微专题 三角恒等变换（专项训练）数学人教A版2019必修第一册

微专题 三角恒等变换 题型1 利用两角的正余弦值求和差公式 两角和与差的正余弦与正切 ①； ②； ③； 在运用两角和与差的三角函数公式时，若已知两角各自的正余弦或正切时，则可以直接套用公式计算。 1、 注意角的拆分，通过合理的拆分、配凑把要求的角拆成两个已知三角函数值的角。 2、 在已知正弦或者余弦求另外一个值的时候，要注意角的范围确定三角函数在的正负性。 1．（2026高二上�辽宁�学业考试）已知，其中，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上�吉林四平�月考）已知，且，则 . 3．（25-26高三上�江苏南京�月考）已知，，则 . 4．（2025·全国·二模）已知，则 ． 题型2 利用两角正余弦的乘积求和差公式 1、 对而言，可以把，看着两个整体，通过直接求这两个值来求。通常条件中出现三者关系时。 2、 对而言，可以把，看着两个整体，通过直接求这两个值来求。通常条件中出现三者关系时。 1．（2024�新课标Ⅰ卷�高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025�辽宁葫芦岛�二模）已知 满足，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上�云南昆明�期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·山东济宁·期中）设，，则（   ） A． B． C． D． 题型3 两角和差正余弦公式的逆用 ①； ②； 通过公式逆用计算出两角和与差的正余弦值。 1．（25-26高一上�上海�月考）已知，且满足，则 ． 2．（25-26高三上�安徽马鞍山�月考） ． 3．（25-26高二上·江苏南京·月考）若，为第二象限角，则＝（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·吉林白城·月考）化简所得的结果是（    ） A． B． C． D． 题型4 两角和差正切公式的逆用 对于两角和差的正切公司的逆用: 1．（25-26高三上·河南南阳·期中）tan（    ） A．0 B． C．2 D． 2．（24-25高一下·江苏镇江·期末）已知满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·内蒙古包头·期末）已知 ． 4．（2025高三·全国·专题练习）化简求值： (1)； (2)． 题型5 二倍角公式、降幂公式 二倍角公式 ①； ②； ③； 降幂公式 ； 在求值的时候要注意角的范围，讨论正负。 1．（25-26高三上·湖北黄冈·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·江苏盐城·月考）设，若，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·北京延庆·期中）函数的最大值为（   ） A． B． C． D． 题型6 半角公式、万能公式 半角公式 ①； ②； ③； 万能公式 cos 1．（2025·浙江宁波·模拟预测）已知为锐角，且，则（   ） A． B． C． D． 2．（2025高三·全国·专题练习）化简． 3．（2025高三·全国·专题练习）解不等式：． 题型7 辅助角公式 辅助角公式 （其中）． 通过通过辅助角公式化简后研究函数的单调性、最值、周期与对称性。 1．（25-26高三上·安徽·月考）已知函数，则的最大值为 ． 2．（25-26高三上·河南·期中）若是函数的两个零点，则的最大值为 ，的最小值为 ． 3．（25-26高二上·辽宁·月考）函数的最大值与最小值的和为 题型8 三角恒等变换的应用 1. 建模：根据实际问题，列出含有三角函数的方程或目标函数。式子往往复杂（含多种角度、多种函数）。 2. 变换：运用三角恒等变换（统一角、统一名、降幂、辅助角等）将模型化简为标准正弦型函数 或易于分析的简单形式。 3. 求解：对化简后的标准形式，利用三角函数的性质（有界性、单调性、周期性）求出所需的最值、特定值或关系。 1．（24-25高一下·甘肃白银·期末）如图，已知扇形的半径为，面积为，是扇形弧上的动点，四边形是扇形的内接矩形（点、在半径上，点在半径上）. (1)求弧的长. (2)记，当取何值时，矩形的面积最大?并求出这个最大面积. 2．（24-25高一上·云南昆明·期末）如图，在扇形中，半径，圆心角，是扇形弧上的动点，矩形内接于扇形，记，矩形的面积为． (1)求； (2)求的最大值及此时的值； (3)若，求的取值范围． 3．（24-25高一上·河北邯郸·期末）如图，在平面直角坐标系中，锐角的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆O交于点P，过P作圆O的切线交x轴的正半轴于，交y轴的正半轴于 (1)用表示的面积，并求其最小值； (2)当变化时，的周长是否有最小值？若有，求出最小值；若没有，说明理由. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题 三角恒等变换 题型1 利用两角的正余弦值求和差公式 两角和与差的正余弦与正切 ①； ②； ③； 在运用两角和与差的三角函数公式时，若已知两角各自的正余弦或正切时，则可以直接套用公式计算。 1、 注意角的拆分，通过合理的拆分、配凑把要求的角拆成两个已知三角函数值的角。 