精品解析：河南省新乡市原阳县第一高级中学2024-2025学年高二上学期11月月考数学试题

2024-2025高二数学11月月考试题 考试范围：选一及数列4.1；考试时间：120分钟；命题人：高二数学组 姓名：___________班级：_______考号：___________考场：_____座号：____ 第I卷（选择题） 一、单选题（共40分） 1. 若双曲线（）的实轴长为2，则其渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出，然后可得渐近线方程 【详解】因为双曲线（）的实轴长为2 所以，即 所以其渐近线方程为 故选：C 【点睛】本题考查的是双曲线的几何性质，较简单 2. 已知两平行直线与之间的距离是，若，则（ ） A. 0 B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】 首先根据斜率相等求出，再根据两平行线的距离公式：求出的值即可. 【详解】两条直线平行，所以，解得， 所以直线。 又直线与直线之间的距离是， 则，解得或（舍去）， 所以. 故选：B 【点睛】本题考查了两平行线间的距离公式，考查了基本运算求解能力，属于基础题. 3. 已知数列满足，则（ ） A. 2 B. C. D. 2024 【答案】B 【解析】 【分析】根据递推式得到数列的周期，应用周期性求对应项. 【详解】由，可得， 同理可得，所以数列是周期为3的数列， 则. 故选：B. 4. 如图，一个底面半径为R的圆柱被与其底面所成角为的平面所截，截面是一个椭圆，当为时，这个椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据几何关系用圆柱的地面半径表示椭圆的长轴和短轴，再计算椭圆的离心率即可. 【详解】设椭圆的长半轴为a，短半轴为b，半焦距为c 根据题意可知， 所以椭圆的离心率，选项A正确 故选：A. 5. 战国时期成书《墨经》有载曰：“景，日之光反烛人，则景在日与人之间.”这是中国古代人民首次对平面镜反射的研究，体现了传统文化中的数学智慧.在平面直角坐标系中，一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先得到关于轴的对称点，然后根据反射光线经过，设出反射光线的方程，根据反射光线与圆相切列出关于的方程，则结果可求. 【详解】如图，设点与点关于轴对称，则点的坐标为， 反射光线所在直线经过点，且与圆相切， 设反射光线所在直线的斜率为，则反射光线所在直线的方程为，即， 圆的圆心为，半径， 则由圆心到反射光线所在直线的距离等于半径，可得， 即，解得或. 故选：A. 6. 已知抛物线，过点的直线与抛物线相交于，两点，则的最小值是（ ） A. 8 B. 16 C. 32 D. 40 【答案】C 【解析】 【分析】将直线的方程设为，与抛物线联立，由韦达定理即可求解. 【详解】设的方程为,代入, 得, 则, 所以, 当时,的最小值为32. 故选：C. 7. 如图，二面角的大小为，棱上有两点，线段，，，.若，，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量线性运算得，两边平方得到方程，即可计算线段的长. 【详解】∵二面角的大小为，，， ∴，. 由题意得，， ， ∴， ∴，即线段的长为. 故选：B. 8. 双曲线（，）的左右焦点为，，渐近线分别为，，过点且与垂直的直线分别交及于，两点，若满足，则双曲线的离心率为 A. B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【详解】∵（a＞0，b＞0）的左右焦点为F1，F2， ∴F1（﹣c，0），F2（c，0）， 双曲线的两条渐近线方程为yx，yx， ∵过F1的直线分别交双曲线的两条渐近线于点P，Q． ∵， ∴点P是线段F1Q的中点，且PF1⊥OP， ∴过F1的直线PQ的斜率kPQ， ∴过F1的直线PQ的方程为：y（x+c）， 解方程组，得P（，）， ∴|PF1|＝|PQ|＝b，|PO|＝a，|OF1|＝|OF2|＝|OQ|＝c，|QF2|＝2a， ∵tan∠QOF2，∴cos∠QOF2， 由余弦定理，得cos∠QOF21， 即e2﹣e﹣2＝0， 解得e＝2，或e＝﹣1（舍） 故选：C． 点睛：该题考查的是有关双曲线的离心率的求解问题，在解题的过程中，需要对向量的基本定理理解的特别透彻，从而确定出有关中点的结论，之后借助于等腰三角形的特征，得到倾斜角的大小，之后得到其系数的关系，从而求得结果. 二、多选题（共18分） 9. 将自然数1，2，3，4，5，…按照如图排列，我们将2，4，7，11，16，…称为“拐弯数”，则下列数字不是“拐弯数”的是（ ） A. 37 B. 58 C. 67 D. 79 【答案】B 【解析】 【分析】先根据题中规律，并采用累加法找到拐弯数的通项公式，再逐项验证即可求解. 【详解】不妨设第n（）个“拐弯数”为， 不难发现，，，，…， 所以（）， 利用累加法得， 因而，当时，也符合上式， 所以（）． 令可得，，即， 解得或（舍去），故是“拐弯数”； 令可得，，即， 解得（舍去）或（舍去），故不是“拐弯数”； 令可得，，即， 解得或（舍去），故是“拐弯数”； 令可得，，即， 解得或（舍去），故是“拐弯数”. 10. 已知椭圆的左､右焦点分别为，，点为椭圆上一点，则（ ） A. 的周长为 B. 存在点，使得 C. 若，则的面积为 D. 使得为等腰三角形的点共有4个 【答案】AB 【解析】 【分析】根据焦点三角形的周长为判断A；考虑为短轴顶点时，焦点三角形的形状判断B；结合椭圆定义和余弦定理，计算焦点三角形的面积可判断C；分情况讨论，找出使为等腰三角形的所有点可判断D． 【详解】对于A，由题意，， 的周长为，故A正确； 对于B，当点位于椭圆的上顶点或下顶点时，， 则为直角，故B正确； 对于C，当时，如图，中， 由余弦定理得， 即①， 又，即②， 联立①②可得， 所以，故C错误； 对于D，由椭圆的性质可知，即. 若是以为顶点的等腰三角形，点位于椭圆的上顶点或下顶点，满足条件的点有2个； 若是以为顶点的等腰三角形，则，则满足条件的点有2个； 同理，若是以为顶点的等腰三角形，满足条件的点有2个； 故使得为等腰三角形的点共6个，故D错误． 故选：AB． 11. 已知矩形中，，，将沿折叠，形成二面角，设二面角的平面角为，若，则（ ） A. B. 异面直线与所成的角为 C. 四面体的体积为 D. 四面体外接球的体积为 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A：过点，分别向作垂线，利用两向量的夹角表示出，进而利用向量的相关知识即可得到；对于B：利用向量的夹角公式得到，即可得解； 对于C：根据已知条件及勾股定理的逆定理得到平面，然后利用体积公式求解即可；对于D：根据题意得到和都是以为斜边的直角三角形，进而得到为四面体外接球的直径，即可求解外接球的体积． 【详解】对于A：如图，过点，分别作，， 垂足分别为，，则， 由已知得，，， 因为，所以 ， 所以，故A正确； 对于B：由已知得，，则 ， 则， 得，所以异面直线与所成的角为，故B错误； 对于C：因为，所以，同理可得，又，，所以平面， 所以四面体的体积为，故C错误； 对于D：因为和都是以为斜边的直角三角形， 则为四面体外接球的直径，故四面体外接球的半径， 所以四面体外接球的体积为，故D正确． 故选：AD． 【点睛】异面直线所成角的求解方法 （1）利用平移直线法求解，实质就是将空间中两直线所成的角转化为三角形的内角去求解． （2）向量法，一是建立空间直角坐标系，利用向量的坐标运算求解，二是利用基向量及向量的数量积求解． 第II卷（非选择题） 三、填空题（共15分） 12. 数列的一个通项公式__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，观察数列项的特点，即可得到其通项公式. 【详解】由题意可知，数列的奇数项为负，偶数项为正，分母为的指数幂，分子为项数的倍， 则通项公式为. 故答案为： 13. 已知点M为双曲线C：在第一象限上一点，点F为双曲线C的右焦点，O为坐标原点，，∠MOF＝60°，则双曲线C的离心率为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据向量加法运算及中位线性质得，再结合∠MOF＝60°得到，，利用双曲线定义即可建立a，c关系，即可求解离心率. 【详解】设为双曲线的左焦点，连接，取的中点，如图， 则， 因为， 所以，即. 因为是的中位线，所以，所以. 又∠MOF＝60°，，所以为等边三角形， 所以，∠OFM＝60°，在中，， 由双曲线的定义知，， 所以. 故答案为：. 14. 已知二元函数的最小值为，则________． 【答案】80 【解析】 【分析】化简后转化为点到点之间距离，利用轴对称实现折化直，转化到两点之间线段最短问题. 【详解】． 设点．则， 这是经典的将军饮马问题如图． 点关于直线与轴的对称点分别为与， 可得，故． 故答案为：80 四、解答题（共77分） 15. （1）已知数列满足，，，求数列的通项公式. （2）在数列中，，，求数列的通项公式. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）先将递推公式化为，再利用累加法求通项公式； （2）先将递推公式化为，再利用累乘法求通项公式. 【详解】（1）， ， 将以上个式子相加，得 ， 即. . 又当时，也符合上式， 故数列的通项公式为. （2）因为，，所以， 所以 又因为当时，，符合上式， 所以数列的通项公式为. 16. VEX亚洲机器人比赛是全球两大机器人赛事之一.如图所示，在某次比赛中，主办方设计了一个矩形坐标场地（包含边界和内部，为坐标原点），长12米，长5米.在处有一只电子狗，在边上距离点米的点处放置机器人，电子狗的运动速度是机器人运动速度的两倍.若电子狗和机器人从起始位置同时出发，在场地内沿直线方向同时达到某点，那么电子狗被机器人捕获，称点为成功点. （1）求成功点的轨迹方程； （2）为了记录比赛情况，摄影机从边上某点处沿直线方向往点运动，要求直线与点的轨迹没有公共点，求点纵坐标的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，，机器人运动速度为，依题意得，整理即可得解； （2）设直线：，根据直线与点的轨迹没有公共点，则圆心到直线的距离等于半径，即可求出的取值范围，从而求出点纵坐标的取值范围. 【小问1详解】 解：设，，机器人运动速度为， 由题意可得，化简得. 由于点在矩形场地内，则. 所以成功点的轨迹方程为. 【小问2详解】 解：由题意可知直线的斜率存在，不妨设直线：， 直线与点的轨迹没有公共点， 由直线与圆的位置关系可得，解得. 则点纵坐标， 又因为，所以. 17. 椭圆E：的左、右焦点分别为、，过且斜率为 的直线与椭圆的一个交点在x轴上的射影恰好为． （1）求椭圆E的标准方程； （2）设直线与椭圆E交于A，C两点，与x轴交于点H，设AC的中点为Q，试问是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）过且斜率为的直线方程为，令，则，列方程组求出的值即可求得椭圆的标准方程； （2）直线与椭圆联立方程组，消去y，设，运用韦达定理，弦长公式，两点间距离公式，计算的值. 【小问1详解】 过且斜率为的直线方程为，令，则， 由题意可得，解得， 所以椭圆的标准方程. 【小问2详解】 由，可得，， 设，则有， ， 又，为的中点，， 直线与轴的交点为，所以， . 所以为定值. 【点睛】探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值. 18. 如图1，在直角中，，点，分别为边，的中点，将沿着折起，使得点到达点的位置，如图2，且二面角的大小为. （1）求证：平面平面； （2）在棱上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） 由题意，，平面， 所以平面， 又因为图1中，分别是中点，所以， 所以平面，而平面， 所以平面平面； （2） 由题意，所以是二面角的平面角， 二面角的大小为. 则，又由已知，所以等边三角形， 取中点，连接，则， 由（1）知平面，而平面，所以， ，平面，所以平面， 以为原点，为轴，过平行的直线为，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，, ，，，， ，设平面的一个法向量为， 则，取，则， 设， ，， 与平面所成角的正弦值为， 则，解得或． 所以的值为或． 【解析】 【分析】（1）证明平面，由平行得证平面，再由面面垂直的判定定理得证面面垂直； （2）先证明是已知二面角的平面角，得，取中点，证明平面，然后以为原点，为轴，过平行的直线为，建立如图所示的空间直角坐标系，设，得各点坐标，求出平面的一个法向量，设，求得，再根据线面角的向量求法求线面角，从而可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 设A，B为抛物线C：（）上两点，直线的斜率为4，且A与B的纵坐标之和为2． （1）求抛物线C的方程； （2）已知O为坐标原点，F为抛物线C的焦点，直线l交抛物线C于M，N两点（异于点O），以为直径的圆经过点O，求面积的最小值． 【答案】（1） （2）48 【解析】 【分析】（1）由题意设出点的坐标，结合点的坐标满足抛物线方程，直线的斜率为4，且A与B的纵坐标之和为2可列出方程，进而求得的值，从而即可得解. （2）由题意可得，进一步，设出直线方程将其与抛物线方程联立，结合韦达定理可得直线过定点，再结合韦达定理将的面积表示出来，进一步即可得其最小值. 【小问1详解】 设，则，，． 直线的斜率， 解得，所以抛物线C的方程为． 【小问2详解】 设直线l的方程为，，， 联立，消去x得，且， 由韦达定理得，． 以MN为直径的圆经过点O，即， 因为M，N两点异于点O，所以解得， 即，则，直线l恒过定点． 易知，，当且仅当，即直线l的方程为时取等号； 故面积的最小值为48. 【点睛】关键点睛：第一问的关键是设点不设线，从而减少计算量，第二问的关键是数形结合，首先联立方程与抛物线方程，结合已知得到直线过定点，从而即可顺利求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025高二数学11月月考试题 考试范围：选一及数列4.1；考试时间：120分钟；命题人：高二数学组 姓名：___________班级：_______考号：___________考场：_____座号：____ 第I卷（选择题） 一、单选题（共40分） 1. 若双曲线（）的实轴长为2，则其渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 2. 已知两平行直线与之间的距离是，若，则（ ） A. 0 B. C. 1 D. 3. 已知数列满足，则（ ） A. 2 B. C. D. 2024 4. 如图，一个底面半径为R的圆柱被与其底面所成角为的平面所截，截面是一个椭圆，当为时，这个椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 5. 战国时期成书《墨经》有载曰：“景，日之光反烛人，则景在日与人之间.”这是中国古代人民首次对平面镜反射的研究，体现了传统文化中的数学智慧.在平面直角坐标系中，一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 6. 已知抛物线，过点的直线与抛物线相交于，两点，则的最小值是（ ） A. 8 B. 16 C. 32 D. 40 7. 如图，二面角的大小为，棱上有两点，线段，，，.若，，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 8. 双曲线（，）的左右焦点为，，渐近线分别为，，过点且与垂直的直线分别交及于，两点，若满足，则双曲线的离心率为 A. B. C. 2 D. 二、多选题（共18分） 9. 将自然数1，2，3，4，5，…按照如图排列，我们将2，4，7，11，16，…称为“拐弯数”，则下列数字不是“拐弯数”的是（ ） A. 37 B. 58 C. 67 D. 79 10. 已知椭圆的左､右焦点分别为，，点为椭圆上一点，则（ ） A. 的周长为 B. 存在点，使得 C. 若，则的面积为 D. 使得为等腰三角形的点共有4个 11. 已知矩形中，，，将沿折叠，形成二面角，设二面角的平面角为，若，则（ ） A. B. 异面直线与所成的角为 C. 四面体的体积为 D. 四面体外接球的体积为 第II卷（非选择题） 三、填空题（共15分） 12. 数列的一个通项公式__________. 13. 已知点M为双曲线C：在第一象限上一点，点F为双曲线C的右焦点，O为坐标原点，，∠MOF＝60°，则双曲线C的离心率为______． 14. 已知二元函数的最小值为，则________． 四、解答题（共77分） 15. （1）已知数列满足，，，求数列的通项公式. （2）在数列中，，，求数列的通项公式. 16. VEX亚洲机器人比赛是全球两大机器人赛事之一.如图所示，在某次比赛中，主办方设计了一个矩形坐标场地（包含边界和内部，为坐标原点），长12米，长5米.在处有一只电子狗，在边上距离点米的点处放置机器人，电子狗的运动速度是机器人运动速度的两倍.若电子狗和机器人从起始位置同时出发，在场地内沿直线方向同时达到某点，那么电子狗被机器人捕获，称点为成功点. （1）求成功点的轨迹方程； （2）为了记录比赛情况，摄影机从边上某点处沿直线方向往点运动，要求直线与点的轨迹没有公共点，求点纵坐标的取值范围. 17. 椭圆E：的左、右焦点分别为、，过且斜率为 的直线与椭圆的一个交点在x轴上的射影恰好为． （1）求椭圆E的标准方程； （2）设直线与椭圆E交于A，C两点，与x轴交于点H，设AC的中点为Q，试问是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由． 18. 如图1，在直角中，，点，分别为边，的中点，将沿着折起，使得点到达点的位置，如图2，且二面角的大小为. （1）求证：平面平面； （2）在棱上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 19. 设A，B为抛物线C：（）上两点，直线的斜率为4，且A与B的纵坐标之和为2． （1）求抛物线C的方程； （2）已知O为坐标原点，F为抛物线C的焦点，直线l交抛物线C于M，N两点（异于点O），以为直径的圆经过点O，求面积的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $