精品解析：湖南省衡阳市蒸湘区联合考试2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

2024年下学期期中质量检测试题 九年级数学 注意事项： 1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号； 2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本学科试卷共26个小题，考试时量120分钟，满分120分． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确答案） 1. 若有意义，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 2. 下列二次根式中与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 用配方法解方程时，原方程变形为（ ） A. B. C. D. 5. 一元二次方程2x2﹣3x+1=0的根的情况是（　　） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 6. 如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（ ） A. ∠ABD=∠ACB B. ∠ADB=∠ABC C. AB2=AD•AC D. 7. “周末不忙，来趟衡阳”．2024年9月22日，衡阳市旅发大会隆重召开，喜迎全国游客．据了解，10月1日，东洲岛景区接待游客约10万人次，10月3日接待游客人数达到万人次．设这两天的平均增长率为x，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图是某数学兴趣小组设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图，在点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，CD⊥BD，且测得AB＝4m，BP=6m，PD＝12m，那么该古城墙CD的高度是（　　） A. 8m B. 9m C. 16m D. 18m 9. 如图，将沿边上的中线平移到的位置，已知的面积为9，阴影部分三角形的面积为4，若，则等于（ ） A. 2 B. 1 C. D. 10. 如图，在钝角三角形中，，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止．点D运动的速度为/秒，点E运动的速度为/秒．如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动的时间是（ ）     A. 3秒或4.8秒 B. 3秒 C. 4.5秒 D. 4.5秒或4.8秒 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 若，化简 __________． 12. 若方程是关于的一元二次方程，则___________． 13. 若是一元二次方程的两个实数根，则______． 14. 已知，则的值是______． 15. 一个等腰三角形的两边长是方程的两根，则该三角形的周长为________． 16. 如图，在一块长8m、宽6m的矩形空地上，修建一横一纵共两条等宽的道路，剩余部分栽种花草，要使栽种花草的面积为，则修建的道路的宽应为_________m. 17. 如图，在菱形中，点、在上，，若，则________． 18. 如图，直线与y轴交于点A，依次作正方形、正方形…正方形，使得点、…，在直线上，点在x轴上，则点的坐标是_____． 三、解答题（共8题，共66分） 19. 计算： 20. 解方程： 21. 已知，. （1）求的值； （2）求的值. 22. 如图．已知是的角平分线，E是延长线上的一点且． （1）求证：； （2）若，求的长． 23. 关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）如果是符合条件的最大整数，且一元二次方程与方程有一个相同的根，求此时的值． 24. 7至9月份“衡阳南湖公园”有荷花的盛放期，来此观赏荷花的游客络绎不绝，由此带动了周边的餐饮服务业的发展；“听荷坊”宾馆拥有客房100间，经营中发现：每天入住的客房数（间）与其价格（元）（）满足一次函数关系，部分对应值如表： （元） 180 260 280 300 （间） 100 60 50 40 （1）请求出与的函数关系式； （2）已知每间入住的客房，宾馆每日需支出各种费用100元，每日空置的客房需支出各种费用60元；当房价为多少元时，宾馆当日可获利8450元？ 25. 将矩形纸片放在平面直角坐标系中,为坐标原点,点在轴上，点在轴上，点的坐标是，点是边上的-一个动点，将沿折叠，使点落在点处． 如图①．当点恰好落在上时，求点的坐标； (2)如图②，当点是中点时，直线交于点， 求证：； 求点的坐标． 26. 如图1，在中，，当点从点出发，沿着方向匀速运动到点时，点恰好从点出发，沿着方向匀速运动到点，连结，记，已知． （1）求和的长． （2）当是以为腰的等腰三角形时，求的值． （3）如图2，直线是线段的垂直平分线． ①若直线过点，交于点，请判断四边形的形状，并说明理由； ②是点关于直线的对称点，若点落在的内部，请直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年下学期期中质量检测试题 九年级数学 注意事项： 1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号； 2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本学科试卷共26个小题，考试时量120分钟，满分120分． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确答案） 1. 