专题32 函数y＝Asin(ωx＋φ)中ω、φ的取值和最值问题（2大压轴考法）-【常考压轴题】2024-2025学年高一数学压轴题攻略（人教A版2019必修第一册）

专题32 函数y＝Asin(ωx＋φ)中ω、φ的取值和最值问题 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 题型一、ω的取值和最值问题 2 题型二、φ的取值和最值问题 7 压轴能力测评（17题） 12 一、ω的取值和最值问题 1.与y＝Asin(ωx＋φ)的对称性有关 (1)y＝Asin(ωx＋φ)相邻两条对称轴之间的距离是； (2)y＝Asin(ωx＋φ)相邻两个对称中心的距离是； (3)y＝Asin(ωx＋φ)相邻两条对称轴与对称中心距离； 2.与y＝Asin(ωx＋φ)的单调性有关 3.与y＝Asin(ωx＋φ)的零点和极值点有关 对于区间长度为定值的动区间，若区间上至少含有k个零点，需要确定含有k个零点的区间长度，一般和周期相关，若在在区间至多含有k个零点，需要确定包含k+1个零点的区间长度的最小值，极值点的处理方法也是类似的. 4.与y＝Asin(ωx＋φ)的最值有关 三角函数的对称轴比经过图象的最高点或最低点，函数的对称中心就是其图象与轴的交点（零点），也就是说我们可以利用函数的最值、零点之间的“差距”来确定其周期，进而可以确定的取值. 5.与y＝Asin(ωx＋φ)的平移变换有关 1.平移后与原图象重合 思路1：平移长度即为原函数周期的整倍数； 思路2：平移前的函数=平移后的函数. 2.平移后与新图象重合：平移后的函数=新的函数. 3.平移后的函数与原图象关于轴对称：平移后的函数为偶函数； 4.平移后的函数与原函数关于轴对称：平移前的函数=平移后的函数-； 5.平移后过定点：将定点坐标代入平移后的函数中。 【题型一 ω的取值和最值问题】 一、单选题 1．（23-24高一下·北京·期中）设函数．若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】借助余弦型函数的性质计算即可得. 【详解】由题意可得， 即，又，故. 故选：C. 2．（23-24高一下·广西钦州·期末）已知，是函数（）图象与轴的两个相邻的交点，若，则（    ） A．4 B．8 C．4或8 D．8或16 【答案】C 【分析】将问题转化为的两个相邻的解之间距离为，由此列式求解，即可得答案. 【详解】由题意，是函数（）图象与轴的两个相邻的交点， 且，则的两个相邻的解之间距离为， 而或， 即或， 则，或， 解得或， 故选：C 3．（23-24高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知函数在上有且仅有2个零点.则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据所给角的范围求出的范围，再由余弦函数的图象与性质建立不等式得解. 【详解】当时，. 因为在上有且仅有2个零点， 所以，解得. 故选：C 4．（23-24高一下·安徽·期末）函数的图象在区间上恰有一条对称轴和一个对称中心，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦型函数的性质列出关于的不等式，求解即可． 【详解】由，设，则， 由图可知直线在线段之间，不含点， 所以，得． 故选：C. 5．（23-24高一下·江西萍乡·期中）函数在上存在零点，且在上单调，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据，求的范围，再根据正弦函数的图象和性质，确定的取值范围，再根据函数的单调区间，即可求解. 【详解】当，， 因为函数在上存在零点，所以，得， 当时，则， 由，可知，，则，则， 所以. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题的关键1是整体代入求的范围，关键2是先根据存在零点确定. 6．（23-24高一下·辽宁·阶段练习）已知函数（，），若为奇函数，为偶函数，且在上没有最小值，则的最大值是（    ） A．14 B．10 C．7 D．6 【答案】D 【分析】根据给定的奇偶性求出的值，再按的值分类讨论求出的表达式，结合在上没有最小值求出最大值. 【详解】依题意，，由为奇函数，得， ，由为偶函数，得， 两式相加得，而，则或， 当时，，且， 则，且，而，因此， 当时，，由在上没有最小值， 得，，此时，； 当时，，且， 则，且，而，因此， 当时，，由在上没有最小值， 得，，此时，， 所以的最大值是6. 故选：D 二、填空题 7．（23-24高一上·江苏盐城·期末）若函数在区间上恰有两个最大值，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】求出，根据函数恰有两个最大值，得到，得到答案. 【详解】，，， 因为上恰有两个最大值， 所以，解得. 故答案为： 8．（23-24高一下·广东潮州·阶段练习）若函数在上单调递增则的取值范围为 . 【答案】 【分析】由，得，再根据余弦函数的单调递增区间，即可求解. 【详解】由，得. 