专题18 多三角形问题（含角平分线、中线、高）-2025年高考数学一轮复习重难点微专题突破

专题18 多三角形问题（含角平分线、中线、高） 知识梳理 解三角形是高考热门考点之一. 在解三角形的问题中，常常会涉及到多个三角形的问题. 而分割这些三角形的方式又以三角形的“三线”为主——即角平分线、中线、高线. 在解题过程中，我们要利用这三种特殊线段的性质，结合题目条件，灵活解决三角形边角相关的问题。 考点解读 考点一 解三角形中的角平分线问题 【典例精讲】 例1.（2024·河南省郑州市月考）在中，的平分线与对边交于点，若的面积为的倍，且，则(    ) A. B. C. D. 例2.（2024·广东省中山市月考）在中，，，，则的角平分线的长为(    ) A. B. C. D. 【方法储备】 角平分线是三角形的一个重要特征，此类问题的解题方法通常有以下两种： （1） 根据角平分线上的点到角两边距离相等或角平分线长公式，利用等面积法解题； （2） 利用角平分线定理建立边之间的关系：在三角形△ABC中，D为BC上一点，AD为∠BAC的平分线，则有＝. 【拓展提升】 练习1-1.（2023·浙江省杭州市月考）在中，是角的平分线，，且，则的面积为(    ) A. B. C. D. 练习1-2.（2024·陕西省宝鸡市月考）锐角的内角的对边分别为，已知，， 求的值及的面积； 的平分线与交于，，求的值。 练习1-3.（2024·浙江省杭州市月考）在中，． Ⅰ求 Ⅱ若，点在边上，平分，求的长． 考点二 解三角形中的中线问题 【典例精讲】 例3.（2023·浙江省湖州市月考）在中，内角，，的对边分别为，，，若，，则边上的中线长的取值范围是(    ) A. B. C. D. 例4.（2024·浙江省杭州市月考）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，． 求，，中的最大值 求边上的中线长． 【方法储备】 三角形的中线相较角平分线特点较少，解题方法通常有以下几种： （1） 倍长中线，构造平行四边形建立等量关系； （2） 利用中线两侧两角互补或等面积，通过正弦/余弦定理求解； （3） 利用向量法，在三角形△ABC中，AD为BC边上的中线. 由＝(＋)，两侧平方得到2＝(＋)2＝2＋2＋||||·cos A，即2＝(b2＋c2＋2bc cos A). 【拓展提升】 练习2-1.（2024·吉林省长春市模拟）在中，已知，当边的中线时，的面积为          ． 练习2-2.（2024·黑龙江省齐齐哈尔市模拟）记的内角的对边分别为，已知． 求； 若的面积为，求边上的中线长． 练习2-3.（2024·湖南省娄底市月考）在中，，，分别是角，，的对边，且． 求 若，求的中线长度的最小值． 考点三 解三角形中的高线问题 【典例精讲】 例5.（2023·浙江省衢州市月考）中，，，，则边上的高为(    ) A. B. C. D. 例6.（2024·江西省赣州市月考）已知在中，，，则边上的高为          ． 【方法储备】 三角形的高线往往和三角形面积产生关系，解题方法大致分为以下两种： (1)设h1，h2，h3为△ABC三边a，b，c上的高，则有； (2)求高线的长度时一般采用等面积法，即通过某边所在的三角形的面积和该条边边长求出高的长度. 【拓展提升】 练习3-1.（2024·河南省鹤壁市月考）已知的内角，，的对边分别为，，，且． 求； 若为锐角三角形，且，求边上的高的取值范围． 练习3-2.（2024·辽宁省沈阳市联考）已知的内角，，的对边分别为，，，且是边上的高．． 求角； 若，，求． 共11页/第1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题18 多三角形问题（含角平分线、中线、高） 知识梳理 解三角形是高考热门考点之一. 在解三角形的问题中，常常会涉及到多个三角形的问题. 而分割这些三角形的方式又以三角形的“三线”为主——即角平分线、中线、高线. 在解题过程中，我们要利用这三种特殊线段的性质，结合题目条件，灵活解决三角形边角相关的问题。 考点解读 考点一 解三角形中的角平分线问题 【典例精讲】 例1.（2024·河南省郑州市月考）在中，的平分线与对边交于点，若的面积为的倍，且，则(    ) A. B. C. D. 例2.（2024·广东省中山市月考）在中，，，，则的角平分线的长为(    ) A. B. C. D. 【方法储备】 角平分线是三角形的一个重要特征，此类问题的解题方法通常有以下两种： （1） 根据角平分线上的点到角两边距离相等或角平分线长公式，利用等面积法解题； （2） 利用角平分线定理建立边之间的关系：在三角形△ABC中，D为BC上一点，AD为∠BAC的平分线，则有＝. 【拓展提升】 练习1-1.（2023·浙江省杭州市月考）在中，是角的平分线，，且，则的面积为(    ) A. B. C. D. 练习1-2.（2024·陕西省宝鸡市月考）锐角的内角的对边分别为，已知，， 求的值及的面积； 的平分线与交于，，求的值。 练习1-3.（2024·浙江省杭州市月考）在中，． Ⅰ求 Ⅱ若，点在边上，平分，求的长． 考点二 解三角形中的中线问题 【典例精讲】 例3.（2023·浙江省湖州市月考）在中，内角，，的对边分别为，，，若，，则边上的中线长的取值范围是(    ) A. B. C. D. 例4.（2024·浙江省杭州市月考）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，． 求，，中的最大值 求边上的中线长． 【方法储备】 三角形的中线相较角平分线特点较少，解题方法通常有以下几种： （1） 倍长中线，构造平行四边形建立等量关系； （2） 利用中线两侧两角互补或等面积，通过正弦/余弦定理求解； （3） 利用向量法，在三角形△ABC中，AD为BC边上的中线. 由＝(＋)，两侧平方得到2＝(＋)2＝2＋2＋||||·cos A，即2＝(b2＋c2＋2bc cos A). 【拓展提升】 练习2-1.（2024·吉林省长春市模拟）在中，已知，当边的中线时，的面积为          ． 练习2-2.（2024·黑龙江省齐齐哈尔市模拟）记的内角的对边分别为，已知． 求； 若的面积为，求边上的中线长． 练习2-3.（2024·湖南省娄底市月考）在中，，，分别是角，，的对边，且． 求 若，求的中线长度的最小值． 考点三 解三角形中的高线问题 【典例精讲】 例5.（2023·浙江省衢州市月考）中，，，，则边上的高为(    ) A. B. C. D. 例6.（2024·江西省赣州市月考）已知在中，，，则边上的高为          ． 【方法储备】 三角形的高线往往和三角形面积产生关系，解题方法大致分为以下两种： (1)设h1，h2，h3为△ABC三边a，b，c上的高，则有； (2)求高线的长度时一般采用等面积法，即通过某边所在的三角形的面积和该条边边长求出高的长度. 【拓展提升】 练习3-1.（2024·河南省鹤壁市月考）已知的内角，，的对边分别为，，，且． 求； 若为锐角三角形，且，求边上的高的取值范围． 练习3-2.（2024·辽宁省沈阳市联考）已知的内角，，的对边分别为，，，且是边上的高．． 求角； 若，，求． 【答案解析】 例1 解：由， 则有，即有， 又， 则有， 即，即有，即． 故选：． 例2 解：如图，在三角形中，设的角平分线交于， 由角平分线的性质可知：，由此得． 设，在，中，， 由余弦定理得：，即，故 所以． 故选： 练习1-1 解：设，，因为是角的平分线，，且， 根据三角形内角平分线性质定理，可知，， 由余弦定理可得： ，可得， ，可得， 消去可得，，代回原式求出， 由于，则，故，， 所以的面积． 故选：． 练习1-2 解：由正弦定理得，．得， 因为在中，得， 在锐角中，得，故， 由余弦定理得，， 得，得， 则 在中，由角平分线性质得，，因为，解得，， 由已知，得， 解得．  练习1-3 解：Ⅰ因为， 所以， 由正弦定理得， 故由余弦定理可得， 因为，所以； Ⅱ因为平分，所以， 因为，所以， 所以， 所以， 即， 所以．  例3 解：是边上的中线， 在中，， 在中，． 又， ， 由得． 由余弦定理得． ，当且仅当时，等号成立， ，，即， ， 故选C． 例4 解：，故有， 由余弦定理可得， 又，，故． 设边上的中线为，则， ， ，即边上的中线长为．  练习2-1 解： 因为边的中线，， 所以，， ， 又， 所以，， ． 故答案为：． 练习2-2 解：由正弦定理可得，所以， 即，又， 所以， 整理得，解得； 依题意，，解得， 又， 所以为钝角，所以由 解得， 由正弦定理可得，又， 所以， 设的中点为，则， 所以， 所以边上的中线长为． 练习2-3 解：因为， 所以， 即， 整理得， 因为，为三角形内角，所以，， 因此，即， 又因为为三角形内角， 所以． 因为，是的中点，所以． 又因为，  所以， 因此，整理得， 在中，由知： 由余弦定理得， 因为，当且仅当时，取等号， 所以，即， 因此，即， 所以长度的最小值为．  例5 解：在中，设，，，则，， 因为，所以， 整理得，解得，负值舍去， 因为，， 设边上的高为， 在中利用等面积法，则， ，解得， 故选C． 例6 解：根据题意，，， 又， ， ， ， 又，且在中，， 所以， 所以， 由正弦定理可知，， 设边上的高为，则， 所以． 故答案为：． 练习3-1 解：由已知及正弦定理得， 即，  由，可得 ，  故， 整理得  因为，所以， 所以， 因为，所以． 由可知，边上的高  由正弦定理得，  由于为锐角三角形，故，， 由知，所以， 则， 所以， 从而，  因此边上的高的取值范围是． 练习3-2 解：中，， 由正弦定理，有， 即，得， 由余弦定理，， 由，得； 因为， 可得， 解得，则都为锐角， 有，得， 锐角中，，则有，， 由，则， 又，得， 由，得， 即， ， ，解得． 共11页/第1页 学科网（北京）股份有限公司 $$