专题17 三角函数中ω的范围问题-2025年高考数学一轮复习重难点微专题突破

专题17 三角函数中ω的范围问题 知识梳理 三角函数中的范围问题是高考选择题和填空题的热门考点之一.主要考查三角函数一般形式中的相关范围问题，包括零点问题、最值（值域）问题、单调性问题、奇偶性问题等等.在计算的范围时，我们可以通过三角函数图像的基本性质，结合题目中的具体条件求出.以下通过例题对计算的范围的常用方法进行归纳总结. 考点解读 考点一 三角函数中与ω有关的零点问题 【典例精讲】 例1.（2024·安徽省滁州市月考）已知函数在上恰有两个零点，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 例2.（2023·广东省惠州市月考）已知函数，若函数在上没有零点，则的取值范围是          ． 例3.（2023·广东省惠州市月考）设函数在上至少有两个不同零点，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 例4.（2023·广东省惠州市月考）已知函数为偶函数，在单调递减，且在该区间上没有零点，则的取值范围为(    ) A. B. C. D. 【方法储备】 1. 已知零点个数求ω的取值范围：对于区间长度为定值的动区间，若区间上至少含有k个零点，需要确定含有k个零点的区间长度，一般和周期相关；若在区间上至多含有k个零点，需要确定包含k＋1个零点的区间长度的最小值． 2. 【拓展提升】 练习1-1.（2023·重庆市模拟）函数在上有个零点，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 练习1-2.（2023·安徽省合肥市月考）已知函数若函数在区间内没有零点，则的取值范围是          ． 练习1-3.（2024·湖北省荆门市月考）对于任意的实数，函数在上至少个零点，至多个零点，则的取值范围为          ． 考点二 三角函数中与ω有关的最值（值域）问题 【典例精讲】 例5.（2023·浙江省温州市月考）已知函数，若的图象在区间上有且只有个最低点，则实数的取值范围为(    ) A. B. C. D. 例6.（2024·湖北省咸宁市期末）已知定义在区间上的函数的值域为，则的取值范围为          ． 【方法储备】 求相关极值/值域问题的步骤： 【拓展提升】 练习2-1.（2024·安徽省阜阳市月考）若函数在区间内没有最值，则的取值范围是   ． A. B. C. D. 练习2-2.（2023·湖北省十堰市期末）已知函数在上的值域为，则的取值范围为          ． 考点三 三角函数中与ω有关的对称性问题 【典例精讲】 例7.（2024·湖北省荆州市月考）函数的图象在区间上恰有一个对称中心，则的取值范围为(    ) A. B. C. D. 例8.（2024·江苏省泰州市月考）将函数的图象向右平移个单位后，所得图象关于轴对称，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 【方法储备】 1. 对于三角函数中相关的对称性问题，先利用三角恒等变换、辅助角公式等化简函数解析式，再利用题中所给条件求得整体角的范围，进而求得的范围. 2. 熟记三角函数常见的对称性：轴对称性（极值处）和中心对称性（零点处）. 【拓展提升】 练习3-1.（2024·安徽省阜阳市月考）（多选）函数的部分图象如图所示，其中，图象向右平移个单位后得到函数的图象，且在上单调递减，则下列说正确的是(    ) A. B. 为图象的一条对称轴 C. 可以等于 D. 的最小值为 练习3-2.（2024·内蒙古自治区呼和浩特市月考）已知函数的图象关于点中心对称，则(    ) A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 考点四 三角函数中与ω有关的单调性问题 【典例精讲】 例9.（2024·湖南省株洲市月考）若函数在区间上是减函数，且，，，则(    ) A.   B. C. D. 例10.（2024·江西省赣州市月考）将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，若在上为增函数，则最大值为(    ) A. B. C. D. 【方法储备】 对于三角函数中相关的单调性问题，先利用三角恒等变换、辅助角公式等化简函数解析式. 再利用题中所给条件写出整体角满足的区间，进而得到的范围. 【拓展提升】 练习4-1.（2024·广东省东莞市月考）已知函数，其中若函数在上为增函数，则的最大值为(    ) A. B. C.   D. 练习4-2.（2024·吉林省长春市模拟）已知函数满足：对，有，若存在唯一的值，使得在区间上单调递减，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【答案解析】 例1 解：由题意可得． 令，解得， 因为，所以． 因为在上恰有两个零点， 所以，解得． 故选：． 例2 解：函数在上没有零点， 结合，可得，解得， 所以的取值范围是 故答案为：． 例3 解：令，得 ， 因为，所以， 令，解得，或，， 从小到大将的正根写出如下：，，，，，， 因为，所以， 当，即时，，解得，此时无解， 当，即时，，解得，此时无解， 当，即时，，解得，故， 当，即时，，解得，故， 当时，，此时在上至少有两个不同零点． 综上，的取值范围是 故选A． 例4 解：由题意，函数为偶函数，所以， 所以， 由得， 因为函数在单调递减，且在该区间上没有零点， 所以，且，解得，又，所以， 则的取值范围为 故选D． 练习1-1 解：由，得或， 解得或或， 即或或， 因为，则函数在上从小到大的前七个零点依次为：， 由于在上有个零点，所以，解得， 则的取值范围是． 故选B． 练习1-2 解：， 由，可得，解得， 因为在区间内没有零点，所以，即，解得； 又因为，所以． 令，；解得，； 当时，，当时，； 所以函数在区间内有零点时的取值范围为 因为在区间内没有零点，所以的取值范围是． 练习1-3. 解：令，则， 当时，则，其区间长度， 为保证在上至少零点，至多零点，则，解得， 故． 故答案为：． 例5 解：，由，得 因为的图象在区间上有且只有个最低点， 所以的图象在区间上有且只有个最低点， 所以有，解得． 故选D． 例6 解：，，, 由正弦函数的图象可得 ， 故答案为 ． 练习2-1 解：函数， 令，整理得． 由于在区间内没有最值， 所以，解得． 同理令，整理得． 由于在区间内没有最值， 所以，解得． 故的取值范围是． 故选B． 练习2-2 解：由题意得 ，其中，，， 令，， 因为，，故， 因为，且， 所以，， 故，则， 又当时，单调递减，且， ，故 故答案为 例7 解：由，得， 由题意得，得， 则的取值范围为 故选C． 例8 解：将函数的图象向右平移个单位长度， 得到的图象关于轴对称， ，即，，且， 当时，的最小值为． 故选：． 练习3-1 解：由图象可知，，故 又图象过点，，故，． 所以，故A错误，B正确． ，因为在上单调递减， 故， 解得， 当时，，而，故不可能等于，故C错误． 当时，， 又，故，故D正确． 练习3-2 解：，其中，． 因为的图象关于点中心对称， 所以， 所以，，所以，， 所以， 当，时， 当，时，， 综上，或． 故选A． 例9 解：由题知， 因为，， 所以， 又因为在区间上是减函数， 所以， 两式相减，得， 因为，所以． 故选：． 例10 解：将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象， 则， 又在上为增函数， ，解得， 所以的最大值为． 练4-1 解：     ， 由，，得， 因为函数在上为增函数， 所以，即， 因为，所以当时，，即的最大值为． 练4-2 解：由对，有， 即可得，即， 则， 可得，即，即， 则， 由在区间上单调递减， 故，即， 由存在唯一的值，使其成立， 故，即有，则，， 即． 故选：． 共11页/第1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题17 三角函数中ω的范围问题 知识梳理 三角函数中的范围问题是高考选择题和填空题的热门考点之一.主要考查三角函数一般形式中的相关范围问题，包括零点问题、最值（值域）问题、单调性问题、奇偶性问题等等.在计算的范围时，我们可以通过三角函数图像的基本性质，结合题目中的具体条件求出.以下通过例题对计算的范围的常用方法进行归纳总结. 考点解读 考点一 三角函数中与ω有关的零点问题 【典例精讲】 例1.（2024·安徽省滁州市月考）已知函数在上恰有两个零点，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 例2.（2023·广东省惠州市月考）已知函数，若函数在上没有零点，则的取值范围是          ． 例3.（2023·广东省惠州市月考）设函数在上至少有两个不同零点，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 例4.（2023·广东省惠州市月考）已知函数为偶函数，在单调递减，且在该区间上没有零点，则的取值范围为(    ) A. B. C. D. 【方法储备】 1. 已知零点个数求ω的取值范围：对于区间长度为定值的动区间，若区间上至少含有k个零点，需要确定含有k个零点的区间长度，一般和周期相关；若在区间上至多含有k个零点，需要确定包含k＋1个零点的区间长度的最小值． 2. 【拓展提升】 练习1-1.（2023·重庆市模拟）函数在上有个零点，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 练习1-2.（2023·安徽省合肥市月考）已知函数若函数在区间内没有零点，则的取值范围是          ． 练习1-3.（2024·湖北省荆门市月考）对于任意的实数，函数在上至少个零点，至多个零点，则的取值范围为          ． 考点二 三角函数中与ω有关的最值（值域）问题 【典例精讲】 例5.（2023·浙江省温州市月考）已知函数，若的图象在区间上有且只有个最低点，则实数的取值范围为(    ) A. B. C. D. 例6.（2024·湖北省咸宁市期末）已知定义在区间上的函数的值域为，则的取值范围为          ． 【方法储备】 求相关极值/值域问题的步骤： 【拓展提升】 练习2-1.（2024·安徽省阜阳市月考）若函数在区间内没有最值，则的取值范围是   ． A. B. C. D. 练习2-2.（2023·湖北省十堰市期末）已知函数在上的值域为，则的取值范围为          ． 考点三 三角函数中与ω有关的对称性问题 【典例精讲】 例7.（2024·湖北省荆州市月考）函数的图象在区间上恰有一个对称中心，则的取值范围为(    ) A. B. C. D. 例8.（2024·江苏省泰州市月考）将函数的图象向右平移个单位后，所得图象关于轴对称，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 【方法储备】 1. 对于三角函数中相关的对称性问题，先利用三角恒等变换、辅助角公式等化简函数解析式，再利用题中所给条件求得整体角的范围，进而求得的范围. 2. 熟记三角函数常见的对称性：轴对称性（极值处）和中心对称性（零点处）. 【拓展提升】 练习3-1.（2024·安徽省阜阳市月考）（多选）函数的部分图象如图所示，其中，图象向右平移个单位后得到函数的图象，且在上单调递减，则下列说正确的是(    ) A. B. 为图象的一条对称轴 C. 可以等于 D. 的最小值为 练习3-2.（2024·内蒙古自治区呼和浩特市月考）已知函数的图象关于点中心对称，则(    ) A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 考点四 三角函数中与ω有关的单调性问题 【典例精讲】 例9.（2024·湖南省株洲市月考）若函数在区间上是减函数，且，，，则(    ) A.   B. C. D. 例10.（2024·江西省赣州市月考）将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，若在上为增函数，则最大值为(    ) A. B. C. D. 【方法储备】 对于三角函数中相关的单调性问题，先利用三角恒等变换、辅助角公式等化简函数解析式. 再利用题中所给条件写出整体角满足的区间，进而得到的范围. 【拓展提升】 练习4-1.（2024·广东省东莞市月考）已知函数，其中若函数在上为增函数，则的最大值为(    ) A. B. C.   D. 练习4-2.（2024·吉林省长春市模拟）已知函数满足：对，有，若存在唯一的值，使得在区间上单调递减，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 共11页/第1页 学科网（北京）股份有限公司 $$