2、 在已知正弦或者余弦求另外一个值的时候，要注意角的范围确定三角函数在的正负性。 1．（2026高二上�辽宁�学业考试）已知，其中，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由同角三角函数基本关系可得，根据两角和的正弦公式计算即可求解. 【详解】因为，所以， ， 故选：A. 2．（25-26高三上�吉林四平�月考）已知，且，则 . 【答案】 【分析】首先根据同角三角函数的基本关系求出，再利用两角差的余弦公式计算可得. 【详解】因为，所以，又， 所以，所以 故答案为：. 3．（25-26高三上�江苏南京�月考）已知，，则 . 【答案】 【分析】由同角三角函数关系得，再根据，结合差角公式求解即可. 【详解】因为，所以， 又因为，所以， 所以， 故答案为： 4．（2025·全国·二模）已知，则 ． 【答案】 【分析】利用同角三角函数关系得到，凑角，由正切和角公式得到答案. 【详解】，即， . 故答案为：. 题型2 利用两角正余弦的乘积求和差公式 1、 对而言，可以把，看着两个整体，通过直接求这两个值来求。通常条件中出现三者关系时。 2、 对而言，可以把，看着两个整体，通过直接求这两个值来求。通常条件中出现三者关系时。 1．（2024�新课标Ⅰ卷�高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两角和的余弦可求的关系，结合的值可求前者，故可求的值. 【详解】因为，所以， 而，所以， 故即， 从而，故， 故选：A. 2．（2025�辽宁葫芦岛�二模）已知 满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由得到，再利用正弦两角和公式展开得到，联立方程得到. 【详解】因为，所以，即 设，则； 由得到，即， 即，解得 ，所以； 故选：D 3．（25-26高一上�云南昆明�期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由两角和的正弦结合弦切互化化简即可. 【详解】，， 又由，得，即， ，即． 故选：D 4．（25-26高三上·山东济宁·期中）设，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据已知条件结合两角和的余弦公式，两角差的余弦公式，同角三角函数关系，两角和的正切公式依次判断每个选项即可. 【详解】对于A，因为，，所以，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：BCD. 题型3 两角和差正余弦公式的逆用 ①； ②； 通过公式逆用计算出两角和与差的正余弦值。 1．（25-26高一上�上海�月考）已知，且满足，则 ． 【答案】/ 【分析】根据两角差的余弦公式得，再根据角的范围求解. 【详解】根据题意，， 因为，则， 所以，则. 故答案为： 2．（25-26高三上�安徽马鞍山�月考） ． 【答案】/0.5 【分析】由诱导公式及和差角公式求得结果. 【详解】. 故答案为： 3．（25-26高二上·江苏南京·月考）若，为第二象限角，则＝（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】逆用两角差的余弦公式化简已知条件，可得，从而可得，再结合正切两角和公式即可求解. 【详解】由， 则，又为第二象限角，所以，所以， 所以，故A正确． 故选：A． 4．（25-26高二上·吉林白城·月考）化简所得的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用诱导公式以及两角差的余弦公式化简计算即可得出结果. 【详解】易知. 故选：A. 题型4 两角和差正切公式的逆用 对于两角和差的正切公司的逆用: 1．（25-26高三上·河南南阳·期中）tan（    ） A．0 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据题意，利用两角和的正切公式，进行化简求值，即可得到答案. 【详解】由， ， 所以，原式． 故选：B． 2．（24-25高一下·江苏镇江·期末）已知满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由两角和的正切公式可得出，结合题中等式化简得出的值，结合可得出角的值. 【详解】因为满足， 所以， 因为， 故， 故， 因此，. 故选：B. 3．（24-25高一下·内蒙古包头·期末）已知 ． 【答案】 【分析】应用两角和的正切公式化简计算求解. 【详解】. 故答案为：. 4．（2025高三·全国·专题练习）化简求值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要涉及三角函数的两角和正切公式 及其变形的应用,对于第一小问，需要利用和，和等角度和为的关系进行化简；对于第二小问，直接利用两角和正切公式的变形来求解. 【详解】（1）解法1：由， 同理得，… ， 以上各式相乘得原式． 解法2：用倒序积求解． 设， ， 从而， 所以． （2）解法1：因为， 所以， 所以． 解法2： ． 题型5 二倍角公式、降幂公式 二倍角公式 ①； ②； ③； 降幂公式 ； 在求值的时候要注意角的范围，讨论正负。 1．（25-26高三上·湖北黄冈·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同角三角函数关系式和二倍角公式求解计算即可. 【详解】因为，所以， 代入得， 化简得， 解得，即或， 因为，所以， 所以. 故选：B. 2．（25-26高三上·江苏盐城·月考）设，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知化切为弦利用二倍角正弦公式求得，然后利用同角三角函数关系求得，最后利用两角和的正弦公式求解即可. 【详解】因为，所以，所以，所以， 又，所以，所以， 所以. 故选：A 3．（25-26高二上·北京延庆·期中）函数的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角恒等变换化简函数解析式，结合正弦函数的有界性可求得原函数的最大值. 【详解】因为， 故当，即时，函数取最大值. 故选：C. 题型6 半角公式、万能公式 半角公式 ①； ②； ③； 万能公式 cos 1．（2025·浙江宁波·模拟预测）已知为锐角，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由诱导公式，两角和的正弦公式变形求得，再求得，然后由半角公式计算． 【详解】， 是锐角，则， ， 故选：B． 2．（2025高三·全国·专题练习）化简． 【答案】 【分析】此题仅含有和，可设，利用万能公式将三角式转化为代数后再化简． 【详解】设，则利用万能公式，得 . 3．（2025高三·全国·专题练习）解不等式：． 【答案】 【分析】令，利用万能公式化简整理不等式得，可解得，即，再根据正切函数的性质解不等式即可. 【详解】令，则， 利用万能公式将不等式化为， 化简整理得，则， 即，， ，，即， 则，解得，． ∴原不等式的解集为． 题型7 辅助角公式 辅助角公式 （其中）． 通过通过辅助角公式化简后研究函数的单调性、最值、周期与对称性。 1．（25-26高三上·安徽·月考）已知函数，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】利用辅助角公式和正弦型函数值域即可得到答案. 【详解】， 所以的最大值为． 故答案为：. 2．（25-26高三上·河南·期中）若是函数的两个零点，则的最大值为 ，的最小值为 ． 【答案】 2 【分析】利用降幂公式与辅助角公式进行化简，然后找到最大值与周期进行求解. 【详解】因为， 所以的最大值为2， ，相邻两零点间距离为，即的最小值为 故答案为：2； 3．（25-26高二上·辽宁·月考）函数的最大值与最小值的和为 【答案】 【分析】将函数变形为，然后利用辅助角公式将其转化为一个三角函数的形式，再结合三角函数的值域来求解的最大值和最小值. 【详解】由函数，得，化简整理得，所以， 又根据正弦函数，得，即， 解不等式得， 所以. 故答案为： 题型8 三角恒等变换的应用 1. 建模：根据实际问题，列出含有三角函数的方程或目标函数。式子往往复杂（含多种角度、多种函数）。 2. 变换：运用三角恒等变换（统一角、统一名、降幂、辅助角等）将模型化简为标准正弦型函数 或易于分析的简单形式。 3. 求解：对化简后的标准形式，利用三角函数的性质（有界性、单调性、周期性）求出所需的最值、特定值或关系。 1．（24-25高一下·甘肃白银·期末）如图，已知扇形的半径为，面积为，是扇形弧上的动点，四边形是扇形的内接矩形（点、在半径上，点在半径上）. (1)求弧的长. (2)记，当取何值时，矩形的面积最大?并求出这个最大面积. 【答案】(1) (2)，最大面积为. 【分析】（1）根据扇形的面积公式可求出的值，再利用扇形的弧长公式可求得弧的长； （2）将、用的表达式加以表示，并结合三角恒等变换化简得出矩形面积的表达式，再利用正弦型函数的基本性质可求得矩形面积的最大值. 【详解】（1）由已知得，解得，则弧的长为. （2）在中，，，在中，， 所以，. 设矩形的面积为， 则 . 由，得， 所以当，即时，. 故当时，矩形的面积最大，最大面积为. 2．（24-25高一上·云南昆明·期末）如图，在扇形中，半径，圆心角，是扇形弧上的动点，矩形内接于扇形，记，矩形的面积为． (1)求； (2)求的最大值及此时的值； (3)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2)，； (3) 【分析】（1）求出、、关于的表达式，利用三角恒等变换化简函数的表达式即可，并写出该函数的定义域； （2）由可求出的取值范围，由正弦型函数的基本性质可求得的最大值及其对应的值； （3）由可求出的取值范围，由可得出，可得出的取值范围，解之即可. 【详解】（1）根据题意可知，，， 所以， 整理得 . 即. （2）由（1）知， 所以，显然时，，此时. （3）由，可得， 因为，所以，解得， 即不等式的解集为. 3．（24-25高一上·河北邯郸·期末）如图，在平面直角坐标系中，锐角的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆O交于点P，过P作圆O的切线交x轴的正半轴于，交y轴的正半轴于 (1)用表示的面积，并求其最小值； (2)当变化时，的周长是否有最小值？若有，求出最小值；若没有，说明理由. 【答案】(1)，，1 (2)有， 【分析】（1）由题意可得：，，则直线MN的方程为，然后求解即可； （2）由题意可得：的周长为，然后结合三角函数最值的求法求解． 【详解】（1）由题意可得：，， 则直线MN的方程为， 则，，则，， 又，则时， 的面积取最小值1； （2）由题意可得：的周长为， 令， 则，则的周长为， 即当变化时，的周长有最小值，且最小值为 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $