2.3 三角形的内切圆 课件2023—-2024学年浙教版数学九年级下册

浙教版 九年级下册 2.3 三角形的内切圆 第2章 直线与圆的位置关系 课前复习 切线的判定 切线的定义 切线的性质 切线长定理 分别连接圆心和切点； 连接两切点； 连接圆心和圆外一点. 相切 圆与一条 直线相切 圆与共顶点的两条直线相切 作用 辅助线 为证明线段相等提供新的思路. 本质 圆的轴对称性 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 2 课前练习 【练习】如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，AC是⊙O的弦，BC是⊙O的直径，连结AB，∠P＝60°，PB＝2 cm. (1)求证：△PAB是等边三角形. (2)求AC的长． 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 3 课前练习 解：(1)∵PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，∴PA＝PB. 又∵∠P＝60°， ∴△PAB是等边三角形． (2)∵△PAB是等边三角形， ∴AB＝PB＝2 cm，∠PBA＝60°. ∵PB是⊙O的切线， ∴∠PBC＝90°，∴∠ABC＝30°. ∵BC是⊙O的直径，∴∠CAB＝90°， 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 4 新知学习 【引例】运动会上，小新的裤子被钩了一个锐角三角形的口子，现在想用同色圆形布料将此口子全部覆盖，你能帮忙画出符合条件的最小的圆吗？ A O C B △ABC叫做⊙O的内接三角形 ⊙O叫△ABC的外接圆 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 5 新知学习 【探究】小新发现家里有一块三角形的布料，想从这块布料中裁一个半径尽可能大的圆去补裤子.应该怎样画出裁剪的图样呢? A B C 下图是他的几种设计,请同学们帮他选择一下. 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 6 新知学习 OA = r OA⊥l于点A 一条切线 P B A O 两条切线 三条切线 O E F P A C P F E B O PA = PB O A l 提出问题 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 7 新知学习 E O P F O C B A 外 圆 接 内接三角形 内 圆 切 外切三角形 外 心 内 心 △EFP是⊙O的外切三角形 点O叫△EFP的内心 ⊙O叫△EFP的内切圆 定义： 与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形. 形成概念 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 8 新知学习 C B A 圆心 + 半径 A C B O F E r r 思考： 如何画一个三角形的内切圆？ 两个内角的角平分线交点 圆心到三角形的任一边的距离 请你在作业本上画出△ABC的内切圆 ∴ ⊙O即为△ABC的内切圆 r r r O E P F N O 合作探究 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 9 新知学习 【归纳】内心、外心的区别与联系 名称 内心 外心 图形 圆心的确定 三角形三条角平分线的交点 三角形三边垂直平分线的交点 性质 到三角形三边的距离相等 到三角形三个顶点的距离相等 位置 一定在三角形内部 不一定在三角形内部 角度关系 ∠BOC＝90°＋ ∠A ∠BIC＝2∠A 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 10 新知学习 【例1】如图，等边三角形ABC的边长为3cm．求△ABC的内切圆⊙O的半径． C B A O 解：如图，设⊙O切AB于点D，连结OA，OB，OD． ∵⊙O是△ABC的内切圆， ∴AO，BO是∠BAC，∠ABC的角平分线， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠OAB＝∠OBA＝30°． ∵OD⊥AB，AB＝3cm． ∴AD＝BD＝AB＝1.5cm． ∴OD＝AD×tan 30°＝1.5× ＝ cm． 答：△ABC的内切圆的半径为 cm． D 1.5 1.5 30° 30° 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 11 新知学习 【变式】如图，等边三角形ABC的边长为3cm．求△ABC的外接圆的半径． C B A O D 1.5 1.5 30° 30° OA=OC=OB OA=2OD=(cm) 等边三角形三线合一 等边三角形的外心、内心、重心重合！ 30° 30° 30° 30° 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 12 新知学习 【例2】已知：如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F．设△ABC的周长为l．求证：AE＋BC＝l． 证明：∵⊙O是△ABC的内切圆，E，F为切点， ∴AE＝AF＝a（切线长定理）． 同理，BD=BF=b，CD=CE=c． ∴AE＋BC＝AE＋BD＋CD＝a + b + c ＝ = l． a a b b c c 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 13 新知学习 【例3】设△ABC的面积为S，周长为l，△ABC的内切圆的半径为r，证明：S＝lr． 解：如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F． 连结OA，OB，OC，OD，OE，OF， 则OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，且OE＝OF＝OD＝r． ∵S △ABC ＝S△AOB＋S△OBC＋S△COA， ∴S = AB×r + ×BC×r + ×AC×r = lr． r r r 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 14 学以致用 【1】如图，在△ABC中，点D是△ABC 的内心，连结DB，DC，过点D作EF ∥BC，分别交AB，AC于点E，F.若 BE＋CF＝8，则EF的长为(　　) A．4 B．5 C．8 D．16 C 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 15 学以致用 【2】 如图，⊙O是△ABC的内切圆，D，E，F为切点．若∠DOB＝73°，∠DOE＝120°，则∠DOF＝________°，∠C＝________°，∠A＝________°. 146 60 86 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 16 学以致用 【3】如图，在△ABC中，∠ACB＝70°，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC分别相切于点D，E，连结DE，AO的延长线交DE于点F，则∠AFD＝________°. 35 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 17 学以致用 【解析】 如答图，连结OD，OE，OB，OB交ED于点G. ∵∠ACB＝70°，∴∠CAB＋∠CBA＝110°. ∵点O为△ABC的内切圆的圆心， ∵OE＝OD，BD＝BE，∴OB垂直平分DE， ∴∠OGE＝90°， ∴∠AFD＝∠AOB－∠OGF＝125°－90° ＝35°. 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 18 学以致用 【4】如图，E是△ABC的内心，AE的延长线与△ABC的外接圆⊙O相交于点D. (1)求证：DE＝BD. 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 19 学以致用 解：(1)如答图1，连结BE. ∵E为△ABC的内心，∴AE平分∠BAC， BE平分∠ABC， ∴∠BAE＝∠CAD，∠ABE＝∠EBC. ∴∠CAD＝∠CBD，∴∠BAE＝∠CBD. ∵∠BED＝∠BAE＋∠ABE，∠DBE＝∠CBD＋∠EBC， ∴∠BED＝∠DBE，∴BD＝DE. 答图1 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 20 学以致用 (2)如答图2，连结OB，OC，DC，OD，OD交BC于点F. ∵∠BAD＝∠CAD，∴BD＝DC，∠BOD＝∠COD. 又∵OB＝OC， 答图2 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 21 学以致用 ∴BD＝10，由(1)知DE＝10. 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 22 课堂总结 实际问题 类比 三角形内切圆 三角形外接圆 性质 概念 应用 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 23 ∴∠OAB＋∠OBA＝∠CAB＋∠CBA＝55°，∴∠AOB＝125°. $$