若有意义，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式的定义中关于被开方数非负的要求，求的取值范围. 【详解】二次根式必须满足：被开方数是非负数，所以，解得，故选A． 【点睛】本题考查二次根式的定义. 2. 下列二次根式中与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据同类二次根式的定义逐项进行判断即可． 【详解】解：A．与的被开方数不相同，故不是同类二次根式； B． ，与被开方数相同，故是同类二次根式； C． 与被开方数不同，故不是同类二次根式； D． 与不是同类二次根式． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式的化简，同类二次根式，熟练掌握根式化简的基本方法，灵活运用同类二次根式的定义判断解题是求解的关键． 3. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据各个选项中的式子可以计算出正确的结果从而可以解答本题． 【详解】，故选项A正确， ，故选项B错误, ，故选项C错误， ，故选项D错误. 故选A. 【点睛】此题考查二次根式的混合运算，解题关键在于掌握运算法则. 4. 用配方法解方程时，原方程变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用配方法求解一元二次方程．掌握求解步骤是解题关键． 【详解】解：， ， ∴， 故选：B 5. 一元二次方程2x2﹣3x+1=0的根的情况是（　　） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】B 【解析】 【详解】解：根据题意得：△=， 则方程有两个不相等的实数根． 故选：B 6. 如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（ ） A. ∠ABD=∠ACB B. ∠ADB=∠ABC C. AB2=AD•AC D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据有两个角对应相等的三角形相似，以及根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，分别判断得出即可． 【详解】解：A、∵∠ABD=∠ACB，∠A=∠A， ∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意； B、∵∠ADB=∠ABC，∠A=∠A， ∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意； C、∵AB2=AD•AC， ∴，∠A=∠A，△ABC∽△ADB，故此选项不合题意； D、不能判定△ADB∽△ABC，故此选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟悉相似三角形的判定定理是解题的关键. 7. “周末不忙，来趟衡阳”．2024年9月22日，衡阳市旅发大会隆重召开，喜迎全国游客．据了解，10月1日，东洲岛景区接待游客约10万人次，10月3日接待游客人数达到万人次．设这两天的平均增长率为x，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设这两天的平均增长率为x，则10月2日接待游客人数为万人，则10月3日接待游客人数为万人，据此列出方程即可． 【详解】解：设这两天的平均增长率为x， 由题意得，， 故选：B． 8. 如图是某数学兴趣小组设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图，在点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，CD⊥BD，且测得AB＝4m，BP=6m，PD＝12m，那么该古城墙CD的高度是（　　） A. 8m B. 9m C. 16m D. 18m 【答案】A 【解析】 【分析】根据反射的性质可得∠APE=∠CPE，则有∠APB=∠CPD，从而可得△ABP∽△CDP，由相似三角形的性质即可求得CD的长． 【详解】如图，根据反射的性质可得∠APE=∠CPE ∵EP⊥BD ∴∠APB=∠CPD ∵AB⊥BD，CD⊥BD ∴∠ABP=∠CDP=90° ∴△ABP∽△CDP ∴ ∴ 故选：A 【点睛】本题考查了相似三角形在测高中的实际应用，掌握相似三角形的判定与性质、轴对称中光的反射问题是关键． 9. 如图，将沿边上的中线平移到的位置，已知的面积为9，阴影部分三角形的面积为4，若，则等于（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据三角形中线的性质求出，，根据平移的性质得出，进而证明，最后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】解：如图， ∵，，且为边的中线， ∴，， ∵将沿边上的中线平移到的位置， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍）， 故选A． 【点睛】本题考查三角形中线的性质，相似三角形的判定与性质，平移的性质等，解题的关键是掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方． 10. 如图，在钝角三角形中，，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止．点D运动的速度为/秒，点E运动的速度为/秒．如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动的时间是（ ）     A. 3秒或4.8秒 B. 3秒 C. 4.5秒 D. 4.5秒或4.8秒 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的性质，解题时要注意此题有两种相似形式，别漏解；还要注意运用方程思想解题． 根据相似三角形的性质，由题意可知有两种相似形式，和，可求运动的时间是3秒或4.8秒． 【详解】解：根据题意得：设当以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动的时间是x秒， ①若，则， ∴， 解得：； ②若，则， ∴， 解得：． ∴当以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动的时间是3秒或4.8秒． 故选：A 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 若，化简 __________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，根据二次根式的性质化简，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ 故答案为：． 12. 若方程是关于的一元二次方程，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，解一元一次不等式，绝对值方程等知识点，深刻理解一元二次方程的定义是解题的关键． 根据一元二次方程的定义可得，，解该一元一次不等式和绝对值方程即可得出答案． 【详解】解：是关于的一元二次方程， ，， 解得：， 故答案为：． 13. 若是一元二次方程的两个实数根，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，． 先利用根与系数的关系得，，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：根据根与系数的关系得，， 所以． 故答案为：2． 14. 已知，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的性质、代数式求值等知识点．由，设，，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴设，， ∴． 故答案为：． 15. 一个等腰三角形的两边长是方程的两根，则该三角形的周长为________． 【答案】14 【解析】 【分析】求出方程的两个根，分类讨论哪个是腰长即可． 【详解】解：， ， 当2为腰长时，，不符合两边之和大于第三边，故舍去， 当腰长为6时，，符合要求，周长为， 故答案为：14． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，等腰三角形的性质，以及三角形三条边之间的关系，解题时不要忘了考虑三边必须满足两边之和大于第三边． 16. 如图，在一块长8m、宽6m的矩形空地上，修建一横一纵共两条等宽的道路，剩余部分栽种花草，要使栽种花草的面积为，则修建的道路的宽应为_________m. 【答案】1 【解析】 【分析】设修建的道路的宽应为，通过平移可得栽种花草的部分可拼成一个长为宽为的长方形，由此列一元二次方程，即可求解． 【详解】解：设修建的道路的宽应为， 由题意得， 整理，得， 解得，， 当时，，不合题意，舍去； 故修建的道路的宽应为． 故答案为：1． 【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，平移的应用，解题的关键是正确列出一元二次方程． 17. 如图，在菱形中，点、在上，，若，则________． 【答案】6 【解析】 【分析】设，根据菱形的性质得出，证明，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：设， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了菱形的性质，相似三角形的性质与判定，证明是解题的关键． 18. 如图，直线与y轴交于点A，依次作正方形、正方形…正方形，使得点、…，在直线上，点在x轴上，则点的坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了与一次函数有关系的规律探索，正方形的性质，先求出直线与y轴的交点坐标即可得出的坐标，故可得出的长，根据四边形是正方形即可得出的坐标，再把的横坐标代入直线即可得出的坐标，同理可得出的坐标，可以得到规律：，据此即可求解点的坐标． 【详解】解：在中，当，则， ∴， ∴． ∵四边形是正方形， ∴， ∴． 在中，当时，， ∴； 同理可得，； ∴的纵坐标是：，的横坐标是：， ∴的纵坐标是：，的横坐标是：， ∴的纵坐标是：，的横坐标是：， ……， 以此类推，可知的纵坐标是：，横坐标是：， ∴， ∴点的坐标是，即． 故答案为：． 三、解答题（共8题，共66分） 19. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合计算，二次根式乘法计算，先计算二次根式乘法，零指数幂，负整数指数幂，再去绝对值后计算加减法即可得到答案． 【详解】解： ． 20. 解方程： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，直接利用公式法解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得． 21. 已知，. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1）14 （2） 【解析】 【分析】（1）先计算出和，再将变形为，即可求解； （2）先计算出和，再将变形为，即可求解． 【小问1详解】 解：，， ，， ； 【小问2详解】 解：，， ，， ． 【点睛】本题主要考查完全平方公式、平方差公式的应用、分式的化简求值、二次根式的运算等，掌握相关知识并正确计算是解题的关键． 22. 如图．已知是的角平分线，E是延长线上的一点且． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）是角平分线可得，可得，从而，再利用对顶角相等可得，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得结论； （2）由（1）中的结论，利用相似三角形对应边成比例得出比例式，将已知线段代入可求． 【小问1详解】 证明：∵是的角平分线， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，正确合理的使用相似三角形的判定定理是解题的关键． 23. 关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）如果是符合条件的最大整数，且一元二次方程与方程有一个相同的根，求此时的值． 【答案】（1）；（2）的值为． 【解析】 【分析】（1）利用判别式的意义得到，然后解不等式即可； （2）利用（1）中的结论得到的最大整数为2，解方程解得，把和分别代入一元二次方程求出对应的，同时满足． 【详解】解：（1）根据题意得， 解得； （2）的最大整数为2， 方程变形为，解得， ∵一元二次方程与方程有一个相同的根， ∴当时，，解得； 当时，，解得， 而， ∴的值为． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 24. 7至9月份“衡阳南湖公园”有荷花的盛放期，来此观赏荷花的游客络绎不绝，由此带动了周边的餐饮服务业的发展；“听荷坊”宾馆拥有客房100间，经营中发现：每天入住的客房数（间）与其价格（元）（）满足一次函数关系，部分对应值如表： （元） 180 260 280 300 （间） 100 60 50 40 （1）请求出与的函数关系式； （2）已知每间入住的客房，宾馆每日需支出各种费用100元，每日空置的客房需支出各种费用60元；当房价为多少元时，宾馆当日可获利8450元？ 【答案】（1） （2）当房价为210元时，宾馆当日可获利8450元 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用，理解题意列出方程是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求出该一次函数表达式； （2）设房价为元，依据“宾馆当日利润=当日房费收入当日支出”列出方程，解方程即可解决问题． 【小问1详解】 解：设与的函数关系式为， 把，分别代入解析式， 得， 解得， 所以与的函数关系式为：； 【小问2详解】 解：由题意可知：， 整理得：， 解得． 答：当房价为210元时，宾馆当日可获利8450元， 25. 将矩形纸片放在平面直角坐标系中,为坐标原点,点在轴上，点在轴上，点的坐标是，点是边上的-一个动点，将沿折叠，使点落在点处． 如图①．当点恰好落在上时，求点的坐标； (2)如图②，当点是中点时，直线交于点， 求证：； 求点的坐标． 【答案】(1)P(3，6)；(2) (a)见解析； (b) 【解析】 【分析】（1）根据点B的坐标，可求得OB的长，再利用得出PB的长，从而得出点P的坐标； （2）（a）证即可得MB=MQ； （b）如下图，设在中，利用勾股定理可求得m的值，再利用可求得QN和QO的值，从而得到点Q的坐标． 【详解】（1）点的坐标是 在中， 根据题意，， 又 （2）（a）连接 根据题意， ． 点是中点， ， （b）如图，过点作轴于点 设则由知 根据题意，知 ． 在中， 即,解得 四边形是矩形， 轴于点 得 【点睛】本题考查矩形的性质、求点的坐标和利用相似求线段长，解题关键是找出相似图形，得出线段长度，进而得到点的坐标． 26. 如图1，在中，，当点从点出发，沿着方向匀速运动到点时，点恰好从点出发，沿着方向匀速运动到点，连结，记，已知． （1）求和的长． （2）当是以为腰的等腰三角形时，求的值． （3）如图2，直线是线段的垂直平分线． ①若直线过点，交于点，请判断四边形的形状，并说明理由； ②是点关于直线的对称点，若点落在的内部，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）AB=4，BC=5； （2）或； （3）①四边形的形状是菱形，理由如下： ，， 直线过点，直线是线段的垂直平分线， ， 即：， 解得：， ， 在中，由勾股定理得：， 设直线交于，过点作于，如图2所示： 则， ， ， 即：， 解得：，， ， 在中，由勾股定理得：， ，， ， ， 即：， 解得：， ，， ， ， 即：， ， ， 与相互垂直平分， 四边形是菱形； ② 【解析】 【分析】（1）当时，即，则，当时，即，则； （2）分两种情况：①，过点作于；②，过点作于；由等腰三角形的性质和相似三角形的判定与性质分别求解即可； （3）①证出与相互垂直平分即可； ②当落在上时，直线过点，则即可，由①得，当落在上时，，则，解得，即可得出结论． 【详解】解：（1）当时，即， 此时，， 当时，即， 此时，， ，； （2）当是以为腰的等腰三角形时，分两种情况： ①，过点作于，如图1所示： 则，，， ， ， ，， ， 解得：； ②，过点作于，如图3所示： 则，， ， ， ， ，， ， 解得：； 综上所述，当是以为腰的等腰三角形时，的值为或； （3）①略 ②当落在上时，直线过点， 则， 由①得：， 当落在上时，， ， ， 即：， 解得：， 当时，点落在的内部． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了菱形的判定、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质等知识；本题综合性强，熟练掌握菱形的判定和等腰三角形的判定与性质，证明三角形相似是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $