精品解析：天津市静海区运河学校2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题

运河学校2024-2025学年度九年级第一学期数学学科期中质量监测 一、选择题（本大题共12小题，共36.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 下列方程是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义：整理后，如果方程只含有一个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2，像这样的整式方程叫做一元二次方程，逐项分析判断即可求解． 【详解】A.，是一元一次方程，不符合题意； B.，是分式方程，不符合题意； C.化简后得是一元一次方程，不符合题意； D.是一元二次方程，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是掌握一元二次方程的定义，特别注意判断之前需要进行化简． 2. 下列图形中，是中心对称图形的是（　 　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，逐项判断即可，掌握“在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原图形重合，这样的图形叫做中心对称图形”是解题的关键． 【详解】解：∵只有C图形绕着一个点旋转后能与原图形重合， ∴是中心对称图形的是C， 故选：C． 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. (1，0) B. (－1，0) C. (1，2) D. (－1，2) 【答案】A 【解析】 【分析】题中抛物线解析式为一般式，转化为顶点式即可一目了然得到顶点坐标． 【详解】解：可转化为， 与抛物线的顶点式对比， 可以得出，顶点坐标为 故选A． 【点睛】本题考查抛物线的解析式之间互相转化以及顶点坐标的求解，解决本题的关键是熟练个解析式之间的相互转化． 4. 将二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，根据平移的规律“左加右减，上加下减”进行求解即可得答案． 【详解】解：将二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的表达式是， 故选：C． 5. 若抛物线（m为常数）经过点，则该抛物线与x轴的两个交点的坐标分别为（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与轴的交点问题，待定系数法求函数解析式，解一元二次方程，掌握相关知识是解题的关键．把点代入求得解析式为，再令，即可求解． 【详解】解：把点代入得：， ， 抛物线解析式为：， 令， 解得：，， 该抛物线与x轴的两个交点的坐标分别为，， 故选：B． 6. 已知点的坐标是，点关于原点对称的点的坐标是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，根据关于原点对称的点，横纵坐标互为相反数即可求解，掌握关于原点对称的点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：∵点的坐标是 ∴点关于原点对称的点的坐标是， 故选：． 7. 如图，在平面内将绕着直角顶点C逆时针旋转90°，得到，若，，则（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】由勾股定理可得，根据旋转的性质可得，，即可求解． 【详解】解：由勾股定理可得， 根据旋转的性质可得，，， ， ∴， 故选：A 【点睛】此题考查了勾股定理和旋转的性质，解题的关键是熟练掌握相关基础性质． 8. 用一段20米长的铁丝在平地上围成一个矩形，该矩形的一边长为x米，面积为y平方米，则y关于x的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意求出矩形另一边长，根据矩形面积公式即可得到答案．读懂题意，正确列出函数关系式是解题的关键． 【详解】解：∵用一段20米长的铁丝在平地上围成一个矩形，该矩形的一边长为x米， ∴矩形另一边长为米， ∴矩形的面积， 故选：B 9. 如图，将绕点逆时针旋转得到，点在上．已知，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握“旋转前后的对应角相等与等边对等角”是解本题的关键． 先由旋转的性质证明，再利用等边对等角证明，从而可得答案． 【详解】解：∵把绕点逆时针旋转得到， ， ， ， 故选：A． 10. 如图，是的直径，点，在上，．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理，圆心角、弧、弦的关系，掌握圆心角、弧、弦的关系是解题的关键． 根据，求出，再根据等弧所对的圆周角相等得出，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵是的直径，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 11. 若，，为二次函数的图像上的三点，则的大小关系是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先计算抛物线的对称轴，在计算各点与对称轴的水平距离，根据抛物线开口向上，距离越大，函数值也越大比较即可． 【详解】解：∵， ∴对称轴为直线，且， ∵，，， ∴点A到对称轴直线的距离为， 点B到对称轴直线的距离为， 点C到对称轴直线的距离为， ∵， ∴， 根据抛物线开口向上，离对称轴越近，函数值越小， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了抛物线的增减性，熟练掌握抛物线开口向上，离对称轴越近，函数值越小是解题的关键． 12. 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是．有下列结论：①小球从抛出到落地需要；②小球运动时的高度小于运动时的高度；③小球运动中的高度可以是，其中正确结论的个数是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质，化成顶点式的方法是解题的关键．①令，解出方程即可判断；②分别求出和时的值即可判断；③将关系式化成顶点式，得到函数最大值即可判断． 【详解】解：①当时，则 解得：， 小球从抛出到落地需要，故①正确； ②当时， 当时， 小球运动时的高度小于运动时的高度，故②正确； ③ 当时，取得最大值，最大值为45 小球运动中的高度不可以是，故③错误； 综上所述，其中正确结论个数为2个． 故选：B 二、填空题（本大题共6小题，共18.0分） 13. 设、是方程的两个根，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，． 根据一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵是方程的两个根， ， 故答案为：． 14. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数c的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，注意记忆判别式大于0时有两个不相等的实数根，判别式等于0时有两个相等的实数根，判别式小于0时方程无实数根． 根据有两个不相等的实数根，直接得到判别式，即可求解本题． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：； 故答案为：． 15. 二次函数的最大值为_______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查求二次函数的最值，将一般式转化为顶点式，根据顶点式的性质，即可得出结果． 【详解】解：， ∴当时，二次函数的最大值为6； 故答案为：6 16. 如图，AB为⊙O的直径，弦于点E，已知，则⊙O的半径为__________． 【答案】5 【解析】 【详解】解：设圆的半径为r，连接OC， 根据垂径定理可知CE=3，OE=r-1， ， 解得r=5． 故答案为5． 17. 已知抛物线的图象如图所示，则一元二次方程的解为______，当时，的取值范围为______． 【答案】 ①. ②. 或 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象和性质，二次函数图象上点的坐标的特征，二次函数图象与x轴的交点，正确理解不等式和函数的关系是解题的关键． 根据函数图象中的数据，即可求解． 【详解】解：由函数图象可知，该函数的顶点坐标是，即当时，， 故一元二次方程的解为； 该函数与轴的交点为和， 故当时，轴的取值范围为或， 故答案为：；或． 18. 已知抛物线与轴一个交点的坐标为，则一元二次方程的根为_____． 【答案】， 【解析】 【分析】先求出抛物线的对称轴，再根据对称性可得出抛物线与轴的另一个交点的坐标为，从而可得出一元二次方程的根． 【详解】解：根据题意得： 抛物线的对称轴为直线， 抛物线与轴一个交点的坐标为， 根据对称性可知抛物线与轴的另一个交点的坐标为， 一元二次方程的根为：，， 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查了抛物线与轴的交点与一元二次方程的根，熟练掌握抛物线的对称性得出抛物线与轴的另一个交点的坐标为是解题的关键． 三、解答题（本大题共7小题，共66.0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19. 用恰当的方法解下列方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）根据配方法解一元二次方程，即可求解； （2）先化为一般形式，然后根据因式分解法解一元二次方程，即可求解； 【小问1详解】 解：， ∴， 即， ， 解得：； 【小问2详解】 解：， 即， ， ， 解得：． 20. 已知关于的一元二次方程有两个实数根． （1）求的取值范围； （2）当取最大整数时，求此时方程的根． 【答案】（1）且 （2）1 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义、根的判别式及解一元二次方程，熟练掌握以上知识点是解题关键． （1）根据一元二次方程的定义，即二次项系数不为0，以及方程有两个实数根时建立不等式，解之即可得到的取值范围； （2）根据（1）的结论得到满足条件时的最大整数，代入原方程求出原方程的根即可． 【小问1详解】 解：的一元二次方程有两个实数根 ，即 解得：且 的取值范围为且． 【小问2详解】 解：由（1）可得取最大整数为2，代入原方程有 即 解得： 当取最大整数时，此时方程的根为1． 21. 已知二次函数的图象经过点（0，﹣3），且顶点坐标为（﹣1，﹣4）． （1）求该二次函数的解析式； （2）设该二次函数的图象与x轴的交点为A、B，与y轴的交点为C，求△ABC的面积． 【答案】（1）y=（x+1）2﹣4或y=x2+2x﹣3；（2） 【解析】 【分析】（1）先设所求函数解析式是y=a（x+1）2﹣4，再把（0，﹣3）代入，即可求a，进而可得函数解析式； （2）令函数等于0，解关于x一元二次方程，即可求A、B两点的坐标；从而可得△ABC的面积等于AB×OC的一半． 【详解】解：（1）设y=a（x+1）2﹣4，把点（0，﹣3）代入得：a=1， ∴函数解析式y=（x+1）2﹣4或y=x2+2x﹣3； （2）∵x2+2x﹣3=0， 解得x1=1，x2=﹣3， ∴A（﹣3，0），B（1，0），C（0，﹣3）， ∴△ABC的面积=． 22. 如图，点是正方形的边上一点，把绕点顺时针旋转到的位置．连结． （1）试判断的形状，并说明理由； （2）若正方形的边长为，，求的长． 【答案】（1） 解：结论：是等腰直角三角形； 理由：∵把顺时针旋转到的位置， ， ∵四边形是正方形， ， ， ∴是等腰直角三角形． （2） 【解析】 【分析】（1）结论：是等腰直三角形，由旋转的性质可得，结合正方形的性质即可推出，即可证明； （2）根据旋转可得，在中，根据勾股定理即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是正方形， ， 根据旋转可得， ∴，， ∴在中，． 【点睛】本题考查旋转的性质、正方形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是利用旋转不变性解决问题，属于中考常考题型． 23. 如图，已知抛物线经过两点． （1）求抛物线的解析式和顶点坐标； （2）当时，直接写出的取值范围； （3）点为抛物线上一点，若，求出此时点的坐标． 【答案】（1）， （2） （3）点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）由题意，根据抛物线的交点式表示解析式，再将交点式转化为顶点式即可得到答案； （2）由抛物线的图象与性质可知，当时，在对称轴处取最小值，再比较当与时的函数值即可得到的取值范围； （3）由平面直角坐标系中三角形面积得到，解方程得或，分类将其代入抛物线解析式解一元二次方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：抛物线经过两点， 抛物线解析式为， 则抛物线的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：由（1）知，抛物线的解析式为， 抛物线开口向上，对称轴为， 当时，在对称轴处取最小值，则； 当时，；当时，； 当时，的取值范围是； 【小问3详解】 解：如图所示： ， ， ， ， ， 解得或， 当时，代入抛物线的解析式为，得， 解得或， 则此时点的坐标为或； 当时，代入抛物线的解析式为，得， 此方程无解； 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数综合，涉及求二次函数解析式、二次函数图象与性质、求函数值的范围、平面直角坐标系中三角形面积、直接开平方法解一元二次方程，熟记二次函数图象与性质，数形结合是解决问题的关键． 24. 2020年受疫情的影响，人们就业困难，为此政府大力支持创业，地摊文化风靡大街小巷．大学毕业生李强在政府的扶持下投资销售一种进价为每件30元的学生护眼灯．销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：．若李强每月获得的利润为w（元），试问当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】当销售单价定为50元时，每月可获得最大利润4000元 【解析】 【分析】依据题意，根据题意列出二次函数关系式，再根据求二次函数最值的方法可解出答案． 【详解】解：由题意可得： ． ∵， ∴w存在最大值，最大值为4000． ∴当销售单价定为50元时，每月可获得最大利润4000元． 【点睛】本题主要考查了二次函数应用，关键是将实际问题转化为求函数最值问题，从而来解决实际问题． 25. 如图，在中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，如果，两点分别从，两点同时出发，设运动时间为． （1）用含x的式子表示： 　　， 　　， 　　， （2）当的面积为时，求运动时间； （3）四边形的面积能否等于？若能，求出运动的时间；若不能，说明理由． 【答案】（1）；； （2）2或4 （3） 不可能，理由如下： ， ∴， 解得或， ， 四边形的面积不可能等于． 【解析】 【分析】（1）由题意可得，，从而可以解决问题； （2）表示出，，解方程即可； （3）表示出，，解方程即可． 【小问1详解】 解：根据题意得：，， ∵ ， 故答案为：2x；；4x； 【小问2详解】 解：， ， ∴， 解得：或4， 当的面积为时，或4； 【小问3详解】 略 【点睛】本题是动点问题，主要考查了图形的面积，一元二次方程的解法，解决问题的关键是能够化动为静，并且注意的取值范围，属于常考题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 运河学校2024-2025学年度九年级第一学期数学学科期中质量监测 一、选择题（本大题共12小题，共36.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 下列方程是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中，是中心对称图形的是（　 　） A. B. C. D. 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. (1，0) B. (－1，0) C. (1，2) D. (－1，2) 4. 将二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的表达式是（ ） A. B. C. D. 5. 若抛物线（m为常数）经过点，则该抛物线与x轴的两个交点的坐标分别为（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 已知点的坐标是，点关于原点对称的点的坐标是（ ）． A. B. C. D. 7. 如图，在平面内将绕着直角顶点C逆时针旋转90°，得到，若，，则（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 8. 用一段20米长的铁丝在平地上围成一个矩形，该矩形的一边长为x米，面积为y平方米，则y关于x的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，将绕点逆时针旋转得到，点在上．已知，则的大小为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，是的直径，点，在上，．若，则（ ） A. B. C. D. 11. 若，，为二次函数的图像上的三点，则的大小关系是（　　） A. B. C. D. 12. 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是．有下列结论：①小球从抛出到落地需要；②小球运动时的高度小于运动时的高度；③小球运动中的高度可以是，其中正确结论的个数是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 二、填空题（本大题共6小题，共18.0分） 13. 设、是方程的两个根，则______． 14. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数c的取值范围是______． 15. 二次函数的最大值为_______． 16. 如图，AB为⊙O的直径，弦于点E，已知，则⊙O的半径为__________． 17. 已知抛物线的图象如图所示，则一元二次方程的解为______，当时，的取值范围为______． 18. 已知抛物线与轴一个交点的坐标为，则一元二次方程的根为_____． 三、解答题（本大题共7小题，共66.0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19. 用恰当的方法解下列方程： （1） （2） 20. 已知关于的一元二次方程有两个实数根． （1）求的取值范围； （2）当取最大整数时，求此时方程的根． 21. 已知二次函数的图象经过点（0，﹣3），且顶点坐标为（﹣1，﹣4）． （1）求该二次函数的解析式； （2）设该二次函数的图象与x轴的交点为A、B，与y轴的交点为C，求△ABC的面积． 22. 如图，点是正方形的边上一点，把绕点顺时针旋转到的位置．连结． （1）试判断的形状，并说明理由； （2）若正方形的边长为，，求的长． 23. 如图，已知抛物线经过两点． （1）求抛物线的解析式和顶点坐标； （2）当时，直接写出的取值范围； （3）点为抛物线上一点，若，求出此时点的坐标． 24. 2020年受疫情的影响，人们就业困难，为此政府大力支持创业，地摊文化风靡大街小巷．大学毕业生李强在政府的扶持下投资销售一种进价为每件30元的学生护眼灯．销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：．若李强每月获得的利润为w（元），试问当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？最大利润是多少？ 25. 如图，在中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，如果，两点分别从，两点同时出发，设运动时间为． （1）用含x的式子表示： 　　， 　　， 　　， （2）当的面积为时，求运动时间； （3）四边形的面积能否等于？若能，求出运动的时间；若不能，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $