2.3 三角形的内切圆 课件 2022-2023学年浙教版数学九年级下册

第2章 直线与圆的位置关系 2.3 三角形的内切圆 通过作图操作,经历三角形内切圆的产生过程; 通过作图和探索,体验并理解三角形内切圆的性质; 类比三角形内切圆与三角形外接圆,进一步理解三角形内心和外心所具有的性质. 学习目标 1. 确定圆的条件是什么? ①圆心与半径; 2. 叙述角平线的性质与判定. 性质:角平线上的点到这个角的两边的距离相等. 判定:到这个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上. ②不在同一直线上的三点. 3. 下图中△ABC与⊙O的关系? △ABC是⊙O的内接三角形,⊙O是△ABC的外接圆,圆心O点叫△ABC的外心. · A B C O 3 复习回顾 这幅美丽的花边图案主要是由哪些几何图形组成的?它们之间有着怎样的位置关系? 主要是由三角形和圆组成的,圆与三角形的各边都相切. 4 情境导入 如图,要从一块三角形钢化玻璃上裁下一个半径尽可能大的圆来做一圆桌的桌面,应该怎样画出裁剪的图样呢? 建议按下列步骤探索: (1) 当裁得的圆最大时,圆与三角形的各边有什么位置关系? 当裁得的圆最大时,圆与三角形的各边相切. 探究学习 如图,要从一块三角形钢化玻璃上裁下一个半径尽可能大的圆来做一圆桌的桌面,应该怎样画出裁剪的图样呢? 建议按下列步骤探索: (2) 与三角形的一个角的两边都相切的圆的圆心在哪里? 与三角形的一个角的两边都相切的圆的圆心在这个角的平分线上. · · 探究学习 如图,要从一块三角形钢化玻璃上裁下一个半径尽可能大的圆来做一圆桌的桌面,应该怎样画出裁剪的图样呢? 建议按下列步骤探索: (3) 如何确定这个圆的圆心和半径? 三角形两个内角的平分线的交点即为这个圆的圆心,圆心到三角形一边的距离就是这个圆的半径. 探究学习 三角形的内切圆 与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆,圆心叫做三角形的内心,三角形叫做圆的外切三角形,三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点. 例如,△ABC是⊙O的外切三角形,⊙O是△ABC的内切圆,圆心O点叫△ABC的内心. · O C A B 三角形的内切圆的作法 C A B 如图,作△ABC的内切圆⊙O. 作法: 1. 作∠B、∠C的平分线BD和CE; 2. 线段BD和CE交于点为O; 3. 过点O作OF⊥BC,垂足为F. 4. 以O为圆心,OF为半径作⊙O. ⊙O就是所求的圆. 画角平分线→定内心→定半径→画圆→结论 D E O · F 做一做 分别画出锐角三角形、直角三角形和钝角三角形的内切圆,与外接圆进行比较,它们各自的内心和外心有什么不同? · · · 内心与外心均在三角形内部. 内心在三角形内部;外心在斜边中点上. 内心在三角形内部;外心在三角形外部. 10 想一想 1. 能作出几个已知三角形的内切圆?内切圆圆心能否在三角形外部? 只能作一个,圆心也只能在三角形内部. 2.外心的性质是什么?内心的性质呢? 外心的性质:三角形的外心到三个顶点的距离相等,等于其外接圆的半径. 内心的性质:三角形的内心到三条边的距离相等,等于其内切圆的半径. 例1 如图,等边三角形ABC的边长为3cm,求三角形ABC的内切圆半径. 解:设⊙O切AB于点D,连结OA,OB,OD, ∵⊙O是△ABC的内切圆, ∴AO,BO是∠BAC,∠ABC的角平分线. ∵△ABC是等边三角形, ∴∠OAB=∠OBA=30°. · A C B O D 典例精讲 例1 如图,等边三角形ABC的边长为3cm,求三角形ABC的内切圆半径. ∵OD⊥AB,AB=3cm, ∴AD=BD=AB=1.5(cm), ∴OD=AD×tan30°=1.5×=(cm). 答:△ABC的内切圆的半径为cm. · A C B O D 典例精讲 例2 如图,已知⊙O是△ABC的内切圆,切点分别点D、E、F,设△ABC周长为l. 求证:AE+BC= l. 证明:∵⊙O是△ABC的内切圆,E,F为切点, ∴AE=AF, 同理,BD=BF,CD=CE. ∴AE+BC=AE+BD+CD =(AE+AF+BD+BF+CD+CE)=l. C A B E F O D · 根据什么? 拓展 求三角形内切圆半径的常用方法 (1) 三角形的周长与内切圆半径乘积的一半等于这个三角形的面积, 即S△ABC=r(a+b+c),其中r为内切圆的半径,a,b,c分别为△ABC的三边的长, 故r=. · C A B E F O D 拓展 求三角形内切圆半径的常用方法 (2) 直角三角形的直角顶点到直角边上的切点的距离等于内切圆的半径. 若直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,则其内切圆的半径为 r=. · C A B E F O D 你能证明这个结论吗? 1. 如图,在△ABC中,AO,BO分别平分∠BAC,∠ABC,则点O是△ABC的( ) A.外