嘉嘉同学分析探究后说，当线段在射线上运动时，线段的长度不变．你同意他的说法吗？并说明理由． 【答案】(1)6 (2) (3)①；②同意，理由见详解 【分析】本题主要考查了两点间的距离以及线段的和差关系，利用中点性质转化线段之间的倍分关系，在不同情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性． （1）依据、在线段上，即可得到图中共有线段． （2）依据，即可得到，进而得出． （3）①依据线段的和差关系以及中点的定义，即可得到的长度． ②分为当点在线段上，点在射线上运动时；当点在射线上，点在射线上运动时，两种情况分别求解判断即可； 【解析】（1）解：∵、在线段上， ∴图中共有线段共6条． 故答案为：6； （2）若，则，即． 故答案为：； （3）①∵， ∴， ∵是的中点，是的中点， ∴， ∴， ∴．    ②当线段在射线上运动时， 当点在线段上，点在射线上运动时：      ∵， ∴， ∵是的中点，是的中点， ∴， ∴， ∴． 当点在射线上，点在射线上运动时：    ∵， ∴， ∵是的中点，是的中点， ∴， ∴， ∴． ∴线段的长度不变． 9．如图，点位于数轴原点，点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，点从点出发以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左运动． (1)若点表示的数为，点表示的数为7，当点，运动时间为2秒时，求线段的长； (2)若点，分别表示，6，运动时间为，当为何值时，点是线段的中点． (3)若，是数轴上的一点，且，求的值． 【答案】(1) (2)当时点是线段的中点 (3)或1 【分析】（1）根据路程=速度×时间可以计算出C、D运行的路程，进而求出MD的值，根据可求； （2）先表示出BD和CD，再根据点是线段的中点，列方程求解； （3）分在线段上和点在线段的延长线上两种情况，分别求解． 【解析】（1）解：∵，， 又∵点表示，点表示7， ∴， ∴ ∴． （2）解：∵点，分别表示，6， 所以，，，，， 当是的中点时，即， ∴当时点是线段的中点． （3）解：①当点在线段上时，如图 ∵， 又∵ ∴， 又∵ ∴，即 ②当点在线段的延长线上时，如图 ∵，又∵ ∴，即 综上所述或1． 【点睛】本题考查了线段的和差和中点，及两点间的距离，一元一次方程，解题分关键是掌握点的移动路程与线段的关系． 10．如图①，已知点C在线段上，线段厘米，厘米，点M，N分别是，的中点． (1)求线段的长度； (2)根据第（1）题的计算过程和结果，设，其他条件不变，求的长度； (3)动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2厘米/秒的速度沿向右运动，终点为B，点Q以1厘米/秒的速度沿向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，求运动多少秒时： ①点P恰好为线段的中点？ ②直接写出C、P、Q三点中有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点？（除①外） 【答案】(1)厘米 (2) (3)①   ②或 【分析】本题考查了线段的中点和计算，利用线段中点的性质得出关于t的方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏． （1）根据中点的定义、线段的和差，可得答案； （2）根据中点的定义、线段的和差，可得答案； （3）①分为为线段的中点和为线段的中点，利用线段中点的定义，可得方程，根据解方程，可得答案； ②分为C为线段的中点和点为线段的中点，利用线段中点的定义，可得方程，根据解方程，可得答案． 【解析】（1）解：∵线段 厘米， 厘米，点, 分别是, 的中点, 厘米， 厘米， 厘米； （2）∵点, 分别是的中点, ， ； （3）解：①当 时，为线段的中点，， 解得； ②当时，是线段的中点，得 解得 当 时，为线段的中点， 解得 当时，为线段的中点， 解得(舍) , 综上所述：或 11．如图，嘉淇设计了一动画，已知数轴上点，，表示的数分别为，，，是的中点，机器人（看成点）从点出发，以个单位长度秒的速度沿数轴正方向运动，当机器人到达点时，机器人（看成点）同时从点出发，以个单位长度秒的速度沿数轴正方向运动．设机器人的运动时间为秒． (1)的长为________个单位长度，的值为________； (2)当时，求点表示的数； (3)当机器人，之间的距离小于等于个单位长度时，机器人变成彩色，求机器人变成彩色的总时长； (4)当机器人，和点中有一个点到其他两点的距离相等时，直接写出的值． 【答案】(1)，； (2)点表示的数为； (3)秒； (4)或或或或． 【分析】（1）本题考查数轴上两点之间的距离，根据点，表示的数，即可算出的长，再利用是的中点，得到，即可解得的值． （2）本题根据线段的和差，得到点只能在点的右边，推出的长，即可解题； （3）分情况讨论，然后综合各种情况得到机器人变成彩色的总时长； （4）分情况进行讨论，然后综合各种情况得到的值； 此题考查了数轴的动点问题和一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意和分类讨论． 【解析】（1）解：∵数轴上点A，B表示的数分别为，， ∴， ∵ 是的中点， ∴， ∴表示的数分别为，即的值为， 故答案为：，； （2）解：∵，， ∴点只能在点的右边，位置如图所示： ∴，即，整理得，解得， ∴点表示的数为； （3）解：由（）可知，从运动到需秒， ∴，， ∴， 当追上时， ， 解得， 当追上之前， ∵， ∴ 解得， ∴， 当追上之后， ， ∵， ∴ 解得， ∴， 综上可知，， （秒） ∴机器人变成彩色的总时长为秒； （4）解：当机器人到达点时，机器人（看成点）同时从点出发，设机器人的运动时间为秒，则机器人的运动时间为秒， 当时，即点到点和点到点距离相等时， 当机器人到达点，此时点与点重合，即， 当机器人过点时，即， 解得或， 当时，即点到点和点到点距离相等时， 当机器人到达点时，即， 当机器人超过机器人时，， 解得或（舍去）， 当时，即点到点和点到点距离相等时， 当机器人未到达点时，即， 当机器人与机器人相遇时，即， 解得或， 综上可知，的值为或或或或． 12．如图，数轴上点分别表示数，其中，． (1)当时，线段的中点表示的数是_______； (2)若数轴上另有一点表示数3． ①若点在线段上，且，求式子的值； ②点为线段上一动点，点为线段上一动点，当时，线段的最大长度为5，求的值． 【答案】(1)2 (2)①2033；②或 【分析】（1）利用数轴知识和线段中点的定义计算即可； （2）①点表示数3，点在线段上，且，得出，再计算代数式的值即可；②根据，得出，说明点B在点M的左侧或在点M处时，的最小值为6，不符合题意，说明点B必须在点M的右侧，然后分两种情况求出a的值即可． 【解析】（1）解：∵，， 线段的长度为 ∴线段的中点C表示的数； 故答案为：2． （2）①∵点表示数3，点在线段上，且， ∴， 整理得：， ∴； ②∵， ∴， 当点B在点M的左侧或在点M处时，，当点P在点A处，点Q在点M处时，最大， ∵， ∴此时的最大值大于5， ∵的最大值为5， ∴点B不可能在点M的左侧或M处； 当点B在点M的右侧，点P在点A处，点Q在点M处时，最大，则此时， 解得：； 当点B在点M的右侧，点P在点B处，点Q在点O处时，最大，则此时， 解得：， ∴， ∴， 综上分析可知：或． 【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离，线段中点的有关计算用数轴上点表示有理数，数轴上的动点问题，解题的关键是熟练掌握数轴上两点间距离公式． 题型4：定值问题 13．【感悟体验】如图，三点在同一直线上，点在线段的延长线上，且，请仅用一把圆规在图中确定点的位置． 【认识概念】在同一直线上依次有四点，且，那么称与互为“对称线段”，其中为的“对称线段”，亦为的“对称线段”． 如图，下列情形中与互为“对称线段”的是 （直接填序号）． ；；． 【运用概念】如图，与互为“对称线段”，点为的中点，点为的中点，且． （1）若，求的长； （2）若，求的长； 【拓展提升】如图，在同一直线上依次有四点，且（为常数），点为的中点，点在上且．是否存在的值使得的长为定值？若存在，请求出的值以及这个定值（用含的代数式表示）；若不存在，请说明理由． 【答案】【感悟体验】画图见解析；【认识概念】；【运用概念】（1），（2），【拓展提升】当时,为定值． 【分析】【感悟体验】 ：以点为圆心以长度为半径交直线于点即可求解； 【认识概念】，故①不符合题意； ，，故不符合题意；设，则，同理可得，即可求解； 【运用概念】 设点对应的数为，点对应的数为，则点，对应的数为，， 则点对应的数为，点对应的数为，即可求解； 【拓展提升】设点对应的数为：，点对应的数为：，则点、对应的数分别为：，，求出 ，即可求解； 本题考查了几何变换，涉及到新定义、中点坐标公式的运用等，准确设定点所对应的数是解题的关键. 【解析】【感悟体验】：以点为圆心以长度为半径交直线于点 则点为所求点，如下图： 【认识概念】 ，故不符合题意； ，故不符合题意； 设 ，则， 同理可得：，故符合题意， 故答案为：； 【运用概念】设点对应的数为，点对应的数为，则点，对应的数为，， 则点对应的数为，点对应的数为， （）当，即，则， 则， （）当，即， 则， 【拓展提升】存在，理由： 设点对应的数为：，点对应的数为：， 则点、对应的数分别为：，， 则点对应的数为， 而， 则点对应的数为： ， 则 ， 当时，为定值． 题型5：余角、补角 14．已知，与互余，与互补． (1)如图，当点B在的内，且点B、D在的同侧时． ①若，则________． ②若是的角平分线，则_______．（用含的式子表示） (2)直接写出所有可能的度数是_________． 【答案】(1)①；②． (2)或． 【分析】（1）①根据与互余，得到，根据角的和差即可算出．②因为，与互补，所以根据角平分线的定义得到，根据角的和差即可求出的度数． （2）注意分情况讨论：如图1：；如图2：；如图3：求出每种情况的角的度数，即为该题的答案． 【解析】（1）解：① ∵，与互余， ∴， ∵， ∴， ． ②∵，与互补 ∴， ∵平分 ∴， ∴ ＝－ ． （2）解：如图1： ，，， ∴． 如图2： 如图3： ∴或． 【点睛】本题考查了余角和补角，角平分线的定义；解题的关键是利用了互余的定义，角平分线的定义以及角的和差进行计算． 15．定义：如果两个角的度数的和是，那么这两个角叫做互为半余角，其中一个角称为另一个角的半余角，例如：，，因为，所以和互为半余角． (1)如果，是的半余角，那么的度数是_______； (2)如图，已知，射线在的内部，满足，是的平分线． ①在的内部画射线，使．并写出图中的半余角：________； ②是的半余角，当是的时，求的度数． 【答案】(1) (2)①画图见解析；，. ②度数为或 【分析】（1）根据半余角的定义进行计算即可得； （2）①在的内部画射线，使，则，，根据是的平分线得，即可得；②设，则，，根据是的半余角得，当是的时，，若射线在内，则，即，计算得；若射线在外，则，则，计算得；即可得． 【解析】（1）解：∵，是的半余角， ∴， 故答案为：； （2）解：①在的内部画射线，使，如图所示： 则， ， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴的半余角有：，； ②设，则， ∴， ∵是的半余角， ∴， 当是的时，， 如图所示，若射线在内， 则， ∴， ， ； 如图所示，若射线在外， 则， ∴， ， ； 综上，的度数为或． 【点睛】本题考查了半余角，角平分线的定义，解题的关键是掌握这些知识点，分类讨论． 题型6：角平分线有关的计算 16．已知点是直线上的一点，是三条射线，，是的平分线． (1)当时． 若射线在直线的同侧（图），，求的度数 根据中的结果，猜想和的数量关系是_______； 当与在直线两旁时（如图），设，请通过计算，用的代数式表示，说明中的关系是否仍然成立； (2)当，与在直线两旁时（如图），上述和的数量关系是否仍然成立？若成立，请仿照中的方法说明理由；若不成立，请写出和此时具备的数量关系并证明． 【答案】(1)；；成立，理由见解析； (2)，证明见解析． 【分析】（）根据已知角的度数求出，再根据平角定义求出的度数即可；由中求出的结果即可求解； 根据已知角的度数表示出，再根据平角定义表示出的度数，可得和的数量关系； （）依据前面的方法表示出，表示出，可得和 的数量关系； 本题考查了角的和差，角平分线的定义，正确认图是解题的关键． 【解析】（1）解：∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴； 由中的结果可得， 故答案为：； 中的关系仍然成立，理由如下： ∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， 即； （2）解：不成立，和的数量关系为． 证明：设， ∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， 即． 17．【探究发现】 如图①，点，在线段上，点，分别是，的中点． （1）若，，，求的长； （2）若，，则 ； （3）若，，则 ；（用含，的代数式表示） 【类比应用】 如图②，射线，在内部，，分别平分，． （4）若，，则 ； （5）若，，则 ．（用含，的代数式表示） 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5） 【分析】（1）先求出的长，再根据中点的定义求出、的长，即可求出的长； （2）根据，求出的长，再根据中点的定义即可求出的长，根据即可求出的长； （3）根据，即可求出的长，再根据中点的定义即可求出的长，最后根据即可求出的长； （4）先求出的度数，再根据角平分线的定义求出的度数，即可求出的度数； （5）先求出的度数，再根据角平分线的定义求出的度数，即可求出的度数． 【解析】解：（1）∵是的中点，， ∴， ∵，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴； （2）∵，， ∴， ∵点，分别是，的中点， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：20； （3）∵，， ∴， ∵点，分别是，的中点， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：； （4）∵，， ∴， ∵，分别平分，， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：85； （5）∵，， ∴， ∵，分别平分，， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了线段的和差计算、角的和差计算、线段的中点的定义以及角平分线的定义等知识，根据几何图形得出线段之间的关系、角之间的关系是解题的关键． 18．已知和是直角．    (1)如图，当射线在内部时，请探究和之间的关系； (2)如图，当射线，射线都在外部时，过点作线，射线，满足，∠DOF＝，求的度数； (3)如图，在(2)的条件下，在平面内是否存在射线，使得，若存在，请求出的度数；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)存在，的度数是或． 【分析】（1）根据已知条件，和是直角，可得出和与的关系式，再根据与和列出等量关系，即可得出答案； （2）根据已知条件，可设，则，再根据周角的关系可得到的等量关系，再根据，可得到的等量关系式，由、和可列出等量关系，即可得到答案； （3）分两种情况，当射线在内部时，由，可得出结果，当射线在外部时，由，可得出结果． 【解析】（1），理由如下： ∵和是直角， ∴， ∵， ∴， 同理：， ∴， ∴； （2）设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， （3）存在， 当射线在内部时， ∵， ∴， 当射线在外部时， ∵， ∴， 综上所述，的度数是或． 【点睛】此题考查了角的计算，根据题意列出相应的等量关系是解决本题的关键． 题型7：角中的旋转问题 19．刘星对几何中角平分线等兴趣浓厚，请你和他一起探究下面问题吧．已知，射线，分别是和的角平分线． (1)如图1，若射线在的内部，且，求的度数； (2)如图2，若射线在的内部绕点旋转，求的度数 (3)若射线在的外部绕点旋转（旋转中，均指小于的角），其余条件不变，请借助图3探究的大小． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查的是角的计算，角平分线的定义，熟知从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线是解答此题的关键．注意分类思想的运用． （1）先求出度数，根据角平分线定义求出和度数，求和即可得出答案； （2）根据角平分线定义得出，，求出，代入求出即可； （3）分两种情况：①射线，只有1个在外面，根据角平分线定义得出，，求出；②射线，个都在外面，根据角平分线定义得出，，求出，代入求出即可． 【解析】（1）解： 是 的平分线，， 是 的平分线， ， ； （2）解：， ， ， ； （3）解： 是 的平分线，是 的平分线， ，， ①延长至点，当在 的内部， ； ②延长至点，延长至点，当在内部， ， ； ③延长至点，当在 内部， ， ， ， 综上，度数为 或． 20．阅读材料． (1)【特例感知】如图1，已知线段，，点C和点D分别是，的中点．若，则________． (2)【知识迁移】我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，已知在内部转动，射线和射线分别平分和． ①若，，求的度数．（写解答过程） ②请你猜想，和三个角有怎样的数量关系？直接写出结论． (3)【类比探究】 如图3，在内部转动，若，，，，则的度数为________．（用含有k的式子直接表示计算结果） 【答案】(1)16 (2)①；② (3) 【分析】（1）由点C和点D分别是的中点，得，，那么，进而解决此题； （2）①由和分别平分和，得，，从而，进而解决此题； ②与①同理求解即可； （3）由可得，，，所以，根据可得结论． 【解析】（1）∵，，， ∴， ∵点C和点D分别是的中点， ∴，， ∴． 故答案为：16． （2）①∵和分别平分和， ∴，， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴． ②．理由如下： ∵和分别平分和， ∴， ∴， ∴ ． （3）∵， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查线段中点以及角平分线的定义，熟练掌握线段中点以及角平分线的定义是解决本题的关键． 21．已知线段，，线段在线段上运动，E、F分别是、的中点． (1)若，则______cm． (2)当线段在线段上运动时，试判断的长度是否发生变化？如果不变，请求出的长度；如果变化，请说明理由． (3)我们发现角的很多规律和线段一样，如图②，已知在内部转动，、分别平分和，若，，则______．由此，你猜想、和有怎样的数量关系．（直接写出猜想即可） 【答案】(1)11 (2)的长度不变， (3)， 【分析】（1）欲求，需求．已知，需求．由E，F分别是，的中点，得，，那么，进而解决此题； （2）根据（1）的原理计算即可得到结论； （3）欲求，需求．已知，需求．由，分别平分和，得，，进而解决此题．同法同理可得、和的数量关系． 【解析】（1）解：∵E，F分别是，的中点， ∴，． ∴． 又∵线段，， ∴． ∴． ∴． （2）不变，理由如下： ∵E，F分别是，的中点， ∴，． ∴． ∴， 又∵，， ∴EF＝． （3）∵，分别平分和， ∴，． ∴． 又∵，， ∴． ∴． ∴． 由（1）得：． ∵， ∴． ∴． 【点睛】本题考查了线段的中点，线段的和与差，角的平分线，角的和与差，类比的思想，熟练掌握线段的中点，角的平分线的定义是解题的关键． 22．如图，平面上顺时针排列射线，，，，，为钝角，且，射线，分别平分，． (1)如图1，若，求和的度数； (2)如图2，当的大小发生改变时，和之间是否存在着固定的等量关系？如果存在，求出他们之间的等量关系；如果不存在，说明理由； (3)在（1）的条件下，与重合的（，的对应边分别是，）绕点以每秒的速度顺时针旋转，与此同时与重合的（，的对应边分别是，）绕点顺时针以每秒的速度旋转．则第一次在内部时持续了______秒（直接写出结果即可）． 【答案】(1)的度数为，的度数为 (2)存在等量关系，等量关系为： (3)4 【分析】（1）设，则，由，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值，进而可以得出、的度数，再结合平分，即可求出的度数； （2）假设存在，设，则，分别用含的代数式表示出、的度数，消掉即可得出结论； （3）根据（1）找出、的度数，分别求出追上的时间以及追上的时间，二者作差即可得出结论． 【解析】（1）解：设，则， 根据题意得：， 即：， 解得：， ，， 平分， ， ； （2）解：假设存在， 设，则， ， ， 平分， ， ，，， ， 平分， ， 由得：， ， ， 所以存在等量关系，等量关系为：； （3）解：由（1）可得： ， ， 追上的时间为：（秒）， 追上的时间为：（秒）， （秒）， 所以第一次在内部时持续了4秒， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了角的计算、角平分线的定义以及解一元一次方程，解题的关键是：（1）根据圆周角等于，列出关于的一元一次方程；（2）用含的代数式表示出、的度数；（3）根据求出追上的时间以及追上的时间． 23．学习了角的大小比较后，我们知道利用度量法可以进行两个角的大小比较C、D为一个量角器在上方边缘上的两个动点，连接、． (1)当C，D两点运动到如图1所示的位置时，请你直接由量角器读出______，______； (2)若从出发以每秒的速度向终边运动，同时从出发，以每秒的速度向终边运动，运动时间为t，当时，运动时间t是多少？ (3)如图2，过点O作的垂线与量角器的边缘交于点E，若，是的平分线，从出发，当C与B重合时停止运动，请探究这个运动过程中，与的数量关系． 【答案】(1)45，60 (2)运动时间是或时，． (3)当时，；当时，；当时，． 【分析】（1）根据量角器的读法读数即可； （2）分情况讨论：当C在D的右边时；当C在D的左边时，列出关于t的方程求解即可； （3）设，分情况讨论：当时， 当时，当时，表示出，，即可求出与的数量关系． 【解析】（1）解：由图可知：，， 故答案为：45，60 （2）如图1，当C在D的右边时，，解得； 如图2，当C在D的左边时，，解得 答：运动时间是5s或15s时，． （3）设， 当时，如图3，，， ∴ 当时，如图4，，， ∴ 当时，如图5，，， ∴ 综上，当时，； 当时，； 当时，； 【点睛】本题考查角的度量，角之间的关系，垂直，解题的关键是熟练掌握量角器的使用方法，结合图形求解，注意分情况讨论． 题型8：三角板问题 24．已知，如图1，将一块直角三角板的直角顶点放置于直线上，直角边与直线重合，其中，然后将三角板绕点顺时针旋转，设，从点引射线和，平分，． (1)如图2，填空：当时，______． (2)如图2，当时，求的度数（用含的代数式表示）； (3)如图3，当时，请判断的值是否为定值，若为定值，求出该定值，若不是定值，请说明理由． 【答案】(1)30 (2) (3)是定值，理由见解析 【分析】（1）根据题意，可得，再结合角平分线的定义即可获得答案； （2）当时，由题意可得，结合角平分线的定义易得，再由，可知，然后根据即可获得答案； （3）当时，由题意可得，，结合角平分线的定义易得，再由，，可推导，然后根据，进而确定． 【解析】（1）解：当时，由题意可知，是平角， ∴， 又∵平分， ∴． 故答案为：30； （2）当时，如图2， ∵是平角，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）当时（如图3），为定值． 理由如下： ∵是平角，，， ∴， ， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴为定值，定值为． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、几何图形中角度运算等知识，解题关键是结合图形分析清楚各角之间的关系． 25．将一副三角板按图1摆放，把它抽象成几何图形，便得到图2，已知，．保持三角板不动，将三角板绕点C以每秒的速度顺时针转动（即三角板的每一条边都绕点C以相同速度顺时针转动），如图3所示，设转动时间为t秒（）． (1)当 时，平分，此时 度； (2)在三角板转动的过程中，请判断与有怎样的数量关系，并说明理由； (3)如图4，在三角板转动的过程中，分别作和的平分线和，请求出当t为何值时，． 【答案】(1)3秒，15 (2)，理由见解析 (3)或 【分析】本题考查角度计算，角平分线性质． （1）根据题意利用角平分线求出，再根据角度列式计算即可； （2）根据题意设设运动时间为秒，分别求出和，继而求出本题答案； （3）数形结合，分类讨论即可． 【解析】（1）解：∵，平分， ∴， ∵将三角板绕点C以每秒的速度顺时针转动， ∴（秒）， ∵， ∴， ∴， 故答案为：3秒，15； （2）解：，理由如下： ∵三角板绕点C以每秒的速度顺时针转动， ∴设运动时间为秒， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵三角板绕点C以每秒的速度顺时针转动， ∴设运动时间为秒，即， ①当时， ∴， ∴， ∵和的平分线和， ∴，， ∵， ∴，解得：； ②当时， ∴， ∵和的平分线和， ∴，， ∵， ∴，解得：； 综上所述，的值为或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$