因为在上单调递增，所以， 得， 则， 解得，则，故的取值范围为. 故答案为： 9．（23-24高一下·江苏常州·期中）已知函数的图象关于点对称，且，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】由及得，或，结合的图象关于点对称，即可求出的最小值． 【详解】由的图象关于点对称，得， 由及得，或， 当时，，由得的最小值为； 当时，，由得的最小值为； 综上所述，的最小值为； 故答案为：． 10．（22-23高一下·河南南阳·阶段练习）已知函数（，）为偶函数，且在区间上没有最小值，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用诱导公式化简函数，然后换元，结合余弦函数图象建立不等式组求解即可. 【详解】因为（，）为偶函数，则， 所以，令，，则， 因为在区间上没有最小值， 所以函数在时没有最小值， 所以，解得. 故答案为： 【题型二 φ的取值和最值问题】 一、单选题 1．（22-23高一下·上海杨浦·期末）已知常数，如果函数的图像关于点中心对称，那么的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据余弦函数的性质求出的取值，即可判断. 【详解】因为函数的图像关于点中心对称， 所以，，所以，， 所以当时，当时，时， 所以的最小值为. 故选：C 2．（23-24高三上·辽宁·期中）已知函数满足，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据余弦函数的性质计算可得. 【详解】因为函数满足，， 所以，即，所以，解得， 又，所以. 故选：A 3．（2023·山东烟台·二模）已知函数在上单调递增，则的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由的取值范围求出的取值范围，结合余弦函数的性质得到不等式组，解得即可. 【详解】由，所以， 又，所以， 且函数在上单调递增， 所以，解得，即的取值范围为. 故选：D 4．（23-24高一下·福建福州·期末）已知函数在区间上单调递减，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在区间上单调递减，用周期公式，缩小范围．得出对称中心，求出，解出即可． 【详解】在区间上单调递减，， 由，得①. 又，图象关于点对称， 即②. 由②-①得，由于， 则，代入①，即， 由于，则． 故选：C. 5．（24-25高二上·湖南长沙·开学考试）已知函数，函数图象与相邻两个交点的距离为，若任意恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可得周期为，根据周期公式可得.将不等式恒成立的范围化为的解集的子集，即可构造不等式求得结果. 【详解】，由题意可得相邻最低点距离个周期，即，， 由得：，， 即， 所以， ，， 即，，解得：. 故选：C. 二、填空题 6．（2024高一上·全国·专题练习）已知函数，为奇函数，则 . 【答案】或 【分析】根据题意得到，解出再对赋值即可. 【详解】由题意知， 即. ∵， ∴当时，； 当时，. 故答案为：或. 7．（23-24高一下·北京·期中）若的最大值为3，则 ． 【答案】 【分析】根据正弦函数与余弦函数的最值分析，结合诱导公式可得． 【详解】由题意与同时取得最大值1，因此，， 故答案为：． 8．（23-24高一下·海南省直辖县级单位·期中）设函数与函数的对称轴完全相同，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】应用正弦函数及余弦函数的对称轴求参即可. 【详解】由题意，求函数，的对称轴，令，解得 函数，令，解得， 因为函数，与函数的对称轴完全相同,则周期也相同，故，，所以. 故答案为：. 9．（22-23高一上·黑龙江大庆·期末）若，函数在区间上单调递减，且在区间上存在零点，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】运用整体思想，结合余弦函数的性质可得答案. 【详解】当时，， 因为，函数在区间上单调递减， 所以，所以，即， 当时，， 因为，在区间上存在零点， 所以，解得， 综上：， 故答案为： 一、单选题 1．（24-25高三上·广东广州·阶段练习）已知函数，对任意的，都有，且在区间上单调，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可知，继而求得，再利用题中条件可得，继而求得，即可求解. 【详解】因为对任意的，都有， 所以，故，则， 又在区间上单调，则， 所以，解得， 故当时，符合题意， 故选：B 2．（24-25高一上·河北衡水·期中）设函数在上有且只有4个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出的范围，利用余弦函数性质列不等式组求解可得. 【详解】， 又因为在上有且仅有4个零点， ，解得 故选：B. 3．（24-25高三上·广西南宁·阶段练习）已知函数在区间内既有最大值，又有最小值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由条件求出的范围，结合正弦函数的性质列不等式可求结论. 【详解】因为，， 所以， 由已知，或， 所以或， 所以的取值范围是. 故选：B. 4．（24-25高三上·北京通州·期中）设函数，已知，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件，利用的性质，得到和，从而得到，即可求解. 【详解】因为，且， 所以，得到① 又，则，得到②， 由①②得到，，即，又，所以的最小值为， 故选：B. 5．（24-25高三上·山东日照·阶段练习）已知点在函数（，且，）的图象上，直线是函数图象的一条对称轴.若在区间上单调，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由在区间内单调求出的范围，先由函数零点与对称轴之间的关系求出周期，进而求得，利用对称轴即可求出. 【详解】由函数在内单调，得最小正周期， 点是函数图象的对称中心， 直线是函数的图象的一条对称轴， 而，则，符合题意，； 或，不符合题意， 因此函数，由是函数的图象的一条对称轴， 得，而，所以. 故选：D 6．（24-25高三上·山东德州·阶段练习）设函数（）在区间上恰好有3条对称轴，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求出函数的对称轴方程，根据题意列出相应不等式，即可求得答案. 【详解】由函数（）， 令，即， 因为（）在区间上恰好有3条对称轴， 显然当时，为内最左侧的对称轴， 故，解得， 即的取值范围是， 故选：C 7．（24-25高二上·浙江衢州·期中）设，若存在，使为偶函数，则可能的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用函数的奇偶性与三角函数的对称性质，结合两个偶函数的积函数的性质，选出满足题意的选项即可. 【详解】由函数，. 则是偶函数， 因为不可能是奇函数， 由两函数解析式可知，若和都是偶函数，满足题意. 要使为偶函数， 则，即， 当时，， 函数为偶函数，要使为偶函数， 只需为偶函数即可. 由恒成立， 即对任意恒成立， （不合题意，舍去）， 或，. 可得，，即， 取可得，故C正确，其余选项不存在，使其成立. 故选：C. 8．（24-25高三上·天津武清·期中）已知函数在区间上单调递增，且在区间上有且仅有2个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出单调区间，由题意列出不等式，求出范围；求出函数零点，根据题意得出不等式，求出范围，由交集得出最后范围. 【详解】令， 则 当时，，∴，即， 令，则， ∵时，， 且时，，时，，时，， ∴，∴， 综上，. 故选：D. 9．（2024·湖南邵阳·三模）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若在区间上单调递增，且在区间上有且仅有1个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出，结合在区间上单调递增可得，再由在区间上有且仅有1个零点，可得可能的零点，再分类讨论结合三角函数的性质即可得得出答案. 【详解】由题意可得：， 因为在区间上单调递增， 因为，， 所以，解得：， 又在区间上有且仅有1个零点， 所以，， 结合，所以， 所以这个零点可能为或或， 当时，，， 解得：， 当时，，， 解得：， 当时，无解， 综上：的取值范围为. 故选：A. 10．（24-25高三上·北京·阶段练习）已知函数，是函数的一个零点，且是其图象的一条对称轴.若在区间上单调，则的最大值为（    ） A．18 B．17 C．14 D．13 【答案】D 【分析】由已知可得，结合，得到（），再由是的一个单调区间，可得T，即，进一步得到，然后对逐一取值，分类求解得答案． 【详解】由题意，得，∴， 又，∴（）． ∵是的一个单调区间，∴T，即， ∵，∴，即． ①当，即时，，，∴，， ∵，∴，此时在上不单调， ∴不符合题意； ②当，即时，，，∴，， ∵，∴，此时在上不单调， ∴不符合题意； ③当，即时，，，∴，． ∵，∴，此时在上单调递增， ∴符合题意， 故选：D 二、填空题 11．（2023·河南开封·模拟预测）已知函数的图象关于点对称，那么的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据余弦函数图像的性质，代入对称中心，求得，由此最小值即可求解. 【详解】的图象关于点对称， ，即， 令，可得的最小值为． 故答案为： 12．（23-24高一下·辽宁大连·期末）已知函数在上单调递增，则的最大值为 . 【答案】 【分析】利用整体法结合正弦型函数的单调性即可求解. 【详解】因为，则， 由函数在区间上单调递增， 可得 ，求得，则，故的最大值为， 故答案为：. 13．（2024·重庆渝中·模拟预测）已知函数图象的一个对称中心为，且在上单调递增，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】根据题意，由的一个对称中心为，可得，，再由在上单调递增，得，，由上两式可得答案. 【详解】因为的一个对称中心为，所以，， 即，，①； 又，则，在上单调递增， 所以，， 即，解得，，②； 又，结合①②可得，的最小值为. 故答案为：. 14．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数在区间上是单调的，则的最大值为 . 【答案】 【分析】利用所有对称轴都不在区间内，则函数在上一定单调，再结合，从而来求解问题. 【详解】的最小正周期. 因为在区间上是单调的，所以，解得. 由，得图象的对称轴方程为. 由题意，知的图象在区间上没有对称轴，得， 解得.结合，得的最大值为. 故答案为：. 15．（24-25高三上·河南·阶段练习）已知函数，若为偶函数，且在区间内仅有两个零点，则的值是 ． 【答案】2 【分析】根据偶函数的性质，求得，，再结合余弦函数的零点，列出不等式，即可求解. 【详解】为偶函数， 所以，，得，， 当时，，在区间内仅有两个零点， 所以，解得：，所以. 故答案为：2 16．（23-24高一下·辽宁大连·期中）已知函数（，，），对任意实数x都有，，且在上单调，则的最大值为 . 【答案】15 【分析】根据题意中的两个等式可得的一个对称中心和对称轴方程，利用正弦函数的周期性和单调性求得且，即可求解. 【详解】因为，所以，所以的一个对称中心为， 因为，所以，所以的对称轴方程， 有，所以，因为，所以， 因为在上单调，且求的最大值，所以，解得，因为，，所以的最大值为15. 故答案为：15 【点睛】思路点睛：解决三角函数中已知单调区间求参数范围时，首先要有已知的单调区间是函数单调区间的子集的意识，然后明确正弦、余弦函数的单调区间长度不会超过半个周期（正切函数的单调区间长度不会超过一个周期）这一事实最终准确求得参数范围，数形结合能给解题带来比较清晰地思路. 17．（2024·浙江绍兴·二模）已知函数，若，，，则实数的取值范围是 . 【答案】或 【分析】设，则，由正弦函数图象可列式，求得，，对取值分析得到答案. 【详解】设，，则， 所以问题转化为在上存在最大值和最小值， 由正弦函数图象可得，，解得， 所以， 当时，，； 当时，，当时，，当时，， 当，时，， 当时，， 而，即， 所以时，所有情况的范围的并集为； 综上，实数的取值范围是或. 故答案为：或. 【点睛】思路点睛：换元令，，利用正弦函数的图象分析可得，求出的范围，再带回上式验证求解的范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题32 函数y＝Asin(ωx＋φ)中ω、φ的取值和最值问题 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 题型一、ω的取值和最值问题 2 题型二、φ的取值和最值问题 3 压轴能力测评（17题） 5 一、ω的取值和最值问题 1.与y＝Asin(ωx＋φ)的对称性有关 (1)y＝Asin(ωx＋φ)相邻两条对称轴之间的距离是； (2)y＝Asin(ωx＋φ)相邻两个对称中心的距离是； (3)y＝Asin(ωx＋φ)相邻两条对称轴与对称中心距离； 2.与y＝Asin(ωx＋φ)的单调性有关 3.与y＝Asin(ωx＋φ)的零点和极值点有关 对于区间长度为定值的动区间，若区间上至少含有k个零点，需要确定含有k个零点的区间长度，一般和周期相关，若在在区间至多含有k个零点，需要确定包含k+1个零点的区间长度的最小值，极值点的处理方法也是类似的. 4.与y＝Asin(ωx＋φ)的最值有关 三角函数的对称轴比经过图象的最高点或最低点，函数的对称中心就是其图象与轴的交点（零点），也就是说我们可以利用函数的最值、零点之间的“差距”来确定其周期，进而可以确定的取值. 5.与y＝Asin(ωx＋φ)的平移变换有关 1.平移后与原图象重合 思路1：平移长度即为原函数周期的整倍数； 思路2：平移前的函数=平移后的函数. 2.平移后与新图象重合：平移后的函数=新的函数. 3.平移后的函数与原图象关于轴对称：平移后的函数为偶函数； 4.平移后的函数与原函数关于轴对称：平移前的函数=平移后的函数-； 5.平移后过定点：将定点坐标代入平移后的函数中。 【题型一 ω的取值和最值问题】 一、单选题 1．（23-24高一下·北京·期中）设函数．若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·广西钦州·期末）已知，是函数（）图象与轴的两个相邻的交点，若，则（    ） A．4 B．8 C．4或8 D．8或16 3．（23-24高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知函数在上有且仅有2个零点.则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·安徽·期末）函数的图象在区间上恰有一条对称轴和一个对称中心，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·江西萍乡·期中）函数在上存在零点，且在上单调，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·辽宁·阶段练习）已知函数（，），若为奇函数，为偶函数，且在上没有最小值，则的最大值是（    ） A．14 B．10 C．7 D．6 二、填空题 7．（23-24高一上·江苏盐城·期末）若函数在区间上恰有两个最大值，则实数的取值范围是 ． 8．（23-24高一下·广东潮州·阶段练习）若函数在上单调递增则的取值范围为 . 9．（23-24高一下·江苏常州·期中）已知函数的图象关于点对称，且，则的最小值为 ． 10．（22-23高一下·河南南阳·阶段练习）已知函数（，）为偶函数，且在区间上没有最小值，则的取值范围是 ． 【题型二 φ的取值和最值问题】 一、单选题 1．（22-23高一下·上海杨浦·期末）已知常数，如果函数的图像关于点中心对称，那么的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三上·辽宁·期中）已知函数满足，，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（2023·山东烟台·二模）已知函数在上单调递增，则的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 4．（23-24高一下·福建福州·期末）已知函数在区间上单调递减，，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·湖南长沙·开学考试）已知函数，函数图象与相邻两个交点的距离为，若任意恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（2024高一上·全国·专题练习）已知函数，为奇函数，则 . 7．（23-24高一下·北京·期中）若的最大值为3，则 ． 8．（23-24高一下·海南省直辖县级单位·期中）设函数与函数的对称轴完全相同，则的值为 ． 9．（22-23高一上·黑龙江大庆·期末）若，函数在区间上单调递减，且在区间上存在零点，则的取值范围是 . 一、单选题 1．（24-25高三上·广东广州·阶段练习）已知函数，对任意的，都有，且在区间上单调，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·河北衡水·期中）设函数在上有且只有4个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·广西南宁·阶段练习）已知函数在区间内既有最大值，又有最小值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·北京通州·期中）设函数，已知，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·山东日照·阶段练习）已知点在函数（，且，）的图象上，直线是函数图象的一条对称轴.若在区间上单调，则（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·山东德州·阶段练习）设函数（）在区间上恰好有3条对称轴，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·浙江衢州·期中）设，若存在，使为偶函数，则可能的值为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高三上·天津武清·期中）已知函数在区间上单调递增，且在区间上有且仅有2个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 9．（2024·湖南邵阳·三模）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若在区间上单调递增，且在区间上有且仅有1个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高三上·北京·阶段练习）已知函数，是函数的一个零点，且是其图象的一条对称轴.若在区间上单调，则的最大值为（    ） A．18 B．17 C．14 D．13 二、填空题 11．（2023·河南开封·模拟预测）已知函数的图象关于点对称，那么的最小值为 ． 12．（23-24高一下·辽宁大连·期末）已知函数在上单调递增，则的最大值为 . 13．（2024·重庆渝中·模拟预测）已知函数图象的一个对称中心为，且在上单调递增，则的最小值为 . 14．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数在区间上是单调的，则的最大值为 . 15．（24-25高三上·河南·阶段练习）已知函数，若为偶函数，且在区间内仅有两个零点，则的值是 ． 16．（23-24高一下·辽宁大连·期中）已知函数（，，），对任意实数x都有，，且在上单调，则的最大值为 . 17．（2024·浙江绍兴·二模）已知函数，若，，，则实数的取值范围是 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 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