湖北省部分重点中学2024-2025学年高三上学期第一次联考数学试卷

湖北省部分重点中学2025届高三第一次联考 高三数学试卷 命题学校：武汉市武钢三中 命题教师：李雪瑞 审题教师：费运良 考试时间：2024年11月11日下午14：00-16：00 试卷满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1．已知集合，，，则（ ） A． B． C． D． 2．已知为虚数单位，若，则（ ） A． B． C． D． 3．已知向量，满足，，则向量在向量方向上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 4．已知角，满足，，则（ ） A． B． C． D． 5．已知函数在区间上有极值，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 6．将正奇数按照如图排列，我们将，，，，……，都称为“拐角数”，则下面是拐角数的为（ ） A．55 B．77 C．91 D．113 7．已知等腰梯形的上底长为1，腰长为1，若以等腰梯形的上底所在直线为轴，旋转一周形成一个几何体，则该几何体表面积的最大值为（ ） A． B． C． D． 8．已知函数，的定义域均为，是奇函数，且，，则下列结论正确的是（ ） A．为奇函数 B．为奇函数 C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知正实数满足，则的可能取值为（ ） A．8 B．9 C．10 D．11 10．已知双曲线的左、右焦点分别为．过的直线与双曲线的右支交于两点．的内心为的内心为，则下列说法正确的有（ ） A．双曲线的离心率为2 B．直线的斜率的取值范围为 C．的取值范围为 D． 11．在正三棱锥中，，，三棱锥的内切球球心为，顶点在底面的射影为，且中点为，则下列说法正确的是（ ） A．三棱锥的体积为3 B．二面角的余弦值为 C．球的表面积为 D．若在此三棱锥中再放入一个球，使其与三个侧面及内切球均相切，则球的半径为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知点在抛物线上，为抛物线的焦点，直线与准线相交于点，则线段的长度为______． 13．已知直线与曲线相切，则实数的值为______． 14．某人有两把雨伞用于上下班，如果一天上班时他在家而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把去办公室，如果一天下班时他在办公室而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把回家．如果天不下雨，那么他不带雨伞．假设每天上班和下班时下雨的概率均为，不下雨的概率均为，且与过去情况相互独立．现在两把雨伞均在家里，那么连续上班两天，他至少有一天淋雨的概率为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知数列为等比数列，数列满足，且． （1）求数列的通项公式： （2）数列满足，记数列的前项和为，求． 16．（15分） 如图，在中，角，，所对的边分别为，，，已知． （1）求； （2）若，，，将沿折成直二面角，求直线与平面所成角的正弦值． 17．（15分） 为倡导节能环保，实现废旧资源再利用，小明与小亮两位小朋友打算将自己家中的闲置玩具进行交换，其中小明家有2台不同的玩具车和2个不同的玩偶，小亮家也有与小明家不同的2台玩具车和2个玩偶，他们每次等可能的各取一件玩具进行交换。 （1）两人进行一次交换后，求小明仍有2台玩具车和2个玩偶的概率： （2）两人进行两次交换后，记为“小明手中玩偶的个数”，求随机变量的分布列和数学期望． 18．（17分） 已知椭圆的离心率为，其左顶点到点的距离为，不过原点的直线与椭圆相交于不同的，两点，与直线交于点，且，直线与轴，轴分别交于点，． （1）求椭圆的标准方程； （2）当的面积取最大值时，求的面积． 19．（17分） 2022年7月，在重庆巴蜀中学读高一的䍜霄宇，夺得第63届国际数学奥林匹克（IMO）满分金牌。同年9月26日，入选2022年阿里巴巴全球数学竞赛获奖名单，同时成为了本届获奖者中年龄最小的选手。次年9月16日，他再接再厉，在2023阿里巴巴全球数学竞赛中获金奖．他的事迹激励着广大数学爱好者勇攀数学高峰，挖掘数学新质生产力．翔宇中学高二学生小刚结合自己“强基计划”的升学规划，自学了高等数学的罗尔中值定理：如果上的函数满足条件：①在闭区间上连续：②在开区间可导；③．则至少存在一个，使得．据此定理，请你尝试解决以下问题： （1）证明方程：在内至少有一个实根，其中，，，； （2）已知函数在区间内有零点，求的取值范围． 湖北省部分重点中学2025届高三第一次联考 数学试卷参考答案及评分标准 选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C A A D B C A D CD ABD ACD 二、填空题： 12． 13． 14． 三、解答题： 15．（13分）解： （1）因为为等比数列，所以， 即，化简得． 因为，得． 因此，易知为等比数列 （2）由（1）知，． ， 16．（15分）解： （1）∵，∴，化简得． 由余弦定理得，，得； （2）设，， 在中，由得， 解得．① 在中，．② 由①、②得，． ∴，，从而． ∵二面角为直二面角，，平面平面，平面， ∴平面 建立如图所示的空间直角坐标系， 易知，，，， ∴，，． 设平面的法向量，则有，即 令，解得． ∴， 故直线与平面所成角的正弦值为． 17．（15分）解： （1）若两人交换的是玩具车，则概率为， 若两人交换的是玩偶，则概率也为， 故两人进行一次交换后，小明仍有2台玩具车和2个玩偶的概率为． （2）可取的值为、、、、， 一次交换后，小明有1个玩偶和3台玩具车的概率为，有3个玩偶和1台玩具车的概率也为，经过两次交换后 ， ， 故随机变量X的分布列为： X 0 1 2 3 4 P ∴． 18．（17分）解： （1）设椭圆左顶点为，则坐标为． 由，解得． 因为椭圆的离心率为，得． 所以椭圆的标准方程为：； （2）设坐标为，B坐标为，由于和为椭圆上两点， ∴两式相减，得，整理得．（*） 设坐标为，由得为线段的中点， ∴，． 由在线段所在直线上，且坐标为，则有， 即． 由（*）得，故． 设直线方程为，联立直线与椭圆的方程， 得，整理得． 由，得且． 因为直线与椭圆相交于和两点，所以，． ∴， 点到直线的距离为， ∴，且． 记，． 由，及且得 即当时，取最大值． 此时直线方程为，与坐标轴交点为 ∴． 19．（17分）证明： （1）设， 设， ∴在上连续，在上可导． 又， 由罗尔中值定理知：至少存在一个，使得成立， ∴． 故方程在内至少有一个实根． （2）∵在区间内有零点， 不妨设该零点为，则，． 由于，易知在和上连续，且在和上可导． 又，由罗尔中值定理可得，至少存在一个，使；至少存在一个，使得． ∴方程在上至少有两个不等实根和． 设，则． ∵，∴． 当，即时， ，故在上单调递增；方程在上至多有一个实根，不符合题意，舍去 当，即时， ，故在上单调递减．方程在上至多有一个实根，不符合题意，舍去 当时， 由得， ∴时，有，单调递减； 时，有，单调递增． ∴在上的最小值． 注意到，则有． ∵方程在上至少有两个不等实根， ∴，解得． 结合，且，， 故的取值范围为． 学科网（北京）股份有限公司 $$