专题14 利用导数研究函数的零点-2025年高考数学一轮复习重难点微专题突破

微点9 利用导数研究函数的零点 知识梳理 零点作为函数重要的基本特征之一，是我们研究函数十分重要的抓手. 尽管我们在初中和高中阶段已经学习了如何解简单的一元方程，亦即求对应一元函数的零点，但是对于稍微复杂一点的函数或抽象函数，我们并不能简单地求出他们的零点. 这时我们就需要利用导数来帮助我们研究函数零点相关的性质. 这一考点在高考中也经常出现，常与极值、最值综合考察. 考点解读 考点一 利用导数讨论函数零点个数 【典例精讲】 例1.(2024·广东省中山市月考)若函数有两个零点，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 例2.(2023·吉林省长春市月考)曲线在点处的切线与曲线的公共点个数为          ． 例3.(2024·湖北省十堰市月考)已知函数． Ⅰ求的零点个数； Ⅱ若，证明：时，． 【方法储备】 利用导数研究函数零点个数(或方程根的个数)问题的一般思路： (1)通过移项、参变分离等手段，将题设的式子或形的式子转化为用导数研究其函数的图象与轴(或直线)在该区间上的交点问题； (2)通过讨论得到函数的单调性，利用数形结合思想方法，通过图象可清楚地数出交点的个数(即零点，根的个数)或者确定参数的取值范围. 此外，解决零点问题也必须牢记零点存在定理，即： 如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且有，那么，函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解. 【拓展提升】 练习1-1.(2024·安徽省阜阳市月考)已知函数，若关于的方程有个不相等的实数解，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 练习1-2.(2024·山东省青岛市月考)已知为上的连续可导函数，且，则函数在上的零点个数为          ． 练习1-3.(2023·陕西省西安市期末)已知函数在处取得极值． Ⅰ若对任意，恒成立，求实数的取值范围； Ⅱ讨论函数的零点个数． 考点二 根据零点个数计算参数范围 【典例精讲】 例4.(2024·安徽省滁州市月考)已知函数有且只有一个零点，则实数的取值范围为(    ) A. B. C. D. 例5.(2023·江西省九江市月考)已知函数，若恰有个零点，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 例6.(2024·河南省郑州市月考)已知函数． 当时，求曲线在点处的切线方程； 方程有两个不同的实数解，求的取值范围． 【方法储备】 已知函数有零点求参数的取值范围常用的方法： (1) 分离参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数的取值范围．通用解法为从中分离出参数，然后利用求导的方法求出构造的新函数的最值，最后根据题设条件构建关于参数的不等式，确定参数的取值范围； (2) 分类讨论法：一般命题情境为没有固定区间，求满足函数零点个数的参数的取值范围．通用解法为结合单调性，先确定参数分类的标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各小范围并在一起，即为所求参数的取值范围． 在进行抽象的代数计算的时候，也不要忘记数形结合，便于解题时的思考和计算. 【拓展提升】 练习2-1.(2024·天津市期中)已知函数恒有零点，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 练习2-2.(2024·湖北省恩施市月考)已知函数满足，函数恰有个零点，则实数的取值范围为(    ) A. B. C. D. 练习2-3.(2024·湖北省黄冈市月考)已知函数． 讨论的零点个数； 当时，，求的取值范围． 考点三 函数零点和极值问题的综合应用 【典例精讲】 例7.(2024·河北省邯郸市月考)(多选)设函数，为函数的极大值点，则下列结论正确的是(    ) A. B. 若为函数的极小值点，则 C. 若有三个解，则的取值范围为 D. 当时， 例8.(2023·四川省资阳市月考)已知函数 经过点作函数图像的切线，求切线的方程； 设函数，，且方程有个不等根，求的最值和的范围． 【方法储备】 研究函数零点和极值综合问题的时候，要善于利用题设和极值给出的函数单调性的信息，再通过前面两点的方法解决参数范围问题. 综合使用参变分离、同构变换等方式，将多元问题转化为一元不等式进行求解. 或者利用函数图像辅助解题. 【拓展提升】 练习3-1.(2024·湖南省邵阳市月考)已知直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则的最大值是(    ) A. B. C. D. 练习3-2.(2024·湖南省常德市月考)已知函数， 讨论函数的单调区间 若函数有两个不同的零点，， 求的取值范围 证明：． 【答案解析】 例1 解：，时，有两个不同的交点， 令，，， 时，，递减，时，，递增， ，，， ． 故选C． 例2 解：曲线，可得， 在点处的切线的斜率为：， 切线方程为：，即， 令， 则， 令，可得或；令，可得， 则函数在，上单调递增，在上单调递减， ，，则函数有两个零点， 可知：曲线在点处的切线与曲线的公共点个数为． 故答案为：． 例3 解：， 当时，，单调递减；当时，，单调递增． ． 又，， 的零点有个． 令，．， ，，，， ，在上单调递增，， 当时，．  练习1-1 解：关于的方程有个不相等的实数解， 即与的图象有个交点． 当，直线与的图象交于点， 又当时，，故直线与的图象无公共点， 故当时，与的图象只有一个交点，不合题意 当，直线与曲线相切时，此时与的图象有个交点， 设切点，则， 又过点，所以，解得，所以 当时，若，则， 由，得，所以当时，直线与的图象相切， 由图得当时，直线与的图象有个交点． 综上所述，实数的取值范围是． 故选C． 练习1-2 解：因为，即，， 为上的增函数，又，所以函数在上的零点个数为个， 故答案为． 练习1-3 解：Ⅰ，由题意，， ， ， 当时，，当时，， 函数在上为增函数，在上为减函数，， ，即实数的取值范围为； Ⅱ，， ，令，解得， 当变化时，，的变化情况如下表，                      递增  极大值  递减  极小值  递增 而， 当且，即时，函数有个零点； 当或，即或时，函数有个零点； 当或，即或时，函数有个零点．  例4 解：，可得， 由题意可得函数有且只有零点， 令，，，可得， 设，， 设， 当时，，可得在递增，即有， 可得，即在递增， 由，， 设，， 可得，即有恒成立； 当时，可得， 可得，，即在递增， 由，又， 可得，即有恒成立． 可得实数的取值范围为或． 故答案选D． 例5 解：函数有且只有个零点，即为有个不等实根， 作出函数的图象和直线， 设直线与在轴右侧的图象相切于， 时，由的导数，可得，，解得，， 由直线绕着原点旋转可得时，直线与的图象有个交点， 故选A． 例6 解：当时，，则， 所以， 所以曲线在点处的切线方程为，即； 由，得，即， 令，则， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，即， 则由，可得， 因为方程有两个不同的实数解，所以函数的图象有两个不同的公共点， 令，则， 因为，所以， 令，则，令，则， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以， 又当时，且，当时，且， 如图所示，作出函数的大致图象， 由图可知，的取值范围为． 练习2-1 解：令，，则，则函数恒有零点， 又，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减， 所以时，取得最大值，又，所以， 对于，，所以该函数单调递增， 所以的值域为 又函数恒有零点，所以，所以． 故选B． 练习2-2 解：因为 所以 因为函数恰有个零点， 所以，的图象恰有个交点， 因为与，与的图象关于轴对称， 且与交于原点，要恰有个零点， 则与的图象必有两个交点， 画出，的图象， 当与的图象相切时，设切点，的导数为， 此时切线的斜率为，可得，由得，所以切点为，此时， 所以要使函数恰有个零点，则，即． 故选A． 练习2-3 解：由，得， 设，，则， 所以函数在和上单调递增；在上单调递减， 所以，又，，，，， 据此可画出大致图象： 所以由图象知： 当时，无零点；时，；所以当时，无零点； 当或时，有一个零点，即当或时，有一个零点； (ⅲ)当时，有两个零点，即当时，有两个零点． 当时，由可知，在上单调递增， 且在上存在唯一零点满足， 当时，，由可得：，即， 设函数，，则， 在上单调递减，所以，解得； 当时，，由可得： ，即， 设函数，则， 由，得， 所以在上单调递增，所以， 即，解得， 综上，，由，得， 所以的取值范围是：． 例7 解：因为，为函数的零点，且为函数的不变号零点，由数轴标根法可得，故A正确； ，， ，，，，所以B正确； 由以上分析可得当时取得极小值，且， 的大致图象如图，由有三个解，则，解得，故C正确； 由以上分析可得，时，单调递增， 因为时，，所以，所以D错误． 故选ABC． 例8 解：设切线斜率为，切点为，，则． 故切线方程为：， 将点代入切线方程得，化简得，解得， 所以，切线方程为； 易得，，， 令得舍，，所以在单调减，在单调增， 所以，．又， 在上有两个不等根， ．  练习3-1 解：因为是和的公切线， 设切点分别为和，则， 由，可得，则． 又由，可得，且，则， 所以，可得， 即，显然同号，不妨设， 设，其中， 可得，令，可得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 要使得有解，则需要，即 即，解得，所以，即的最大值为． 故选：． 练习3-2 解：，，， 若，，在上单调递增， 若，，，在上单调递增，在上单调递减， 综上所述：若，在单调递增， 若，在上单调递增，在上单调递减 ，有两个不等实根， 有两个不同的解，令， ，，在上单调递增，在上单调递减，， 易知，，，， 由得， ，要证， 即证：，即， 设，令，即证：，即证：， 令，， 在上单调递增，得证．  共13页/第1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 微点9 利用导数研究函数的零点 知识梳理 零点作为函数重要的基本特征之一，是我们研究函数十分重要的抓手. 尽管我们在初中和高中阶段已经学习了如何解简单的一元方程，亦即求对应一元函数的零点，但是对于稍微复杂一点的函数或抽象函数，我们并不能简单地求出他们的零点. 这时我们就需要利用导数来帮助我们研究函数零点相关的性质. 这一考点在高考中也经常出现，常与极值、最值综合考察. 考点解读 考点一 利用导数讨论函数零点个数 【典例精讲】 例1.(2024·广东省中山市月考)若函数有两个零点，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 例2.(2023·吉林省长春市月考)曲线在点处的切线与曲线的公共点个数为          ． 例3.(2024·湖北省十堰市月考)已知函数． Ⅰ求的零点个数； Ⅱ若，证明：时，． 【方法储备】 利用导数研究函数零点个数(或方程根的个数)问题的一般思路： (1)通过移项、参变分离等手段，将题设的式子或形的式子转化为用导数研究其函数的图象与轴(或直线)在该区间上的交点问题； (2)通过讨论得到函数的单调性，利用数形结合思想方法，通过图象可清楚地数出交点的个数(即零点，根的个数)或者确定参数的取值范围. 此外，解决零点问题也必须牢记零点存在定理，即： 如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且有，那么，函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解. 【拓展提升】 练习1-1.(2024·安徽省阜阳市月考)已知函数，若关于的方程有个不相等的实数解，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 练习1-2.(2024·山东省青岛市月考)已知为上的连续可导函数，且，则函数在上的零点个数为          ． 练习1-3.(2023·陕西省西安市期末)已知函数在处取得极值． Ⅰ若对任意，恒成立，求实数的取值范围； Ⅱ讨论函数的零点个数． 考点二 根据零点个数计算参数范围 【典例精讲】 例4.(2024·安徽省滁州市月考)已知函数有且只有一个零点，则实数的取值范围为(    ) A. B. C. D. 例5.(2023·江西省九江市月考)已知函数，若恰有个零点，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 例6.(2024·河南省郑州市月考)已知函数． 当时，求曲线在点处的切线方程； 方程有两个不同的实数解，求的取值范围． 【方法储备】 已知函数有零点求参数的取值范围常用的方法： (1) 分离参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数的取值范围．通用解法为从中分离出参数，然后利用求导的方法求出构造的新函数的最值，最后根据题设条件构建关于参数的不等式，确定参数的取值范围； (2) 分类讨论法：一般命题情境为没有固定区间，求满足函数零点个数的参数的取值范围．通用解法为结合单调性，先确定参数分类的标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各小范围并在一起，即为所求参数的取值范围． 在进行抽象的代数计算的时候，也不要忘记数形结合，便于解题时的思考和计算. 【拓展提升】 练习2-1.(2024·天津市期中)已知函数恒有零点，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 练习2-2.(2024·湖北省恩施市月考)已知函数满足，函数恰有个零点，则实数的取值范围为(    ) A. B. C. D. 练习2-3.(2024·湖北省黄冈市月考)已知函数． 讨论的零点个数； 当时，，求的取值范围． 考点三 函数零点和极值问题的综合应用 【典例精讲】 例7.(2024·河北省邯郸市月考)(多选)设函数，为函数的极大值点，则下列结论正确的是(    ) A. B. 若为函数的极小值点，则 C. 若有三个解，则的取值范围为 D. 当时， 例8.(2023·四川省资阳市月考)已知函数 经过点作函数图像的切线，求切线的方程； 设函数，，且方程有个不等根，求的最值和的范围． 【方法储备】 研究函数零点和极值综合问题的时候，要善于利用题设和极值给出的函数单调性的信息，再通过前面两点的方法解决参数范围问题. 综合使用参变分离、同构变换等方式，将多元问题转化为一元不等式进行求解. 或者利用函数图像辅助解题. 【拓展提升】 练习3-1.(2024·湖南省邵阳市月考)已知直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则的最大值是(    ) A. B. C. D. 练习3-2.(2024·湖南省常德市月考)已知函数， 讨论函数的单调区间 若函数有两个不同的零点，， 求的取值范围 证明：． 共13页/第1页 学科网（北京）股份有限公司 $$