第六章 数据的分析（十四大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（北师大版）

（北师大版）八年级上册数学《第六章 数据的分析》 知识点一 平均数 ◆1、算术平均数：对于n个数x1，x2，…，xn，则（x1+x2+…+xn）就叫做这n个数的算术平均数． 记作：“”，读作：“x 拔”． ◆2、加权平均数： （1）加权平均数：①若n个数x1，x2，x3，…，xn的权分别是w1，w2，w3，…，wn，则 叫做这n个数的加权平均数． ②在求 n 个数的平均数时，如果 x1出现 f1次，x2 出现 f2 次，…，xk 出现 f k 次(这里 f1 +f2+…+f k = n)，那么这 n 个数的加权平均数为， 其中f1，f2，f3，…，fn 分别叫做x1，x2，x3，…，xn的权. （2）权的表现形式，一种是比的形式，如4：3：2，另一种是百分比的形式，如创新占50%，综合知识占30%，语言占20%，权的大小直接影响结果． （3）数据的权能够反映数据的相对“重要程度”，要突出某个数据，只需要给它较大的“权”，权的差异对结果会产生直接的影响． （4）对于一组不同权重的数据，加权平均数更能反映数据的真实信息． （5）算术平均数与加权平均数的区别与联系： 区别：① 算术平均数中各数据都是同等重要，没有相互间差异； ② 加权平均数中各数据都有各自不同的权重地位. 联系：算术平均数是加权平均数的一种特殊情况，加权平均数包含算术平均数，当加权平均数中的权相等时，就是算术平均数． 知识点二 中位数 ◆1、中位数：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． ◆2、中位数代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响，但不能充分利用所有数据的信息． ◆3、中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的移动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据中也可能不在所给的数据中出现，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其趋势． 知识三 众数 ◆众数：一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数． 【注意】：（1）一组数据的众数一定出现在这组数据中． （2）一组数据的众数可能不止一个. 如 1，1，2，3，3，5 中众数是 1 和 3． （3）众数是一组数据中出现次数最多的数据而不是数据出现的次数，如 1，1，1，2，2，5 中众数是 1 而不是 3． 知识四 从统计图分析数据的集中趋势 ◆1、折线统计图中，众数：同一水平线上出现次数最多的数据； 中位数：从上到下（或从下到上）找中间点所对的数； 平均数：可以用中位数与众数估测平均数． ◆2、条形统计图中，众数：是最高条形对应的数据； 中位数：从左到右（或从右到左）找中间数； 平均数：可以用中位数与众数估测平均数． ◆3、扇形统计图中，众数：为扇形面积最大的数据； 中位数：按顺序，看相应百分比，第 50% 与 51% 两个数据的平均数； 平均数：可以利用加权平均数进行计算． 知识五 极差 现实生活中，除了关心数据的“平均水平”外，人们还关注数据的离散程度，即它们相对于平均水平的偏离情况. 极差就是刻画数据离散程度的一个统计量. 极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差.极差越大，偏离平均数越大，产品的质量(性能)越不稳定. 知识六 方差和标准差 ◆1、方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差． ◆2、用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差，通常用s2来表示，计算公式是： s2[（x1）2+（x2）2+…+（xn）2]（可简单记忆为“方差等于差方的平均数”） 其中是x1，x2，…，xn的平均数，s2是方差. 而标准差就是方差的算术平方根． ◆3、方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．一般而言，一组数据的极差、方差或标准差越小，这组数据就越稳定. 题型一 求算术平均数 解题技巧提炼 (1)当数据信息以表格或图象的形式呈现时，要结合已知条件读懂表格或图象，并能从中获取有用的信息，求一组数据的平均数，通常用定义法，即用这组数据的和除以这组数据的总个数. (2)在求较大数据的平均数时，首先要仔细观察数据特点，如果所给数据都在某个数据附近波动时，可采用新数据法求解. 1．（2024春•道外区期末）已知一组数据2，3，5，6，则这组数据的平均数为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】把给出的这4个数据加起来，再除以数据个数4，就是此组数据的平均数． 【解答】解：（2+3+5+6）÷4＝4 答：这组数据的平均数是4． 故选：B． 【点评】此题主要考查了平均数的意义与求解方法，关键是把给出的这4个数据加起来，再除以数据个数4． 2．（2024•沙河口区开学）乐乐前两次数学考试的平均成绩是93分，第三次考试成绩是99分，她这三次考试的平均成绩是（　　） A．93分 B．94分 C．95分 D．96分 【分析】根据题目中的数据和算术平均数的计算方法，可以计算她这三次考试的平均成绩． 【解答】解：由题意可得，她这三次考试的平均成绩为：95（分）， 故选：C． 【点评】本题考查算术平均数，解答本题的关键是明确算术平均数的计算方法． 3．（2024•沭阳县校级开学）七个数的平均数是25，如果把每个数都增加x，现在这七个数的平均数是（　　） A．（25+x）×7 B．175+x C．25+7x D．25+x 【分析】根据算术平均数的定义计算即可．算术平均数：对于n个数x1，x2，…，xn，则（x1+x2+…+xn）就叫做这n个数的算术平均数． 【解答】解：七个数的平均数是25，如果把每个数都增加x，现在这七个数的平均数是（25×7+7x）÷7＝25+x． 故选：D． 【点评】本题考查的是算术平均数．平均数的计算方法是求出所有数据的和，然后除以数据的总个数． 4．某中学举行校园歌手大赛，6位评委给某选手的评分如下表： 评委 1 2 3 4 5 6 得分 9.8 9.5 9.8 9.9 9.6 9.7 计分方法是：去掉一个最高分，去掉一个最低分，以剩余分数的平均分作为该选手的最后得分，则该选手的最后得分为（保留两位小数）（　　） A．9.72分 B．9.73分 C．9.77分 D．9.79分 【分析】根据题意去掉一个最高分9.9，去掉一个最低分9.5，然后根据算术平均数的计算公式，将剩下的分数的平均数计算出来即可． 【解答】解：根据题意小明的最后得分9.73（分）． 故选：B． 【点评】本题考查平均数的计算，解题的关键是掌握算术平均数的计算公式． 5．某汽车从甲地以速度v1匀速行驶至乙地后，又从乙地以速度v2匀速返回甲地，则汽车在整个行驶过程中的平均速度为（　　） A． B． C． D． 【分析】由题意知，设两地距离为S，从甲地行驶至乙地的时间为T1，从乙地返回甲地的时间为T2，则关键时间的计算公式求得T1及T2，再关键平均速度的计算公式即可求得平均速度． 【解答】解：设两地距离为S，从甲地行驶至乙地的时间为T1，从乙地返回甲地的时间为T2， 则有T1，T2； ∴平均速度； 故选：D． 【点评】本题考查了平均数实际中的运用．平均速度＝总路程÷总时间． 6．已知x1，x2，x3，x4的平均数为a，则样本3x1﹣5，3x2﹣8，3x3﹣6，3x4﹣1的平均数为（　　） A．a B．3a C．3a﹣5 D．3a﹣20 【分析】依据算术平均数的公式得出x1+x2+x3+x4＝4a；结合上步结果可知3x1﹣5，3x2﹣8，3x3﹣6，3x4﹣1的和是12a﹣20，再除以数据个数4即可得到这组样本的平均数． 【解答】解：∵x1，x2，x3，x4的平均数为a， ∴（x1+x2+x3+x4）＝a， ∴x1+x2+x3+x4＝4a， ∴3x1﹣5+3x2﹣8+3x3﹣6+3x4﹣1 ＝3（x1+x2+x3+x4）﹣20 ＝12a﹣20， ∴样本3x1﹣5，3x2﹣8，3x3﹣6，3x4﹣1的平均数为（12a﹣20）＝3a﹣5． 故选：C． 【点评】本题考查平均数的计算，解题的关键是掌握算术平均数的计算公式． 题型二 求加权平均数 解题技巧提炼 根据加权平均数的定义来求平均数，即若n个数x1，x2，x3，…，xn的权分别是w1，w2，w3，…，wn，则叫做这n个数的加权平均数． 1．（2024秋•冀州区期中）体育学科越来越得到重视，某中学规定学生的学期体育成绩满分100分，其中健康知识考试成绩占20%，课外体育活动情况占30%，体育技能考试成绩占50%，小明的这三项成绩（百分制）依次为95、90、90，则小明这学期的体育成绩为（　　） A．90 B．91 C．94 D．95 【分析】根据题目中的数据和加权平均数的计算方法，可以计算出小明这学期的体育成绩． 【解答】解：由题意可得， 小明这学期的体育成绩为：91（分）． 故选：B． 【点评】本题考查加权平均数，解答本题的关键是明确加权平均数的计算方法． 2．（2024春•兴隆台区期末）某班为了解学生对“勾股定理”内容的掌握情况，进行了一次单元测试，并从中随机抽取了10名学生的测试成绩，对成绩（用t表示，满分100分）进行分组整理，绘制了下面的统计表，则这10名学生的样本平均数是（　　） 分数段/分 50≤t＜60 60≤t＜70 70≤t＜80 80≤t＜90 90≤t＜100 频数/人 1 2 3 2 2 A．76.5 B．77 C．77.5 D．78 【分析】根据加权平均数的意义计算出结果即可． 【解答】解：这10名学生的样本平均数是：（55×1+65×2+75×3+85×2+95×2）＝77， 故选：B． 【点评】本题考查的是加权平均数，频数分布表，熟悉相关性质是解题的关键． 3．（2024•宁津县校级开学）某校一学期的数学总平均成绩的各项占比如图所示，该校小亮同学本学期的数学成绩如下表，则小亮同学本学期的数学总平均成绩为（　　） 平时作业 期中考试 期末考试 成绩/分 90 85 88 A．85分 B．87.5分 C．88分 D．90分 【分析】利用加权平均数的计算公式解题即可． 【解答】解：小亮同学本学期的数学总平均成绩为90×20%+85×30%+88×50%＝87.5（分）， 故选：B． 【点评】此题考查加权平均数的求法和从不同的统计图中获取信息的能力． 4．某校男子足球队队员的年龄分布如下表，则该校男子足球队队员的平均年龄是（　　） 年龄/岁 12 13 14 15 人数 2 3 10 7 A．12 B．13 C．14 D．15 【分析】根据加权平均数的计算公式进行计算即可． 【解答】解：根据题意得： （12×2+13×3+14×10+15×7）÷（2+3+10+7）＝14（岁）． 则该校男子足球队队员的平均年龄是14岁． 故选：C． 【点评】此题考查的是加权平均数的求法．本题易出现的错误是求12，13，14，15这四个数的平均数，对平均数的理解不正确． 5．（2024秋•双桥区校级月考）某校举办歌唱比赛，其中三名选手的成绩统计如下表． 测试成绩（单位：分） 测试项目 唱功 音乐常识 综合知识 嘉嘉 98 80 80 淇淇 95 90 90 珍珍 80 100 100 若唱功、音乐常识、综合知识按6：3：1的加权平均分决定冠军、亚军、季军，则冠军、亚军、季军分别是（　　） A．嘉嘉、淇淇、珍珍 B．嘉嘉、珍珍、淇淇 C．淇淇、嘉嘉、珍珍 D．淇淇、珍珍、嘉嘉 【分析】本题考查加权平均数，根据加权平均数的计算方法得出三名选手的成绩，即可求解． 【解答】解：由题意知， 嘉嘉的最终得分为：， 淇淇的最终得分为：， 珍珍的最终得分为：， 93＞90.8＞88， 可知冠军、亚军、季军分别是：淇淇、嘉嘉、珍珍． 故选：C． 【点评】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义． 题型三 利用加权平均数进行决策比较 解题技巧提炼 首先通过计算加权平均数，然后比较平均数的大小，最后进行决策. 1．（2023春•盐池县期末）某校学生会要在甲、乙两位候选人中选择一人担任文艺部干事，对他们进行了文化水平、艺术水平、组织能力的测试，根据综合成绩择优录取．他们的各项成绩（单项满分100分）如表所示： （1）如果把各项成绩的平均数作为综合成绩，应该录取谁？ （2）如果想录取一名组织能力较强的候选人，把文化水平、艺术水平、组织能力三项成绩分别按照20%，20%，60%的比例计入综合成绩，应该录取谁？ 候选人 文化水平 艺术水平 组织能力 甲 80分 87分 82分 乙 80分 96分 76分 【分析】（1）根据算术平均数的定义列式计算可得； （2）根据加权平均数的定义列式计算可得． 【解答】解：（1）甲的平均成绩为83（分）； 乙的平均成绩为84（分）， 因为乙的平均成绩高于甲的平均成绩， 所以乙被录用； （2）根据题意，甲的平均成绩为80×20%+87×20%+82×60%＝82.6（分）， 乙的平均成绩为80×20%+96×20%+76×60%＝80.8（分）， 因为甲的平均成绩高于乙的平均成绩， 所以甲被录用． 【点评】本题主要考查平均数，解题的关键是熟练掌握算术平均数和加权平均数的计算公式． 2．（2024春•嘉兴期末）某校在一次演讲比赛中，甲，乙的各项得分如表． 演讲内容 语言表达 临场表现 甲 90 85 80 乙 84 83 91 （1）如果根据三项得分的平均分从高到低确定名次，那么两位同学的排名顺序怎样？ （2）若学校认为这三个项目的重要程度有所不同，而给予“演讲内容”“语言表达”“临场表现”三个项目在总分中的占比为2：2：1，那么两位同学的排名顺序又怎样？ 【分析】（1）先分别计算出两人的平均数，然后按照从高到低进行排名； （2）根据加权平均数的概念再计算各班的加权平均数，然后再排名． 【解答】解：（1）甲的平均数为85（分）， 乙的平均数为86（分）， ∵86＞85， ∴乙排在甲的前面； （2）甲的综合成绩为86（分）， 乙的综合成绩为85（分）， ∵86＞85， ∴甲排在乙的前面． 【点评】本题考查了平均数和加权平均数的计算，掌握加权平均数的定义与计算公式是解答本题的关键． 2．（2024秋•广平县月考）某校期末评价成绩是由完成作业、半期检测、期末考试三项成绩构成的，如果期末评价成绩在80分以上则评为“优秀”．下表是嘉嘉和淇淇两位同学的成绩． 学生 完成作业/分 半期检测/分 期末考试/分 嘉嘉 90 76 80 淇淇 82 70 86 （1）若将三项成绩的平均分记为期末评价成绩，请计算嘉嘉的期末评价成绩； （2）若将完成作业、半期检测、期末考试三项成绩按2：3：5的比例来确定期末评价成绩，请你通过计算判断淇淇能否被评为“优秀”． 【分析】（1）直接利用算术平均数的定义求解可得； （2）根据加权平均数的定义计算，在比较即可． 【解答】解：（1）（分）； （2）（分）， ∵80.4＞80， ∴淇淇能被评为“优秀”． 【点评】本题主要考查加权平均数和平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义． 3．（2023•宁波一模）为深入学习贯彻习近平法治思想，推动青少年宪法学习宣传教育走深走实，教育部组织开展第七届全国学生“学宪法讲宪法”系列活动．某校积极响应教育部的号召，开展了宪法知识在线学习、知识竞赛与演讲比赛三项活动，表是参加冠亚军决赛的两名选手的各项测试成绩（单位：分）． 选手 项目 在线学习 知识竞赛 演讲比赛 甲 84 96 90 乙 89 99 85 （1）若将在线学习、知识竞赛与演讲比赛三项成绩的平均分作为最后成绩，谁将会获得冠军？ （2）若将在线学习、知识竞赛与演讲比赛的成绩按2：3：5的比例计算最后成绩，谁将会获得冠军？ 【分析】（1）分别计算甲、乙的算术平均数，然后比较即可； （2）分别计算甲、乙的加权平均数，然后比较即可． 【解答】解：（1）由题意知，甲的平均分为：分； 乙的平均分为：分； ∵91＞90， ∴乙会获得冠军； （2）由题意知，甲的最后成绩为：； 乙的最后成绩为：； ∵90.6＞90， ∴甲会获得冠军． 【点评】本题考查了算术平均数与加权平均数．解题的关键在于熟练掌握平均数的计算方法． 4．松雷中学校学生会干部对校学生会倡导的“助残”自愿捐款活动进行抽样调查，得到一组学生捐款情况的数据，下图是根据这组数据绘制的统计图，图中从左到右各长方形高度之比为3：4：5：8：2，又知此次调查中捐15元和20元的人数共39人． （1）他们一共抽查了多少人？ （2）若该校共有2310名学生，请估计全校学生共捐款多少元？ 【分析】（1）由条形图可得抽查的总人数； （2）求出这组数据的平均数，再估算． 【解答】解：（1）设捐15元的人数为5x，则根据题意捐20元的人数为8x． 则5x+8x＝39， 解得：x＝3 则一共调查了3x+4x+5x+8x+2x＝66（人）； （2）全校学生共捐款： （9×5+12×10+15×15+24×20+6×30）÷66×2310＝36750（元）． 答：估计全校学生共捐款36750元． 【点评】本题考查的是条形统计图运用，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据． 5．（2023秋•紫金县期末）某校在一次广播操比赛中，初二（1）班、初二（2）班、初二（3）班的各项得分如下： 服装统一 动作整齐 动作准确 初二（1）班 80 84 87 初二（2）班 97 78 80 初二（3）班 90 78 85 （1）填空：根据表中提供的信息，在服装统一方面，三个班得分的平均数是　 　；在动作整齐方面三个班得分的众数是　 　；在动作准确方面最有优势的是　 　班． （2）如果服装统一、动作整齐、动作准确三个方面的重要性之比为2：3：5，那么这三个班的排名顺序怎样？为什么？ （3）在（2）的条件下，你对三个班级中排名最靠后的班级有何建议？ 【分析】（1）用算术平均数的计算方法求得三个班的服装统一的平均数，找到动作整齐的众数即可； （2）利用加权平均数分别计算三个班的得分后即可排序； （3）根据成绩提出提高成绩的合理意见即可； 【解答】解：（1）服装统一方面的平均分为：89分； 动作整齐方面的众数为78分； 动作准确方面最有优势的是初二（1）班； （2）∵初二（1）班的平均分为：84.7分； 初二（2）班的平均分为：82.8分； 初二（3）班的平均分为：83.9； ∴排名最好的是初二一班，最差的是初二（2）班； （3）加强动作整齐方面的训练，才是提高成绩的基础． 【点评】本题考查了平均数和加权平均数的计算．要注意，当所给数据有单位时，所求得的平均数与原数据的单位相同，不要漏单位． 题型四 利用组中值求加权平均数 解题技巧提炼 根据频数分布表或频数分布直方图计算加权平均数的方法：先计算各组数据的组中值，用各组数据的组中值代表各组的实际数据，再把各组中的频数看成是相应组中值的权来进行计算. 1．（2023春•思明区校级期中）已知某外卖平台设置送餐距离超过5千米无法配送，由于给送餐员的费用与送餐距离有关，为更合理设置送餐费用，该平台随机抽取80名点外卖的用户进行统计，按送餐距离分类统计结果如表： 送餐距离x（千米） 0＜x≤1 1＜x≤2 2＜x≤3 3＜x≤4 4＜x≤5 数量 12 20 24 16 8 估计利用该平台点外卖用户的平均送餐距离为（　　） A．3千米 B．2.85千米 C．2.35千米 D．1.85千米 【分析】利用加权平均数的公式计算即可． 【解答】解：估计利用该平台点外卖用户的平均送餐距离为（12×0.5+20×1.5+24×2.5+16×3.5+8×4.5）＝2.35（千米）． 故选：C． 【点评】本题考查了加权平均数，掌握加权平均数公式是解答本题的关键． 2．对一组数据整理如下表，估计这组数据的平均数为 　 　． 分组频数 频数 0≤x＜10 8 10≤x＜20 12 20≤x＜30 20 【分析】根据加权平均数的定义列式计算即可． 【解答】解：估计这组数据的平均数为18， 故答案为：18． 【点评】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义． 3．为了解植物园内某种花卉的生长情况，在一片约有3000株此类花卉的园地内，随机抽测了200株该花卉的高度作为样本，统计结果整理后列表如下（每组包含最低值，不包含最高值），则该园地内此类花卉的平均高度约为　 　cm． 高度（cm） 40～50 50～60 60～70 70～80 80～90 90～100 频数（株） 30 40 20 20 50 40 【分析】每组数据取组中值，依据加权平均数的定义列式计算可得． 【解答】解：该园地内此类花卉的平均高度约为72（cm）， 故答案为：72． 【点评】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义． 4．某校为了了解该校学生在家做家务的情况，随机调查了50名学生，得到他们在一周内做家务所用时间的情况如下表所示 时间/（小时） 0≤t＜1 1≤t＜2 2≤t＜3 3≤t＜4 4≤t＜5 人数 8 14 20 6 2 则可以估计该校学生平均每人在一周内做家务所用时间是　 　小时．（同一组中的数据用这组数据的组中值作代表．） 【分析】利用组中值求平均数，再利用样本估计总体的思想解决问题即可 【解答】解：50名学生平均每人在一周内做家务所用时间2.1（小时）， 故答案为2.1小时． 【点评】本题考查加权平均数，样本估计总体的思想等知识，解题的关键是学会利用组中值求平均数，属于中考常考题型． 5．一个班有50名学生，一次考试成绩（单位：分）的分布情况如下表所示： 成绩 组中值 频数（人数） 49.5～59.5 　　 4 59.5～69.5 　　 8 69.5～79.5 　　 14 79.5～89.5 　　 18 89.5～99.5 　　 6 （1）填写表中“组中值”一栏的空白； （2）求该班本次考试的平均成绩． 【分析】（1）根据组中值（首+尾）可完成填空； （2）先计算各组的组中值×各组的权重的总和，再除以总人数即可． 【解答】解（1）， ， ， ， ， 故答案为：54.5；64.5；74.5；84.5；94.5． （2）总成绩为：54.5×4+64.5×8+74.5×14+84.5×18+94.5×6＝3865（分）， 3865÷（4+14+8+18+6）＝77.3（分）． 答：本次考试的平均成绩是77.3分． 【点评】本题考查加权平均数的计算方法，能正确求出组中值是解题关键． 题型五 利用样本平均数估计总体平均数 解题技巧提炼 用样本估计总体时，样本的容量越大，样本对总体的估计越准确，用样本的平均数可以估计总体的平均数. 1．某班为调查每个学生用于课外作业的平均时间，从该班学生中随机抽取了10名学生进行调查，得到他们用于课外作业的时间（单位：min ）如下：75，80，85，65，95，80，85，85，80，90．由此估计该班的学生用于课外作业的平均时间是（　　） A．80 B．81 C．82 D．83 【分析】根据平均数的定义解答即可． 【解答】解：（75+80+85+65+95+80+85+85+80+90）÷10＝82， 故选：C． 【点评】本题考查数据的分析．解题的关键是理解平均数的意义． 2．某校开展“节约每一滴水”活动，为了了解开展活动一个月以来节约用水的情况，从八年级的400名同学中选取20名同学统计了各自家庭一个月节约水情况．见表： 节水量/m3 0.2 0.25 0.3 0.4 0.5 家庭数/个 2 4 6 7 1 请你估计这400名同学的家庭一个月节约用水的总量大约是（　　） A．130m3 B．135m3 C．6.5m3 D．260m3 【分析】先计算这20名同学各自家庭一个月的节水量的平均数，即样本平均数，然后乘以总数400即可解答． 【解答】解：20名同学各自家庭一个月平均节约用水是： （0.2×2+0.25×4+0.3×6+0.4×7+0.5×1）÷20＝0.325（m3）， 因此这400名同学的家庭一个月节约用水的总量大约是： 400×0.325＝130（m3）， 故选：A． 【点评】本题考查的是通过样本去估计总体，只需将样本“成比例地放大”为总体即可，关键是求出样本的平均数． 3．有4万个不小于70的两位数，从中随机抽取了3000个数据，统计如下： 数据x 70＜x＜79 80＜x＜89 90＜x＜99 个数 800 1300 900 平均数 78.1 85 91.9 请根据表格中的信息，估计这4万个数据的平均数约为（　　） A．92.16 B．85.23 C．84.73 D．77.97 【分析】先计算这3000个数的平均数，即样本的平均数，再利用样本的平均数去估计总体平均数，即可解答． 【解答】解：这3000个数的平均数为：85.23， 于是用样本的平均数去估计总体平均数， 这这4万个数据的平均数约为85.23， 故选：B． 【点评】本题考查了用样本估计总体，解决本题的关键是求出样本的平均数． 4．（2023秋•南通期末）为了解南迁到某湿地的A种候鸟的情况，从中捕捉30只，戴上识别卡并放回．经过一段时间后观察发现，200只A种候鸟中有10只佩有识别卡，由此可以估计该湿地A种候鸟约有 　　 只． 【分析】在样本中“200只A种候鸟中有10只佩有识别卡”，即可求得有识别卡的所占比例，而这一比例也适用于整体，据此即可解答． 【解答】解：设该湿地约有x只A种候鸟， 则200：10＝x：30， 解得x＝600． 故答案为：600． 【点评】本题考查的是通过样本去估计总体，只需将样本“成比例地放大”为总体即可． 5．随机抽取某理发店一周的营业额如下表（单位：元）： 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 合计 540 680 760 640 960 2200 1780 7560 （1）求该店本周的日平均营业额； （2）如果用该店本周星期一到星期五的日平均营业额估计当月的营业总额，你认为是否合理？如果合理，请说明理由；如果不合理，请设计一个方案，并估计该店当月（按30天计算）的营业总额． 【分析】（1）根据平均数的定义计算可得； （2）从极端值对平均数的影响作出判断，可用该店本周一到周日的日均营业额估计当月营业额． 【解答】解：（1）该店本周的日平均营业额为7560÷7＝1080元； （2）因为在周一至周日的营业额中周六、日的营业额明显高于其他五天的营业额， 所以去掉周六、日的营业额对平均数的影响较大， 故用该店本周星期一到星期五的日平均营业额估计当月的营业总额不合理， 方案：用该店本周一到周日的日均营业额估计当月营业额， 当月的营业额为30×1080＝32400元． 【点评】本题主要考查算术平均数及样本估计总体，解题的关键是掌握算术平均数的定义与样本估计总体思想的运用． 6．（2024秋•越秀区校级月考）某校为了解学生一周课外阅读情况，随机抽取部分学生调查了他们一周课外阅读时间，并将数据进行整理制成如下统计图．请解答以下问题： （1）本次调查的总人数是 　 　； （2）抽查的这些学生一周平均课外阅读时间是多少？ （3）若该校共有2000个学生，请估计该校学生一周课外阅读时间不少于3小时的人数． 【分析】（1）根据统计图即可求解； （2）根据平均数的定义结合条形统计图即可求解； （3）用2000乘以劳动时间为3小时及以上的人数的占比即可求解． 【解答】解：（1）本次调查的学生总数为4+8+15+10+3＝40（人）， 故答案为：40； （2）（1×4+2×8+3×15+4×10+5×3）＝3（小时）， 答：此次抽查的这些学生一周平均的课外劳动时间是3小时； （3）20001400（人）， 答：估计该校学生一周的课外劳动时间不少于3小时的人数为1400人． 【点评】本题考查了加权平均数及全面调查与抽样调查和用样本估算总体，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． 题型六 求中位数 解题技巧提炼 将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 1．（2024秋•仪征市期中）一组数据分别为：80，82，78，84，则这组数据的中位数是（　　） A．79 B．80 C．81 D．82 【分析】先把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数，据此即可解答． 【解答】解：从小到大排列此数据为：78，80，82，84． 则这组数据的中位数为：（80+82）÷2＝81， 故选：C． 【点评】本题考查了中位数，掌握中位数的概念是解题的关键． 2．（2024秋•工业园区校级期中）“杂交水稻之父”袁隆平培育的超级杂交稻在全世界推广种植．为考查所种杂交水稻的长势，随机抽取6株水稻苗，测得苗高（单位：cm）分别是：21，21，21，23，23，24，则这组数据的中位数是（　　） A．21 B．22 C．23 D．21，23 【分析】根据中位数的定义求解即可． 【解答】解：这组数据的中位数是22， 故选：B． 【点评】本题主要考查中位数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 3．（2024秋•石家庄期中）2024年河北某地9月2日至9月8日的最高气温（℃）如下表： 日期 2日 3日 4日 5日 6日 7日 8日 最高气温/℃ 27 32 27 28 29 29 29 则这7天最高气温的中位数是（　　） A．27℃ B．28℃ C．29℃ D．32℃ 【分析】根据中位数的定义求解即可． 【解答】解：将这组数据重新排列为27、27、28、29、29、29、32， 所以这组数据的中位数为29℃， 故选：C． 【点评】本题主要考查中位数，解题的关键是掌握中位数的定义． 4．（2024秋•长春期中）某中学校园文化艺术节歌唱比赛有15名同学参赛，得分前8名的同学进入决赛，经过角逐，这15名同学的得分各不相同，小明知道自己的得分后，要判断自己能否进入决赛，还需要知道这15名同学得分的（　　） A．平均数 B．方差 C．众数 D．中位数 【分析】根据中位数的定义分析判断即可． 【解答】解：由题意可得， 这15个不同的成绩按从小到大排序后，中位数就是第8个数据， 故只要知道自己的成绩和中位数，就可以知道是否进入决赛， 故选：D． 【点评】本题主要考查了中位数的知识，熟练掌握中位数的定义是解题关键． 5．某电脑公司销售部对20位销售员本月的销售量统计如下表： 销售量（台） 12 14 20 30 人数 4 5 8 3 则这20位销售人员本月销售量的平均数和中位数分别是（　　） A．19，20 B．19，25 C．18.4，20 D．18.4，25 【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数，平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数． 【解答】解：平均数为18.4（台）， 中位数为20（台）， 故选：C． 【点评】此题主要考查了一组数据平均数的求法，以及中位数的求法，又结合了实际问题，此题比较典型． 6．某小组组长统计了该组10名同学每周在家帮助做家务的平均时间（单位：时），并制成了以下表格：则这10名同学在家做家务的平均时间的中位数是　 　． 平均做家务时间（时） 0.5 1 1.5 2 2.5 人数 3 3 2 1 1 【分析】根据中位数的定义求解即可． 【解答】解：这10名同学在家做家务的平均时间的中位数是1（时）， 故答案为：1时． 【点评】本题主要考查中位数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 题型七 求众数 解题技巧提炼 确定一组数据的众数，首先要找出这组数据中各数据出现的次数，其中出现次数最多的数据就是这组数据的众数． 1．（2024秋•盐城期中）一组数据：5，6，6，7，8，这组数据的众数是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【分析】根据众数的定义“众数就是一组数据中出现次数最多的那个数据”即可得． 【解答】解：6出现的次数最多， 所以这组数据的众数是6， 故选：B． 【点评】本题考查了众数，理解众数的概念是关键． 2．（2024秋•宿豫区期中）小丽某周每天的睡眠时间如下（单位：h）：8，9，7，9，7，8，8，则小丽本周每天的睡眠时间的众数为（　　） A．7h B．8h C．8.5h D．9h 【分析】根据众数的定义求解即可． 【解答】解：这组数据中8出现3次，次数最多， 所以小丽本周每天的睡眠时间的众数为8h， 故选：B． 【点评】本题主要考查众数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数． 3．（2024秋•吴江区期中）五位裁判对某个体操运动员的打分数据是：9.0，8.9，8.8，8.8，9.1，这组数据的众数是（　　） A．8.8 B．8.9 C．9.0 D．9.1 【分析】由众数的定义即可得出结论． 【解答】解：∵9.0，8.9，8.8，8.8，9.1，这组数据中8.8出现的次数最多， ∴这组数据的众数是8.8， 故选：A． 【点评】本题考查了众数，熟记众数的定义是解题的关键． 4．（2023•周口二模）某校八年级（3）班50名学生自发组织献爱心捐款活动．班长将捐款情况进行了统计，并绘制成了如图所示的统计图（不完整）．根据图中提供的信息，捐款金额的众数是（　　） A．20元 B．30元 C．50元 D．100元 【分析】先求出捐款30元的人数，再根据众数的定义即可得出答案． 【解答】解：捐款30元的人数为50﹣6﹣13﹣8﹣3＝20， ∵30出现的次数最多，出现了20次， ∴捐款金额的众数是30元． 故选：B． 【点评】此题考查了众数，熟练掌握众数的定义即众数是一组数据中出现次数最多的数是解题的关键． 5．（2023•醴陵市一模）为振兴乡村经济，在农产品网络销售中实行目标管理，根据目标完成的情况对销售员给予适当的奖励，某村委会统计了15名销售员在某月的销售额（单位：万元），数据如下：10 4 7 5 4 10 5 4 4 18 8 3 5 10 8．这组数据的众数是 　 　． 【分析】根据众数的定义：一组数据中出现次数最多的一个数或多个数，求解即可． 【解答】解：由题意可得，出现次数最多的数是4， 所以众数是4， 故答案为：4． 【点评】本题考查求众数，熟练掌握知识点是解题关键． 6．（2023春•朝阳区校级期中）学校为了解“阳光体育”活动开展情况，随机调查了50名学生一周参加体育锻炼的时间，数据如表格所示，这些学生一周参加体育锻炼时间的众数是 　 　． 人数（人） 9 14 16 11 时间（小时） 7 8 9 10 【分析】找出调查的50名学生一周参加体育锻炼的时间出现次数最多的数即可． 【解答】解：从表格中的数据可知，调查的50名学生一周参加体育锻炼的时间出现次数最多的是9小时，共出现16次，因此众数是9， 故答案为：9． 【点评】本题考查众数，理解“一组数据出现次数最多的数是这组数据的众数”是正确解答的前提． 题型八 中位数和众数 解题技巧提炼 中位数和众数的综合运用，要根据各自的定义来求解即可. 1．（2024春•赛罕区校级期末）某班15名男生引体向上成绩如表，则这组数据的众数和中位数分别是（　　） 个数 17 12 10 7 2 人数 2 3 4 5 1 A．7，10 B．10，7 C．10，10 D．7，12 【分析】根据众数、中位数的定义进行判断即可． 【解答】解：15名男生引体向上成绩出现次数最多的是7个，共出现5次，因此众数是7， 将这15名男生引体向上成绩从小到大排列，处在中间位置的一个数是10个，因此中位数是10， 故选：A． 【点评】本题考查中位数、众数，理解“在一组数据中出现次数最多的数是众数，将一组数据从小到大排列后，处在中间位置的一个数或两个数的平均数是中位数”是正确解答的关键． 2．（2024秋•雨花区校级月考）“杂交水稻之父”袁隆平培育的超级杂交稻在全世界推广种植．某种植户为了考查所种植的杂交水稻苗的长势，从稻田中随机抽取7株水稻苗，测得苗高（单位：cm）分别是：21，22，21，23，24，21，23．则这组数据的众数和中位数分别是（　　） A．21，23 B．23，21 C．21，22 D．22，21 【分析】根据将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数，如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数；一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，即可求解． 【解答】解：这组数据中，出现次数最多的是21，共出现3次， 因此众数是21； 将这组数据从小到大排列，处在中间位置的一个数是22， 因此中位数是22， 即：众数是21，中位数是22， 故选：C． 【点评】本题考查了中位数和众数，解题的关键是根据中位数和众数的定义来解答． 3．（2023•大连一模）在我市开展的“好书伴我成长”读书活动中，某中学为了解八年级300名学生读书情况，随机调查了八年级50名学生读书的册数，统计数据如下表所示： 册数 0 1 2 3 4 人数 3 13 16 17 1 那么这50名同学读书册数的众数，中位数分别是（　　） A．3，2 B．3，3 C．2，3 D．3，1 【分析】在这组样本数据中，3出现的次数最多，所以求出了众数，将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是2，从而求出中位数是2； 【解答】解：∵这组样本数据中，3出现了17次，出现的次数最多， ∴这组数据的众数是3． ∵将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是2， ∴这组数据的中位数为2； 故选：A． 【点评】本题考查的知识点有：用样本估计总体、众数以及中位数的知识，解题的关键是牢记概念及公式． 4．（2023•安徽一模）某中学为了提高学生的跳远成绩进行了强化锻炼，锻炼一个月后，学校对九年级一班的45名学生进行测试，成绩如表： 跳远成绩（cm） 160 170 180 190 200 220 人数 3 9 6 9 15 3 这些学生跳远成绩的中位数和众数分别是（　　） A．15，9 B．9，9 C．190，200 D．185，200 【分析】根据中位数和众数的定义，第23个数就是中位数，出现次数最多的数为众数． 【解答】解：这组数据的中位数是第23个数据，而第23个数据是190cm， 所以这组数据的中位数是190cm， 这组数据中200cm出现次数最多， 所以这组数据的众数为200cm， 故选：C． 【点评】本题为统计题，考查众数与中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会错误地将这组数据最中间的那个数当作中位数． 5．某中学的学生对本校学生的每周零花钱使用情况进行抽样调查，得到了一组学生平均一周用出的零花钱的数据．如图是根据这组数据绘制的统计图，图中从左到右各长方形的高度之比为3：4：5：8：6，又知此次调查中平均一周用出零花钱是25元和30元的学生一共42人．那么，这组数据的众数是　　 、中位数是　 　． 【分析】根据比例问题结合统计图设每份的人数是x人，则捐款10元的有3x人，捐款15元的有4x人，捐款20元的有5x人，捐款25元的有8x人，捐款30元的有6x人，根据两种数额捐款人数为42人建立方程求出其解就可以求出各组的人数和总人数，从而得出众数和中位数． 【解答】解：设每份的人数是x人，则捐款25元的有8x人，捐款30元的有6x人，由题意，得 8x+6x＝42， 解得：x＝3， ∴捐款10元的有9人， 捐款15元的有12人， 捐款20元的有15人， 捐款25元的有24人， 捐款30元的有18人， ∴一共调查的人数有：9+12+15+24+18＝78人． 在这组数据中，25出现的次数最多24次， ∴这组数据的众数是25， 这组数据一共有78个数，处在最中间的两个数的平均数是25， ∴这组数据的中位数是25． ∴这组数据的众数、中位数各是：25，25． 故答案为：25，25． 【点评】本题考查了运用比例问题的数量关系建立方程解实际问题的运用，条形统计图的运用，中位数，众数的运用，解答时建立方程求出数据总数是关键． 题型九 中位数、众数与统计图表的综合 解题技巧提炼 中考题和教材原题型都考查了几种特征数与统计图的知识，从不同的角度来分析，理由合理即可. 1．空气质量状况已引起全社会的广泛关注，某市统计了2013年每月空气质量达到良好以上的天数，整理后制成如下折线统计图和扇形统计图． 根据以上信息解答下列问题： （1）该市2013年每月空气质量达到良好以上天数的中位数是　 　天，众数是　 　天； （2）求扇形统计图中扇形A的圆心角的度数； （3）根据以上统计图提供的信息，请你简要分析该市的空气质量状况（字数不超过30字）． 【分析】（1）利用折线统计图得出各数据，进而求出中位数和众数； （2）利用（1）中数据得出空气为优的所占比例，进而得出扇形A的圆心角的度数； （3）结合空气质量进而得出答案． 【解答】解：（1）由题意可得，数据为：8，9，12，13，13，13，15，16，17，19，21，21， 最中间的是：13，15， 故该市2013年每月空气质量达到良好以上天数的中位数是14天，众数是13天 故答案为：14，13； （2）由题意可得：360°60°． 答：扇形A的圆心角的度数是60°． （3）该市空气质量为优的月份太少，应对该市环境进一步治理，合理即可． 【点评】此题主要考查了折线统计图以及中位数和众数的概念，利用折线统计图分析数据是解题关键． 2．（2023•白云区二模）电信诈骗，严重危害着人民群众的财产安全，为提高大家的防范意识，某校举行了主题为“防电信诈骗，保财产安全”的知识测试．七、八年级各有600名学生，现从这两个年级各随机抽取50名学生参加测试，为了解本次测试成绩的分布情况，将两个年级的测试成绩x按A：90≤x≤100，B：80≤x＜90，C：70≤x＜80，D：60≤x＜70四个评价等级进行整理，得到了不完整的统计图表．七年级成绩统计表： 评价等级 成绩x/分 频数 频率 A 90≤x≤100 20 0.4 B 80≤x＜90 b 0.22 C 70≤x＜80 15 0.3 D 60≤x＜70 4 0.08 八年级测试成绩评价等级为B的全部分数（单位分）如下：80，81，82，82，84，86，86，87，88，88，89，89，89． （1）表格中，b＝　 　； （2）八年级测试成绩的中位数是 　 　； （3）若测试成绩不低于80分，则认为该学生对防电信诈骗意识较强，请估计该校七、八两个年级对防电信诈骗意识较强的学生一共有多少人？ 【分析】（1）用总数乘B等级的频率可得b的值； （2）根据中位数的定义解答即可； （3）用样本估计总体即可． 【解答】解：（1）b＝50×0.22＝11， 故答案为：11； （2）把八年级50名学生的测试成绩从大到小排列，排在中间的两个数分别是88，87，故中位数为87.5， 故答案为：87.5； （3）600×（0.4+0.22）+600×（44%+26%）＝372+420＝792（人）， 答：估计该校七、八两个年级对防电信诈骗意识较强的学生一共约有792人． 【点评】本题考查了频数分布分布表、扇形统计图、用样本估计总体等知识，掌握数形结合的思想解答是关键． 3．（2023•雁塔区校级模拟）我校为了解初三学生对于体育中考三大球项目中的排球技能掌握情况，在本校随机抽取了若干名初三学生进行测试，其中男生50名．将测试结果统计如下： 40秒内垫球个数（x） x≤20 20＜x≤30 30＜x≤40 40＜x≤45 x＞45 频数（男生） 2 10 a 9 10 频数（女生） 1 8 b 14 5 根据上述信息回答下列问题： （1）求得a＝　 　，b＝　 　． （2）被抽取初三女生40秒垫球个数的中位数所落在的范围是 　 ． （3）若我校今年参加中考的考生有500人，其中男生有300人，女生有200人，请你估计在我校今年参加中考的考生中排球技能能取得满分的人数．（男生40秒垫球45个及以上为满分，女生40秒内垫球40个及以上为满分） 【分析】（1）用男生总人数减去其余各组人数可得a的值，先根据女生20＜x≤30所占的百分数和频率求得女生总人数，用女生总人数减去其余各组人数可得b的值，即可解决问题； （2）由中位数的定义求解即可； （3）由男生总人数乘获得满分男生的人数所占的比例加上女生总人数乘获得满分女生的人数所占的比例即可． 【解答】解：（1）a＝50﹣2﹣10﹣9﹣10＝19， 女生总人数为：8÷16%＝50（名）， 则b＝50﹣1﹣8﹣14﹣5＝22． 故答案为：19，22； （2）由中位数的定义可知，被抽取初三女生40秒垫球个数的中位数所落在的范围是30＜x≤40． 故答案为：30＜x≤40； （3）300200 ＝60+76 ＝136（名）． 故估计在我校今年参加中考的考生中排球技能能取得满分的人数为136名． 【点评】本题考查读频数（率）分布表的能力和利用统计图获取信息的能力，用样本估计总体，中位数；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题． 4．（2024春•红旗区校级期末）百度推出了“文心一言”AI聊天机器人（以下简称A款），抖音推出了“豆包”AI聊天机器人（以下简称B款）．有关人员开展了A，B两款AI聊天机器人的使用满意度评分测验，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个等级：不满意x＜70，比较满意70≤x＜80，满意80≤x＜90，非常满意x≥90），下面给出了部分信息： 抽取的对A款AI聊天机器人的评分数据中“满意”的数据： 84，86，86，87，88，89； 抽取的对B款AI聊天机器人的评分数据： 66，68，69，81，84，85，86，87，87，87，88，89，95，97，98，98，98，98，99，100． 抽取的对A，B款AI聊天机器人的评分统计表 设备 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比 A 88 b 96 45% B 88 87 c 40% 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　； （2）根据以上数据，你认为哪款AI聊天机器人更受用户喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）在此次测验中，有240人对A款AI聊天机器人进行评分、300人对B款AI聊天机器人进行评分，请通过计算，估计此次测验中对AI聊天机器人不满意的共有多少人？ 【分析】（1）用1分别减去其他三个等级所占百分比可得a的值，根据中位数的定义可得b的值，根据众数的定义可得c的值； （2）通过比较A，B款的评分统计表的数据解答即可； （3）由A、B两款的不满意的人数之和即可得出答案． 【解答】解：（1）由题意得：a%＝1﹣10%﹣45%100%＝15%， 即a＝15， ∵A款的评分非常满意有20×45%＝9（个），“满意”的数据为84、86、86、87、88、89， ∴把A款的评分数据从小到大排列，排在中间的两个数是88、89， ∴中位数b88.5， 在B款的评分数据中，98出现的次数最多， ∴众数c＝98； 故答案为：15，88.5，98； （2）A款AI聊天机器人更受用户喜爱，理由如下： 因为两款的评分数据的平均数相同都是88，但A款评分数据的中位数为88比B款的中位数87高，所以A款AI聊天机器人更受用户喜爱（答案不唯一）； （3）69（人）， 答：估计此次测验中对AI聊天机器人不满意的大约共有69人． 【点评】本题考查了扇形统计图、中位数、众数以及样本估计总体等知识，正确理解中位数、众数的意义，熟练掌握中位数、众数的计算方法是解题的关键． 5．（2023•呈贡区校级三模）数学运算是数学核心素养的重要部分，为了了解九年级学生的数学运算能力，某校对全体九年级同学进行了数学运算水平测试，并随机抽取50名学生的测试成绩（满分100分）进行整理和分析．（成绩共分成四组：D：60＜x≤70，C：70＜x≤80，B：80＜x≤90，A：90＜x≤100） ①成绩频数分布表： 成绩等级 D等 C等 B等 A等 分数（单位：分） 60＜x≤70 70＜x≤80 80＜x≤90 90＜x≤100 学生数 9 a 12 16 ②成绩在80＜x≤90这一组的是（单位：分）：81，82，85，85，85，86，87，89，90，90，90，90． 根据以上信息，回答下列问题： （1）上述表中a＝　 　，成绩达到A等级的人数占测试人数的百分比是 　 ，本次测试成绩的中位数是 　 　，其中在80＜x≤90这一组成绩的众数是 　 　． （2）如果测试成绩高于90分，则认为成绩优秀．请估计该校九年级400名学生中测试成绩为优秀的人数． 【分析】（1）用总数50分别减去其它三个等级的频数可得a的值，根据中位数的定义可得本次测试成绩的中位数，用A等级的人数除以总数可得A等级所占百分比，根据众数的定义解答即可； （2）用总人数乘以对应的优秀率求解即可． 【解答】解：（1）上述表中a＝50﹣9﹣12﹣16＝13， 成绩达到A等级的人数占测试人数的百分比是32%， 本次测试成绩的中位数是85， 在80＜x≤90这一组成绩中，90出现的次数最多，故众数为90． 故答案为：13；32%；85；90； （2）400×32%＝128（名）， 答：估计该校九年级400名学生中测试成绩为优秀的人数大约为128名． 【点评】本题考查了中位数、众数，频数分布表以及用样本估计总体，掌握中位数、众数以及“频率”是正确解答的前提． 6．某公司销售部统计了每个销售员在某月的销售额，绘制了不完整的折线统计图和扇形统计图． 设销售员的月销售额为x（单位：万元）．销售部规定：当x＜16时为“不称职”，当16≤x＜20时为“基本称职”，当20≤x＜25时为“称职”，当x≥25时为“优秀”．根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：该销售部共有销售员 　 　人，d＝　 　； （2）所有销售员月销售额的中位数为 　 　；众数为 　 　； （3）为了调动销售员的积极性，销售部决定根据本月的销售情况制定一个月销售额奖励标准，凡月销售额达到或超过这个标准的销售员将获得奖励．如果要使得本月所有“称职”和“优秀”的销售员中不少于一半人员能获奖，月销售额奖励标准最高可定为 　 　万元（结果取整数）． 【分析】（1）根据称职的人数及其所占百分比求得总人数，据此求得不称职、基本称职和优秀的百分比，再求出优秀的总人数，从而得出26万元的人数，据此即可补全图形． （2）根据中位数和众数的定义求解可得； （3）根据中位数的意义求得称职和优秀的中位数即可得出符合要求的数据． 【解答】解：（1）∵被调查的总人数为（4+5+4+3+4）÷50%＝40人， ∴不称职的百分比为（2+2）÷40×100%＝10%， 基本称职的百分比为（2+3+3+2）÷40×100%＝25%， 优秀的百分比为1﹣（10%+25%+50%）＝15%， 则优秀的人数为15%×40＝6， ∴得26分的人数为6﹣（2+1+1）＝2， 故答案为：40，6； （2）由折线图知称职与优秀的销售员职工人数分布如下：20万4人、21万5人、22万4人、23万3人、24万4人、25万2人、26万2人、27万1人、28万1人， 则称职与优秀的销售员月销售额的中位数为（22+23）÷2＝22.5、众数为21； 故答案为：22.5，21； （3）月销售额奖励标准应定为23万元． ∵称职和优秀的销售员月销售额的中位数为22.5万元， ∴要使得所有“称职”和“优秀”的销售员的一半人员能获奖，月销售额奖励标准应定为23万元． 故答案为：23． 【点评】本题考查频数分布直方图、扇形统计图、中位数、众数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 题型十 利用平均数、中位数、众数解决实际问题 解题技巧提炼 平均数、中位数、众数它们从不同的角度反映数据的集中趋势，在实际应用中，需要分析具体问题的情况，选择适当的特征数来描述数据. 1．（2023•阎良区一模）2022年3月25日，教育部印发《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》，优化了课程设置，将劳动从综合实践活动课程中独立出来．某校为了解该校学生一周的课外劳动情况，随机抽取部分学生调查了他们一周的课外劳动时间，将数据进行整理并制成如下统计图． 请根据图中提供的信息，解答下面的问题： （1）求图1中的m＝　 　，本次调查数据的中位数是 　 　h，本次调查数据的众数是 　 　h； （2）该校此次抽查的这些学生一周平均的课外劳动时间是多少？ （3）若该校共有2000名学生，请根据统计数据，估计该校学生一周的课外劳动时间不小于3h的人数． 【分析】（1）用劳动时间为4小时的人数除以总人数得出m的值，根据中位数与众数的意义结合统计图即可求解； （2）根据平均数的定义结合条形统计图即可求解； （3）用2000乘以3小时及以上的人数的占比即可求解． 【解答】解：（1）∵， ∴m＝25， 调查的时间有：1，2，3，4，5， 本次调查数据的中位数是3，众数为3． 故答案为：25，3，3； （2）此次抽查的这些学生一周平均的课外劳动时间是小时， 答：此次抽查的这些学生一周平均的课外劳动时间是3小时； （3）（人）， 答：估计该校学生一周的课外劳动时间不小于3h的人数为1400人． 【点评】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，样本估计总体，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 2．（2023•碑林区校级三模）我校在秦岭植物园劳动教育基地挂牌，标志着劳动教育在西安市开启校外实践新模式．月份学校组织七、八年级学生前往该实践基地开展劳动教育，为了解我校七、八年级学生完成某项任务的时长情况（单位：h），分别从七、八年级中各随机抽取了8名学生进行调查，并将调查结果进行收集整理与分析，信息如下： 收集数据： 七年级：0.9，1.1，0.4，1.0，1.2，0.6，0.8，0.8； 八年级：0.5，1.3，0.7，0.6，0.6，0.7，1.0，0.6． 整理、分析数据： 平均数 中位数 众数 七年级 a b 0.8 八年级 0.75 0.65 c 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　； （2）已知小颖完成该项任务的时长为，通过调查了解到，她完成该项任务的时长比她所在年级半数以上学生用时都少，请判断她所在的年级，并说明理由； （3）若该校七年级共有600名学生参加此次劳动教育，请估计该校七年级学生中完成该项任务的时长不超过1h的人数． 【分析】（1）根据平均数，中位数和众数的定义求解即可； （2）根据题意可知小颖的时长低于其所在年级的中位数，由此即可得到答案； （3）用700乘以七年级样本中时长不超过1h的人数占比即可得到答案． 【解答】解：（1）由题意得，； 将七年级的时长从小到大排列，处在第4名和第5名的分别为0.8，0.9， ∴； ∵八年级数据中，时长为0.6出现了三次，出现的次数最多， ∴c＝0.6， 故答案为：0.85，0.85，0.6； （2）小颖所在的年级为七年级，理由如下： ∵小颖完成该项任务的时长为，她完成该项任务的时长比她所在年级半数以上学生用时都少， ∴小颖的时长一定低于其所在年级的中位数， ∵0.65＜0.7＜0.85， ∴小颖所在的年级为七年级； （3）（人）， ∴计该校七年级学生中完成该项任务的时长不超过1h的人数为450人． 【点评】本题主要考查了平均数，中位数，众数，用样本估计总体，灵活运用所学知识是解题的关键． 3（2023•南岸区校级开学）为了加快推进农村电子商务发展，积极助力脱贫攻坚工作，A，B两村的村民把特产“小土豆”在某电商平台进行销售（每箱小土豆规格一致），该电商平台从A，B两村各抽取15户进行了抽样调查，并对每户每月销售的土豆箱数（用x表示）进行了数据整理、描述和分析，下面给出了部分信息： A村卖出的土豆箱数为40≤x＜50的数据有：40，49，42，42，43 B村卖出的土豆箱数为40≤x＜50的数据有：40，43，48，46 土豆箱数 ＜30 30≤x＜40 40≤x＜50 50≤x＜60 ≥60 A村 0 3 5 5 2 B村 1 a 4 5 b 平均数、中位数、众数如表所示 村名 平均数 中位数 众数 A村 48.8 m 59 B村 48.8 46 56 根据以上信息，回答下列问题： （1）表中a＝　 　；b＝　 　；m＝　 ； （2）你认为A，B两村中哪个村的小土豆卖得更好？请选择一个方面说明理由； （3）在该电商平台进行销售的A，B两村村民各有225户，若该电商平台把每月的小土豆销售量x在45＜x＜60范围内的村民列为重点培养对象，估计两村共有多少户村民会被列为重点培养对象？ 【分析】（1）由题意以及中位数的定义即可得出答案； （2）①A村的平均数比B村大；②A村的中位数比B村大；③A村的众数比B村大； （3）求出A，B两村中抽取的15户中每月的小土豆销售量x在45＜x＜60范围内的村民分别有6户、7户，即可得出答案． 【解答】解：（1）由B村的中位数为46， 即中间第8个为46， ∴1+5+b＝7， ∴b＝1， ∴a＝15﹣1﹣4﹣5﹣1＝4， A村的中位数为第8个数49，即m＝49； 故答案为：4，1，49； （2）A，B两村中A村的小土豆卖得更好，理由如下： ①A村的中位数比B村大； ②A村的众数比B村大； （3）A，B两村抽取的15户中每月的小土豆销售量x在45＜x＜60范围内的村民有8﹣2＝6（户）， 21091（户）； 答：估计两村共有91户村民会被列为重点培养对象． 【点评】本题也考查了平均数、中位数、众数、数据的整理、用样本估计总体等知识；熟练掌握平均数、中位数、众数的定义是解题的关键． 4．（2023秋•遵义期末）遵义市某中学德育处利用班会课对全校学生进行了一次安全知识测试活动，现从八、九两个年级各随机抽取10名学生的测试成绩（得分用x表示），现将20名学生的成绩分为四组（A：60≤x＜70，B：70≤x＜80，C：80≤x＜90，D：90≤x≤100）进行整理，部分信息如下： 九年级的测试成绩：76，100，87，100，92，94，91，100，94，86． 八年级的测试成绩在C组中的数据为：83，84，86，88． 年级 平均数 中位数 最高分 众数 八年级 83 a 98 76 九年级 b 93 100 c 根据以上信息，解答下列问题：． （1）a＝　 　，b＝　 　，c＝　 ； （2）若该中学八年级与九年级共有1400名学生，请估计此次测试成绩达到90分及以上的学生有多少人？ （3）通过以上数据分析，你认为八、九年级中哪个年级学生对安全知识掌握得更好？请写出一条理由． 【分析】（1）根据平均数，中位数，众数的定义解决问题即可； （2）利用样本估计总体的思想解决问题； （3）从平均数，众数，中位数分析解答即可． 【解答】解：（1）中位数a83.5， b（76+100+87+100+92+94+91+100+94+86）＝92， 众数c＝100． 故答案为：83.5，92，100； （2）1400630（人）． 答：估计此次测试成绩达到90分及以上的学生有630人； （3）从平均分，中位数，众数看九年级的学生安全知识掌握得更好． 【点评】本题考查众数，平均数，中位数，样本估计总体等知识，解题的关键是掌握基本知识，属于中考常考题型． 5．（2023秋•中原区校级期末）光明学校为了提高学生的“新冠肺炎病毒防范”意识，特组织了一场“防疫”知识竞赛，学校在八、九年级中分别随机抽取了50名学生的成绩（分数）进行整理分析，已知成绩（分数）x均为整数，且分为A，B，C，D，E五个等级，分别是： A：90≤x≤100，B：80≤x＜90，C：70≤x＜80，D：60≤x＜70，E：0≤x＜60．并给出了部分信息： ①八年级B等级中由低到高的10个数为：80，80，81，83，83，83，84，84，85，85． ②两个年级学生“防疫”知识竞赛分数统计图： ③两个年级学生“防疫”知识竞赛分数样本数据的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 八年级 84 a 76 九年级 84 81 75 （1）直接写出a，m的值； （2）根据以上数据，你认为在此次知识竞赛中，哪个年级的学生对“防疫”知识掌握较好？请说明理由（说明一条理由即可）； （3）若分数不低于80分表示该生对“防疫”知识掌握较好，且该校八年级有1800人，九年级有1900人，请估计该校八、九年级所有学生中，对“防疫”知识掌握较好的学生人数． 【分析】（1）根据题意和统计图中的数据、表格中的数据可以分别得到a、m的值； （2）根据表格中的数据，由八年级的中位数、众数比九年级的高，即可求解； （3）分别求出该校八、九年级不低于80分的人数，再相加即可求解． 【解答】解：（1）由题干数据可知a＝（81+83）÷2＝82， 1﹣22%﹣6%﹣6%﹣36%＝30%， ∴m＝30， 答：a＝82，m＝30； （2）八年级的学生对“防疫”知识掌握较好（答案不唯一）．理由如下： 虽然八、九年级的平均数相同，但是八年级的中位数、众数比九年级的高，因此八年级的学生对“防疫”知识掌握较好； （3）18001900×（22%+30%） ＝1008+988 ＝1996（人）． 答：估计该校八、九年级所有学生中，对“防疫”知识掌握较好的学生人数是1996人． 【点评】本题考查用样本估计总体、条形统计图、中位数、平均数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 题型十一 极差、方差和标准差的计算 解题技巧提炼 用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差，通常用s2来表示，计算公式是： s2[（x1）2+（x2）2+…+（xn）2] 1．一组数据为：31，30，35，29，30，则这组数据的方差是（　　） A．22 B．18 C．3.6 D．4.4 【分析】先由平均数的公式计算出平均数，再根据方差的公式计算即可． 【解答】解：这组数据的平均数为31， 所以这组数据的方差为[（31﹣31）2+（30﹣31）2+（35﹣31）2+（29﹣31）2+（30﹣31）2]＝4.4， 故选：D． 【点评】此题主要考查了方差的有关知识，正确的求出平均数，并正确代入方差公式是解决问题的关键． 2．（2024•奉贤区二模）运动会200米赛跑，5位运动员成绩如表所示，其中有两个数据被遮盖，那么被遮盖的两个数据依次是（　　） 运动员 A B C D E 平均成绩 标准差 时间（秒） 32 34 36 33 33 A．30，4 B．30，2 C．32，4 D．32，2 【分析】先根据算术平均数的定义求出C运动员的成绩，再依据标准差的定义列式计算即可． 【解答】解：C运动员的成绩为33×5﹣（32+34+36+33）＝30， 所以标准差为2， 故选：B． 【点评】本题主要考查标准差，解题的关键是掌握算术平均数和标准差的定义． 3．（2024•黑山县一模）如表表格是校女子排球队12名队员的年龄分布： 年龄（岁） 13 14 15 16 人数（名） 1 4 5 2 则关于这12名队员的年龄的说法正确的是（　　） A．极差是4 B．中位数是14.5 C．众数是15 D．平均数是15 【分析】根据极差、中位数、众数和平均数的定义分别对各选项进行判断． 【解答】解：观察图表可知： 这12名队员的年龄的极差为16﹣13＝3． 共12人，中位数是第6，7个人平均年龄，因而中位数是15． 人数最多的是5人，年龄是15岁，故众数是15． 平均数为（13+14×4+15×5+16×2）÷12≈14.7． 故选：C． 【点评】本题考查了极差：极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差．也考查了中位数、众数和加权平均数． 4．（2024•溆浦县校级一模）如图，在中考体育模拟测试中，某校10名学生体育模拟测试成绩如图所示，对于这10名学生的体育模拟测试成绩，下列说法错误的是（　　） A．极差是10 B．众数是90分 C．平均数是91分 D．中位数是90分 【分析】根据众数、中位数、平均数、极差的定义和统计图中提供的数据分别列出算式，求出答案． 【解答】解：A、∵100﹣85＝15， ∴极差是15， 故A符合题意； B、∵90出现了5次，出现的次数最多， ∴众数是90；故此选项不符合题意； C、平均数是（85×2+100×1+90×5+95×2）÷10＝91； 故此选项不符合题意； D、∵共有10个数， ∴中位数是第5、6个数的平均数， ∴中位数是（90+90）÷2＝90；故此选项不符合题意． 故选：A． 【点评】此题考查了折线统计图，用到的知识点是众数、中位数、平均数、极差，能从统计图中获得有关数据，求出众数、中位数、平均数、极差是解题的关键． 5．（2024秋•阜宁县期中）小亮在处理一组数据“12，12，35，28，■”时，不小心将其中一个数据污染了，只记得该数据在30～40之间，则“■处的数据”在范围内无论为何值都不影响这组数据的（　　） A．中位数 B．众数 C．平均数 D．方差 【分析】根据平均数，众数，中位数，方差定义，判断四个数据中只改变一个数据，各统计量的是否变化． 【解答】解：一组数据“12，12，35，28，■”该数据■在30～40之间， 四个数据的和随数据■的变化而变化，所以平均数是变化的，选项C不符合题意． 众数也变化，选项B不符合题意． 中位数是28，不变，选项A符合题意． 因为平均数改变，方差随着改变，选项D不符合题意． 故选：A． 【点评】本题考查了平均数，众数，中位数，方差．关键是运用平均数，众数，中位数，方差的定义，比较各量是否变化． 6．（2023秋•环翠区期末）已知一个样本数据为2，3，4，5，6，则这组数据的方差和标准差分别是（　　） A．2， B．3， C．，2 D．，3 【分析】根据标准差的计算公式计算即可． 【解答】解：（2+3+4+5+6）＝4， ∴s2[（2﹣4）2+（3﹣4）2+（4﹣4）2+（5﹣4）2+（6﹣4）2]＝2， 则标准差为， 故选：A． 【点评】本题考查的是标准差、算术平方根，熟记标准差是计算公式是解题的关键． 7．（2024秋•江都区期中）有5名学生的体重（单位：kg）分别是41、50、53、67、49．这5名学生体重的极差是 　 　kg． 【分析】根据极差的定义计算即可． 【解答】解：数据41、50、53、67、49中最大数据为67，最小数据为41， 则这5名学生体重的极差为：67﹣41＝26（kg）， 故答案为：26． 【点评】本题考查的是极差，极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差． 8．（2024秋•宿豫区期中）某市2024年10月5日～10月9日每天的最低气温分别为（单位：℃）：17，14，12，10，13，则这5天中该市最低气温的极差为 　 　℃． 【分析】根据极差的定义求解即可． 【解答】解：这组数据的最大值为17，最小值为10， 所以这5天中该市最低气温的极差为17﹣10＝7（℃）， 故答案为：7． 【点评】本题主要考查极差，极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差． 题型十二 利用平均数、方差作决策 解题技巧提炼 在生活中运用方差判断数据稳定性的依据：方差刻画数据的波动程度，方差越大，数据的波动越大，越不稳定；方差越小，数据的波动程度越小，越稳定，比较方差的大小即可. 1．（2024秋•盐都区期中）甲、乙两位同学进行“汉字拼写”训练，他们5次训练成绩的平均数均为90分，方差分别为，，则下列对两位同学成绩的稳定性描述正确的是（　　） A．甲更稳定 B．乙更稳定 C．一样稳定 D．无法确定 【分析】先根据甲的方差比乙的方差小，再根据方差越大，波动就越大，数据越不稳定，方差越小，波动越小，数据越稳定即可得出答案． 【解答】解：∵S8.2＜S12， ∴甲比乙的成绩稳定． 故选：A． 【点评】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 2．（2024秋•亭湖区期中）甲、乙、丙、丁四人各进行20次射击测试，他们的平均成绩相同，方差分别是，，，，则射击成绩最稳定的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【分析】根据方差的意义求解即可． 【解答】解：∵，，，， ∴丁的方差最小， ∴射击成绩最稳定的是丁， 故选：D． 【点评】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的意义． 3．农科院引进甲乙两种水稻良种，各选6块条件相同的实验田，同时播种并核定亩产，结果甲、乙两种水稻的平均产量均为750kg/亩，方差分别为S甲2＝140.5，S乙2＝327.2，则产量稳定，适合推广的品种为（　　） A．甲、乙均可 B．甲 C．乙 D．无法确定 【分析】根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 【解答】解：∵S甲2＜S乙2， ∴甲种水稻产量稳定， 故选：B． 【点评】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 4．某学校要从甲乙两名射击运动员中挑选一人参加全市比赛，在选拔赛中，每人进行了5次射击，甲的成绩（环）为：9.7，10，9.6，9.8，9.9 乙的成绩的平均数为9.8，方差为0.032 （1）甲的射击成绩的平均数和方差分别是多少？ （2）据估计，如果成绩的平均数达到9.8环就可能夺得金牌，为了夺得金牌，应选谁参加比赛？ 【分析】（1）根据平均数和方差的定义列式计算可得； （2）根据方差的意义解答即可． 【解答】解：（1）（9.7+10+9.6+9.8+9.9）＝9.8（环）， [（9.7﹣9.8）2+（10﹣9.8）2+（9.6﹣9.8）2+（9.8﹣9.8）2+（9.9﹣9.8）2]＝0.02（环2）； （2）∵甲、乙的平均成绩均为9.8环，而0.020.32， 所以甲的成绩更加稳定一些， 则为了夺得金牌，应选甲参加比赛． 【点评】本题考查方差的定义与意义：方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立． 5．甲、乙两人加工同一种直径为100mm的零件，现从它们加工好的零件中随机各抽取6个，量得它们的直径如下（单位：mm） 甲：98，102，100，100，101，99 乙：100，103，101，97，100，99 （1）分别求出上述两组数据的平均数和方差； （2）结合（1）中的统计数据，请你评价两人的加工质量． 【分析】（1）直接利用平均数公式和方差公式计算得出答案； （2）直接利用（1）中所求结合方差的意义得出答案． 【解答】解：（1）（98+102+100+100+101+99）＝100， （100+103+101+97+100+99）＝100， [（98﹣100）2+（102﹣100）2+（100﹣100）2+（100﹣100）2+（101﹣100）2+（99﹣100）2] ； [（100﹣100）2+（103﹣100）2+（101﹣100）2+（97﹣100）2+（100﹣100）2+（99﹣100）2] ； （2）平均数都等于标准值，但甲的方差比乙的方差小，所以甲的质量更好． 【点评】此题主要考查了方差以及算术平方根，正确记忆方差公式是解题关键． 题型十三 用样本方差估计总体方差 解题技巧提炼 可以利用样本的平均数估计总体的平均数，也可以用样本的方差来估计总体的方差. 1．为考察甲、乙两种农作物的长势，研究人员分别抽取了6株苗，测得它们的高度（单位：cm）如下：甲：98，102，100，100，101，99；乙：100，103，101，97，100，99． （1）你认为哪种农作物长得高一些？说明理由； （2）你认为哪种农作物长得更整齐一些？说明理由． 【分析】（1）根据平均数的计算公式分别把这6株农作物的高度加起来，再除以6即可； （2）先算出甲与乙的方差，再进行比较，方差越小的，农作物长势越整齐，即可得出答案． 【解答】解：（1）甲组数据的平均数（98+102+100+100+101+99）＝100（cm）； 乙组数据的平均数（100+103+101+97+100+99）＝100（cm）； （2）s2甲[（98﹣100）2+（102﹣100）2+…+（99﹣100）2]； s2乙[（100﹣100）2+（103﹣100）2+…+（100﹣99）2]． s2甲＜s2乙． 所以甲种农作物长得比较整齐． 【点评】本题考查了平均数与方差，一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2[（x1）2+（x2）2+…+（xn）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立． 2．市农科所为了考察甲、乙两种水稻秧苗的长势，从中分别抽取了10株水稻，测得它们的株高如下（单位：cm） 甲：9，14，12，16，13，16，10，10，15，15； 乙：11，11，15，16，13，10，12，15，13，14． 试计算这两个样本的平均数、方差，并估计哪种水稻秧苗的长势比较整齐． 【分析】首先求出甲，乙的平均数，然后根据求方差公式S2[（x1）2+[（x2）2+…+[（xn）2]代入求出即可． 【解答】解：∵甲：9，14，12，16，13，16，10，10，15，15； ∴甲的平均数是：（9+14+12+16+13+16+10+10+15+15）÷10＝13； ∵乙：11，11，15，16，13，10，12，15，13，14． ∴乙的平均数是：（11+11+15+16+13+10+12+15+13+14）÷10＝13； 甲的方差是：S2[（x1）2+[（x2）2+…+[（xn）2]， [（9﹣13）2+（14﹣13）2+…+（15﹣13）2]， （16+1+1+9+0+9+9+9+4+4）， ＝6.2； 乙的方差是：S2[（x1）2+[（x2）2+…+[（xn）2]， [（11﹣13）2+（11﹣13）2+…+（14﹣13）2]， （4+4+4+9+0+9+1+4+0+1） ＝3.6； ∴乙的方差小于甲的方差，∴乙水稻秧苗的长势比较整齐． 【点评】此题主要考查了平均数的求法，以及方差的求值，正确的求出方差解决问题的关键． 3．（2023•天宁区校级模拟）2023年2月，C市从甲、乙两校各抽取10名学生参加全市数学素养水平监测．样本学生数学测试成绩（满分100分）如表： 样本学生成绩 平均数 方差 中位数 众数 甲校 50 66 66 66 78 80 81 82 83 94 74.6 141.04 a 66 乙校 64 65 69 74 76 76 76 81 82 83 74.6 40.84 76 b （1）表中a＝　 　；b＝　 　； （2）请结合平均数、方差、中位数、众数这几个统计量，评判甲、乙两校样本学生的数学测试成绩； （3）若甲、乙两校学生都超过2000人，按照C市的抽样方法，用样本学生数据估计甲、乙两校总体数学素养水平可行吗？为什么？ 【分析】（1）根据中位数和众数的概念分析求解即可； （2）结合平均数，中位数，众数，方差的意义进行分析评判； （3）统计调查要考虑总体的大小来确定样本容量的大小． 【解答】解：（1）将甲校样本学生成绩从小到大排序为：50，66，66，66，78，80，81，82，83，94，位于第5个和第6个的数据分别是78和80， ∴a79， 在乙校样本学生成绩中出现次数最多的是76， ∴b＝76， 故答案为：79，76； （2）由题意，甲乙两校平均数相同，乙校方差小于甲校， ∴乙校成绩更加稳定； （3）甲、乙两校学生都超过2000人，不可以按照C市的抽样方法，用样本学生数据估计甲、乙两校总体数学素养水平，因为C市的抽样方法是各校抽取了10人，样本容量较小，而甲乙两校的学生人数太多，评估出来的数据不够精确，所以不能用这10个人的成绩来评估全校2000 多人的成绩． 【点评】本题考查众数，平均数，中位数，样本估计总体，频数分布表等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 4．（2023秋•惠山区期末）为助力新冠肺炎疫情后经济的复苏，天天快餐公司积极投入到复工复产中．现有A、B两家农副产品加工厂到该公司推销鸡腿，两家鸡腿的价格相同，品质相近．该公司决定通过检查质量来确定选购哪家的鸡腿．检查人员从两家分别抽取100个鸡腿，然后再从中随机各抽取10个，记录它们的质量（单位：克）如表： A：74，75，75，75，73，77，78，72，76，75； B：78，74，78，73，74，75，74，74，75，75． （1）整理数据，得到如下表： 平均数 中位数 众数 方差 A 75 75 75 2.8 B 75 a b ⋆ 其中：a＝　 　，b＝　 ； （2）估计B加工厂这100个鸡腿中，质量为75克的鸡腿有多少个？ （3）根据鸡腿质量的稳定性，该快餐公司应选购哪家加工厂的鸡腿？ 【分析】（1）根据中位数、众数和平均数的计算公式分别进行解答即可； （2）用总数乘以质量为75克的鸡腿所占的百分比即可； （3）根据方差的定义，方差越小数据越稳定即可得出答案． 【解答】解：（1）把这些数从小到大排列，最中间的数是第5和第6个数的平均数， 则中位数a74.5（克）； 因为74出现了4次，出现的次数最多， 所以众数b是74克； 故答案为：74.5，74； （2）根据题意得： 10030（个）， 答：质量为75克的鸡腿有30个； （3）选B加工厂的鸡腿． A的方差是：[（74﹣75）2+4×（75﹣75）2+（76﹣75）2+（73﹣75）2+（72﹣75）2+（77﹣75）2+（78﹣75）2]＝2.8； B的平均数是：（78+74+78+73+74+75+74+74+75+75）＝75， B的方差是：[2×（78﹣75）2+4×（74﹣75）2+（73﹣75）2+3×（75﹣75）2]＝2.6； ∵A、B平均值一样，B的方差比A的方差小，B更稳定， ∴选B加工厂的鸡腿． 【点评】本题考查了方差、平均数、中位数、众数，熟悉计算公式和意义是解题的关键，用到了样本估计总体的思想． 题型十四 数据分析的综合应用 解题技巧提炼 数据分析的综合应用，往往也结合统计图表，对特征数的准确分析，要掌握数形结合思想，准确地获取信息，解决问题. 1．（2023春•东阳市期中）某校准备从甲、乙两名同学中选派一名参加全市组织的“学宪法，讲宪法”比赛，分别对两名同学进行了八次模拟测试，每次测试满分为100分．现将测试结果绘制成如下统计图表，请根据统计图表中的信息解答下列问题： （1）表中a＝　 　；b＝　 　． （2）求出乙得分的方差． （3）根据已有的信息，你认为应选谁参赛较好，请说明理由． 平均（分） 中位数（分） 众数（分） 方差（分2） 甲 75 a b 93.75 乙 75 75 80，75，70 S乙2 【分析】（1）根据中位数和众数的定义求出b、c的值； （2）根据方差的定义列式计算即可； （3）答案不唯一，根据平均数，方差，中位数，众数，可得答案． 【解答】解：（1）甲的成绩从小到大排列为：60，65，65，75，80，85，85，85， ∴甲的中位数a（75+80）＝77.5， ∵85出现了3次，出现的次数最多， ∴众数b是85， 故答案为：77.5，85； （2）乙的方差为：[2×（75﹣75）2+2×（80﹣75）2+2×（70﹣75）2+（85﹣75）2+（65﹣75）2]＝37.5； （3）应选甲参赛较好（答案不唯一）， 理由：①从平均数和方差相结合看，甲、乙的平均数相等，乙的方差小于甲的方差，所以乙的成绩比甲的成绩稳定； ②从众数和中位数相结合看，甲的成绩好些． 【点评】本题考查了折线统计图，方差，中位数，利用方差的公式，众数的定义，中位数的定义是解题关键． 2．（2023春•拱墅区校级期中）某校组织学生参加“防疫卫生知识竞赛”，为了解竞赛情况，从两个年级各抽取10名学生的成绩（满分为100分）．收集数据如下： 七年级：90，95，95，80，85，90，80，90，85，100； 八年级：85，85，95，80，95，90，90，90，100，90． 分析数据： 平均数 中位数 众数 方差 七年级 89 m 90 39 八年级 n 90 p 4 根据以上信息回答下列问题： （1）m＝　 　，n＝　 　，p＝　 　； （2）从方差的角度来判断哪个年级的成绩更稳定？写出理由； （3）通过数据分析，你认为哪个年级的成绩比较好？说明理由． 【分析】（1）根据中位数、平均数、方差、众数的意义和建设方法进行即可； （2）根据平均数和方差进行比较即可； （3）根据平均数和方差的大小进行比较即可． 【解答】解：（1）七年级10名学生成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数都是90，因此七年级学生成绩的中位数为90，即m＝90； 八年级学生成绩的平均数为90，即n＝90； 八年级学生成绩出现次数最多的是90，共出现4次，因此众数是90，即P＝90； 故答案为：90，90，90； （2）八年级学生成绩较好， 理由是：七年级学生成绩的方差q[（80﹣90）2+（85﹣90）2×2+（95﹣90）2+（100﹣90）2]＝30，即p＝30； 八年级学生成绩的平均数比七年级学生平均成绩要高，而方差八年级比七年级的要小， 因此八年级成绩较好； （3）八年级成绩更好， 理由是：两个年级中位数和众数相同，八年级的平均数比七年级高，方差比七年级小，故八年级成绩更好． 【点评】本题考查平均数、中位数、方差、众数，理解平均数、中位数、方差、众数的定义是正确解答的前提，掌握平均数、中位数、方差、众数的计算方法是解决问题的关键． 3．（2023•兰考县一模）为庆祝2023年两会胜利召开、学校团委在八、九年级各抽取50名团员开展团知识竞赛，为便于统计成绩，制定了取“整十”的计分方式，满分100分．竞赛成绩如图所示： 众数 中位数 方差 八年级竞赛成绩 70 80 188 九年级竞赛成绩 m 80 n （1）你能用成绩的平均数判断哪个年级的成绩比较好吗？通过计算说明理由； （2）请根据图表中的信息，回答下列问题． ①表中m＝　 　、n＝　 　． ②现要给成绩突出的年级领奖，如果分别从众数和方差两个角度来分析，你认为应该给哪个年级领奖？ （3）若规定成绩100分获特等奖，90分获一等奖，80分获二等奖，直接说出哪个年级的获奖率高？ 【分析】（1）根据已知数据求得八年级与就九年级的平均数即可求解； （2）①根据众数的定义，方差公式进行计算即可求解；②分别从方程与众数两方面分析即可求解； （3）根据题意分别求得八年级与九年级的获奖率即可求解． 【解答】解：（1）由题意得： 八年级成绩的平均数是：（60×7+70×15+80×10+90×7+100×11）÷50＝80（分）， 九年级成绩的平均数是：（60×8+70×9+80×14+90×13+100×6）÷50＝80（分）， 故用平均数无法判定哪个年级的成绩比较好； （2）①九年级竞赛成绩中8出现的次数最多， 故众数m＝8； 九年级竞赛成绩的方差为：， 所以n＝156， ②如果从众数角度看，八年级的众数为7，九年级的众数为8， 所以应该给九年级颁奖； 如果从方差角度看，八年级的方差为188，九年级的方差为156， 又因为两个年级的平均数相同，九年级的成绩的波动小， 所以应该给九年级颁奖， 综上所述，应该给九年级颁奖； （3）九年级的获奖率高， 八年级的获奖率为：（10+7+11）÷50＝56%， 九年级的获奖率为：（14+13+6）÷50＝66%， ∵66%＞56%， ∴九年级的获奖率高． 【点评】本题考查了折线统计图，求平均数，众数，方差，根据方差判断稳定性，从统计图表中获取信息是解题的关键． 4．（2024秋•合川区期中）某校为丰富同学们的课余生活，全面提高科学素养，提升思维能力和科技能力，开展了“最强大脑”邀请赛，现从七、八年级中各随机抽取了20名学生的初赛成绩（初赛成绩均为整数，满分为10分，9分及以上为优秀）统计、整理如下： 七年级抽取的学生的初赛成绩：6，6，7，7，7，8，8，8，8，8，9，9，9，9，9，9，9，10，10，10． 七、八年级抽取的学生的初赛成绩统计表： 年级 七年级 八年级 平均数 8.3 8.3 中位数 a 8 众数 9 b 方差 1.41 1.61 优秀率 50% m% 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：a＝ 　 ，b＝ 　 　，m＝ 　 　； （2）根据以上数据，你认为七、八年级学生在“最强大脑”邀请赛中，哪个年级的学生初赛成绩更好？请说明理由；（写出一条理由即可） （3）若该校有1800名学生参加初赛，规定满分才可进入复赛，请估计七、八年级进入复赛的学生总人数． 【分析】（1）根据中位数、众数定义、优秀率的定义即可求出a、m的值； （2）根据优秀率进行评价即可； （3）用900乘以满分的百分比即可求解． 【解答】解：（1）∵七年级的成绩：6，6，7，7，7，8，8，8，8，8，9，9，9，9，9，9，9，10，10，10， ∴七年级成绩的中位数为a8.5， 八年级成绩的众数a＝7， 八年级的优秀率是， ∴m＝45， 故答案为：8.5，7，45； （2）根据表中可得，七八年级的优秀率分别是：50%、45%， 故七年级的学生初赛成绩更好（答案不唯一）． （3）1800360（人）， 答：估计七、八年级进入复赛的学生总人数约为360人． 【点评】本题考查了众数定义、优秀率的定义、用样本去估算总体，掌握从图中获取信息，优秀率、众数的定义是关键． 5．（2023•长安区校级三模）为落实“五育并举”，某校开展“未来工匠大比拼”活动，锻炼学生的动手能力，让学生在创意设计、木材加工等环节中感受劳动之美，学习工匠精神，每班根据初赛成绩选5名学生参加复赛，九年级（1）、（2）班选出的5名学生的复赛成绩（满分100分）如图所示： 根据以上信息解答下列问题： （1）完成表： 平均数/分 中位数/分 众数/分 九年级（1）班 85 　 　 85 九年级（2）班 　 　 80 　 　 （2）九（2）班的小明同学说：“他的成绩在五个人中属于中下游，但不是最差的”，小明同学可能是 　 　号； （3）已知九年级（2）班复赛成绩的方差为160，计算九年级（1）班复赛成绩的方差，并分析哪个班的复赛成绩更稳定． 【分析】（1）根据统计图中的具体数据以及中位数、平均数和众数的概念分别进行计算即可； （2）九（2）班同学成绩的中位数为80分，再小明的成绩在五个人中属于中下游，但不是最差的即可判断； （3）根据方差公式计算即可． 【解答】解：（1）根据统计图可得九（1）班的中位数是85分， 九（2）班的众数是100分， 平均数为：（70+75+80+100+100）÷5＝85（分）， 方差是s2[（70﹣85）2+（100﹣85）2+（100﹣85）2+（75﹣85）2+（80﹣85）2]＝160； 表格如下： 平均数/分 中位数/分 众数/分 九年级（1）班 85 85 85 九年级（2）班 85 80 100 （2）∵九（2）班同学成绩的中位数为80分，小于80分的成绩是70分和75分， ∴小明的成绩为75分， ∴小明可能是4号． 故答案为：4； （3）九（1）的方差是s2[（75﹣85）2+（80﹣85）2+（85﹣85）2+（85﹣85）2+（100﹣85）2]＝70； ∵70＜160， ∴九（1）班的复赛成绩更稳定． 【点评】此题考查了条形统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！56 学科网（北京）股份有限公司 $$ （北师大版）八年级上册数学《第六章 数据的分析》 知识点一 平均数 ◆1、算术平均数：对于n个数x1，x2，…，xn，则（x1+x2+…+xn）就叫做这n个数的算术平均数． 记作：“”，读作：“x 拔”． ◆2、加权平均数： （1）加权平均数：①若n个数x1，x2，x3，…，xn的权分别是w1，w2，w3，…，wn，则 叫做这n个数的加权平均数． ②在求 n 个数的平均数时，如果 x1出现 f1次，x2 出现 f2 次，…，xk 出现 f k 次(这里 f1 +f2+…+f k = n)，那么这 n 个数的加权平均数为， 其中f1，f2，f3，…，fn 分别叫做x1，x2，x3，…，xn的权. （2）权的表现形式，一种是比的形式，如4：3：2，另一种是百分比的形式，如创新占50%，综合知识占30%，语言占20%，权的大小直接影响结果． （3）数据的权能够反映数据的相对“重要程度”，要突出某个数据，只需要给它较大的“权”，权的差异对结果会产生直接的影响． （4）对于一组不同权重的数据，加权平均数更能反映数据的真实信息． （5）算术平均数与加权平均数的区别与联系： 区别：① 算术平均数中各数据都是同等重要，没有相互间差异； ② 加权平均数中各数据都有各自不同的权重地位. 联系：算术平均数是加权平均数的一种特殊情况，加权平均数包含算术平均数，当加权平均数中的权相等时，就是算术平均数． 知识点二 中位数 ◆1、中位数：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． ◆2、中位数代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响，但不能充分利用所有数据的信息． ◆3、中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的移动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据中也可能不在所给的数据中出现，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其趋势． 知识三 众数 ◆众数：一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数． 【注意】：（1）一组数据的众数一定出现在这组数据中． （2）一组数据的众数可能不止一个. 如 1，1，2，3，3，5 中众数是 1 和 3． （3）众数是一组数据中出现次数最多的数据而不是数据出现的次数，如 1，1，1，2，2，5 中众数是 1 而不是 3． 知识四 从统计图分析数据的集中趋势 ◆1、折线统计图中，众数：同一水平线上出现次数最多的数据； 中位数：从上到下（或从下到上）找中间点所对的数； 平均数：可以用中位数与众数估测平均数． ◆2、条形统计图中，众数：是最高条形对应的数据； 中位数：从左到右（或从右到左）找中间数； 平均数：可以用中位数与众数估测平均数． ◆3、扇形统计图中，众数：为扇形面积最大的数据； 中位数：按顺序，看相应百分比，第 50% 与 51% 两个数据的平均数； 平均数：可以利用加权平均数进行计算． 知识五 极差 现实生活中，除了关心数据的“平均水平”外，人们还关注数据的离散程度，即它们相对于平均水平的偏离情况. 极差就是刻画数据离散程度的一个统计量. 极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差.极差越大，偏离平均数越大，产品的质量(性能)越不稳定. 知识六 方差和标准差 ◆1、方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差． ◆2、用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差，通常用s2来表示，计算公式是： s2[（x1）2+（x2）2+…+（xn）2]（可简单记忆为“方差等于差方的平均数”） 其中是x1，x2，…，xn的平均数，s2是方差. 而标准差就是方差的算术平方根． ◆3、方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．一般而言，一组数据的极差、方差或标准差越小，这组数据就越稳定. 题型一 求算术平均数 解题技巧提炼 (1)当数据信息以表格或图象的形式呈现时，要结合已知条件读懂表格或图象，并能从中获取有用的信息，求一组数据的平均数，通常用定义法，即用这组数据的和除以这组数据的总个数. (2)在求较大数据的平均数时，首先要仔细观察数据特点，如果所给数据都在某个数据附近波动时，可采用新数据法求解. 1．（2024春•道外区期末）已知一组数据2，3，5，6，则这组数据的平均数为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（2024•沙河口区开学）乐乐前两次数学考试的平均成绩是93分，第三次考试成绩是99分，她这三次考试的平均成绩是（　　） A．93分 B．94分 C．95分 D．96分 3．（2024•沭阳县校级开学）七个数的平均数是25，如果把每个数都增加x，现在这七个数的平均数是（　　） A．（25+x）×7 B．175+x C．25+7x D．25+x 4．某中学举行校园歌手大赛，6位评委给某选手的评分如下表： 评委 1 2 3 4 5 6 得分 9.8 9.5 9.8 9.9 9.6 9.7 计分方法是：去掉一个最高分，去掉一个最低分，以剩余分数的平均分作为该选手的最后得分，则该选手的最后得分为（保留两位小数）（　　） A．9.72分 B．9.73分 C．9.77分 D．9.79分 5．某汽车从甲地以速度v1匀速行驶至乙地后，又从乙地以速度v2匀速返回甲地，则汽车在整个行驶过程中的平均速度为（　　） A． B． C． D． 6．已知x1，x2，x3，x4的平均数为a，则样本3x1﹣5，3x2﹣8，3x3﹣6，3x4﹣1的平均数为（　　） A．a B．3a C．3a﹣5 D．3a﹣20 题型二 求加权平均数 解题技巧提炼 根据加权平均数的定义来求平均数，即若n个数x1，x2，x3，…，xn的权分别是w1，w2，w3，…，wn，则叫做这n个数的加权平均数． 1．（2024秋•冀州区期中）体育学科越来越得到重视，某中学规定学生的学期体育成绩满分100分，其中健康知识考试成绩占20%，课外体育活动情况占30%，体育技能考试成绩占50%，小明的这三项成绩（百分制）依次为95、90、90，则小明这学期的体育成绩为（　　） A．90 B．91 C．94 D．95 2．（2024春•兴隆台区期末）某班为了解学生对“勾股定理”内容的掌握情况，进行了一次单元测试，并从中随机抽取了10名学生的测试成绩，对成绩（用t表示，满分100分）进行分组整理，绘制了下面的统计表，则这10名学生的样本平均数是（　　） 分数段/分 50≤t＜60 60≤t＜70 70≤t＜80 80≤t＜90 90≤t＜100 频数/人 1 2 3 2 2 A．76.5 B．77 C．77.5 D．78 3．（2024•宁津县校级开学）某校一学期的数学总平均成绩的各项占比如图所示，该校小亮同学本学期的数学成绩如下表，则小亮同学本学期的数学总平均成绩为（　　） 平时作业 期中考试 期末考试 成绩/分 90 85 88 A．85分 B．87.5分 C．88分 D．90分 4．某校男子足球队队员的年龄分布如下表，则该校男子足球队队员的平均年龄是（　　） 年龄/岁 12 13 14 15 人数 2 3 10 7 A．12 B．13 C．14 D．15 5．（2024秋•双桥区校级月考）某校举办歌唱比赛，其中三名选手的成绩统计如下表． 测试成绩（单位：分） 测试项目 唱功 音乐常识 综合知识 嘉嘉 98 80 80 淇淇 95 90 90 珍珍 80 100 100 若唱功、音乐常识、综合知识按6：3：1的加权平均分决定冠军、亚军、季军，则冠军、亚军、季军分别是（　　） A．嘉嘉、淇淇、珍珍 B．嘉嘉、珍珍、淇淇 C．淇淇、嘉嘉、珍珍 D．淇淇、珍珍、嘉嘉 题型三 利用加权平均数进行决策比较 解题技巧提炼 首先通过计算加权平均数，然后比较平均数的大小，最后进行决策. 1．（2023春•盐池县期末）某校学生会要在甲、乙两位候选人中选择一人担任文艺部干事，对他们进行了文化水平、艺术水平、组织能力的测试，根据综合成绩择优录取．他们的各项成绩（单项满分100分）如表所示： （1）如果把各项成绩的平均数作为综合成绩，应该录取谁？ （2）如果想录取一名组织能力较强的候选人，把文化水平、艺术水平、组织能力三项成绩分别按照20%，20%，60%的比例计入综合成绩，应该录取谁？ 候选人 文化水平 艺术水平 组织能力 甲 80分 87分 82分 乙 80分 96分 76分 2．（2024春•嘉兴期末）某校在一次演讲比赛中，甲，乙的各项得分如表． 演讲内容 语言表达 临场表现 甲 90 85 80 乙 84 83 91 （1）如果根据三项得分的平均分从高到低确定名次，那么两位同学的排名顺序怎样？ （2）若学校认为这三个项目的重要程度有所不同，而给予“演讲内容”“语言表达”“临场表现”三个项目在总分中的占比为2：2：1，那么两位同学的排名顺序又怎样？ 2．（2024秋•广平县月考）某校期末评价成绩是由完成作业、半期检测、期末考试三项成绩构成的，如果期末评价成绩在80分以上则评为“优秀”．下表是嘉嘉和淇淇两位同学的成绩． 学生 完成作业/分 半期检测/分 期末考试/分 嘉嘉 90 76 80 淇淇 82 70 86 （1）若将三项成绩的平均分记为期末评价成绩，请计算嘉嘉的期末评价成绩； （2）若将完成作业、半期检测、期末考试三项成绩按2：3：5的比例来确定期末评价成绩，请你通过计算判断淇淇能否被评为“优秀”． 3．（2023•宁波一模）为深入学习贯彻习近平法治思想，推动青少年宪法学习宣传教育走深走实，教育部组织开展第七届全国学生“学宪法讲宪法”系列活动．某校积极响应教育部的号召，开展了宪法知识在线学习、知识竞赛与演讲比赛三项活动，表是参加冠亚军决赛的两名选手的各项测试成绩（单位：分）． 选手 项目 在线学习 知识竞赛 演讲比赛 甲 84 96 90 乙 89 99 85 （1）若将在线学习、知识竞赛与演讲比赛三项成绩的平均分作为最后成绩，谁将会获得冠军？ （2）若将在线学习、知识竞赛与演讲比赛的成绩按2：3：5的比例计算最后成绩，谁将会获得冠军？ 4．松雷中学校学生会干部对校学生会倡导的“助残”自愿捐款活动进行抽样调查，得到一组学生捐款情况的数据，下图是根据这组数据绘制的统计图，图中从左到右各长方形高度之比为3：4：5：8：2，又知此次调查中捐15元和20元的人数共39人． （1）他们一共抽查了多少人？ （2）若该校共有2310名学生，请估计全校学生共捐款多少元？ 5．（2023秋•紫金县期末）某校在一次广播操比赛中，初二（1）班、初二（2）班、初二（3）班的各项得分如下： 服装统一 动作整齐 动作准确 初二（1）班 80 84 87 初二（2）班 97 78 80 初二（3）班 90 78 85 （1）填空：根据表中提供的信息，在服装统一方面，三个班得分的平均数是　 　；在动作整齐方面三个班得分的众数是　 　；在动作准确方面最有优势的是　 　班． （2）如果服装统一、动作整齐、动作准确三个方面的重要性之比为2：3：5，那么这三个班的排名顺序怎样？为什么？ （3）在（2）的条件下，你对三个班级中排名最靠后的班级有何建议？ 题型四 利用组中值求加权平均数 解题技巧提炼 根据频数分布表或频数分布直方图计算加权平均数的方法：先计算各组数据的组中值，用各组数据的组中值代表各组的实际数据，再把各组中的频数看成是相应组中值的权来进行计算. 1．（2023春•思明区校级期中）已知某外卖平台设置送餐距离超过5千米无法配送，由于给送餐员的费用与送餐距离有关，为更合理设置送餐费用，该平台随机抽取80名点外卖的用户进行统计，按送餐距离分类统计结果如表： 送餐距离x（千米） 0＜x≤1 1＜x≤2 2＜x≤3 3＜x≤4 4＜x≤5 数量 12 20 24 16 8 估计利用该平台点外卖用户的平均送餐距离为（　　） A．3千米 B．2.85千米 C．2.35千米 D．1.85千米 2．对一组数据整理如下表，估计这组数据的平均数为 　 　． 分组频数 频数 0≤x＜10 8 10≤x＜20 12 20≤x＜30 20 3．为了解植物园内某种花卉的生长情况，在一片约有3000株此类花卉的园地内，随机抽测了200株该花卉的高度作为样本，统计结果整理后列表如下（每组包含最低值，不包含最高值），则该园地内此类花卉的平均高度约为　 　cm． 高度（cm） 40～50 50～60 60～70 70～80 80～90 90～100 频数（株） 30 40 20 20 50 40 4．某校为了了解该校学生在家做家务的情况，随机调查了50名学生，得到他们在一周内做家务所用时间的情况如下表所示 时间/（小时） 0≤t＜1 1≤t＜2 2≤t＜3 3≤t＜4 4≤t＜5 人数 8 14 20 6 2 则可以估计该校学生平均每人在一周内做家务所用时间是　 　小时．（同一组中的数据用这组数据的组中值作代表．） 5．一个班有50名学生，一次考试成绩（单位：分）的分布情况如下表所示： 成绩 组中值 频数（人数） 49.5～59.5 　　 4 59.5～69.5 　　 8 69.5～79.5 　　 14 79.5～89.5 　　 18 89.5～99.5 　　 6 （1）填写表中“组中值”一栏的空白； （2）求该班本次考试的平均成绩． 题型五 利用样本平均数估计总体平均数 解题技巧提炼 用样本估计总体时，样本的容量越大，样本对总体的估计越准确，用样本的平均数可以估计总体的平均数. 1．某班为调查每个学生用于课外作业的平均时间，从该班学生中随机抽取了10名学生进行调查，得到他们用于课外作业的时间（单位：min ）如下：75，80，85，65，95，80，85，85，80，90．由此估计该班的学生用于课外作业的平均时间是（　　） A．80 B．81 C．82 D．83 2．某校开展“节约每一滴水”活动，为了了解开展活动一个月以来节约用水的情况，从八年级的400名同学中选取20名同学统计了各自家庭一个月节约水情况．见表： 节水量/m3 0.2 0.25 0.3 0.4 0.5 家庭数/个 2 4 6 7 1 请你估计这400名同学的家庭一个月节约用水的总量大约是（　　） A．130m3 B．135m3 C．6.5m3 D．260m3 3．有4万个不小于70的两位数，从中随机抽取了3000个数据，统计如下： 数据x 70＜x＜79 80＜x＜89 90＜x＜99 个数 800 1300 900 平均数 78.1 85 91.9 请根据表格中的信息，估计这4万个数据的平均数约为（　　） A．92.16 B．85.23 C．84.73 D．77.97 4．（2023秋•南通期末）为了解南迁到某湿地的A种候鸟的情况，从中捕捉30只，戴上识别卡并放回．经过一段时间后观察发现，200只A种候鸟中有10只佩有识别卡，由此可以估计该湿地A种候鸟约有 　　 只． 5．随机抽取某理发店一周的营业额如下表（单位：元）： 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 合计 540 680 760 640 960 2200 1780 7560 （1）求该店本周的日平均营业额； （2）如果用该店本周星期一到星期五的日平均营业额估计当月的营业总额，你认为是否合理？如果合理，请说明理由；如果不合理，请设计一个方案，并估计该店当月（按30天计算）的营业总额． 6．（2024秋•越秀区校级月考）某校为了解学生一周课外阅读情况，随机抽取部分学生调查了他们一周课外阅读时间，并将数据进行整理制成如下统计图．请解答以下问题： （1）本次调查的总人数是 　 　； （2）抽查的这些学生一周平均课外阅读时间是多少？ （3）若该校共有2000个学生，请估计该校学生一周课外阅读时间不少于3小时的人数． 题型六 求中位数 解题技巧提炼 将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 1．（2024秋•仪征市期中）一组数据分别为：80，82，78，84，则这组数据的中位数是（　　） A．79 B．80 C．81 D．82 2．（2024秋•工业园区校级期中）“杂交水稻之父”袁隆平培育的超级杂交稻在全世界推广种植．为考查所种杂交水稻的长势，随机抽取6株水稻苗，测得苗高（单位：cm）分别是：21，21，21，23，23，24，则这组数据的中位数是（　　） A．21 B．22 C．23 D．21，23 3．（2024秋•石家庄期中）2024年河北某地9月2日至9月8日的最高气温（℃）如下表： 日期 2日 3日 4日 5日 6日 7日 8日 最高气温/℃ 27 32 27 28 29 29 29 则这7天最高气温的中位数是（　　） A．27℃ B．28℃ C．29℃ D．32℃ 4．（2024秋•长春期中）某中学校园文化艺术节歌唱比赛有15名同学参赛，得分前8名的同学进入决赛，经过角逐，这15名同学的得分各不相同，小明知道自己的得分后，要判断自己能否进入决赛，还需要知道这15名同学得分的（　　） A．平均数 B．方差 C．众数 D．中位数 5．某电脑公司销售部对20位销售员本月的销售量统计如下表： 销售量（台） 12 14 20 30 人数 4 5 8 3 则这20位销售人员本月销售量的平均数和中位数分别是（　　） A．19，20 B．19，25 C．18.4，20 D．18.4，25 6．某小组组长统计了该组10名同学每周在家帮助做家务的平均时间（单位：时），并制成了以下表格：则这10名同学在家做家务的平均时间的中位数是　 　． 平均做家务时间（时） 0.5 1 1.5 2 2.5 人数 3 3 2 1 1 题型七 求众数 解题技巧提炼 确定一组数据的众数，首先要找出这组数据中各数据出现的次数，其中出现次数最多的数据就是这组数据的众数． 1．（2024秋•盐城期中）一组数据：5，6，6，7，8，这组数据的众数是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 2．（2024秋•宿豫区期中）小丽某周每天的睡眠时间如下（单位：h）：8，9，7，9，7，8，8，则小丽本周每天的睡眠时间的众数为（　　） A．7h B．8h C．8.5h D．9h 3．（2024秋•吴江区期中）五位裁判对某个体操运动员的打分数据是：9.0，8.9，8.8，8.8，9.1，这组数据的众数是（　　） A．8.8 B．8.9 C．9.0 D．9.1 4．（2023•周口二模）某校八年级（3）班50名学生自发组织献爱心捐款活动．班长将捐款情况进行了统计，并绘制成了如图所示的统计图（不完整）．根据图中提供的信息，捐款金额的众数是（　　） A．20元 B．30元 C．50元 D．100元 5．（2023•醴陵市一模）为振兴乡村经济，在农产品网络销售中实行目标管理，根据目标完成的情况对销售员给予适当的奖励，某村委会统计了15名销售员在某月的销售额（单位：万元），数据如下：10 4 7 5 4 10 5 4 4 18 8 3 5 10 8．这组数据的众数是 　 　． 6．（2023春•朝阳区校级期中）学校为了解“阳光体育”活动开展情况，随机调查了50名学生一周参加体育锻炼的时间，数据如表格所示，这些学生一周参加体育锻炼时间的众数是 　 　． 人数（人） 9 14 16 11 时间（小时） 7 8 9 10 题型八 中位数和众数 解题技巧提炼 中位数和众数的综合运用，要根据各自的定义来求解即可. 1．（2024春•赛罕区校级期末）某班15名男生引体向上成绩如表，则这组数据的众数和中位数分别是（　　） 个数 17 12 10 7 2 人数 2 3 4 5 1 A．7，10 B．10，7 C．10，10 D．7，12 2．（2024秋•雨花区校级月考）“杂交水稻之父”袁隆平培育的超级杂交稻在全世界推广种植．某种植户为了考查所种植的杂交水稻苗的长势，从稻田中随机抽取7株水稻苗，测得苗高（单位：cm）分别是：21，22，21，23，24，21，23．则这组数据的众数和中位数分别是（　　） A．21，23 B．23，21 C．21，22 D．22，21 3．（2023•大连一模）在我市开展的“好书伴我成长”读书活动中，某中学为了解八年级300名学生读书情况，随机调查了八年级50名学生读书的册数，统计数据如下表所示： 册数 0 1 2 3 4 人数 3 13 16 17 1 那么这50名同学读书册数的众数，中位数分别是（　　） A．3，2 B．3，3 C．2，3 D．3，1 4．（2023•安徽一模）某中学为了提高学生的跳远成绩进行了强化锻炼，锻炼一个月后，学校对九年级一班的45名学生进行测试，成绩如表： 跳远成绩（cm） 160 170 180 190 200 220 人数 3 9 6 9 15 3 这些学生跳远成绩的中位数和众数分别是（　　） A．15，9 B．9，9 C．190，200 D．185，200 5．某中学的学生对本校学生的每周零花钱使用情况进行抽样调查，得到了一组学生平均一周用出的零花钱的数据．如图是根据这组数据绘制的统计图，图中从左到右各长方形的高度之比为3：4：5：8：6，又知此次调查中平均一周用出零花钱是25元和30元的学生一共42人．那么，这组数据的众数是　　 、中位数是　 　． 题型九 中位数、众数与统计图表的综合 解题技巧提炼 中考题和教材原题型都考查了几种特征数与统计图的知识，从不同的角度来分析，理由合理即可. 1．空气质量状况已引起全社会的广泛关注，某市统计了2013年每月空气质量达到良好以上的天数，整理后制成如下折线统计图和扇形统计图． 根据以上信息解答下列问题： （1）该市2013年每月空气质量达到良好以上天数的中位数是　 　天，众数是　 　天； （2）求扇形统计图中扇形A的圆心角的度数； （3）根据以上统计图提供的信息，请你简要分析该市的空气质量状况（字数不超过30字）． 2．（2023•白云区二模）电信诈骗，严重危害着人民群众的财产安全，为提高大家的防范意识，某校举行了主题为“防电信诈骗，保财产安全”的知识测试．七、八年级各有600名学生，现从这两个年级各随机抽取50名学生参加测试，为了解本次测试成绩的分布情况，将两个年级的测试成绩x按A：90≤x≤100，B：80≤x＜90，C：70≤x＜80，D：60≤x＜70四个评价等级进行整理，得到了不完整的统计图表．七年级成绩统计表： 评价等级 成绩x/分 频数 频率 A 90≤x≤100 20 0.4 B 80≤x＜90 b 0.22 C 70≤x＜80 15 0.3 D 60≤x＜70 4 0.08 八年级测试成绩评价等级为B的全部分数（单位分）如下：80，81，82，82，84，86，86，87，88，88，89，89，89． （1）表格中，b＝　 　； （2）八年级测试成绩的中位数是 　 　； （3）若测试成绩不低于80分，则认为该学生对防电信诈骗意识较强，请估计该校七、八两个年级对防电信诈骗意识较强的学生一共有多少人？ 3．（2023•雁塔区校级模拟）我校为了解初三学生对于体育中考三大球项目中的排球技能掌握情况，在本校随机抽取了若干名初三学生进行测试，其中男生50名．将测试结果统计如下： 40秒内垫球个数（x） x≤20 20＜x≤30 30＜x≤40 40＜x≤45 x＞45 频数（男生） 2 10 a 9 10 频数（女生） 1 8 b 14 5 根据上述信息回答下列问题： （1）求得a＝　 　，b＝　 　． （2）被抽取初三女生40秒垫球个数的中位数所落在的范围是 　 ． （3）若我校今年参加中考的考生有500人，其中男生有300人，女生有200人，请你估计在我校今年参加中考的考生中排球技能能取得满分的人数．（男生40秒垫球45个及以上为满分，女生40秒内垫球40个及以上为满分） 4．（2024春•红旗区校级期末）百度推出了“文心一言”AI聊天机器人（以下简称A款），抖音推出了“豆包”AI聊天机器人（以下简称B款）．有关人员开展了A，B两款AI聊天机器人的使用满意度评分测验，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个等级：不满意x＜70，比较满意70≤x＜80，满意80≤x＜90，非常满意x≥90），下面给出了部分信息： 抽取的对A款AI聊天机器人的评分数据中“满意”的数据： 84，86，86，87，88，89； 抽取的对B款AI聊天机器人的评分数据： 66，68，69，81，84，85，86，87，87，87，88，89，95，97，98，98，98，98，99，100． 抽取的对A，B款AI聊天机器人的评分统计表 设备 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比 A 88 b 96 45% B 88 87 c 40% 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　； （2）根据以上数据，你认为哪款AI聊天机器人更受用户喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）在此次测验中，有240人对A款AI聊天机器人进行评分、300人对B款AI聊天机器人进行评分，请通过计算，估计此次测验中对AI聊天机器人不满意的共有多少人？ 5．（2023•呈贡区校级三模）数学运算是数学核心素养的重要部分，为了了解九年级学生的数学运算能力，某校对全体九年级同学进行了数学运算水平测试，并随机抽取50名学生的测试成绩（满分100分）进行整理和分析．（成绩共分成四组：D：60＜x≤70，C：70＜x≤80，B：80＜x≤90，A：90＜x≤100） ①成绩频数分布表： 成绩等级 D等 C等 B等 A等 分数（单位：分） 60＜x≤70 70＜x≤80 80＜x≤90 90＜x≤100 学生数 9 a 12 16 ②成绩在80＜x≤90这一组的是（单位：分）：81，82，85，85，85，86，87，89，90，90，90，90． 根据以上信息，回答下列问题： （1）上述表中a＝　 　，成绩达到A等级的人数占测试人数的百分比是 　 ，本次测试成绩的中位数是 　 　，其中在80＜x≤90这一组成绩的众数是 　 　． （2）如果测试成绩高于90分，则认为成绩优秀．请估计该校九年级400名学生中测试成绩为优秀的人数． 6．某公司销售部统计了每个销售员在某月的销售额，绘制了不完整的折线统计图和扇形统计图． 设销售员的月销售额为x（单位：万元）．销售部规定：当x＜16时为“不称职”，当16≤x＜20时为“基本称职”，当20≤x＜25时为“称职”，当x≥25时为“优秀”．根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：该销售部共有销售员 　 　人，d＝　 　； （2）所有销售员月销售额的中位数为 　 　；众数为 　 　； （3）为了调动销售员的积极性，销售部决定根据本月的销售情况制定一个月销售额奖励标准，凡月销售额达到或超过这个标准的销售员将获得奖励．如果要使得本月所有“称职”和“优秀”的销售员中不少于一半人员能获奖，月销售额奖励标准最高可定为 　 　万元（结果取整数）． 题型十 利用平均数、中位数、众数解决实际问题 解题技巧提炼 平均数、中位数、众数它们从不同的角度反映数据的集中趋势，在实际应用中，需要分析具体问题的情况，选择适当的特征数来描述数据. 1．（2023•阎良区一模）2022年3月25日，教育部印发《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》，优化了课程设置，将劳动从综合实践活动课程中独立出来．某校为了解该校学生一周的课外劳动情况，随机抽取部分学生调查了他们一周的课外劳动时间，将数据进行整理并制成如下统计图． 请根据图中提供的信息，解答下面的问题： （1）求图1中的m＝　 　，本次调查数据的中位数是 　 　h，本次调查数据的众数是 　 　h； （2）该校此次抽查的这些学生一周平均的课外劳动时间是多少？ （3）若该校共有2000名学生，请根据统计数据，估计该校学生一周的课外劳动时间不小于3h的人数． 2．（2023•碑林区校级三模）我校在秦岭植物园劳动教育基地挂牌，标志着劳动教育在西安市开启校外实践新模式．月份学校组织七、八年级学生前往该实践基地开展劳动教育，为了解我校七、八年级学生完成某项任务的时长情况（单位：h），分别从七、八年级中各随机抽取了8名学生进行调查，并将调查结果进行收集整理与分析，信息如下： 收集数据： 七年级：0.9，1.1，0.4，1.0，1.2，0.6，0.8，0.8； 八年级：0.5，1.3，0.7，0.6，0.6，0.7，1.0，0.6． 整理、分析数据： 平均数 中位数 众数 七年级 a b 0.8 八年级 0.75 0.65 c 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　； （2）已知小颖完成该项任务的时长为，通过调查了解到，她完成该项任务的时长比她所在年级半数以上学生用时都少，请判断她所在的年级，并说明理由； （3）若该校七年级共有600名学生参加此次劳动教育，请估计该校七年级学生中完成该项任务的时长不超过1h的人数． 3（2023•南岸区校级开学）为了加快推进农村电子商务发展，积极助力脱贫攻坚工作，A，B两村的村民把特产“小土豆”在某电商平台进行销售（每箱小土豆规格一致），该电商平台从A，B两村各抽取15户进行了抽样调查，并对每户每月销售的土豆箱数（用x表示）进行了数据整理、描述和分析，下面给出了部分信息： A村卖出的土豆箱数为40≤x＜50的数据有：40，49，42，42，43 B村卖出的土豆箱数为40≤x＜50的数据有：40，43，48，46 土豆箱数 ＜30 30≤x＜40 40≤x＜50 50≤x＜60 ≥60 A村 0 3 5 5 2 B村 1 a 4 5 b 平均数、中位数、众数如表所示 村名 平均数 中位数 众数 A村 48.8 m 59 B村 48.8 46 56 根据以上信息，回答下列问题： （1）表中a＝　 　；b＝　 　；m＝　 ； （2）你认为A，B两村中哪个村的小土豆卖得更好？请选择一个方面说明理由； （3）在该电商平台进行销售的A，B两村村民各有225户，若该电商平台把每月的小土豆销售量x在45＜x＜60范围内的村民列为重点培养对象，估计两村共有多少户村民会被列为重点培养对象？ 4．（2023秋•遵义期末）遵义市某中学德育处利用班会课对全校学生进行了一次安全知识测试活动，现从八、九两个年级各随机抽取10名学生的测试成绩（得分用x表示），现将20名学生的成绩分为四组（A：60≤x＜70，B：70≤x＜80，C：80≤x＜90，D：90≤x≤100）进行整理，部分信息如下： 九年级的测试成绩：76，100，87，100，92，94，91，100，94，86． 八年级的测试成绩在C组中的数据为：83，84，86，88． 年级 平均数 中位数 最高分 众数 八年级 83 a 98 76 九年级 b 93 100 c 根据以上信息，解答下列问题：． （1）a＝　 　，b＝　 　，c＝　 ； （2）若该中学八年级与九年级共有1400名学生，请估计此次测试成绩达到90分及以上的学生有多少人？ （3）通过以上数据分析，你认为八、九年级中哪个年级学生对安全知识掌握得更好？请写出一条理由． 5．（2023秋•中原区校级期末）光明学校为了提高学生的“新冠肺炎病毒防范”意识，特组织了一场“防疫”知识竞赛，学校在八、九年级中分别随机抽取了50名学生的成绩（分数）进行整理分析，已知成绩（分数）x均为整数，且分为A，B，C，D，E五个等级，分别是： A：90≤x≤100，B：80≤x＜90，C：70≤x＜80，D：60≤x＜70，E：0≤x＜60．并给出了部分信息： ①八年级B等级中由低到高的10个数为：80，80，81，83，83，83，84，84，85，85． ②两个年级学生“防疫”知识竞赛分数统计图： ③两个年级学生“防疫”知识竞赛分数样本数据的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 八年级 84 a 76 九年级 84 81 75 （1）直接写出a，m的值； （2）根据以上数据，你认为在此次知识竞赛中，哪个年级的学生对“防疫”知识掌握较好？请说明理由（说明一条理由即可）； （3）若分数不低于80分表示该生对“防疫”知识掌握较好，且该校八年级有1800人，九年级有1900人，请估计该校八、九年级所有学生中，对“防疫”知识掌握较好的学生人数． 题型十一 极差、方差和标准差的计算 解题技巧提炼 用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差，通常用s2来表示，计算公式是： s2[（x1）2+（x2）2+…+（xn）2] 1．一组数据为：31，30，35，29，30，则这组数据的方差是（　　） A．22 B．18 C．3.6 D．4.4 2．（2024•奉贤区二模）运动会200米赛跑，5位运动员成绩如表所示，其中有两个数据被遮盖，那么被遮盖的两个数据依次是（　　） 运动员 A B C D E 平均成绩 标准差 时间（秒） 32 34 36 33 33 A．30，4 B．30，2 C．32，4 D．32，2 3．（2024•黑山县一模）如表表格是校女子排球队12名队员的年龄分布： 年龄（岁） 13 14 15 16 人数（名） 1 4 5 2 则关于这12名队员的年龄的说法正确的是（　　） A．极差是4 B．中位数是14.5 C．众数是15 D．平均数是15 4．（2024•溆浦县校级一模）如图，在中考体育模拟测试中，某校10名学生体育模拟测试成绩如图所示，对于这10名学生的体育模拟测试成绩，下列说法错误的是（　　） A．极差是10 B．众数是90分 C．平均数是91分 D．中位数是90分 5．（2024秋•阜宁县期中）小亮在处理一组数据“12，12，35，28，■”时，不小心将其中一个数据污染了，只记得该数据在30～40之间，则“■处的数据”在范围内无论为何值都不影响这组数据的（　　） A．中位数 B．众数 C．平均数 D．方差 6．（2023秋•环翠区期末）已知一个样本数据为2，3，4，5，6，则这组数据的方差和标准差分别是（　　） A．2， B．3， C．，2 D．，3 7．（2024秋•江都区期中）有5名学生的体重（单位：kg）分别是41、50、53、67、49．这5名学生体重的极差是 　 　kg． 8．（2024秋•宿豫区期中）某市2024年10月5日～10月9日每天的最低气温分别为（单位：℃）：17，14，12，10，13，则这5天中该市最低气温的极差为 　 　℃． 题型十二 利用平均数、方差作决策 解题技巧提炼 在生活中运用方差判断数据稳定性的依据：方差刻画数据的波动程度，方差越大，数据的波动越大，越不稳定；方差越小，数据的波动程度越小，越稳定，比较方差的大小即可. 1．（2024秋•盐都区期中）甲、乙两位同学进行“汉字拼写”训练，他们5次训练成绩的平均数均为90分，方差分别为，，则下列对两位同学成绩的稳定性描述正确的是（　　） A．甲更稳定 B．乙更稳定 C．一样稳定 D．无法确定 2．（2024秋•亭湖区期中）甲、乙、丙、丁四人各进行20次射击测试，他们的平均成绩相同，方差分别是，，，，则射击成绩最稳定的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 3．农科院引进甲乙两种水稻良种，各选6块条件相同的实验田，同时播种并核定亩产，结果甲、乙两种水稻的平均产量均为750kg/亩，方差分别为S甲2＝140.5，S乙2＝327.2，则产量稳定，适合推广的品种为（　　） A．甲、乙均可 B．甲 C．乙 D．无法确定 4．某学校要从甲乙两名射击运动员中挑选一人参加全市比赛，在选拔赛中，每人进行了5次射击，甲的成绩（环）为：9.7，10，9.6，9.8，9.9 乙的成绩的平均数为9.8，方差为0.032 （1）甲的射击成绩的平均数和方差分别是多少？ （2）据估计，如果成绩的平均数达到9.8环就可能夺得金牌，为了夺得金牌，应选谁参加比赛？ 5．甲、乙两人加工同一种直径为100mm的零件，现从它们加工好的零件中随机各抽取6个，量得它们的直径如下（单位：mm） 甲：98，102，100，100，101，99 乙：100，103，101，97，100，99 （1）分别求出上述两组数据的平均数和方差； （2）结合（1）中的统计数据，请你评价两人的加工质量． 题型十三 用样本方差估计总体方差 解题技巧提炼 可以利用样本的平均数估计总体的平均数，也可以用样本的方差来估计总体的方差. 1．为考察甲、乙两种农作物的长势，研究人员分别抽取了6株苗，测得它们的高度（单位：cm）如下：甲：98，102，100，100，101，99；乙：100，103，101，97，100，99． （1）你认为哪种农作物长得高一些？说明理由； （2）你认为哪种农作物长得更整齐一些？说明理由． 2．市农科所为了考察甲、乙两种水稻秧苗的长势，从中分别抽取了10株水稻，测得它们的株高如下（单位：cm） 甲：9，14，12，16，13，16，10，10，15，15； 乙：11，11，15，16，13，10，12，15，13，14． 试计算这两个样本的平均数、方差，并估计哪种水稻秧苗的长势比较整齐． 3．（2023•天宁区校级模拟）2023年2月，C市从甲、乙两校各抽取10名学生参加全市数学素养水平监测．样本学生数学测试成绩（满分100分）如表： 样本学生成绩 平均数 方差 中位数 众数 甲校 50 66 66 66 78 80 81 82 83 94 74.6 141.04 a 66 乙校 64 65 69 74 76 76 76 81 82 83 74.6 40.84 76 b （1）表中a＝　 　；b＝　 　； （2）请结合平均数、方差、中位数、众数这几个统计量，评判甲、乙两校样本学生的数学测试成绩； （3）若甲、乙两校学生都超过2000人，按照C市的抽样方法，用样本学生数据估计甲、乙两校总体数学素养水平可行吗？为什么？ 4．（2023秋•惠山区期末）为助力新冠肺炎疫情后经济的复苏，天天快餐公司积极投入到复工复产中．现有A、B两家农副产品加工厂到该公司推销鸡腿，两家鸡腿的价格相同，品质相近．该公司决定通过检查质量来确定选购哪家的鸡腿．检查人员从两家分别抽取100个鸡腿，然后再从中随机各抽取10个，记录它们的质量（单位：克）如表： A：74，75，75，75，73，77，78，72，76，75； B：78，74，78，73，74，75，74，74，75，75． （1）整理数据，得到如下表： 平均数 中位数 众数 方差 A 75 75 75 2.8 B 75 a b ⋆ 其中：a＝　 　，b＝　 ； （2）估计B加工厂这100个鸡腿中，质量为75克的鸡腿有多少个？ （3）根据鸡腿质量的稳定性，该快餐公司应选购哪家加工厂的鸡腿？ 题型十四 数据分析的综合应用 解题技巧提炼 数据分析的综合应用，往往也结合统计图表，对特征数的准确分析，要掌握数形结合思想，准确地获取信息，解决问题. 1．（2023春•东阳市期中）某校准备从甲、乙两名同学中选派一名参加全市组织的“学宪法，讲宪法”比赛，分别对两名同学进行了八次模拟测试，每次测试满分为100分．现将测试结果绘制成如下统计图表，请根据统计图表中的信息解答下列问题： （1）表中a＝　 　；b＝　 　． （2）求出乙得分的方差． （3）根据已有的信息，你认为应选谁参赛较好，请说明理由． 平均（分） 中位数（分） 众数（分） 方差（分2） 甲 75 a b 93.75 乙 75 75 80，75，70 S乙2 2．（2023春•拱墅区校级期中）某校组织学生参加“防疫卫生知识竞赛”，为了解竞赛情况，从两个年级各抽取10名学生的成绩（满分为100分）．收集数据如下： 七年级：90，95，95，80，85，90，80，90，85，100； 八年级：85，85，95，80，95，90，90，90，100，90． 分析数据： 平均数 中位数 众数 方差 七年级 89 m 90 39 八年级 n 90 p 4 根据以上信息回答下列问题： （1）m＝　 　，n＝　 　，p＝　 　； （2）从方差的角度来判断哪个年级的成绩更稳定？写出理由； （3）通过数据分析，你认为哪个年级的成绩比较好？说明理由． 3．（2023•兰考县一模）为庆祝2023年两会胜利召开、学校团委在八、九年级各抽取50名团员开展团知识竞赛，为便于统计成绩，制定了取“整十”的计分方式，满分100分．竞赛成绩如图所示： 众数 中位数 方差 八年级竞赛成绩 70 80 188 九年级竞赛成绩 m 80 n （1）你能用成绩的平均数判断哪个年级的成绩比较好吗？通过计算说明理由； （2）请根据图表中的信息，回答下列问题． ①表中m＝　 　、n＝　 　． ②现要给成绩突出的年级领奖，如果分别从众数和方差两个角度来分析，你认为应该给哪个年级领奖？ （3）若规定成绩100分获特等奖，90分获一等奖，80分获二等奖，直接说出哪个年级的获奖率高？ 4．（2024秋•合川区期中）某校为丰富同学们的课余生活，全面提高科学素养，提升思维能力和科技能力，开展了“最强大脑”邀请赛，现从七、八年级中各随机抽取了20名学生的初赛成绩（初赛成绩均为整数，满分为10分，9分及以上为优秀）统计、整理如下： 七年级抽取的学生的初赛成绩：6，6，7，7，7，8，8，8，8，8，9，9，9，9，9，9，9，10，10，10． 七、八年级抽取的学生的初赛成绩统计表： 年级 七年级 八年级 平均数 8.3 8.3 中位数 a 8 众数 9 b 方差 1.41 1.61 优秀率 50% m% 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：a＝ 　 ，b＝ 　 　，m＝ 　 　； （2）根据以上数据，你认为七、八年级学生在“最强大脑”邀请赛中，哪个年级的学生初赛成绩更好？请说明理由；（写出一条理由即可） （3）若该校有1800名学生参加初赛，规定满分才可进入复赛，请估计七、八年级进入复赛的学生总人数． 5．（2023•长安区校级三模）为落实“五育并举”，某校开展“未来工匠大比拼”活动，锻炼学生的动手能力，让学生在创意设计、木材加工等环节中感受劳动之美，学习工匠精神，每班根据初赛成绩选5名学生参加复赛，九年级（1）、（2）班选出的5名学生的复赛成绩（满分100分）如图所示： 根据以上信息解答下列问题： （1）完成表： 平均数/分 中位数/分 众数/分 九年级（1）班 85 　 　 85 九年级（2）班 　 　 80 　 　 （2）九（2）班的小明同学说：“他的成绩在五个人中属于中下游，但不是最差的”，小明同学可能是 　 　号； （3）已知九年级（2）班复赛成绩的方差为160，计算九年级（1）班复赛成绩的方差，并分析哪个班的复赛成绩更稳定． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！33 学科网（北京）股份有限公司 $$