精品解析：江西省抚州市南城县2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷

南城县2024-2025学年上学期期中考试 九年级数学试题卷 （本试题满分120分，考试时间120分钟） 命题：章海燕 审题：潘彬 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项） 1. 下列是一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据一元二次方程的定义求解即可． 【详解】解：A、该方程为一元一次方程，故不符合题意； B、该方程为二元二次方程，故不符合题意； C、该方程为一元二次方程，符合题意； D、该方程为分式方程，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，解题关键是理解一元二次方程的成立条件：①只含有1个未知数，②未知数的次数是2，③是整式方程． 2. 长江是中华民族的母亲河，长江流域孕育出藏羌文化、巴蜀文化、荆楚文化、吴越文化等区域文化．若从上述四种区域文化中随机选一种文化开展专题学习，则选中“巴蜀文化”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．直接根据概率公式求解即可． 【详解】解：根据题意，选中“巴蜀文化”的概率是， 故选：A． 3. 如图，，两条直线与这三条平行线分别交于点、、和、、，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用平行线分线段成比例定理即可得出结论． 【详解】∵l1∥l2∥l3， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，得出是解答本题的关键． 4. 如图，菱形的周长为20，点A的坐标是，则点B的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、坐标与图形的性质以及勾股定理．解题的关键是熟悉运用菱形的性质（四边相等，对角线互相垂直平分），以及根据点的坐标确定相关线段的长度． 本题可根据菱形的四边相等的性质以及菱形的周长可求出边长的值，再根据勾股定理即可求出的长，进而可求出点B的坐标． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵菱形是周长为20， ∴， ∵点A的坐标是， ∴， ∴在中，， ∴点B的坐标为． 故选：B． 5. 下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为（ ） A. 甲和乙 B. 乙和丁 C. 甲和丙 D. 甲和丁 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相似图形，根据对应角相等，对应边对应成比例的图形是相似图形结合正方形的性质，进行判断即可． 【详解】解：由图可知，只有选项甲和丁中的对应角相等，且对应边对应成比例，它们的形状相同，大小不同，是相似形． 故选D． 6. 如图，等边三角形的边长为3，P为上一点，且，D为上一点，若，则的长为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，由等边三角形的性质结合条件可证明，由相似三角形的性质可求得． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， 又∵，且， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 若是方程的一个根，则的值为_______． 【答案】2025 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根．解题的关键是熟练的掌握一元二次方程根的性质，整体代入法求代数式的值，是解题的关键． 根据方程根的定义，得出，把原式变形即可得出答案． 【详解】∵是方程的一个根， ∴， ∴． 故答案为：2025． 8. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点C的坐标为．以为边作矩形，若将矩形绕点O顺时针旋转，得到矩形，则点的坐标为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转．先根据题意得到，再由矩形的性质可得，由旋转的性质可得，，据此可得答案． 【详解】解：∵点A的坐标为，点C的坐标为， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵将矩形绕点O顺时针旋转，得到矩形， ∴，， ∴轴， ∴点的坐标为， 故答案为：． 9. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据根的判别式的意义得到，解关于k的一元一次方程即可得到k的值． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根． ∴ ∴ 10. 某学校在4月23日世界读书日举行“书香校园，全员阅读”活动．小明和小颖去学校图书室借阅书籍，小明准备从《西游记》、《骆驼祥子》、《水浒传》中随机选择一本，小颍准备从《西游记》、《骆驼祥子》、《朝花夕拾》中随机选择一本，小明和小颖恰好选中书名相同的书的概率是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查列表法与树状图法、概率公式等知识，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 先列表可得出所有等可能的结果数以及小明和小颖恰好选中书名相同的书的结果数，再利用概率公式计算即可． 【详解】解：将《西游记》、《骆驼祥子》、《水浒传》、《朝花夕拾》分别记为A，B，C，D， 列表如下： A B D A （A，A） （A，B） （A，D） B （B，A） （B，B） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，D） 共有9种等可能的结果，其中小明和小颖恰好选中书名相同的书的结果有2种， ∴小明和小颖恰好选中书名相同的书的概率为． 故答案为：． 11. 如图，在中，对角线，相交于点，点为的中点，交于点．若，则的长为_____． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质等知识，利用平行四边形的性质和线段中点定义可得，证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， 点为的中点， ， ， ， ， 即， ， 故答案为：1． 12. 如图，矩形中，，，E是上的点，将沿折痕折叠，使点D落在边上点F处，点P是线段延长线上的动点，连接，若是等腰三角形，则的长为____． 【答案】6或9或3.5． 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理的运用以及图形折叠的问题，分若；以及三种情形分别讨论求出满足题意的PB的值即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 由折叠对称性：． 在中，， ∴， 分三种情形讨论： 若， ∵， ∴， 若，则， 解得， 若，在中，， ∴ 解得， 综合得或9或3.5． 故答案为6或9或3.5． 三、简答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 用适当的方法解下列方程： （1） （2） 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力． （1）利用十字相乘法把方程左边分解因式，再解方程即可； （2）利用直接开平方法解方程即可． 【小问1详解】 解：， ， 或， 解得，； 【小问2详解】 解：∵， 直接开平方得， ∴，， 解得，． 14. 如图，点，分别在正方形的边，上，，，．求证：． 【答案】 证明：，， ， 四边形是正方形， ，， ，， 又， ． 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题关键．根据正方形的性质，得出，，进而得出，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似即可证明． 【详解】略 15. 如图，矩形和矩形完全相同，且，点B、C、E在同一直线上，请仅用无刻度直尺按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）． （1）M是上的一点，在图①中作； （2）在图②中作的中点N． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质． （1）连接交于点M，利用等腰直角三角形的性质即可得到； （2）连接交于点N，利用全等三角形的判定和性质即可得到． 【小问1详解】 解：如图，点M即为所作． ； 【小问2详解】 解：如图，点N即为所作． ． 16. 如图，四边形的对角线与相交于点O，，，有下列条件： ①，②． （1）请从以上①②中任选1个作为条件，求证：四边形是矩形； （2）在（1）的条件下，若，，求四边形的面积． 【答案】（1） 选择①， 证明：∵，， ∴是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形； 选择②， 证明：∵，， ∴是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定，勾股定理，掌握矩形的判定定理是解题的关键． （1）先根据条件利用两组对边平行或一组对边平行且相等证明是平行四边形，然后根据矩形的定义得到结论即可； （2）利用勾股定理得到长，然后利用矩形的面积公式计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴矩形的面积为． 17. 如图，是一个照相机成像的示意图，像高MN，景物高度AB、CD为水平视线，根据物体成像原理知：AB//MN，CD⊥MN． （1）如果像高MN是35mm，焦距CL是50mm，拍摄的景物高度AB是4.9m，拍摄点离景物的距离LD是多少？ （2）如果要完整的拍摄高度是2m的景物，拍摄点离景物有4m，像高不变，则相机的焦距应调整为多少毫米？ 【答案】（1）7（2）70 【解析】 【分析】根据AB和MN平行，从而得出，两个题目中分别将各个数字代入等式中，从而求出未知的量得出答案． 【详解】解：如图， ∵AB//MN， ∴△LMN∽△LBA， ∴． （1）∵像高MN是35 mm，焦距是50 mm，拍摄的景物高度AB是4.9 m， ，解得LD=7， ∴拍摄点距离景物7米； （2）拍摄高度是2 m的景物，拍摄点离景物有4 m，像高不变， ∴，解得LC=70， ∴相机的焦距应调整为70 mm． 四、简答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 关于的方程有两个不等的实数根． （1）求的取值范围； （2）化简： 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，分式的混合运算，掌握相应的基础知识是解本题的关键； （1）根据一元二次方程根的判别式建立不等式解题即可； （2）根据（1）的结论化简绝对值，再计算分式的乘除混合运算即可． 【小问1详解】 解：∵关于的方程有两个不等的实数根． ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：∵， ∴ ； 19. 如图，平行四边形ABCD，DE交BC于F，交AB的延长线于E，且∠EDB＝∠C． （1）求证：△ADE∽△DBE； （2）若DC＝7cm，BE＝9cm，求DE的长． 【答案】 （1）平行四边形ABCD中， 又 ； （2）DE＝12cm． 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的对角相等，可得，即可求得，又因公共角，从而可证得； （2）根据相似三角形的对应边成比例求解即可. 【详解】（1）略 （2）平行四边形ABCD中， 由题（1）得 ，即 解得：. 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定定理与性质，熟记各性质与定理是解题关键. 20. 每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”．某公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售．根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元． （1）设每辆轮椅降价x元，则每辆的销售利润为_______元．（用含x的代数式表示） （2）全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？ 【答案】（1）； （2）这天售出了64辆轮椅． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意找出等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据题意表示即可； （2）设每辆轮椅降价x元，则每辆的销售利润为元，销售量为辆，利用公式：总利润日销售量每辆轮椅的利润，列出方程求解x的值，再结合每辆轮椅的利润不低于180元，即可确定结论． 【小问1详解】 解：原来每辆轮椅盈利200元， 设每辆轮椅降价x元，则每辆的销售利润为元， 故答案为：． 【小问2详解】 设每辆轮椅降价x元，则每辆的销售利润为元，销售量为辆， 依据题意得：， 整理得：， 解得：，， 当，，不符合题意，舍去； 当，，符合题意； 则这天的销售量为：（辆）． 答：这天售出了64辆轮椅． 五、简答题（本大题共2小题，共18分） 21. 为了落实国家“双减”政策，某中学在课后服务时间里，开展了音乐、体操、诵读、书法四项社团活动．为了了解七年级学生对社团活动的喜爱情况，该校从七年级全体学生中随机抽取了部分学生进行“你最喜欢哪一项社团活动”的问卷调查，每人必须选择一项社团活动（且只能选择一项）．根据调查结果，绘制成如下两幅统计图． 请根据统计图中的信息，解答下列问题： （1）参加本次问卷调查的学生共有______人． （2）在扇形统计图中，A组所占的百分比是______，并补全条形统计图． （3）端午节前夕，学校计划进行课后服务成果展示，准备从这4个社团中随机抽取2个社团汇报展示．请用树状图法或列表法，求选中的2个社团恰好是B和C的概率． 【答案】（1） （2）， 补全统计图如图所示， （3） 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息关联，列表法或画树状图法求概率； （1）根据组的人数除以占比得出总人数； （2）根据总人数求得组的人数，进而求得占比，以及补全统计图； （3）根据列表法或画树状图法求概率，即可求解． 【小问1详解】 解：参加本次问卷调查的学生共有（人）； 【小问2详解】 解：A组人数为人 A组所占的百分比为：； 【小问3详解】 画树状图法如下图 列表法如下图 A B C D A B C D 由树状图法或列表法可以看出共有12种结果，它们出现的可能性相等，选中的2个社团恰好是B和C的情况有两种． ∴P（选中的2个社团恰好是B和C）． 22. 综合与实践 顺次连接任意一个四边形的中点得到一个新四边形，我们称这个新四边形为原四边形的中点四边形．数学兴趣小组通过作图、测量，猜想：原四边形的对角线对中点四边形的形状有着决定性作用． 以下从对角线的数量关系和位置关系两个方面展开探究． 【探究一】 原四边形对角线关系 中点四边形形状 不相等、不垂直 平行四边形 如图1，在四边形中，E、F、G、H分别是各边的中点． 求证：中点四边形是平行四边形． 证明：∵E、F、G、H分别是、、、的中点， ∴、分别是和的中位线， ∴，（____①____） ∴． 同理可得：． ∴中点四边形是平行四边形． 结论：任意四边形的中点四边形是平行四边形． （1）请你补全上述过程中的证明依据①________ 【探究二】 原四边形对角线关系 中点四边形形状 不相等、不垂直 平行四边形 菱形 从作图、测量结果得出猜想Ⅰ：原四边形的对角线相等时，中点四边形是菱形． （2）下面我们结合图2来证明猜想Ⅰ，请你在探究一证明结论的基础上，写出后续的证明过程． 【探究三】 原四边形对角线关系 中点四边形形状 不相等、不垂直 平行四边形 ②________ （3）从作图、测量结果得出猜想Ⅱ：原四边形对角线垂直时，中点四边形是②________． （4）下面我们结合图3来证明猜想Ⅱ，请你在探究一证明结论的基础上，写出后续的证明过程． 【归纳总结】 （5）请你根据上述探究过程，补全下面的结论，并在图4中画出对应的图形． 原四边形对角线关系 中点四边形形状 ③________ ④________ 结论：原四边形对角线③________时，中点四边形是④________． 【答案】（1）①中位线定理 （2）证明：∵分别是的中点， ∴分别是和的中位线， ∴， ∴． 同理可得：． ∵ ∴ ∴中点四边形是菱形． （3）②矩形 （4）证明∵分别是的中点， ∴分别是和的中位线， ∴，， ∴． 同理可得：． ∵ ∴， ∴ ∴中点四边形是矩形． （5）补图如下： ③且；④正方形 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，矩形的判定和性质等知识 （1）利用三角形中位线定理即可解决问题； （2）根据三角形中位线定理，菱形判定定理即可解决问题； （3）根据三角形中位线定理，矩形判定定理即可解决问题； （4）根据三角形中位线定理，矩形判定定理即可解决问题； （5）根据三角形中位线定理，正方形判定定理即可解决问题. 【详解】（1）①证明依据是：中位线定理； （2）略 （3）②矩形； 故答案为：矩形 （4）略 （5）证明：如图4，∵分别是的中点， ∴分别是和的中位线， ∴， ∴． 同理可得：． ∵ ∴ ∴中点四边形是菱形． ∵ 由（4）可知 ∴菱形是正方形． 故答案为：③且；④正方形 六、简答题（本大题共12分） 23. 【模型建立】 （1）如图1，已知和，，，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【模型应用】 （2）如图2，在正方形中，点E，F分别在对角线和边上，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【模型迁移】 （3）如图3，在正方形中，点E在对角线上，点F在边的延长线上，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【答案】 （1），理由如下： ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2），理由如下： 过E点作于点M，过E点作于点N，如图， ∵四边形是正方形，是正方形的对角线， ∴，平分，， ∴， 即， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，，， ∴四边形是正方形， ∴是正方形对角线，， ∴， ， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， 即有； （3），理由如下， 过A点作于点H，过F点作，交的延长线于点G，如图， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵在正方形中，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）直接证明，即可证明； （2）过E点作于点M，过E点作于点N，先证明，可得，结合等腰直角三角形的性质可得：， ，即有，，进而可得，即可证； （3）过A点作于点H，过F点作，交的延长线于点G，先证明，再结合等腰直角三角形的性质，即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质等知识，题目难度中等，作出合理的辅助线，灵活证明三角形的全等，并准确表示出各个边之间的数量关系，是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南城县2024-2025学年上学期期中考试 九年级数学试题卷 （本试题满分120分，考试时间120分钟） 命题：章海燕 审题：潘彬 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项） 1. 下列是一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 2. 长江是中华民族的母亲河，长江流域孕育出藏羌文化、巴蜀文化、荆楚文化、吴越文化等区域文化．若从上述四种区域文化中随机选一种文化开展专题学习，则选中“巴蜀文化”的概率是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，，两条直线与这三条平行线分别交于点、、和、、，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，菱形的周长为20，点A的坐标是，则点B的坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为（ ） A. 甲和乙 B. 乙和丁 C. 甲和丙 D. 甲和丁 6. 如图，等边三角形的边长为3，P为上一点，且，D为上一点，若，则的长为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 若是方程的一个根，则的值为_______． 8. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点C的坐标为．以为边作矩形，若将矩形绕点O顺时针旋转，得到矩形，则点的坐标为_______． 9. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为______． 10. 某学校在4月23日世界读书日举行“书香校园，全员阅读”活动．小明和小颖去学校图书室借阅书籍，小明准备从《西游记》、《骆驼祥子》、《水浒传》中随机选择一本，小颍准备从《西游记》、《骆驼祥子》、《朝花夕拾》中随机选择一本，小明和小颖恰好选中书名相同的书的概率是__________． 11. 如图，在中，对角线，相交于点，点为的中点，交于点．若，则的长为_____． 12. 如图，矩形中，，，E是上的点，将沿折痕折叠，使点D落在边上点F处，点P是线段延长线上的动点，连接，若是等腰三角形，则的长为____． 三、简答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 用适当的方法解下列方程： （1） （2） 14. 如图，点，分别在正方形的边，上，，，．求证：． 15. 如图，矩形和矩形完全相同，且，点B、C、E在同一直线上，请仅用无刻度直尺按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）． （1）M是上的一点，在图①中作； （2）在图②中作的中点N． 16. 如图，四边形的对角线与相交于点O，，，有下列条件： ①，②． （1）请从以上①②中任选1个作为条件，求证：四边形是矩形； （2）在（1）的条件下，若，，求四边形的面积． 17. 如图，是一个照相机成像的示意图，像高MN，景物高度AB、CD为水平视线，根据物体成像原理知：AB//MN，CD⊥MN． （1）如果像高MN是35mm，焦距CL是50mm，拍摄的景物高度AB是4.9m，拍摄点离景物的距离LD是多少？ （2）如果要完整的拍摄高度是2m的景物，拍摄点离景物有4m，像高不变，则相机的焦距应调整为多少毫米？ 四、简答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 关于的方程有两个不等的实数根． （1）求的取值范围； （2）化简： 19. 如图，平行四边形ABCD，DE交BC于F，交AB的延长线于E，且∠EDB＝∠C． （1）求证：△ADE∽△DBE； （2）若DC＝7cm，BE＝9cm，求DE的长． 20. 每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”．某公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售．根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元． （1）设每辆轮椅降价x元，则每辆的销售利润为_______元．（用含x的代数式表示） （2）全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？ 五、简答题（本大题共2小题，共18分） 21. 为了落实国家“双减”政策，某中学在课后服务时间里，开展了音乐、体操、诵读、书法四项社团活动．为了了解七年级学生对社团活动的喜爱情况，该校从七年级全体学生中随机抽取了部分学生进行“你最喜欢哪一项社团活动”的问卷调查，每人必须选择一项社团活动（且只能选择一项）．根据调查结果，绘制成如下两幅统计图． 请根据统计图中的信息，解答下列问题： （1）参加本次问卷调查的学生共有______人． （2）在扇形统计图中，A组所占的百分比是______，并补全条形统计图． （3）端午节前夕，学校计划进行课后服务成果展示，准备从这4个社团中随机抽取2个社团汇报展示．请用树状图法或列表法，求选中的2个社团恰好是B和C的概率． 22. 综合与实践 顺次连接任意一个四边形的中点得到一个新四边形，我们称这个新四边形为原四边形的中点四边形．数学兴趣小组通过作图、测量，猜想：原四边形的对角线对中点四边形的形状有着决定性作用． 以下从对角线的数量关系和位置关系两个方面展开探究． 【探究一】 原四边形对角线关系 中点四边形形状 不相等、不垂直 平行四边形 如图1，在四边形中，E、F、G、H分别是各边的中点． 求证：中点四边形是平行四边形． 证明：∵E、F、G、H分别是、、、的中点， ∴、分别是和的中位线， ∴，（____①____） ∴． 同理可得：． ∴中点四边形是平行四边形． 结论：任意四边形的中点四边形是平行四边形． （1）请你补全上述过程中的证明依据①________ 【探究二】 原四边形对角线关系 中点四边形形状 不相等、不垂直 平行四边形 菱形 从作图、测量结果得出猜想Ⅰ：原四边形的对角线相等时，中点四边形是菱形． （2）下面我们结合图2来证明猜想Ⅰ，请你在探究一证明结论的基础上，写出后续的证明过程． 【探究三】 原四边形对角线关系 中点四边形形状 不相等、不垂直 平行四边形 ②________ （3）从作图、测量结果得出猜想Ⅱ：原四边形对角线垂直时，中点四边形是②________． （4）下面我们结合图3来证明猜想Ⅱ，请你在探究一证明结论的基础上，写出后续的证明过程． 【归纳总结】 （5）请你根据上述探究过程，补全下面的结论，并在图4中画出对应的图形． 原四边形对角线关系 中点四边形形状 ③________ ④________ 结论：原四边形对角线③________时，中点四边形是④________． 六、简答题（本大题共12分） 23. 【模型建立】 （1）如图1，已知和，，，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【模型应用】 （2）如图2，在正方形中，点E，F分别在对角线和边上，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【模型迁移】 （3）如图3，在正方形中，点E在对角线上，点F在边的延长线上，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $