专题29 n分角、n倍角及扇形弧长面积公式的应用（2大压轴考法）-【常考压轴题】2024-2025学年高一数学压轴题攻略（人教A版2019必修第一册）

专题29 n分角、n倍角及扇形弧长面积公式的应用 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 3 题型一、n倍角和n分角的终边位置 3 题型二、扇形弧长和面积公式 4 压轴能力测评（7题） 8 一、象限角的判定方法 α,2α,等n倍角和n分角的终边位置的确定方法 ①不等式分类讨论法 （1）利用象限角的概念或已知条件,写出角α的范围. （2）利用不等式的性质,求出2α,等角的范围. （3）利用“旋转”的观点,确定角终边的位置.例如,如果得到k·120°<<k·120°+30°,k∈Z,可画出0°<<30°所表示的区域,再将此区域依次逆时针或顺时针转动120°(如图所示).(注意由α的范围确定2α的范围时,不要忽视终边在坐标轴上的情况) ②等分象限法 对于的范围问题,可采用等分象限法,即把每个象限平均分成n份,从第一象限x轴正半轴的上方起按逆时针方向循环标注象限序号(如图以为例),则标注序号与α所在象限序号相同的区域即为所在的区域. 二、角度与弧度的换算 1、弧度与角度的换算公式 2、特殊角的度数与弧度数的对应表 度 0° 15° 30° 45° 60° 75° 90° 105° 120° 135° 150° 165° 180° 弧度 0 π 度 195° 210° 225° 240° 255° 270° 285° 300° 315° 330° 345° 360° 弧度 2π 3、弧长公式、扇形面积公式 设扇形的半径为R，弧长为l，圆心角为. (1)弧长公式 由公式，可得. (2)扇形面积公式 . (3)弧长公式及扇形面积公式的两种表示 角度制 弧度制 弧长公式 l=αR 扇形面积公式 注意事项 R是扇形的半径，n 是圆心角的角度数. R是扇形的半径，α是圆心角的弧度数. 【题型一 n倍角和n分角的终边位置】 一、单选题 1．（23-24高三上·上海静安·期末）设是第一象限的角，则所在的象限为（    ） A．第一象限 B．第三象限 C．第一象限或第三象限 D．第二象限或第四象限 【答案】C 【分析】根据是第一象限的角，求出的范围判断即可得解. 【详解】因为是第一象限的角， 所以，， 所以， 当时，，为第一象限角； 当时，，为第三象限角. 故选：C 2．（2023高一上·全国·专题练习）已知为第二象限角，那么是（    ） A．第一或第二象限角 B．第一或第四象限角 C．第二或第四象限角 D．第一、二或第四象限角 【答案】D 【分析】根据第二象限角的范围即可得，根据的取值即可求解. 【详解】∵为第二象限角， ∴， ∴, 当时，，属于第一象限， 当时，，属于第二象限， 当时，,属于第四象限， ∴是第一、二或第四象限角． 故选：D 二、多选题 3．（23-24高一上·河北保定·期中）设为第二象限角，则可能是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】CD 【分析】为第二象限角，得到，得到答案. 【详解】为第二象限角，故， 所以， 所以可能是第三象限角，也可能是第四象限角,或轴的负半轴. 故选：CD 【题型二 题扇形弧长和面积公式】 一、单选题 1．（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）已知扇形的周长为12cm，圆心角为4rad，则此扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设扇形的半径为，列方程求出的值，再计算扇形的面积. 【详解】设扇形的半径为，则弧长为，周长为，解得：， 则此扇形的面积为：， 故选：D 2．（23-24高一下·辽宁辽阳·阶段练习）古代文人墨客与丹青手都善于在纸扇上题字题画，题字题画的部分多为扇环．已知某纸扇的扇环如图所示，其中外弧线长与内弧线长之和为，连接外弧与内弧的两端的线段长均为，且该扇形的中心角的弧度数为，则该扇环的外弧线长为（    ） A．70cm B．75cm C．68cm D．72cm 【答案】A 【分析】根据题意结合弧长公式运算求解. 【详解】如图，设弧长为，弧长为, 因为该扇形的中心角的弧度数为， 所以, 即， 又因为， 所以， 又因为，解得， 所以该扇环的外弧线长为． 故选：A. 3．（23-24高一上·四川绵阳·开学考试）如图，将含角的直角三角板绕顶点顺时针旋转后得到，点经过的路径为弧，若，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意，计算，则阴影部分的面积为. 【详解】由题意，扇形的圆心角为，且 所以, 所以， 且, 所以阴影部分的面积为. 故选：C. 二、填空题 4．（23-24高一下·内蒙古呼和浩特·期中）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积（弦×矢+矢2），弧田如图，由圆弧和所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为，弦长为米的弧田，按照上述方法计算弧田的矢为 米；面积为 平方米.    【答案】 【分析】如图所示，过作于，的延长线交于，利用锐角三角函数求出、，即可求出，再由弧田面积公式计算可得. 【详解】如图所示，过作于，的延长线交于.    则，，所以，， 所以，， 所以矢为， 则弧田面积是. 故答案为：；. 三、解答题 5．（24-25高一·上海·随堂练习）已知一扇形的圆心角为，半径为，弧长为． (1)若，，求扇形的弧长； (2)已知扇形的周长为，面积是，求扇形的圆心角． 【答案】(1) (2)弧度 【分析】（1）由扇形的弧长公式即可求解； （2）由扇形的周长和面积公式即可求解. 【详解】（1）因为弧度， 所以； （2）由题意得， 解得（舍去）或， 故扇形圆心角为弧度． 一、单选题 1．（24-25高三上·重庆渝中·阶段练习）某机器上有相互啮合的大小两个齿轮（如图所示），大轮有25个齿，小轮有15个齿，大轮每分钟转3圈，若小轮的半径为，则小轮每秒转过的弧长是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出小轮每分钟转的圈数，再借助弧长公式计算即得. 【详解】由大轮有25个齿，小轮有15个齿，大轮每分钟转3圈，得小轮每分钟转的圈数为， 因此小轮每秒钟转的弧度数为， 所以小轮每秒转过的弧长是. 故选：C 2．（2024·全国·模拟预测）石雕、木雕、砖雕被称为建筑三雕．源远流长的砖雕，由东周瓦当、汉代画像砖等发展而来，明清时代进入巅峰，形成北京、天津、山西、徽州、广东、临夏以及苏派砖雕七大主要流派．苏派砖雕被称为“南方之秀”，是南方地区砖雕艺术的典型代表，被广泛运用到墙壁、门窗、檐廊、栏槛等建筑中．图（1）是一个梅花砖雕，其正面是一个扇环，如图（2），砖雕厚度为6cm，，，所对的圆心角为直角，则该梅花砖雕的表面积为（单位：）（   ）      A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出，，进而求得梅花砖雕的侧面积及扇环的面积可得该梅花砖雕的表面积. 【详解】 延长与交于点．由，，得，． 因为所对的圆心角为直角，所以，． 所以该梅花砖雕的侧面积， 扇环的面积为， 则该梅花砖雕的表面积． 故选：C． 二、多选题 3．（22-23高一下·全国·单元测试）角的终边在第三象限，则的终边可能在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．y轴非负半轴 D．第三或四象限 【答案】ABC 【分析】由角的终边在第三象限可得，，进而可求，则的终边所在象限可定. 【详解】角的终边在第三象限， ，， ，． 的终边可能在第一、二象限或y轴非负半轴． 故选：ABC. 三、填空题 4．（23-24高一下·广东潮州·期末）某圆锥的侧面展开图是面积为，圆心角为的扇形，则该圆锥的底面半径为 . 【答案】/ 【分析】设圆锥的底面半径为，母线为，根据扇形的面积公式及弧长公式计算可得. 【详解】设圆锥的底面半径为，母线为，因为圆锥的侧面展开图是面积为，圆心角为的扇形， 所以，解得（负值已舍去），所以，解得. 故答案为： 5．（23-24高一下·四川内江·阶段练习）一个扇形的周长是，这个当扇形的面积最大时，圆心角为 . 【答案】2 【分析】设该扇形的弧长为、半径为、圆心角为，根据条件可将表示成关于的二次函数，由此可得答案. 【详解】设该扇形的弧长为、半径为、圆心角为， 因为扇形的周长为16，所以， 所以， 所以当时最大，此时， 故答案为：2. 6．（2024高三·全国·专题练习）如图，在中，，以O为圆心，OB为半径作圆弧交OP于点A.若圆弧AB等分的面积，且，则 . 【答案】/ 【分析】利用扇形半径表示直角三角形和扇形的面积，利用面积间的关系，列式求解. 【详解】设扇形的半径为r，则扇形的面积为， 在中， 则的面积为， 由题意得 所以，所以. 故答案为： 四、解答题 7．（22-23高一·全国·随堂练习）已知角α的终边在第四象限，确定下列各角终边所在的象限： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)的终边在第二或第四象限 (2)的终边在第三或第四象限，也可在轴的负半轴上 (3)的终边在第二､第三或第四象限 (4)的终边在第二或三或第四象限，也可在轴的负半轴上 【分析】由为第四象限角可知，根据不等式的性质可得，，，角终边所在区域，对分类讨论可得角终边所在的位置. 【详解】（1）由于为第四象限角，所以， 所以， 当时，，终边在第二象限， 当时，，终边在第四象限， 所以的终边在第二或第四象限； （2）由（1）得， 所以的终边在第三或第四象限，也可在轴的负半轴上. （3）由（1）得， 当时，，终边在第二象限， 当时，，终边在第三象限， 当时，，终边在第四象限， 所以的终边在第二､第三或第四象限； （4）由（1）得，即， 所以的终边在第二或三或第四象限，也可在轴的负半轴上. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题29 n分角、n倍角及扇形弧长面积公式的应用 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 3 题型一、n倍角和n分角的终边位置 3 题型二、扇形弧长和面积公式 3 压轴能力测评（7题） 5 一、象限角的判定方法 α,2α,等n倍角和n分角的终边位置的确定方法 ①不等式分类讨论法 （1）利用象限角的概念或已知条件,写出角α的范围. （2）利用不等式的性质,求出2α,等角的范围. （3）利用“旋转”的观点,确定角终边的位置.例如,如果得到k·120°<<k·120°+30°,k∈Z,可画出0°<<30°所表示的区域,再将此区域依次逆时针或顺时针转动120°(如图所示).(注意由α的范围确定2α的范围时,不要忽视终边在坐标轴上的情况) ②等分象限法 对于的范围问题,可采用等分象限法,即把每个象限平均分成n份,从第一象限x轴正半轴的上方起按逆时针方向循环标注象限序号(如图以为例),则标注序号与α所在象限序号相同的区域即为所在的区域. 二、角度与弧度的换算 1、弧度与角度的换算公式 2、特殊角的度数与弧度数的对应表 度 0° 15° 30° 45° 60° 75° 90° 105° 120° 135° 150° 165° 180° 弧度 0 π 度 195° 210° 225° 240° 255° 270° 285° 300° 315° 330° 345° 360° 弧度 2π 3、弧长公式、扇形面积公式 设扇形的半径为R，弧长为l，圆心角为. (1)弧长公式 由公式，可得. (2)扇形面积公式 . (3)弧长公式及扇形面积公式的两种表示 角度制 弧度制 弧长公式 l=αR 扇形面积公式 注意事项 R是扇形的半径，n 是圆心角的角度数. R是扇形的半径，α是圆心角的弧度数. 【题型一 n倍角和n分角的终边位置】 一、单选题 1．（23-24高三上·上海静安·期末）设是第一象限的角，则所在的象限为（    ） A．第一象限 B．第三象限 C．第一象限或第三象限 D．第二象限或第四象限 2．（2023高一上·全国·专题练习）已知为第二象限角，那么是（    ） A．第一或第二象限角 B．第一或第四象限角 C．第二或第四象限角 D．第一、二或第四象限角 二、多选题 3．（23-24高一上·河北保定·期中）设为第二象限角，则可能是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【题型二 题扇形弧长和面积公式】 一、单选题 1．（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）已知扇形的周长为12cm，圆心角为4rad，则此扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·辽宁辽阳·阶段练习）古代文人墨客与丹青手都善于在纸扇上题字题画，题字题画的部分多为扇环．已知某纸扇的扇环如图所示，其中外弧线长与内弧线长之和为，连接外弧与内弧的两端的线段长均为，且该扇形的中心角的弧度数为，则该扇环的外弧线长为（    ） A．70cm B．75cm C．68cm D．72cm 3．（23-24高一上·四川绵阳·开学考试）如图，将含角的直角三角板绕顶点顺时针旋转后得到，点经过的路径为弧，若，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（23-24高一下·内蒙古呼和浩特·期中）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积（弦×矢+矢2），弧田如图，由圆弧和所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为，弦长为米的弧田，按照上述方法计算弧田的矢为 米；面积为 平方米.    三、解答题 5．（24-25高一·上海·随堂练习）已知一扇形的圆心角为，半径为，弧长为． (1)若，，求扇形的弧长； (2)已知扇形的周长为，面积是，求扇形的圆心角． 一、单选题 1．（24-25高三上·重庆渝中·阶段练习）某机器上有相互啮合的大小两个齿轮（如图所示），大轮有25个齿，小轮有15个齿，大轮每分钟转3圈，若小轮的半径为，则小轮每秒转过的弧长是（    ）． A． B． C． D． 2．（2024·全国·模拟预测）石雕、木雕、砖雕被称为建筑三雕．源远流长的砖雕，由东周瓦当、汉代画像砖等发展而来，明清时代进入巅峰，形成北京、天津、山西、徽州、广东、临夏以及苏派砖雕七大主要流派．苏派砖雕被称为“南方之秀”，是南方地区砖雕艺术的典型代表，被广泛运用到墙壁、门窗、檐廊、栏槛等建筑中．图（1）是一个梅花砖雕，其正面是一个扇环，如图（2），砖雕厚度为6cm，，，所对的圆心角为直角，则该梅花砖雕的表面积为（单位：）（   ）      A． B． C． D． 二、多选题 3．（22-23高一下·全国·单元测试）角的终边在第三象限，则的终边可能在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．y轴非负半轴 D．第三或四象限 三、填空题 4．（23-24高一下·广东潮州·期末）某圆锥的侧面展开图是面积为，圆心角为的扇形，则该圆锥的底面半径为 . 5．（23-24高一下·四川内江·阶段练习）一个扇形的周长是，这个当扇形的面积最大时，圆心角为 . 6．（2024高三·全国·专题练习）如图，在中，，以O为圆心，OB为半径作圆弧交OP于点A.若圆弧AB等分的面积，且，则 . 四、解答题 7．（22-23高一·全国·随堂练习）已知角α的终边在第四象限，确定下列各角终边所在的象限： (1)； (2)； (3)； (4)． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$