精品解析：山东省潍坊市昌邑市2024-2025学年高二上学期11月期中数学试题

2024—2025学年上学期期中质量监测 高二数学 2024.11 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线过点，，则的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先计算直线的斜率，再求出直线的倾斜角. 【详解】由于的斜率为，故倾斜角满足， 又，从而. 故选：D. 2. 与向量平行的一个向量的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用共线向量的坐标表示，逐项判断即可. 【详解】对于A，，A不是； 对于B，，B是； 对于C，，C不是； 对于D，，D不是. 故选：B 3. 已知直线：，：，若，则a的值为（ ） A. B. 3 C. D. 3或 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线平行得到方程，解出最后验证即可. 【详解】因为，则，解得或， 当时，：，：，两直线重合，故舍去， 当时，：，：，两直线平行，符合题意， 综上所述，. 故选：C. 4. 已知是直线上一点，且是直线的一个法向量，则的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出直线的斜率，再利用直线的点斜式方程求出结果. 【详解】由是直线的一个法向量，得直线的一个方向向量为，其斜率为， 所以直线的方程为，即. 故选：A 5. 直线与圆的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 与a的取值有关 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据直线经过圆内一点判断出结果. 【详解】由知直线过，而点在圆内，所以直线与圆相交. 故选：A. 6. A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足，，，M为的中点，则是（ ） A. 钝角三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 不确定 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量数量积的运算律计算可得，即可判断得出结论. 【详解】因为M为的中点，所以， 可得， 所以，即， 可得是直角三角形. 故选：C 7. 已知，分别为椭圆的两个焦点，P是椭圆E上的点，，且，则椭圆E的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意得，利用椭圆定义及勾股定理求得椭圆参数关系，即可求离心率. 【详解】由题意及正弦定理得：， 令，则，，可得， 所以椭圆的离心率为：. 故选：B 8. 三棱锥中，，，直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据几何体棱长建立空间直角坐标系，由线面角的向量求法计算即可得结果. 【详解】取的中点为，连接，如下图所示： 因为，所以可得， 又，所以即，即， 故，满足，所以； 所以两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 即； 设平面的一个法向量为， 则，令，可得； 可得， 设直线与平面所成的角为， 则. 所以直线与平面所成角的正弦值为. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设椭圆的左，右焦点分别为是上的动点，则（ ） A. B. 的最大值为9 C. 的面积的最大值为12 D. 存在点，使得 【答案】BCD 【解析】 【分析】求出椭圆的长短半轴长及半焦距，再结合椭圆的定义及性质逐项判断. 【详解】椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距， 对于A，，A错误； 对于B，的最大值为，B正确； 对于C，设的顶点，则， 可得的面积， 所以的面积的最大值为12，C正确； 对于D，由知，以线段为直径的圆与椭圆有4个交点， 当点此交点之一时，， 所以存在点，使得，D正确. 故选：BCD. 10. 将正方形沿对角线折成直二面角，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. 与平面所成的角为 D. 与所成的角为 【答案】ABD 【解析】 【分析】以的中点为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量逐项计算判断. 【详解】令正方形对角线的中点为，则， 由二面角为直二面角，得，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 令，则， ， 对于A，，即，则，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，平面的一个法向量，， 因此与平面所成的角为，C错误； 对于D，，因此与所成的角为，D正确. 故选：ABD 11. 已知圆：和圆：，点Q是圆上的动点，则（ ） A. 与圆、圆都相切的直线有四条 B. 若圆上到直线的距离为的点有4个，则m的取值范围是 C. 过点Q作圆的两条切线，切点分别为M和N，则 D. 已知，，若点B为圆上一动点，则的最小值为2 【答案】ACD 【解析】 【分析】判断两圆的位置关系即可判断A的正误；当圆心到直线的距离小于即可；可先求出的范围，再确定的范围即可；在圆内找到点，使，可将的最值问题转化为的最值问题，再应用三角形不等式即可求解. 【详解】解：对于A项：因为圆：和圆：， 所以，所以两圆外离， 所以与圆、圆都相切的直线有四条，故A正确； 对于B项：因为圆：，所以， 所以当到的距离， 即时，圆上到直线的距离为的点有4个，故B错误； 对于C项：因为, 又因为，即， 所以，所以， 又因为， 所以，所以C正确； 对于D项：设， 则以点为圆心，为半径的圆的方程为， 因为，所以恒成立， 所以以点为圆心，为半径的圆恒过点， 所以， 所以, 所以的最小值为2，故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量为单位向量，，则向量在向量方向上投影的数量为_____. 【答案】## 【解析】 【分析】根据给定条件，利用投影的数量的意义计算即得. 【详解】依题意，向量在向量方向上投影的数量为. 故答案为： 13. 已知圆心在直线上，且，都是圆上的点，则圆的标准方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】求出线段的中垂线方程，再求出圆心坐标及半径即可. 【详解】依题意，线段的中点，直线的斜率， 则线段的中垂线方程为，即， 由，解得，因此所求圆的圆心为，半径， 所以所求圆的标准方程为. 故答案为： 14. 已知圆台的上、下底面半径分别为和，母线长为.若该圆台内部有一个球，则球的半径的最大值为_____；若该圆台内部有一个正方体，且底面在圆台的下底面内，当正方体的棱长最大时，以为球心，半径为的球与正方体表面交线的长度为______. 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】求出圆台的高，再利用轴截面图形求出球半径最大值；把圆台还原成圆锥，利用轴截面求出正方体的最大棱长，再确定球与正方体的交线即可得解. 【详解】依题意，圆台的轴截面是上下底边长分别为，母线长为的等腰梯形， 圆台的高，即等腰梯形的高， 由，得， 圆台内的最大球球心在圆台上下底面圆心所连线段上，最大球的截面大圆在等腰梯形内， 圆心在线段上，当该圆与等腰梯形的腰相切时，， 以为直径的圆同梯形的腰相交，所以球的半径的最大值为； 把圆台还原成圆锥，则圆台轴截面等腰梯形两腰延长即得圆锥的轴截面等腰， 正方体上底面的外接圆为圆台平行于底面的截面圆， 又圆台的高大于其上底面圆直径，因此正方体的棱长小于， 其对角面为等腰的内接矩形，如图，设，则， ，交于点， 则， 由，解得， 因此正方体最大棱长为， 此时以为球心，半径为的球与正方体表面交线是该正方体共点的个正方形面与球 的大圆构成的以直角为加以圆心角，半径为的段圆弧组合而成，交线长为. 故答案为：； 【点睛】关键点睛：涉及与旋转体有关的组合体，作出轴截面，借助平面几何知识解题是解决问题的关键. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，，. （1）求与夹角的余弦值； （2）若，求的模. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据空间向量坐标形式的夹角公式计算即可； （2）设，根据向量的坐标运算得到方程组结合向量模的坐标表示即可得解. 【小问1详解】 ，则， ， 所以. 【小问2详解】 由，得， 设，则， 所以，解得， 所以，则， 所以. 16. 如图，在直三棱柱中，，，，，D，E分别是，的中点. （1）证明：平面平面； （2）求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明：由直三棱柱性质，以及D，E分别是，的中点， 所以，即四边形为平行四边形， 可得， 又平面，平面，所以平面； 又易知，即四边形为平行四边形, 可得， 又平面，平面，所以平面； 显然平面， 所以平面平面； （2） 【解析】 【分析】（1）利用面面平行的判定定理证明即可得出结论； （2）根据几何体性质以及边长建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法计算可得结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为是直三棱柱，所以， 又，所以两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 由，，，，可得： ， 即； 设平面的一个法向量为， 则，令，可得； 可得， 易知平面的一个法向量为， 则, 结合图形可知二面角为锐角， 所以二面角的余弦值为. 17. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，，，满足条件的点P的轨迹为C. （1）求C的轨迹方程； （2）点M为直线：上的动点，过M作C的两条切线，切点分别为E，F，当四边形的面积最小时，求直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，根据题意得到方程，化解即可； （2）转化为求三角形的面积最小，作出相关辅助线，利用两圆方程作差即可. 【小问1详解】 设轨迹上任意一点，由题意 ，所以，化简得. 【小问2详解】 由题意可知:直线到圆心的距离为， 则直线与圆相离，若四边形的面积最小， 即三角形的面积最小，因为， 则最小，即最小. 所以由向直线作垂线，垂足为， 所以直线，所以， 由题意可得四边形的外接圆方程为 即. 所求的直线即为两圆的相交弦所在的直线， 将与两圆方程作差得， 则直线的方程为:. 18. 如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形与四边形均为等腰梯形，，，，，，，M为的中点，设平面与平面的交线为. （1）证明：平面； （2）证明：平面平面； （3）设H为上的动点，当与平面所成角的正弦值最大时，求的长. 【答案】（1）证明：由，为的中点， 得，则四边形为平行四边形，， 而平面平面，则平面，又平面， 平面平面，因此，而平面，平面， 所以平面. （2）证明：作交于，连接， 由四边形为等腰梯形，，，得， 由（1）知，，又，则为等边三角形，，为中点， 又四边形为等腰梯形，为中点，则， 四边形为平行四边形，，于是为等腰三角形，， ，有，因此， 平面，则平面，而平面， 所以平面平面. （3）. 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的判定性质可得，再利用线面平行的判定、性质推理得证. （2）作交于，由已知结合勾股定理，利用线面垂直、面面垂直的判定推理得证. （3）以为原点建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）知直线两两垂直，以为原点，直线分别为轴， 建立空间直角坐标系，则， ， 设平面的法向量为，则，令，得， 设， 设与平面所成角为， 则 当时，取得最大值，此时. 19. 球面三角学是球面几何学的一部分，主要研究球面多边形（特别是三角形）的角、边、面积等问题，其在航海、航空、卫星定位等方面都有广泛的应用.定义：球的直径的两个端点称为球的一对对径点；过球心的平面与球面的交线称为该球的大圆；对于球面上不在同一个大圆上的点A，B，C，过任意两点的大圆上的劣弧，，所组成的图形称为球面，记其面积为.易知：球的任意两个大圆均可交于一对对径点，如图1的A和；若球面上A，B，C，的对径点分别为，，，则球面与球面全等.如图2，已知球O的半径为R，圆弧和所在平面交成的锐二面角的大小为，圆弧和所在平面、圆弧和所在平面交成的锐二面角的大小分别为，.记. （1）请写出，的值，并猜测函数的表达式； （2）（i）当时，球面的面积为________（只写结果）. （ⅱ）用，，，表示； （3）若将图一中四面体截出得到图二，若平面三角形为直角三角形，，设，，，求证：. 【答案】（1），，猜测. （2）（i）；（ii） （3） 由余弦定理可得： ，且， 所以， 即，消去， 则有:， 即； 【解析】 【分析】（1）根据已知写出，的值，并猜测函数的表达式； （2）（i）推理得到，因为，代入数据即可； （ii）根据（i）中的过程有，解出即可； （3）根据余弦定理和，计算即可得到结论. 【小问1详解】 ，. 猜测. 【小问2详解】 （i） 理由： 因为， 所以， 则，解得. （ii） 因为， 所以， 即. 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是利用余弦定理得到，结合，化简即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年上学期期中质量监测 高二数学 2024.11 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线过点，，则的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 与向量平行的一个向量的坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线：，：，若，则a的值为（ ） A. B. 3 C. D. 3或 4. 已知是直线上一点，且是直线的一个法向量，则的方程为（ ） A. B. C. D. 5. 直线与圆的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 与a的取值有关 6. A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足，，，M为的中点，则是（ ） A. 钝角三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 不确定 7. 已知，分别为椭圆的两个焦点，P是椭圆E上的点，，且，则椭圆E的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 三棱锥中，，，直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设椭圆的左，右焦点分别为是上的动点，则（ ） A. B. 的最大值为9 C. 的面积的最大值为12 D. 存在点，使得 10. 将正方形沿对角线折成直二面角，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. 与平面所成的角为 D. 与所成的角为 11. 已知圆：和圆：，点Q是圆上的动点，则（ ） A. 与圆、圆都相切的直线有四条 B. 若圆上到直线的距离为的点有4个，则m的取值范围是 C. 过点Q作圆的两条切线，切点分别为M和N，则 D. 已知，，若点B为圆上一动点，则的最小值为2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量为单位向量，，则向量在向量方向上投影的数量为_____. 13. 已知圆心在直线上，且，都是圆上的点，则圆的标准方程为______. 14. 已知圆台的上、下底面半径分别为和，母线长为.若该圆台内部有一个球，则球的半径的最大值为_____；若该圆台内部有一个正方体，且底面在圆台的下底面内，当正方体的棱长最大时，以为球心，半径为的球与正方体表面交线的长度为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，，. （1）求与夹角的余弦值； （2）若，求的模. 16. 如图，在直三棱柱中，，，，，D，E分别是，的中点. （1）证明：平面平面； （2）求二面角的余弦值. 17. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，，，满足条件的点P的轨迹为C. （1）求C的轨迹方程； （2）点M为直线：上的动点，过M作C的两条切线，切点分别为E，F，当四边形的面积最小时，求直线的方程. 18. 如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形与四边形均为等腰梯形，，，，，，，M为的中点，设平面与平面的交线为. （1）证明：平面； （2）证明：平面平面； （3）设H为上的动点，当与平面所成角的正弦值最大时，求的长. 19. 球面三角学是球面几何学的一部分，主要研究球面多边形（特别是三角形）的角、边、面积等问题，其在航海、航空、卫星定位等方面都有广泛的应用.定义：球的直径的两个端点称为球的一对对径点；过球心的平面与球面的交线称为该球的大圆；对于球面上不在同一个大圆上的点A，B，C，过任意两点的大圆上的劣弧，，所组成的图形称为球面，记其面积为.易知：球的任意两个大圆均可交于一对对径点，如图1的A和；若球面上A，B，C，的对径点分别为，，，则球面与球面全等.如图2，已知球O的半径为R，圆弧和所在平面交成的锐二面角的大小为，圆弧和所在平面、圆弧和所在平面交成的锐二面角的大小分别为，.记. （1）请写出，的值，并猜测函数的表达式； （2）（i）当时，球面的面积为________（只写结果）. （ⅱ）用，，，表示； （3）若将图一中四面体截出得到图二，若平面三角形为直角三角形，，设，，，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $