精品解析：湖北省荆州市沙市第一中学2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题

沙市一中2024年秋季学期高一期中考试数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题6分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用交集的定义可求得集合. 【详解】因为集合，，则. 故选：B. 2. 命题“∀x＞0，x2＞0”的否定是（ ） A. ∀x＞0，x2＜0 B. ∀x＞0，x2≤0 C. ∃x0＞0，x2＜0 D. ∃x0＞0，x2≤0 【答案】D 【解析】 【分析】根据全称命题的否定形式，即可求解. 【详解】命题“∀x＞0，x2＞0”的否定是“∃x0＞0，x2≤0”. 故选:D 【点睛】本题考查命题的否定形式，注意全称量词与特称量词的转换，属于基础题. 3. 下列选项中表示同一函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】D 【解析】 【分析】由定义域及解析式判断即可. 【详解】对于A：中，不能取0，而，显然两函数定义域不同，不符合题意； 对于B：，不能取0，而，显然两函数定义域不同，不符合题意； 对于C：，显然两函数解析式不同，不符合题意； 对于D： ，与的定义域，解析式一样，符合题意. 故选：D 4. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将函数转化为分段函数，再选择图象即可. 【详解】，结合图形可知C适合题意. 故选：C. 5. 已知，那么命题的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据必要条件的定义对每个选择进行分析即可求解． 【详解】， 根据充分条件、必要条件的定义可知： 对于A，是的充要条件,A错误； 对于B，是的必要不充分条件，B正确； 对于C，是的充分不必要条件，C错误； 对于D，是的既不充分也不必要条件，D错误． 故选:B． 6. 下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【分析】举反例排除ABC；利用作差法即可判断D. 【详解】A选项，当时，，故A错误； B选项，当，，，时，，，故B错误； C选项，当，，，时，，故C错误； D选项，若，，则，即，故D正确． 故选：D. 7. 已知定义在上的偶函数在上单调递增，且，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性可判断函数在上的单调性，进而可解不等式. 【详解】由已知为上的偶函数，且在上单调递增， 则函数在上单调递减， 所以不等式， 即，解得， 故选：A. 8. 已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先判断在上单调递减，依题意可得，即可得解. 【详解】因为在上单调递减， 当时，，则在上单调递减， 则需满足，解得，即实数的范围是. 故选：C. 二、选择题：本題共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设全集，集合，，，则（ ） A. 集合的真子集个数是 B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用真子集的个数公式可判断A选项；利用并集运算可判断B选项； 利用补集和交集运算可判断C选项；利用集合的包含关系可判断D选项. 【详解】对于A选项，集合的元素个数为，则集合的真子集个数是，A对； 对于B选项，因为，，则，B对； 对于C选项，因为全集，集合，， 则，，则，C错； 对于D选项，由C选项可知，因为，，则，D对. 故选：ABD. 10. 已知，若，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为10 C. 的最大值为2 D. 的最小值为8 【答案】AD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用基本不等式及“1”的妙用，结合二次函数的性质逐项分析求解即可. 【详解】对于A，，，则，当且仅当时取等号，A正确； 对于B，，当且仅当时取等号，B错误； 对于C，，，C错误； 对于D，，当且仅当时取等号，D正确. 故选：AD 11. 设函数 ，则（ ） A. 直线是函数的对称轴 B. 若函数在上单调递减，则 C. 对，不等式总成立 D. 当时， 【答案】BCD 【解析】 【分析】先根据绝对值的性质将函数写成分段函数的形式，再根据函数的性质逐一分析选项. 【详解】，画出的图像如图所示， 对于A，由图可知，不是的对称轴，故A错误； 对于B，若函数在上单调递减，由图可知，，故B正确； 对于C，， ，所以总成立，故C正确； 对于D，当时，，，此时，关于直线对称， 所以，成立，当时，，成立， 当时，，，，成立. 综上所述，当时，，故D正确. 故答案为：BCD 三、填空题：本题共3小愿，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，则_____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据自变量所在范围代相应的对应关系即可求解. 【详解】因为函数， 又，所以. 故答案为：. 13. 若函数是幂函数，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据幂函数定义求出，可求出，代入可求解. 【详解】因为是幂函数，所以， 解得，所以，所以. 故答案为：. 14. 二次不等式的解集为或，则关于的不等式的解集为_____________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次不等式的解集得出，求出，采用消元的思想，将和消去，再将不等式转化为具体的一元二次不等式来求解即可. 【详解】由题意可知所以 所以不等式为，又， 所以，解得. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说朋，证明过程或演算步骤 15. 解不等式： （1） （2） （3） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）化简，因式分解即可求解； （2）通过配方即可求解； （3）分式不等式转化成且，即可求解. 【小问1详解】 由， 可得：， 即， 解得：或， 所以不等式的解集为： 【小问2详解】 对于， 即恒成立， 所以不等式的解集为： 【小问3详解】 等价于且， 解得：或， 所以不等式的解集为： 16. 已知函数的定义域为A，的值域为 （1）求A、B； （2）求 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由函数表达式有意义求得定义域A，根据二次函数性质可求得值域B； （2）根据集合运算的定义计算． 【小问1详解】 由得， 解得， ， 所以，， 【小问2详解】 因为， 所以， 17. 几个大学生联合自主创业拟开办一家公司，根据前期的市场调研发现：生产某种电子设备的固定成本为20万元，每生产一台设备需增加投入万元.已知总收入（单位：万元）与月产量（单位：台）满足函数：，且当时，. （1）求实数的值； （2）预测：当月产量为多少时，公司所获得的利润不低于20万元?（总收入总成本十利润） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）代入函数值即可求出参数值； （2）列出利润函数，分段列出不等式，求得解集即为所求范围. 【小问1详解】 因为当时，， 所以，解得. 【小问2详解】 设公司所获得的利润为（单位：万元），所以 当时，，即， 解得，， 当时，， 综上，当且仅当时，公司所获得的利润不低于20万元. 18. 函数是定义在上的奇函数，当时， （1）在坐标系里画出函数的图象，并写出函数的单调递减区间； （2）求函数在上的解析式； （3）当时，恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） 单调递减区间为： （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数的性质以及当时的解析式，即可作出函数的图象； （2）利用函数的奇偶性即可求得其解析式； （3）分离参数，可得当时，恒成立，求解二次函数的最大值，即可求得答案. 【小问1详解】 由题意可作出函数的图象为： 由图象可得，函数的单调递减区间为：． 【小问2详解】 函数是定义在上的奇函数， 当时，有， ， ． 【小问3详解】 当时，恒成立， 恒成立， 设，则当时，， . 19. 已知函数对任意实数，，都有成立，且当时，. （1）证明：对任意实数，，； （2）求证：是上的增函数； （3）若命题，为假命题，求实数的取值范围. 【答案】（1）证明：因为对任意实数，，， 所以，所以，在中， 令得，， 所以， 在中，用替换得，， 因为，所以， 所以，对任意实数，，成立. （2）证明：任意取，，且，则，因为当时，，所以， 所以，即，所以是上的增函数. （3）. 【解析】 【分析】（1）根据题目中的等式，利用特殊值研究新的等式，可得答案； （2）根据函数单调性的定义，假设参数的大小关系，利用作差法，可得答案； （3）根据题目中的等量关系，结合函数的单调性，化简不等式，结合二次函数的性质，可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 命题，为假命题， 等价于，为真命题. 在中，令得，， 所以 由（2）的结论得，， 即， 令， 因为，成立，所以，所以， 所以实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 沙市一中2024年秋季学期高一期中考试数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题6分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“∀x＞0，x2＞0”的否定是（ ） A. ∀x＞0，x2＜0 B. ∀x＞0，x2≤0 C. ∃x0＞0，x2＜0 D. ∃x0＞0，x2≤0 3. 下列选项中表示同一函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 4. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，那么命题的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 6. 下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 7. 已知定义在上的偶函数在上单调递增，且，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本題共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设全集，集合，，，则（ ） A. 集合的真子集个数是 B. C. D. 10. 已知，若，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为10 C. 的最大值为2 D. 的最小值为8 11. 设函数 ，则（ ） A. 直线是函数的对称轴 B. 若函数在上单调递减，则 C. 对，不等式总成立 D. 当时， 三、填空题：本题共3小愿，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，则_____________． 13. 若函数是幂函数，则_____. 14. 二次不等式的解集为或，则关于的不等式的解集为_____________________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说朋，证明过程或演算步骤 15. 解不等式： （1） （2） （3） 16. 已知函数的定义域为A，的值域为 （1）求A、B； （2）求 17. 几个大学生联合自主创业拟开办一家公司，根据前期的市场调研发现：生产某种电子设备的固定成本为20万元，每生产一台设备需增加投入万元.已知总收入（单位：万元）与月产量（单位：台）满足函数：，且当时，. （1）求实数的值； （2）预测：当月产量为多少时，公司所获得的利润不低于20万元?（总收入总成本十利润） 18. 函数是定义在上的奇函数，当时， （1）在坐标系里画出函数的图象，并写出函数的单调递减区间； （2）求函数在上的解析式； （3）当时，恒成立，求的取值范围． 19. 已知函数对任意实数，，都有成立，且当时，. （1）证明：对任意实数，，； （2）求证：是上的增函数； （3）若命题，为假命题，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $