精品解析：广东省广东实验中学附属江门学校2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

广东省广东实验中学附属江门学校2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题 本试卷分为选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（共40分．本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在长方体中，等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量加法法则计算出答案. 【详解】. 故选：B 2. 已知直线过圆的圆心，且与直线平行，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出圆的圆心为，根据平行设出直线方程，代入圆心坐标，进行求解. 【详解】的圆心为，设直线的方程为， 将代入中，得，解得， 故直线的方程为. 故选：C 3. 已知，若三个向量共面，则实数的值等于（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可知存在，使得，结合向量的坐标运算列式求解即可. 【详解】因为，，，且，，三向量共面， 可知存在，使得，即， 则，解得. 故选：A. 4. 经过点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】分截距为0和不为0讨论即可. 【详解】当截距都为0时，过点时直线为， 当截距不为零时，设直线为，代入点得， 故在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为或. 故选：D. 5. 直线x+y﹣1＝0被圆（x+1）2+y2＝3截得的弦长等于（　　） A. B. 2 C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【详解】 如图,圆(x＋1)2＋y2＝3的圆心为M(−1,0)， 圆半径|AM|=， 圆心M (−1,0)到直线x+y−1=0的距离： |， ∴直线x+y−1=0被圆(x+1)2+y2=3截得的弦长： . 故选B. 点睛: 本题考查圆的标准方程以及直线和圆的位置关系.判断直线与圆的位置关系一般有两种方法： 1．代数法：将直线方程与圆方程联立方程组，再将二元方 程组转化为一元二次方程，该方程解的情况即对应直 线与圆的位置关系．这种方法具有一般性，适合于判 断直线与圆锥曲线的位置关系，但是计算量较大． 2．几何法：圆心到直线的距离与圆半径比较大小，即可判断直线与圆的位置关系．这种方法的特点是计算量较小．当直线与圆相交时,可利用垂径定理得出圆心到直线的距离,弦长和半径的勾股关系. 6. 已知圆的方程为，过直线上任意一点作圆的切线，则切线长的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用点到直线的距离结合直线与圆的位置关系转化问题计算即可. 【详解】 如图所示，直线上一点A作圆的两条切线，过C作， 则切线长为， 显然，当且仅当重合时取得最小值，此时， 所以切线长最小值为. 故选：B 7. 已知椭圆：，过点的直线交椭圆于，两点.若中点坐标为，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，代入椭圆方程，利用点差法得到，然后根据中点坐标为，求出斜率代入上式，得到a，b的关系求解. 【详解】设，则， 两式相减得：， 因为中点坐标为， 所以， 所以， 又， 所以， 即， 所以， 故选：B 【点睛】本题主要考查椭圆的方程，点差法的应用以及离心率的求法，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 8. 长方体中，，，，是棱上的动点，则的面积最小时，（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，赋予点坐标，求出以及夹角，建立面积关于的函数，从而求函数的最值即可. 【详解】根据题意，以为坐标原点，以所在直线为轴 建立空间直角坐标系如下图所示： 设， 故可得 由空间中两点之间的距离公式可得： ， ， ， 故在三角形中，由余弦定理可得： 则 故 当且仅当时，的面积最小. 故满足题意时，. 故选：A. 【点睛】本题考查利用空间直角坐标系，求解动点问题，属经典题型. 二、多选颋（共18分．本题共3小题，共16分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，按选项给分） 9. 已知直线：与圆：相交于，两点，则（ ） A. 圆心的坐标为 B. 圆的半径为 C. 圆心到直线的距离为2 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】化圆的方程为 标准形式判断AB；求出圆心到直线距离判断C；利用圆的弦长公式计算判断D. 【详解】对于AB，圆：的圆心，半径，A正确，B错误； 对于C，点到直线：的距离，C正确； 对于D，，D正确. 故选：ACD 10. 如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是DD1，DB的中点，则下列选项中正确的是（　　） A. EF平面ABC1D1 B. EF⊥B1C C. EF与AD1所成角为60° D. EF与平面BB1C1C所成角的正弦值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据线线平行证明线面平行，由线线垂直证明线面垂直，再得线线垂直，由线线关系、线面关系可得线线角、线面角. 【详解】对于A，连结BD1，在DD1B中，E、F分别为D1D、DB的中点，则EFD1B， 又∵D1B平面ABC1D1，EF平面ABC1D1 ， ∴EF平面ABC1D1， 故A正确； 对于B，∵平面，且平面，平面， ∴B1C⊥AB，又B1C⊥BC1 又AB平面ABC1D1，BC1平面ABC1D1，ABBC1=B ∴B1C⊥平面ABC1D1 又∵BD1平面ABC1D1 ∴B1C⊥BD1，而EFBD1 ∴EF⊥B1C，故B正确； 对于C，由选项A，可知，在中，可知， 所以，所以EF与AD1所成角不为60°，故C不正确； 对于D，由选项A，可知，且平面，所以为EF与平面BB1C1C所成的角，在中，可知， 所以，故D正确. 故选：ABD 11. 已知椭圆的左､右焦点分别为，上顶点为，动点在椭圆上，则下列描述正确的有（ ） A. 若的周长为6，则 B. 若当时，的内切圆半径为，则 C. 若存在点，使得，则 D. 若的最大值为，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用焦点三角形的周长求解即可判断A；利用余弦定理求得焦点三角形的面积，可得，求解可判断B；若，则以为圆心，为半径的圆与椭圆有交点，则，求解可判断C；结合题意可得，利用二次函数的最值可求得的范围判断D. 【详解】对于A，由椭圆，可得， 因为的周长为6，所以，解得， 因为，所以，解得，故A正确； 对于B，由，可得， 当时，由余弦定理可得 ， 则，解得， 所以. 又的内切圆半径为，所以， 所以，所以，解得（舍去）或， 所以，故B正确； 对于C，若，则以为圆心，为半径的圆与椭圆有交点，则， 所以，所以，解得， 所以存在点，使得，则，故C错误； 对于D，设， ， 又因为，因为下顶点到上顶点的距离为，又的最大值为，故时取最大值， 所以，解得，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】结论点睛：椭圆中焦点三角形的有关结论： （1）焦点三角形的周长为； （2）当点为椭圆短轴的一个端点时，为最大. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（共15分.本题共3小题，每小题5分） 12. 已知向量，，，则____. 【答案】 【解析】 【分析】由，求出的值，利用向量数量积的坐标运算求解. 【详解】向量，由，解得， 则有，又，则. 故答案为：. 13. 若直线和垂直，则实数______. 【答案】3 【解析】 【分析】由直线垂直得到方程，求出答案. 【详解】由题意得，解得. 故答案为：3 14. 直线与圆相交于A，B两点，弦长的最小值为________，若的面积为，则m的值为_________． 【答案】 ①. 2 ②. 【解析】 【分析】（1）求弦的最小值，先确定直线过定点，然后由垂径定理即可找到最小值． （2）利用三角形的面积公式求出，再有直线的位置确定直线的斜率． 【详解】直线恒过圆内的定点，， 圆心C到直线的距离,所以， 即弦长的最小值为2；由, 即或．若，则圆心到弦AB的距离 ，故不符合题意；当时，圆心到直线的距离为 ,设弦AB的中点为N，又，故， 即直线的倾斜角为或，则m的值为 . 故答案为2， 【点睛】本题考查直线、圆的方程、直线与圆的位置关系，属于中档题． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知直线l经过点P(－2，5)，且斜率为. （1）求直线l的方程； （2）若直线m与直线l平行，且点P到直线m的距离为3，求直线m的方程． 【答案】（1）3x＋4y－14＝0 （2）3x＋4y＋1＝0或3x＋4y－29＝0 【解析】 【分析】（1）由点斜式直接求解即可； （2）由题可设直线m的方程为3x＋4y＋c＝0，再利用点到直线的距离的公式即得. 【小问1详解】 由直线的点斜式方程得， 整理得直线l的方程为3x＋4y－14＝0. 【小问2详解】 ∵直线m与l平行，可设直线m的方程为3x＋4y＋c＝0，∴， 即|14＋c|＝15. ∴c＝1或c＝－29. 故所求直线m的方程为3x＋4y＋1＝0或3x＋4y－29＝0. 16. 如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，，，，，M为CE的中点. （1）求证：平面ADEF； （2）求证：平面BDE. 【答案】（1）证明：取的中点，连接，， 在中，，分别为，的中点，所以，且， 由已知，，所以，且， 所以四边形为平行四边形，可得， 又因为平面，且平面， 所以平面. （2）证明：在正方形中，，因为平面平面，且平面平面， 且平面，所以平面， 又因为平面，所以， 在直角梯形中，，，可得， 在中，，， 因为，所以， 因为，平面， 所以平面. 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，，先证明四边形为平行四边形，可得，即可证出； （2）由平面平面可得平面，可得，再结合勾股定理证明，即可证出. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 已知以点为圆心的圆与直线相切，过点的动直线与圆A相交于 （1）求圆的方程； （2）当时，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】(1)由题意知点到直线距离公式可确定圆A半径，带入到圆的标准方程可求得圆的方程； (2) 过A做，由垂径定理可知圆心到直线，设出直线，可分为斜率存在和斜率不存在两种情况，解之可得直线方程 【小问1详解】 易知到直线的距离为圆A半径r， 所以， 则圆A方程为 【小问2详解】 过A做,由垂径定理可知，且， 在中由勾股定理易知 当动直线斜率不存在时，设直线的方程为， 经检验圆心到直线的距离为，且根据勾股定理可知， 显然合题意， 当动直线斜率存在时，过点，设方程为：， 由到距离为知得， 代入解之可得， 所以或为所求方程． 18. 已知椭圆长轴是短轴的倍，且右焦点为. （Ⅰ）求椭圆C的标准方程； （Ⅱ）直线交椭圆于两点，若线段中点的横坐标为，求直线的方程及的面积. 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）1 【解析】 【分析】（I）根据焦点坐标求得，根据长轴和短轴的对应关系，以及列方程组，可求得的值，进而求得椭圆的标准方程.（II）联立直线的方程和椭圆的方程，消去并化简，写出韦达定理，根据中点的横坐标求得的值.利用弦长公式求得，利用点到直线的距离公式求得焦点到直线的距离，由此求得三角形的面积. 【详解】（Ⅰ）因为长轴是短轴的倍，所以. 因为焦点的坐标为，所以. 结合，得. 所以椭圆方程为. （Ⅱ）设，. 由得. 则. 因为线段中点的横坐标为， 所以 . 解得 ，即（符合题意） 所以直线的方程为， 因为 . 点到直线的距离. 所以的面积 . 即的面积等于. 【点睛】本小题主要考查椭圆标准方程的求解，考查椭圆的几何性质，考查直线和椭圆的位置关系，考查有关椭圆的三角形的面积和弦长公式.在解有关椭圆方程的题目过程中，主要是根据题意，列出有关三个量的关系式，解方程组求得的值，也即求得了椭圆的标准方程. 19. 如图所示，四棱锥中，，，，. （1）求证：平面平面； （2）若点在线段上，且，若平面与平面所成锐二面角大小为60°，求的值. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】 【分析】（1）通过和得出平面，根据面面垂直判定定理即可得出结果； （2）设为的中点，先得平面，建立如图所示的空间直角坐标系，得出点坐标，分别求出两个面的法向量，由法向量的夹角公式即可得出结果. 【详解】（1）证明：因为， 故，故. 又，，故平面； 因为平面，故平面平面； （2）由（1）可得，平面平面 设为的中点，连结，因为， 所以，故平面， 如图，以为原点分别以，和平行于的方向为，，轴正方向，建立空间直角坐标系，则，，，，， 因为， 所以， 易得平面的一个法向量为， 设为平面的一个法向量， ，， 由得， 不妨取. 因为平面与平面所成角为60°， 所以， 解得，（不合题意舍去）. 【点睛】本题主要考查了面面垂直的判定以及空间向量在面面角中的应用，考查了学生的计算能力，属于中档题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省广东实验中学附属江门学校2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题 本试卷分为选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（共40分．本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在长方体中，等于（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线过圆的圆心，且与直线平行，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，若三个向量共面，则实数的值等于（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 经过点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 5. 直线x+y﹣1＝0被圆（x+1）2+y2＝3截得的弦长等于（　　） A. B. 2 C. 2 D. 4 6. 已知圆的方程为，过直线上任意一点作圆的切线，则切线长的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知椭圆：，过点的直线交椭圆于，两点.若中点坐标为，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 长方体中，，，，是棱上的动点，则的面积最小时，（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4 二、多选颋（共18分．本题共3小题，共16分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，按选项给分） 9. 已知直线：与圆：相交于，两点，则（ ） A. 圆心的坐标为 B. 圆的半径为 C. 圆心到直线的距离为2 D. 10. 如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是DD1，DB的中点，则下列选项中正确的是（　　） A. EF平面ABC1D1 B. EF⊥B1C C. EF与AD1所成角为60° D. EF与平面BB1C1C所成角的正弦值为 11. 已知椭圆的左､右焦点分别为，上顶点为，动点在椭圆上，则下列描述正确的有（ ） A. 若的周长为6，则 B. 若当时，的内切圆半径为，则 C. 若存在点，使得，则 D. 若的最大值为，则 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（共15分.本题共3小题，每小题5分） 12. 已知向量，，，则____. 13. 若直线和垂直，则实数______. 14. 直线与圆相交于A，B两点，弦长的最小值为________，若的面积为，则m的值为_________． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知直线l经过点P(－2，5)，且斜率为. （1）求直线l的方程； （2）若直线m与直线l平行，且点P到直线m的距离为3，求直线m的方程． 16. 如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，，，，，M为CE的中点. （1）求证：平面ADEF； （2）求证：平面BDE. 17. 已知以点为圆心的圆与直线相切，过点的动直线与圆A相交于 （1）求圆的方程； （2）当时，求直线的方程． 18. 已知椭圆长轴是短轴的倍，且右焦点为. （Ⅰ）求椭圆C的标准方程； （Ⅱ）直线交椭圆于两点，若线段中点的横坐标为，求直线的方程及的面积. 19. 如图所示，四棱锥中，，，，. （1）求证：平面平面； （2）若点在线段上，且，若平面与平面所成锐二面角大小为60°，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $