6.2.2角——补角、余角、角的大小比较（同步课件）-【上好课】2024-2025学年七年级数学上册同步精品课堂（苏科版2024）

6.2.2 角——补角、余角、角的大小比较 第6章 平面图形的初步认识 苏科版（2024）七年级上册 教学目标 01 理解补角、余角的概念与性质 02 会用叠合的方法进行角的大小比较， 03 会用尺规作一个与已知角相等的角 04 理解角的平分线的概念，会用尺规作一个角的平分线 补角、余角 知识精讲 活动——在桌面上，分别把一副三角板摆成如图的位置， 判断∠α与∠β有怎样的关系。 ∠α+∠β=90° ∠α+∠β=180° 01 课堂引入 02 知识精讲 补角的概念 如果两个角的度数之和等于180°，那么这两个角互为补角，简称互补。 eg：∠1=60°，∠2=120°，则∠1和∠2互为补角； 如图，∠α+∠β=180°，则∠α与∠β互补，∠α是∠β的补角，∠β是∠α的补角。 02 知识精讲 余角的概念 如果两个角的度数之和等于90°，那么这两个角互为余角，简称互余。 eg：∠3=20°，∠4=70°，则∠3和∠4互为余角； 如图，∠α+∠β=90°，则∠α与∠β互余，∠α是∠β的余角，∠β是∠α的余角。 练一练——1.填表： ∠α 50° n°(0<n<90) ∠α余角 45° ∠α的补角 120° 02 知识精讲 40° 130° 45° 135° 60° 30° (90-n)° (180-n)° 2.已知3组角： A组 B组 C组 (1)对A组中的每一个角，在B组中找出它的补角，并用线连接； (2)B组中有哪些角的余角在C组中?分别找出这些角，并用线连接。 02 知识精讲 问题——如果∠α与∠β互为补角，∠α与∠γ互为补角， 那么∠β与∠γ有怎样的数量关系? 02 知识精讲 ∵∠α与∠β互为补角，即∠α+∠β=180°， ∴∠β=180°-∠α， 同理，∠γ=180°-∠α， ∴∠β=∠γ。 02 知识精讲 补角、余角的性质 于是，我们得到如下结论： 你能证明出余角的性质吗？ 同角（等角）的补角相等。 类似地，可以得到： 同角（等角）的余角相等。 如果∠α与∠β互为余角，∠α与∠γ互为余角， 证明：∠β=∠γ。 02 知识精讲 ∵∠α与∠β互为余角，即∠α+∠β=90°， ∴∠β=90°-∠α， 同理，∠γ=90°-∠α， ∴∠β=∠γ。 例1、(1)若∠A=53°18'，则∠A的补角的度数为（　　） A．36°42' B．36°82' C．126°42' D．126°82' 【分析】由补角的定义可得： ∠A=180°-53°18′=126°42′。 C 03 典例精析 例1、(2)若钝角∠1与∠2互补，∠2与∠3互余，则∠1与∠3的关系满足（　　） A．∠1-∠3=90° B．∠1+∠3=90° C．∠1+∠3=180° D．∠1=∠3 【分析】由补角、余角的定义可得：∠1+∠2=180°，∠2+∠3=90°， ∴∠2=180°-∠1，∠2=90°-∠3， ∴180°-∠1=90°-∠3， ∴∠1-∠3=90°。 A 03 典例精析 例1、(3)若一个角的余角是它的补角的，则这个角的度数是（　　） A．30° B．60° C．120° D．150° 03 典例精析 【分析】设这个角为α， 则由补角、余角的定义可得：它的余角为90°-α，它的补角为180°-α， ∵一个角的余角是它的补角的， ∴90°-α=(180°-α)，解得：α=30°。 A 例2、如图，若将三个含45°的直角三角板的直角顶点重合放置，若∠2=25°，∠3=35°，则∠1的度数为（　　） A．25° B．30° C．35° D．40° 【分析】∵∠COD=∠AOB=90°， ∴∠4=∠2=25°（同角的余角相等）， ∴∠1=∠EOF-∠2-∠3=90°-25°-35°=30°。 B 03 典例精析 角的大小比较、 尺规作图、角的平分线 如果已知两个角的度数，那么可以通过度数来比较角的大小， 如果不知道两个角的度数，那么如何确定它们之间的大小关系呢? 01 课堂引入 问题——下面两个钟面的大小相同，指针之间的夹角哪一个更大? 01 课堂引入 用叠合的方法比较大小。 O B A O’ B’ A’ 比较AB与A’B’的长短。 B’ A’ A B 【法一】用叠合的方法比较大小的具体操作： 02 知识精讲 移动∠A’O’B’，使顶点O’与O重合，边O’B’与边OB重合，并使O’A’与OA在OB的同侧。 图1 O’ B’ A’ O B A 图2 O B A O’ B’ A’ ①若O’A’落在∠AOB的外部，则∠A’O’B’>∠AOB。 ②若O’A’与OA重合，则∠A’O’B’=∠AOB。 ③若O’A’落在∠AOB的内部，则∠A’O’B’<∠AOB。 叠合法比较角的大小 【法二】比较AB与A’B’的长短。 02 知识精讲 ①若A’B’>AB，则∠A’O’B’>∠AOB。 ②若A’B’=AB，则∠A’O’B’=∠AOB。 ③若A’B’<AB，则∠A’O’B’<∠AOB。 B’ A’ A B O O’ 02 知识精讲 角的大小比较 对于任意的∠α和∠β，下列三种关系中有且只有一种成立： ∠α<β，∠α=∠β，∠α>∠β。 02 知识精讲 如图，∠AOB可以看成是OB从OA出发，绕点O按逆时针方向旋转形成的，当点A，B之间的距离确定时，∠AOB的大小也随之确定。 利用上面的思路，我们可以用直尺和圆规作一个角等于已知角。 A B O 02 知识精讲 操作——尺规作图：如图，已知∠AOB，作∠A’O’B’， 使∠A’O’B’=∠AOB。 ①以点O为圆心，任意长为半径作弧，分别交OA，OB于点C，D。 O A B O A B C D ②作射线O’A’，以点O’为圆心，OC长为半径作弧PQ，交O’A’于点C’。 O’ A’ C’ P Q 尺规作一个与已知角相等的角 02 知识精讲 ③以点C’为圆心，CD长为半径作弧，交弧PQ于点D’。 ④过点O’，D’作射线O’B’。 ∠A’O’B’即为所求。 O’ A’ C’ D’ P Q O’ A’ B’ C’ D’ P Q 尺规作一个与已知角相等的角 02 知识精讲 活动——在透明纸上画一个角，把这个角对折，使角的两边重合，再展开纸片，折痕把这个角分成的两个角相等吗? Yes 02 知识精讲 角的平分线 如果从角的顶点出发的一条射线把这个角分成两个相等的角，那么，这条射线叫作这个角的平分线。 如图，如果OC是∠AOB的平分线， 那么∠AOC=∠BOC=∠AOB或 ∠AOB=2∠AOC=2∠BOC。 注意：角的平分线是一条射线。 操作——只用直尺和圆规，怎样作一个已知角(∠AOB)的平分线？ 作法 图形 1.以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N； 2.分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧在∠AOB的内部相交于点C； 3.画射线OC。射线OC即为所求。 尺规作一个角的平分线 02 知识精讲 02 知识精讲 讨论——如图，射线OC从∠AOB的边OA出发， 绕点O向边OB旋转，∠1和∠2的大小关系发生了怎样的变化? O A C B 1 2 【分析】∠1逐渐增大，∠2的逐渐减小。 如图，作∠AOB的角平分线OD， D 当射线OC绕点O旋转至射线OD前，∠1<∠2； 当射线OC绕点O旋转至射线OD时，∠1=∠2； 当射线OC绕点O旋转过射线OD后，∠1>∠2。 知识精讲 例1、如图，小明在用量角器度量∠AOB的大小时，将边OB放在0刻度线上，但是顶点O放在中心点的右侧，此时边OA刚好过50°刻度线，则∠AOB________50°。（选填“＜”，“=”或“＞”） 【分析】 设中心点是点C，过点C作CD∥AO。 ＞ 03 典例精析 C D 知识精讲 例2、如图，OC为∠AOB内的一条射线，下列条件中不能确定OC平分∠AOB的是（　　） A．∠AOC=∠BOC B．∠AOC+∠COB=∠AOB C．∠AOB=2∠BOC D．∠AOC＝∠AOB B 03 典例精析 知识精讲 例3、(1)如图，OA方向是北偏西40°方向，OB平分∠AOC，则∠BOC的度数为（　　） A．50° B．55° C．60° D．65° D 03 典例精析 【分析】 ∵OA方向是北偏西40°方向， ∴∠AOC=40°+90°=130°， ∵OB平分∠AOC， ∴∠BOC=∠AOC=65°。 知识精讲 例3、(2)如图，点O在直线AE上，OC平分∠AOE，∠DOB是直角，若∠1=25°，那么∠AOB的度数是_________。 25° 03 典例精析 【分析】 ∵点O在直线AE上，∴∠AOE=180°， ∵OC平分∠AOE，∴∠AOC=∠AOE=90°, ∴∠AOB+∠BOC=90°， ∵∠DOB是直角，∴∠DOB=∠BOC+∠1=90°, ∴∠AOB=∠1=25°。 知识精讲 例3、(3)如图，∠AOB=120°，OC是∠AOB内部任意一条射线，OD、OE分别是∠AOC、∠BOC的角平分线，下列叙述正确的是（　　） A．∠DOE的度数不能确定 B．∠AOD=∠EOC C．∠AOD+∠BOE=60° D．∠BOE=2∠COD C 03 典例精析 【分析】∵OD、OE分别是∠AOC、∠BOC的平分线， ∴∠AOD=∠COD=∠AOC，∠BOE=∠COE=∠BOC， ∴∠AOD+∠BOE=∠DOE=(∠BOC+∠AOC)=∠AOB=60°。 知识精讲 例4、OC、OD是∠AOB内部任意两条射线，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，若∠MON=m°，∠COD=n°，则∠AOB=__________°（用含m、n的代数式表示）。 【分析】设∠AOM=α，∠BON=β， ∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD， ∴∠COM=∠AOM=α，∠DON=∠BON=β， ∴∠AOC=2∠AOM=2α，∠DOB=2∠DON=2β， ∵∠MON=∠COM+∠COD+∠DON， ∴α+n°+β=m°，即α+β=m°-n°， ∴∠AOB=∠AOC+∠COD+∠DOB=2α+n°+2β=2(α+β)+n°=2m°-n°。 (2m-n) 03 典例精析 课后总结 补角、余角的概念： 如果两个角的度数之和等于180°，那么这两个角互为补角，简称互补。 如果两个角的度数之和等于90°，那么这两个角互为余角，简称互余。 补角、余角的性质： 同角（等角）的补角相等。 同角（等角）的余角相等。 角的大小比较： 对于任意的∠α和∠β，下列三种关系中有且只有一种成立： ∠α<β，∠α=∠β，∠α>∠β。 角的平分线： 如果从角的顶点出发的一条射线把这个角分成两个相等的角，那么，这条射线叫作这个角的平分线。 6.2.2 角——补角、余角、角的大小比较 苏科版（2024）七年级上册 谢谢观看 $$