精品解析：湖北省荆州市沙市第一中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

沙市一中2024年秋季学期高二期中考试 数学试卷 命题人：邓芳芳 审题人：张强 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 在空间直角坐标系中，已知点，则线段的中点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 李华家养了白、灰、黑三种颜色的小兔各1只，从兔窝中每次摸取1只，有放回地摸取3次，则3次摸取的颜色不全相同的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线的方程为，则过点且与垂直的直线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 空间四边形OABC中，，，，点M，N分别为OA，BC中点，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 已知点 ，点在直线 上，则 的最小值是（　　） A. B. C. D. 7. 已知圆C的圆心在直线上，并且圆C经过圆与圆的交点，则圆C的圆心是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在棱长为2的正方体中，点为BC的中点，点在线段上，则面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 事件A，B的概率分别为：，，则（ ） A. 若A，B为互斥事件， B. C. 若A，B相互独立， D. 若，则A，B相互独立 10. 已知实数，满足方程，则下列说法不正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最大值为 C. 的最大值为 D. 的最大值为 11. 已知空间四面体OABC，则（ ） A. 当，则点P在平面ABC内 B. 若该四面体的棱长都为a，则异面直线OA，BC间的距离为 C. 若M为AB中点，则直线OC上存在点N，使得 D. 若，，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，则__________. 13. 从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为____________． 14. 过直线上任意一点作圆：的两条切线，则切点分别是，则面积的最大值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知点是平行四边形所在平面外一点，如果，，.（1）求证：是平面的法向量； （2）求平行四边形的面积. 16. 已知点、、，点是线段的中点，，垂足为. （1）求直线的方程； （2）求点的坐标； （3）求的面积. 17. 某市为传播中华文化，举办中华文化知识选拔大赛. 决赛阶段进行线上答题. 题型分为选择题和填空题两种，每次答题相互独立. 选择题答对得5分，否则得0分；填空题答对得4分，否则得0分，将得分逐题累加. （1）若小明直接做3道选择题，他做对这3道选择题的概率依次为，，. 求他得分不低于10分的概率； （2）规定每人最多答3题，若得分高于7分，则通过决赛，立即停止答题，否则继续答题，直到答完3题为止. 已知小红做对每道选择题的概率均为，做对每道填空题的概率均为. 小红依次做一道选择题两道填空题，求小红通过考试的概率. 18. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，边长是，侧棱底面，，是的中点，作交于点. （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）求平面与平面的夹角的大小. 19. 已知圆内有一点，倾斜角为的直线过点且与圆交于两点. （1）当时，求的长； （2）是否存在弦被点三等分？若存在，求出直线的斜率；若不存在，请说明理由； （3）记圆与轴的正半轴交点为，直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值.并计算出定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 沙市一中2024年秋季学期高二期中考试 数学试卷 命题人：邓芳芳 审题人：张强 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由直线方程，结合斜率与倾斜角关系求倾斜角的大小. 【详解】由直线方程为，即斜率为， 若倾斜角为，则，故. 故选：B 2. 在空间直角坐标系中，已知点，则线段的中点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用空间直角坐标系中点坐标公式求解即得. 【详解】依题意，点，则线段的中点坐标是. 故选：B 3. 李华家养了白、灰、黑三种颜色的小兔各1只，从兔窝中每次摸取1只，有放回地摸取3次，则3次摸取的颜色不全相同的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知：每次摸到白、灰、黑三种颜色的概率均为，根据独立事件概率乘法公式结合对立事件运算求解. 【详解】由题意可知：每次摸到白、灰、黑三种颜色的概率均为， 记“3次摸取的颜色不全相同”为事件A，则， 所以. 故选：B. 4. 已知直线的方程为，则过点且与垂直的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据垂直得到，由点斜式可求直线的方程. 【详解】直线的方程为，则， 根据两直线垂直知所求直线的斜率为， 又直线过点，所以与直线垂直的线方程为，即. 故选：B. 5. 空间四边形OABC中，，，，点M，N分别为OA，BC中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由N为BC中点，可得，由M为OA的中点，可得，利用，即可求出结果. 【详解】为BC中点，， 为OA的中点，， . 故选：B 6. 已知点 ，点在直线 上，则 的最小值是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】确定点到直线的距离，即为的最小值，利用点到直线的距离公式即可求得答案. 【详解】由题意可知点到直线的距离，即为的最小值， 所以的最小值为， 故选：B. 7. 已知圆C的圆心在直线上，并且圆C经过圆与圆的交点，则圆C的圆心是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出已知两圆的交点，求线段的中垂线，联立待求圆圆心所在直线，即可得出圆心坐标. 【详解】设圆与圆的交点为A，B 联立两圆方程，得，解得，或． 不妨记，， 于是的中点为， 从而可得的垂直平分线方程为 ，即， 联立与，得解得， 即圆心坐标为． 故选：D． 8. 如图，在棱长为2的正方体中，点为BC的中点，点在线段上，则面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可知，点到直线距离的最小值等于异面直线与的距离，进而利用向量法求异面直线与的距离，从而可得面积的最小值. 【详解】因为，点到直线的距离最小时面积取得最小值, 而点在线段上，直线与互为异面直线， 因此点到直线距离的最小值等于异面直线与的距离. 下面用向量法求异面直线与的距离： 以D为原点，分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示： 则，,, ，，, 设异面直线与公垂线的方向向量为，则， 即，得， 令，则，即， 于是异面直线与的距离为， 又， 所以面积的最小值为. 故选：B 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 事件A，B的概率分别为：，，则（ ） A. 若A，B为互斥事件， B. C. 若A，B相互独立， D. 若，则A，B相互独立 【答案】AD 【解析】 【分析】利用互斥事件的定义及性质判断A选项；利用和事件的关系判断B选项；利用相互独立事件的定义及性质判断C选项；利用条件概率公式，求解事件A与B的积事件，根据独立事件关系确定A、B的独立性可判断D. 【详解】选项A：若A，B为互斥事件，则， 所以，故A正确； 选项B：，故B错误； 选项C：若A，B相互独立， 所以，故C错误； 选项D：因为， 所以，则A，B相互独立，故D正确； 故选：AD. 【点睛】关键点点睛：通常判断两个事件是否相互独立，常用以下两种方法： 1、事件独立性的定义：如果事件A和事件B相互不影响，则称事件A和事件B是相互独立的； 2、乘法原理：如果事件A和事件B是相互独立，则它们同时发生的概率等于它们各自发生的概率之积. 10. 已知实数，满足方程，则下列说法不正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最大值为 C. 的最大值为 D. 的最大值为 【答案】CD 【解析】 【分析】设，则只需直线与圆有公共点，利用点到直线的距离公式可得不等式求得z的范围，可判断A；同理可判断D；设，利用几何意义求得t的范围判断B；设，则直线和圆有公共点，进而可得不等式求得k的范围判断C. 【详解】由题意知方程即表示圆，圆心为，半径为， 对于A，设，则只需直线与圆有公共点， 则，解得， 即的最大值为，A正确； 对于B，设，其几何意义为圆上的点到原点的距离， 而上的点到原点距离的最大值为， 即t的最大值为，故的最大值为，B正确； 对于C，设，则，则直线和圆有公共点， 则，解得，即的最大值为，C错误； 对于D，设，则直线与圆有公共点， 则，解得， 即的最大值为，D错误； 故选：CD 11. 已知空间四面体OABC，则（ ） A. 当，则点P在平面ABC内 B. 若该四面体的棱长都为a，则异面直线OA，BC间的距离为 C. 若M为AB中点，则直线OC上存在点N，使得 D. 若，，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A：根据四点共面的结论分析判断；对于B：将正四面体嵌套在正方体内，结合正方体的性质分析判断；对于C：分类讨论点N是否与点O重合，结合异面直线的判定定理分析判断；对于D：根据空间向量的数量积运算结合向量垂直分析判断. 【详解】对于A：若，且， 所以四点共面，即点P在平面ABC内，故A正确； 对于B：若该四面体的棱长都为a，可知四面体OABC为正四面体， 将其嵌套在正方体内，如图所示：可知正方体的棱长为，异面直线OA，BC间的距离即为正方体的棱长，故B正确； 对于C：因为点N在直线OC上， 若点N与点O重合，则，不满足； 若点N与点O不重合，则平面OBC，平面，， 可知为异面直线，不满足； 综上所述：直线OC上不存在点N，使得，故C错误； 对于D：若，， 则 即 ， 即 ∴， 可得， 所以，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，则__________. 【答案】. 【解析】 【分析】本道题关键抓住，代入向量的坐标，计算，即可． 【详解】，即可． 【点睛】本道题考查了向量的坐标运算，考查了向量的加减法，难度较容易． 13. 从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为____________． 【答案】##0.3 【解析】 【分析】根据古典概型计算即可 【详解】解法一：设这5名同学分别为甲，乙，1,2,3，从5名同学中随机选3名， 有：(甲，乙，1)，(甲，乙，2)，(甲，乙，3)，(甲，1，2)，(甲，1，3)，(甲，2，3)，(乙，1，2)，(乙，1，3)，(乙，2，3)，(1，2，3)，共10种选法； 其中，甲、乙都入选的选法有3种，故所求概率. 故答案为：. 解法二：从5名同学中随机选3名的方法数为 甲、乙都入选的方法数为，所以甲、乙都入选的概率 故答案为： 14. 过直线上任意一点作圆：的两条切线，则切点分别是，则面积的最大值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】由得出点在以为直径的圆上是关键，通过两圆方程相减得到直线的方程，从而求出面积的表达式，运用函数思想求解即得. 【详解】 如图，设点，因,故点在以为直径的圆上， 因圆心，半径为，故圆的方程为：， 又圆：，将两式左右分别相减，整理得直线的方程为：， 于是，点到直线的距离为：，， 故的面积为：， 不妨设则，且，故， 因在上单调递增，故，此时， 即时，点时，面积的最大值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知点是平行四边形所在平面外一点，如果，，.（1）求证：是平面的法向量； （2）求平行四边形的面积. 【答案】 (1)∵， . ∴，，又，∴平面， ∴是平面的法向量. (2). 【解析】 【详解】试题分析： (1)由题意结合空间向量数量积的运算法则计算可得，.则，，结合线面垂直的判断定理可得平面，即是平面的法向量. (2)利用平面向量的坐标计算可得，，，则，，. 试题解析： （1）略 （2）∵ ，， ∴， ∴， 故， . 16. 已知点、、，点是线段的中点，，垂足为. （1）求直线的方程； （2）求点的坐标； （3）求的面积. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求出线段的中点的坐标，利用两点式可得出直线的方程； （2）求出直线的方程，将直线、的方程联立，即可解得点的坐标； （3）求出、，由可得结果. 【小问1详解】 解：因为、，所以的中点为， 所以直线的方程为，即. 【小问2详解】 解：由（1）知，因为，所以， 所以直线方程为，即. 联立，解得，所以点的坐标为. 【小问3详解】 解：因为，， 所以. 17. 某市为传播中华文化，举办中华文化知识选拔大赛. 决赛阶段进行线上答题. 题型分为选择题和填空题两种，每次答题相互独立. 选择题答对得5分，否则得0分；填空题答对得4分，否则得0分，将得分逐题累加. （1）若小明直接做3道选择题，他做对这3道选择题的概率依次为，，. 求他得分不低于10分的概率； （2）规定每人最多答3题，若得分高于7分，则通过决赛，立即停止答题，否则继续答题，直到答完3题为止. 已知小红做对每道选择题的概率均为，做对每道填空题的概率均为. 小红依次做一道选择题两道填空题，求小红通过考试的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】由相互独立事件的概率乘法公式求解即可 【小问1详解】 记“他得分不低于10分”为事件， 则 ， 即得分不低于10分的概率； 【小问2详解】 记“小红通过考试”为事件， 则， 即小红通过考试的概率为. 18. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，边长是，侧棱底面，，是的中点，作交于点. （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）求平面与平面的夹角的大小. 【答案】（1）证明：连接，设，连接， 则为中点， 又是的中点， ， 又平面，平面， 平面； （2）证明：底面，底面， ， 又是正方形， ， 又，平面，且， 平面， 平面， ， ， ， ，平面，， 平面， 平面， ， ，且，，平面， 平面； （3） 【解析】 【分析】（1）连接，利用中位线可证线线平行，进而可证线面平行； （2）根据线面垂直及正方形可证平面，即，再由，可得证； （3）建立空间直角坐标系，利用坐标法可得平面的法向量，进而可得面面角. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 由（2）得平面，则平面， 所以可以点为坐标原点，，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 即，，， 设平面的法向量， 则，令，则， 设平面的法向量， 则，令，则， 所以， 即平面与平面夹角余弦值为， 所以平面与平面夹角为. 19. 已知圆内有一点，倾斜角为的直线过点且与圆交于两点. （1）当时，求的长； （2）是否存在弦被点三等分？若存在，求出直线的斜率；若不存在，请说明理由； （3）记圆与轴的正半轴交点为，直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值.并计算出定值. 【答案】（1） （2）存在， （3）证明：由题意知，, 当直线斜率不存在时，，， 不妨取， 则，此时； 直线斜率存在时，设方程为， 代入圆的方程可得， 设，则， 又， 所以， 综上，为定值. 【解析】 【分析】（1）由题意求出直线方程，利用圆的几何性质求弦长即可； （2）假设存在，求出弦心距，讨论直线的斜率是否存在，利用点到直线距离即可得解； （3）分类讨论直线斜率是否存在，存在时由根与系数的关系及斜率公式化简即可证明. 【小问1详解】 因为，所以，直线的方程为， 圆的圆心为，半径， 设圆心到直线的距离为，则， 所以； 【小问2详解】 取的中点为，如图，    假设存在弦被点三等分，设，，则， ，解得， 当斜率不存在时，，故斜率存在， 设斜率为，则：， ，解得， 即存在弦被点三等分，直线的斜率为； 【小问3详解】 证明略；为定值. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $