精品解析：湖南省岳阳市云溪区2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题

2024年高一上学期数学期中考试试卷 一、单选题（共8小题，每小题5分，总分40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 3. 若则一定有 A. B. C. D. 4. “m<1”是“函数f（x）＝（x﹣m）2在区间上为增函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知，且，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 6. 已知在R上是减函数，那么a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 函数是奇函数，且在内是增函数，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 定义：表示不超过的最大整数，如，，.当，，时，的值不可能是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、多选题（共4小题，每小题5分，共20分） 9. 下列四个结论中正确的是（ ） A. ， B. 命题“，”的否定是“，” C. “”是“”的充分不必要条件 D. “”的充要条件是“” 10. 已知正数满足，则下列选项正确的是（ ） A. 的最小值是2 B. 的最大值是1 C. 的最小值是4 D. 的最大值是 11. 函数是定义在R上的奇函数，下列说法正确的是（ ） A. B. 若在上有最小值，则在上有最大值1 C. 若在上为增函数，则在上为减函数 D. 若时，，则时， 12. 已知函数的定义域为，且满足，当时，，则（ ） A. 是奇函数 B. 是增函数 C. D. 三、填空题（共4小题，每小题5分，总分20分） 13. 函数的定义域为______. 14. 设函数，不等式的解集为，若对任意恒成立，则实数的取值范围为__________. 15. 已知函数是定义域为的奇函数，且.若对任意的、且，都有成立，则不等式的解集是______. 16. 正实数，满足，则的最小值为___________． 四、解答题（共4小题，总分70分） 17. 已知函数， （1）判断的奇偶性； （2）用定义证明在上为减函数. 18. 记函数的定义域为集合A，函数的定义域为集合， （1）求和； （2）若，，且中只有三个整数元素，求实数p的取值范围． 19. 已知福州地铁号线路通车后，地铁的发车时间间隔（单位：分钟）满足，经市场调研测算，地铁的载客量与发车的时间间隔相关，当时，地铁为满载状态，载客量为人；当时，载量会减少，减少的人数与成正比，且发车时间间隔为分钟时的载客量为人，记地铁的载客量为. （1）求的表达式，并求发车时间间隔为分钟时地铁的载客量； （2）若该线路每分钟的净收益为（元）.问：当地铁发车时间间隔多少时，该线路每分钟的净收益最大？ 20. 某小区计划利用其一侧原有墙体，建造一个高为米，底面积为平方米，且背面靠墙的长方体形状的值班室，由于值班室的后背靠墙，无需建造费.因此，甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体（包括门窗所占面积）每平方米元，左､右两面新建墙体每平方米元，屋顶和地面以及其他共计元，设屋子的左､右两面墙的长度均为米，总造价为元. （1）写出与的函数关系式，并注明函数定义域； （2）当左､右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？并求出最低报价. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年高一上学期数学期中考试试卷 一、单选题（共8小题，每小题5分，总分40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用列举法表示集合A，再利用并集的定义求解即得． 【详解】依题意，集合，而，所以． 故选：D 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解不等式组即得解. 【详解】解：由题得. 所以函数的定义域为. 故选：C 3. 若则一定有 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】本题主要考查不等关系．已知,所以，所以，故．故选 4. “m<1”是“函数f（x）＝（x﹣m）2在区间上为增函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先解出，再判断充分性和必要性. 【详解】解：函数在区间上为增函数，则， 则“”是“”的充分不必要条件， 故“”是“函数在区间上为增函数”的充分不必要条件， 故选：A. 【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，以及一元二次函数的性质，属于基础题. 5. 已知，且，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】依题意可得，又幂的运算性质及基本不等式计算可得. 【详解】因为，且，则， 所以， 当且仅当，即，时取等号， 即的最小值为. 故选：C 6. 已知在R上是减函数，那么a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据各段上的单调性和分段处的高低可得关于的不等式组，求出其解后可得正确的选项. 【详解】因为为上的减函数，所以，解得， 故选：A. 7. 函数是奇函数，且在内是增函数，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得到函数在上是增函数，，进而结合函数的单调性和对称性求得答案. 【详解】因为函数且在上是增函数，，所以函数在上是增函数，. 于是，时，；时，；时，；时，. 所以，的解集为. 故选：D. 8. 定义：表示不超过的最大整数，如，，.当，，时，的值不可能是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得到，，，故，得到答案. 【详解】，，，则，，， 则，故的值可能是2，3，4. 故选：D. 二、多选题（共4小题，每小题5分，共20分） 9. 下列四个结论中正确的是（ ） A. ， B. 命题“，”的否定是“，” C. “”是“”的充分不必要条件 D. “”的充要条件是“” 【答案】ABD 【解析】 【分析】A项由二元方程有解可得；B项由全称量词命题的否定为存在量词命题可得；CD项通过分析推出关系是否成立可判断. 【详解】对于A，由， 解得，， 即，，，故A正确； 对于B，根据全称量词命题的否定为存在量词命题可知， 命题“，”的否定为： “，”，故B正确； 对于C，若，则不一定成立， 令，满足，但， 即； 反之，若，由，可得， 即. 所以“”是“”的必要不充分条件，故C错误； 对于D，由于是上的增函数，所以. 所以“”的充要条件是“”，故D正确． 故选：ABD． 10. 已知正数满足，则下列选项正确的是（ ） A. 的最小值是2 B. 的最大值是1 C. 的最小值是4 D. 的最大值是 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题中条件及基本不等式，逐项分析即可. 【详解】因为，所以， 则 ， 当且仅当时，等号成立， 即的最小值是2，故A正确； 因为，所以， 当且仅当时，等号成立， 即的最大值是1，故B正确； ， 当且仅当时，等号成立， 即的最小值是，故C错误； 因为， 当且仅当，即时等号成立， 即的最大值是，故D正确， 故选:ABD. 11. 函数是定义在R上的奇函数，下列说法正确的是（ ） A. B. 若在上有最小值，则在上有最大值1 C. 若在上为增函数，则在上为减函数 D. 若时，，则时， 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据奇函数的定义并取特值即可判定；利用奇函数的定义和最值得定义可以求得在上有最大值，进而判定；利用奇函数的单调性性质判定；利用奇函数的定义根据时的解析式求得时的解析式，进而判定． 【详解】由得，故正确； 当时，，且存在使得， 则时，，，且当有, ∴在上有最大值为1，故正确； 若在上为增函数，而奇函数在对称区间上具有相同的单调性，则在上为增函数，故错误； 若时，，则时，，，故正确． 故选：． 【点睛】本题考查函数的奇偶性，掌握奇函数的定义是解题关键． 12. 已知函数的定义域为，且满足，当时，，则（ ） A. 是奇函数 B. 是增函数 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】求出，令可判断A；不妨设可得，根据是奇函数可判断B；令可得，根据单调性可判断CD. 【详解】对于A，令，则；令，则， 为奇函数，故A正确； 对于B，不妨设，则， ，在为增函数，又是奇函数， 在为增函数，故B正确； 对于CD，令，，则，， 故C错误D正确. 故选：ABD. 三、填空题（共4小题，每小题5分，总分20分） 13. 函数的定义域为______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意得到关于x的不等式组，求解不等式组即可确定函数的定义域. 【详解】函数有意义，则：，解得：， 据此可得：或， 即函数的定义域为：. 【点睛】求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可． 14. 设函数，不等式的解集为，若对任意恒成立，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先根据不等式的解集求得，得到，再把对任意，恒成立，结合二次函数的性质，转化为恒成立，即可求解. 【详解】由函数，且不等式的解集为， 即是方程两个实数根， 可得，解得，所以， 又由，且， 当时，函数取得最大值，最大值为， 因为对任意恒成立，即恒成立， 解得或，所以实数的取值范围为. 故答案为：. 15. 已知函数是定义域为的奇函数，且.若对任意的、且，都有成立，则不等式的解集是______. 【答案】 【解析】 【分析】依题意不妨令，即可得，令，，即可得到在上单调递增，再由及奇偶性得到在上的取值情况，从而得到的解集. 【详解】因为对任意的、且，都有成立， 不妨令，则，即， 所以， 令，， 则当且时，， 所以在上单调递增， 又函数是定义域为的奇函数且，则， 所以，所以当时，，当时，， 则当时，，当时，， 又为奇函数，所以当时，，当时，， 所以不等式的解集是. 故答案为： 16. 正实数，满足，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件得关于的方程，再将平方并替换，最后使用基本不等式求解即可. 【详解】依题意，因为， 所以， 所以， 即 ， 当且仅当，即,故取等号， 所以的最小值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了基本不等式的应用，解题的关键是根据已知条件得关于的方程，再将平方并替换，最后使用基本不等式求解即可. 四、解答题（共4小题，总分70分） 17. 已知函数， （1）判断的奇偶性； （2）用定义证明在上为减函数. 【答案】(1)奇函数； (2)证明：设是上的任意两数，且， 则 ∵且， ∴ 即. ∴在上为减函数. 【解析】 【详解】试题分析： (1)首先确定函数的定义域关于坐标原点对称，然后利用可说明是奇函数. (2)利用函数单调性的定义设设是上的任意两数，且，讨论的符号即可证明函数在上为减函数. 试题解析： （1）函数的定义域为， 又 ∴是奇函数. （2）略 点睛：判断函数的奇偶性之前务必先考查函数的定义域是否关于原点对称，若不对称，则该函数一定是非奇非偶函数，对于给出具体解析式的函数，证明或判断其在某区间上的单调性有两种方法：①可以利用定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、定号、下结论)求解；②可导函数则可以利用导数解之． 18. 记函数的定义域为集合A，函数的定义域为集合， （1）求和； （2）若，，且中只有三个整数元素，求实数p的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）先分别求出函数、的定义域A、B，再利用交集、并集的定义可求出和． （2）由，得到A与C的关系，即可求出实数的取值范围． 【小问1详解】 令，解得， 可知函数的定义域为集合； 令，解得， 可知函数的定义域为集合； 可得，所以. 【小问2详解】 因为，可知集合不是集合的子集， 由中只有三个整数元素可得，可知， 又因为，则，解得：， 所以实数p的取值范围为． 19. 已知福州地铁号线路通车后，地铁的发车时间间隔（单位：分钟）满足，经市场调研测算，地铁的载客量与发车的时间间隔相关，当时，地铁为满载状态，载客量为人；当时，载量会减少，减少的人数与成正比，且发车时间间隔为分钟时的载客量为人，记地铁的载客量为. （1）求的表达式，并求发车时间间隔为分钟时地铁的载客量； （2）若该线路每分钟的净收益为（元）.问：当地铁发车时间间隔多少时，该线路每分钟的净收益最大？ 【答案】（1），发车时间间隔为分钟时地铁的载客量为人. （2）当地铁发车时间间隔为分钟时，该线路每分钟的净收益最大. 【解析】 【分析】（1）当时，设，由可求出的值，结合已知条件可得出函数的函数解析式，进而可求得的值； （2）分、两种情况讨论，求出关于的函数解析式，利用基本不等式以及函数的单调性可求得的最大值及其对应的值，即可得出结论. 【小问1详解】 解：当时，设，则，解得. 由题意可得. 所以，发车时间间隔为分钟时地铁的载客量为（人）. 【小问2详解】 解：当时， （元）， 当且仅当时，等号成立； 当时，，此时函数单调递减， 则，当且仅当时，等号成立. 综上所述，当地铁发车时间间隔为分钟时，该线路每分钟的净收益最大. 20. 某小区计划利用其一侧原有墙体，建造一个高为米，底面积为平方米，且背面靠墙的长方体形状的值班室，由于值班室的后背靠墙，无需建造费.因此，甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体（包括门窗所占面积）每平方米元，左､右两面新建墙体每平方米元，屋顶和地面以及其他共计元，设屋子的左､右两面墙的长度均为米，总造价为元. （1）写出与的函数关系式，并注明函数定义域； （2）当左､右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？并求出最低报价. 【答案】（1） （2）当左､右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低，且最低报价为14400元 【解析】 【分析】（1）由题意可得屋子前面新建墙体长为米，进而可得函数解析式； （2）根据（1）中函数解析式，利用基本不等式求最值. 【小问1详解】 由题意可知，总造价为元，左､右两面墙的长度均为米， 则屋子前面新建墙体长为米. 则. 所以. 【小问2详解】 因为， 所以. 当且仅当，即时，等号成立， 所以当左､右两面墙的长度为米时，甲工程队的报价最低，且最低报价为元. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $