专题16 极值点偏移问题-2025年高考数学一轮复习重难点微专题突破

专题16 极值点偏移问题 知识梳理 极值点偏移类问题是导数解答压轴题的高频考察类型题. 具有考频高、考点专一、解答公式化的特点. 为了能在面对这类问题的时候做到得心应手，游刃有余，本节微点我们将讲解三种解决极值点偏移的常用方法. 考点解读 考点一 对称化构造法 【典例精讲】 例1.(2024·江苏省南通市月考)已知函数 ． 若在区间上单调递减，求实数的取值范围； 若存在两个极值点，． (ⅰ)求实数的取值范围；(ⅱ)证明：． 例2.(2024·安徽省六安市期末)(多选)已知函数，下列说法正确的是(    ) A. 与的定义域不同 B. 的单调递减区间为 C. 若有三个不同的解，则 D. 对任意两个不相等正实数，若，则 【方法储备】 1.极值点偏移的概念 对于连续函数，它在区间内有唯一极值，极值点为. 方程的两个根分别为、，且，若，则称发生了极值点偏移，情况总结如下： 极值点不偏移 极值点左偏 极值点右偏 2.对称化构造法 对称化构造法的核心就是通过要证明式子的对称性，进行移项并构造辅助函数. 通过讨论辅助函数的单调性和零点获得不等式，进而证明问题. 对于常见的型和型极值点偏移问题， 步骤总结如下： 证明型 型 型 辅助函数 根据题设 目标证明 或 或 单调性 根据在区间上的单调性，判断和或的大小，得证. 【拓展提升】 练习1-1.(2024·福建省福州市月考)已知函数． 讨论的极值； 若是自然对数的底数，且，证明：． 练习1-2.(2024·甘肃省兰州市模拟)已知函数． 求函数的极值点及极值； 若，且，求证：为自然对数的底． 考点二 比值代换法 【典例精讲】 例3.(2021·新高考I卷)已知函数． 讨论的单调性； 设，为两个不相等的正数，且，证明：． 例4.(2024·湖南省长沙市月考)已知函数． 讨论函数的零点个数； 若函数有两个极值点，证明：． 【方法储备】 比值代换法，顾名思义，核心是通过构造（也可以是）将关于、的双变量不等式转化为关于的单变量不等式. 随后构造函数解题. 对于型和型极值点偏移问题，比值代换法的步骤总结如下： 证明型 型 型 取对数 ——— 根据题设 得出等式一边为0的相同式子，例如等. 代数变换 将得到的两个等式相减（以求获得所以不相加），表示出，并代入要证明的式子中. 将得到的两个式子先相加，再相减，消去参数得到关于的方程，并代入要证明的式子中. 单调性 令并构造函数，讨论所得函数的单调性即可得所证. 【拓展提升】 练习2-1.(2024·山东省青岛市月考)已知函数． 若只有一个零点，求的值； 若有两个零点，，证明：． 练习2-2.(2024·山东省青岛市月考)已知函数． 讨论的单调性，并比较与的大小； 若，为两个不相等的正数，且，求证：． 考点三 对数均值不等式法 【典例精讲】 例5.(2022·湖北省武汉市月考)已知对于不相等的正实数，，有成立，我们称其为对数平均不等式．现有函数． 求函数的极值； 若方程有两个不相等的实数根，． 证明：；证明：． 例6.(2024·广东省佛山市模拟)已知函数． 若存在极值，求的取值范围； 若，已知方程有两个不相等的实根，，证明：其中是自然对数的底数 【方法储备】 1. 对数均值不等式 对数均值、几何平均数、算术平均数的大小比较如下： 当且仅当时成立. 各位可以利用函数构造自己尝试证明这个连续不等式. 2. 利用对数均值不等式解决极值点偏移的概述 在极值点偏移问题考察的形式中，经常出现这一形式，我们就可以根据题目中的条件，去构造形式相关的等式. 之后再依照题目，利用或进行放缩，得到所证明的式子. 大致的步骤和比值代换法相差不大. 3. 利用对数均值不等式时的注意事项 注意分母分子的顺序和符号，在不等式移项过程中不要出现符号错误，以免得到完全相反的结果. 另外，对数均值不等式也可以用来处理其他不等式证明相关的问题. 【拓展提升】 练习3-1.(2023·辽宁省沈阳市联考)已知函数． 若有两个不同的极值点，，求实数的取值范围； 在的条件下，求证：． 练习3-2.(2023·河北省衡水市模拟)已知函数． (1) 若有唯一零点，设满足条件的值为与， 证明：与互为相反数；； 设若存在两个不同的极值点、，证明． 参考数据：， 【答案解析】 例1 解：法一：  ，            若函数  在  上单调递减，则  对任意  恒成立， 即  对任意  恒成立， 令  ，  ，                 因为  ，所以  在  上单调递增，               所以  ，解得         所以实数的取值范围为 ． 法二：  ，            若函数  在  上单调递减，则  对任意  恒成立， 即  对任意  恒成立，所以  对任意  恒成立，                                令  ，  ，则  ， 可得  在  上单调递增，在  上单调递减， 当  时，  在  上单调递增， 所以  ，可得  ，解得  ，所以  ；                                               当  时，  在  上单调递增，在  上单调递减， 所以  ，所以  ，所以  ． 综上，实数的取值范围为 ．   ，令  ，若  存在两个极值点  ，  ， 则  ，  为  的两个变号零点，  ， 当  时，  ，  在  单调递减， 所以  不可能存在两个变号零点，不合题意； 当  时，可得  在  上单调递增，在  上单调递减， 若  存在 两个变号零点，则  ，解得  ， 又  ，令  ， 当  时，  ，所以  在  上单调递增， 所以  ，又  ， 所以当  时，  存在两个极值点． 所以实数的取值范围为． (ⅱ)不妨设  ，则  ，  ，       要证  ，即证  ， 因为  ，  ，  在  上单调递减，即证  ， 又因为  ，即证  ， 令  ，  ， ，                                       所以  ， 所以  在  上单调递增， 所以  ，因为  ，所以  ，即  ． 综上，  ． 例2 解：对于，由的定义域为，而的定义域为，所以选项 A正确； 对于，由函数定义域为，因为， 由，得到，解得或， 所以的单调递减区间为，，所以选项 B错误； 对于，因为，由，解得且， 所以的单调递增区间为，， 由选项B知，的单调递减区间为，， 又，当时，，且， 当时，，且，当且时，，当且时，， 其图象如图所示，    由图知，有三个不同的解，则且，所以选项 C错误； 对于，由题知，得到， 由图，不妨设，设，， 则， 当时，，，所以， 即在区间上单调递增，又， 所以，得到， 又，当时，，即在区间上单调递减， 又，所以，得到，所以选项 D正确． 故选：． 练习1-1 解：因为， 所以：当时，由得；由得， 因此函数在上单调递增，在上单调递减，所以函数有极大值． 又因为当时，；当时，， 所以当时，函数有极大值，没有极小值． 当时，，因此函数没有极值． 当时，由得；由得， 因此函数在上单调递减，在上单调递增，所以函数有极小值． 又因为当时，；当时，， 所以当时，函数有极小值，没有极大值． 综上所述，当时，函数有极大值，没有极小值； 当时，函数没有极值； 当时，函数有极小值，没有极大值． 证明：因为，所以两边取对数得， 即，因此， 所以由知：当时，存在满足． 因为由知：当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 所以若，则，， 因此：当时，则，即成立； 当时，则． 令，则由函数在上单调递增知：函数单调递增， 因此，即，所以． 因为，所以，而，且函数在上单调递减， 所以由得，即． 综合得：．  练习1-2 解：函数，求导得， 当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增， 因此当时，函数取得极小值， 所以函数的极小值点为，且极小值为；无极大值点和极大值． 令，则，由，得，即， 不等式，， 则要证，只需证，即证， 令，求导得， 令，求导得， 因此在上单调递增，， 则函数在上单调递增，，即成立， 所以原不等式成立． 例3 (1) 解：由函数的解析式可得， ，，单调递增，，，单调递减， 则在单调递增，在单调递减． 证明：由，得，即， 由在单调递增，在单调递减，所以，且， 令，，则，为的两根，其中． 不妨令，，则， 先证，即证，即证， 令， (2) 则在单调递减， 所以，故函数在单调递增， ，，得证． 设，则，结合，，可得：， 即：，故， 要证：，即证，即证， 即证：，即证：， 令，， 则 先证明一个不等式： 设，则， 当时当时，， 故在上为增函数，在上为减函数，故， 故成立由上述不等式可得当时，，故恒成立， 故在上为减函数，故， 故成立，即成立 综上所述，  例4 解：令得， 令．要求零点个数，即求直线与函数的交点个数． 则由得，由得， 函数在上单调递增，在上单调递减，得， 当且无限趋近于时，；当趋向于正无穷时，无接近于 故当或，即或时，函数只有一个零点； 当即时，函数有两个零点； 当时，函数没有零点； 函数有两个极值点． 等价于方程有两个不同正根， 不妨设，则有． 要证明，只需证明， 将式两式相加整理得， 将式两式相减整理得， 则，即， 令，则有，只需证明，即证， 令， 则恒成立， 所以函数在区间上单调递增，则函数成立． 故原不等式成立． 练习2-1 解：只有一个零点等价于方程只有一个根， 即方程只有一个实数根，因此原问题等价于方程只有一个实数根， 令，所以， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以， 又因为，当时，，所以当时，， 而当时，方程有两个实数根， 当时，方程只有一个实数根，此时． 由知，当时，有两个零点，， 由题意，令此时，因此 所以， 要证，就要证， 即证，所以证， 即，因此， 令，则证当时，， 令，则， 所以当时，单调递增，，因此当时，， 所以当有两个零点，时，．  练习2-2 解：，的定义域为， 则，当时，， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 的递增区间为，递减区间为， 又，，即， ，即， ； 证明：，，即， 令，，则有， 要证，只需证，即证， ，所以只需证，即证， 设，，则，， ， 要证，只要证，即，只要证， 设，即证， 令，，，在单调递增，，成立，所以不等式成立， 故原不等式成立．  例5 解：因为，所以， 所以当时，时，． 即在上递增，上递减， 故的极大值为，无极小值． 结合由，，，可得， 由题意可得，从而， 即，结合参考的公式可得： ， 故，且，即， 从而有． 由可得， 令，则，所以， 令，，则， 令，则，所以递减， 又，所以，故递增， 所以，即， 即．  例6 解：因为，所以，， 当，即时，，则为单调递增函数，不可能有极值，舍去； 当，即时，令，解得， 当时，；当时，； 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在 处取得极大值，符合题意； 综上：，故实数 的取值范围为． 证明：由得：． 由得即． 构造易知在单调递增且．  ，即 ，两边同时取自然对数得， 则有两个不相等的实数根． 令，则，则时，，单调递增；时，，单调递减，所以， 且当趋近于时，趋近于，当趋近于时，，且趋近于． 所以的取值范围是． 设则 即． 利用对数均值不等式有即证得． 要证只要证明． 设 ，，则 在单调递减，则即， 对数均值不等式． 证明如下：不妨设，要证，即证，， 令即证，即 即证：． 令 ，则， 所以在单调递增， 则时，， 所以结论得证． 练习3-1 解：由，得， 若有两个不同的极值点，，则有两个根，即， 即直线与的图象有两个不同的交点， 设，则， 时，，单调递增，时，，单调递减， 则，当 则当时，与的图象有两个不同的交点， 故实数的取值范围； 证明：，， 有，则， 由不等式，设则 所以上述不等式变为，所以， 故．  练习3-2 解：若，则，可得，此时无零点， 故，， 令，因为，故在上有且只有一个零点， 若，则，这与矛盾，故， 且时，，当，， 故在上为减函数，在上为增函数， 下证：当时，有， 证明：当时，成立， 设，则， 所以在上为减函数，则，所以， 故，故当时，且， 当时，若，则恒成立， 而当时，有， 设，则，， 故当时，， 即当时，有，即， 当时，， 由时的讨论可得： 若时，有，故成立， 而即时，有成立， 因为仅有一个零点，故， 所以且， 故，整理得到，化简得：， 令，则，其中， 设，则，所以在上均为增函数， 而，， 所以在上有且只有一个零点，而， 所以在上有且只有一个零点， 所以在有且只有两个零点，且它们互为倒数， 故在有且只有两个根， 且即，其中即， 设方程根为时对应的参数值为，方程根为时对应的参数值为， 则，且，故， 故，即，但，则， 所以，故互为相反数； 又，其中，而在为减函数， 所以，同理可得，故； ， 设，故为的两个不同的零点， 则，所以， 故， 不妨设，则， 若，则，所以为上的增函数， 故至多一个零点，与题设矛盾，故， 设，则， 所以在上为增函数，则， 即任意，恒成立，故对任意的恒成立， 而，故，故． 共18页/第1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题16 极值点偏移问题 知识梳理 极值点偏移类问题是导数解答压轴题的高频考察类型题. 具有考频高、考点专一、解答公式化的特点. 为了能在面对这类问题的时候做到得心应手，游刃有余，本节微点我们将讲解三种解决极值点偏移的常用方法. 考点解读 考点一 对称化构造法 【典例精讲】 例1.(2024·江苏省南通市月考)已知函数 ． 若在区间上单调递减，求实数的取值范围； 若存在两个极值点，． (ⅰ)求实数的取值范围；(ⅱ)证明：． 例2.(2024·安徽省六安市期末)(多选)已知函数，下列说法正确的是(    ) A. 与的定义域不同 B. 的单调递减区间为 C. 若有三个不同的解，则 D. 对任意两个不相等正实数，若，则 【方法储备】 1.极值点偏移的概念 对于连续函数，它在区间内有唯一极值，极值点为. 方程的两个根分别为、，且，若，则称发生了极值点偏移，情况总结如下： 极值点不偏移 极值点左偏 极值点右偏 2.对称化构造法 对称化构造法的核心就是通过要证明式子的对称性，进行移项并构造辅助函数. 通过讨论辅助函数的单调性和零点获得不等式，进而证明问题. 对于常见的型和型极值点偏移问题， 步骤总结如下： 证明型 型 型 辅助函数 根据题设 目标证明 或 或 单调性 根据在区间上的单调性，判断和或的大小，得证. 【拓展提升】 练习1-1.(2024·福建省福州市月考)已知函数． 讨论的极值； 若是自然对数的底数，且，证明：． 练习1-2.(2024·甘肃省兰州市模拟)已知函数． 求函数的极值点及极值； 若，且，求证：为自然对数的底． 考点二 比值代换法 【典例精讲】 例3.(2021·新高考I卷)已知函数． 讨论的单调性； 设，为两个不相等的正数，且，证明：． 例4.(2024·湖南省长沙市月考)已知函数． 讨论函数的零点个数； 若函数有两个极值点，证明：． 【方法储备】 比值代换法，顾名思义，核心是通过构造（也可以是）将关于、的双变量不等式转化为关于的单变量不等式. 随后构造函数解题. 对于型和型极值点偏移问题，比值代换法的步骤总结如下： 证明型 型 型 取对数 ——— 根据题设 得出等式一边为0的相同式子，例如等. 代数变换 将得到的两个等式相减（以求获得所以不相加），表示出，并代入要证明的式子中. 将得到的两个式子先相加，再相减，消去参数得到关于的方程，并代入要证明的式子中. 单调性 令并构造函数，讨论所得函数的单调性即可得所证. 【拓展提升】 练习2-1.(2024·山东省青岛市月考)已知函数． 若只有一个零点，求的值； 若有两个零点，，证明：． 练习2-2.(2024·山东省青岛市月考)已知函数． 讨论的单调性，并比较与的大小； 若，为两个不相等的正数，且，求证：． 考点三 对数均值不等式法 【典例精讲】 例5.(2022·湖北省武汉市月考)已知对于不相等的正实数，，有成立，我们称其为对数平均不等式．现有函数． 求函数的极值； 若方程有两个不相等的实数根，． 证明：；证明：． 例6.(2024·广东省佛山市模拟)已知函数． 若存在极值，求的取值范围； 若，已知方程有两个不相等的实根，，证明：其中是自然对数的底数 【方法储备】 1. 对数均值不等式 对数均值、几何平均数、算术平均数的大小比较如下： 当且仅当时成立. 各位可以利用函数构造自己尝试证明这个连续不等式. 2. 利用对数均值不等式解决极值点偏移的概述 在极值点偏移问题考察的形式中，经常出现这一形式，我们就可以根据题目中的条件，去构造形式相关的等式. 之后再依照题目，利用或进行放缩，得到所证明的式子. 大致的步骤和比值代换法相差不大. 3. 利用对数均值不等式时的注意事项 注意分母分子的顺序和符号，在不等式移项过程中不要出现符号错误，以免得到完全相反的结果. 另外，对数均值不等式也可以用来处理其他不等式证明相关的问题. 【拓展提升】 练习3-1.(2023·辽宁省沈阳市联考)已知函数． 若有两个不同的极值点，，求实数的取值范围； 在的条件下，求证：． 练习3-2.(2023·河北省衡水市模拟)已知函数． (1) 若有唯一零点，设满足条件的值为与， 证明：与互为相反数；； 设若存在两个不同的极值点、，证明． 参考数据：， 共18页/第1页 学科网（北京）股份有限公司 $$