专题05 一元一次方程40道压轴题型专训-2024-2025学年七年级数学上册重难点专题提升精讲精练（苏科版2024）

专题05 一元一次方程40道压轴题型专训 【压轴题型】 一、单选题 1．（24-25七年级上·辽宁抚顺·期中）如图，老师在探究“幻方”的数学课上稍加创新改成了“幻圆”游戏，让学生们感悟到我国传统数学文化的魅力．一个小组尝试将数字，2，，4，，6，，8这8个数分别填入圆圈内，使横、竖以及内外两圆上的数字之和都相等，老师已经帮助同学们完成了部分数字填入圆圈中，则请爱思考的你计算出的值为（   ） A．或 B．或1 C．或 D．1或 2．（23-24七年级下·河南鹤壁·阶段练习）如图，正方形的边长为6，甲、乙两动点分别从正方形ABCD的顶点A，C同时沿正方形的边开始运动，甲按顺时针方向环行，乙按逆时针方向环行，若甲的速度是乙速度的2倍，则它们第次相遇是在（    ） A．边上 B．A点 C．边上 D．B点 3．（23-24七年级上·江苏无锡·期末）春节来临之际，某花店老板购进大量的康乃馨、百合、玫瑰，打算采用三种不同方式搭配成花束，分别取名为“眷恋”、“永恒”、“守候”．三种花束的每一束成本分别为元、元和元．已知销售每束“眷恋”的利润率为，每束“永恒”的利润率为，每束“守候”的利润率为，当售出的三种花束数量之比为时，老板得到的总利润率为；当售出的三种花束数量之比为时，老板得到的总利润率为，则为（    ） A． B． C． D． 4．（2024七年级·全国·竞赛）某商场为招揽顾客，贴出优惠告示：一次性购物不超过200元的一律九折优惠，超过200元的，其中200元按九折算，超过200元的部分按八折算．苏老师二月份到该商场购物三次，第一次购物付款153元，第二次购物付款220元，三次共优惠了107元．则苏老师二月份三次到该商场购物实际付款共（    ） A．400元 B．713元 C．760元 D．820元 5．（2024七年级·全国·竞赛）张老师出门散步，出门时5点多一点，他发现手表上分针与时针的夹角恰好为，回来时接近6点，他又看了一下手表，发现此时分针与时针再次成角．则张老师此次散步的时间是（    ）． A．40分钟 B．30分钟 C．50分钟 D．非以上答案 6．（23-24七年级上·湖南长沙·阶段练习）的解为（   ） A． B． C． D． 7．（22-23七年级上·浙江宁波·期末）已知关于x的一元一次方程的解是，关于y的一元一次方程的解是（其中b和c是含有y的代数式），则下列结论符合条件的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 8．（2024七年级上·全国·专题练习）已知关于的绝对值方程有三个解，则 ． 9．（2024七年级上·全国·专题练习）(1)已知关于的一次方程无解，则的值为 ． (2)如果、为常数，关于的方程，无论为何值，方程的解总是，那么 ， ． (3)若关于的方程有无数个解，则的值为 ． 10．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）已知整数的绝对值均小于10，且满足，则的值为 ． 11．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）定义：数轴上的三个点，若其中一个点与其他两个点的距离满足2倍关系，则称该点是其他两个点的“友好点”，这三点满足“友好关系”，已知数轴上点A，B表示的数分别为，点C从点B出发，沿数轴的负方向运动．在运动过程中，使A，B，C三点满足“友好关系”的点C表示的数的和是 ． 12．（24-25七年级上·全国·单元测试）已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为 ． 13．（22-23七年级上·江苏扬州·阶段练习）定义：如果两个一元一次方程的解之和为，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”．若关于方程与是“美好方程”，则关于的方程的解是 ． 14．（23-24七年级上·四川成都·期末）如图，等边的边长为，、两点分别从、两点同时出发﹐点以的速度按顺时针方向在等边的边上运动，点以的速度按逆时针方向在等边的边上运动，则、两点第一次在等边顶点处相遇的时间 秒，第四次在等边顶点处相遇的时间 秒． 15．（23-24七年级上·广东深圳·期末）已知直线上线段，线段（点在点的左侧，点在点的左侧），若线段的端点从点开始以1个单位/秒的速度向右运动，同时点从点开始以2个单位/秒的速度向右运动，点是线段的中点，则线段运动 秒时，． 16．（23-24七年级上·浙江宁波·阶段练习）已知关于x的方程，该方程的解为，则关于y的方程的解为 ． 17．（23-24七年级上·山东德州·阶段练习）某市居民用电电费目前实行梯度价格表： 用电量（单位：千瓦⋅时，统计为整数） 单价（单位：元） 及以内 （含） 及以上 若居民童大爷家、月份共用电千瓦⋅时（其中月份用电量少于月份），共交电费元，则童大爷家月份的用电量为 ． 18．（23-24七年级上·湖北武汉·阶段练习）已知关于x的方程有三个解，则 . 19．（23-24七年级上·安徽阜阳·期中）规定：若关于x的一元一次方程的解为，则称该方程是“奇异方程”．例如：的解为，因为，所以该方程是“奇异方程”． （1）若关于x的一元一次方程是“奇异方程”，则m的值为 ． （2）若关于x的一元一次方程和都是“奇异方程”，则代数式的值为 ． 20．（23-24七年级上·湖北武汉·阶段练习）已知关于的绝对值方程只有三个解，则 ． 三、解答题 21．（2024七年级上·全国·专题练习）解方程：． 22．（24-25七年级上·重庆合川·期中）阅读下面材料：若点在数轴上分别表示实数，则两点之间的距离表示为，且； 回答下列问题： (1)①数轴上表示和2的两点A和之间的距离是 ； ②在①的情况下，如果，那么为 ； (2)当代数式取最小值时，求此时的取值范围及该代数式的最小值． (3)若点在数轴上分别表示数，是最大的负整数，且， ①求出的值． ②点同时开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点A与点之间的距离表示为．请问：的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 23．（2024七年级上·浙江·专题练习）已知是关于的二次多项式，且二次项系数和一次项系数分别为和．如图，在数轴上点，，所对应的数分别是，，，为原点，数轴上有一动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向终点运动，设运动时间为． (1) ， ， ． (2)当点运动到点时，点从点出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴上点和点之间往复运动． ①当为何值时，点第一次与点重合？ ②当点运动到点时，点的运动停止，求此时点一共运动了多少个单位长度，并求出此时点在数轴上所表示的数． ③设点，所对应的数分别是，，当时，，求的值． 24．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）【新知理解】如图①，点C在线段上，图中的三条线段、和．若其中一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段的“蓝青点”． （1）填空：线段的中点_________这条线段的“蓝青点”；（填“是”或“不是”） 【问题解决】（2）如图②，点A和B在数轴上表示的数分别是和40，点C是线段的“蓝青点”，求点C在数轴上表示的数． 【应用拓展】（3）在（2）的条件下，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点B匀速运动；动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿向点A匀速运动．点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，两个点运动同时停止，设运动的时间为t秒，当t为何值时，A、P、Q三点中，其中一点恰好是另外两点为端点的线段的“蓝青点”？（直接写出答案）．     25．（2024七年级上·浙江·专题练习）已知点在数轴上对应的数是，点在数轴上对应的数是，现将、之间的距离记作，定义．若、满足． (1)点A表示的数_____；点B表示的数_____；_____； (2)点P在数轴上对应的数是x，则_____；如果，则_____； (3)若点表示的数是，现在有一蚂蚁从点出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，求多少秒时，蚂蚁所在的点到点、点的距离之和是8？ 26．（24-25七年级上·湖南永州·期中）【背景知识】利用数轴可以将数与形完美地结合，这种解决问题的思想叫做数形结合思想，研究数轴我们发现了很多重要的规律： ①若数轴上点A，点B表示的数分别为a，b，若A，B的位置不确定，则A，B两点间的距离为；若A在B的右侧，即，则A，B两点间的距离为： ②若C是线段的中点，则，中点C表示的数为； ③点A向右移动m个单位后，点A表示的数为：：点A向左移动m个单位后，点A表示的数为：； 如图所示，点A、B、C、D在数轴上对应的数分别为a、b、c、d，其中a是最大的负整数，b、c满足，且． (1) ； ； ； ； (2)若点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时点C以每秒4个单位长度的速度向左运动，设运动的时间为t秒，当A、C两点之间的距离为9个单位长度时，求运动时间t值； (3)若线段和同时开始向右运动，且线段的速度小于线段的速度．在点A和点C之间有一点M，始终满足，在点B和点D之间有一点N，始终满足，此时线段为定值吗？若是，请求出这个定值，若不是，请说明理由． 27．（24-25七年级上·浙江·期中）【阅读】 点是数轴上的三个点，若点到点的距离是点到点的距离的（为正整数）倍，则称点是的倍关联点．如图，数轴上点分别表示数，2和3，因为点到点的距离是3个单位，点到点的距离是1个单位，所以点是的3倍关联点，但点不是的3倍关联点． 【理解】 若点表示的数为1，则点______（填“是”或“不是”）的1倍关联点．点是的______倍关联点． 【应用】 （1）若数轴上点表示的数为，且点是的2倍关联点，求的值． （2）若数轴上有一点，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动．当运动秒时，点是的倍关联点，请用含的代数式表示时间．（直接写出答案即可） 28．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）希玥服装店销售一批服装，按照标价进行销售，在销售时发现服装标签被污渍遮盖了，销售员发现打95折比打8折多盈利15元钱； (1)每件服装标价多少元？ (2)该服装店打算在年前用30000购进同样服装进行售卖，服装厂原售价为80元一件，年前甲乙两服装厂同时搞促销活动，销售方案如下图所示，请问该服装店在甲乙哪个服装厂购进服装利润最高？ 甲服装厂 乙服装厂 订购超过100件，服装全部打95折，再赠一张50元的代金券，本次购物可抵现金使用．同时每100件，免费配赠35件同样价格的服装． 订购超过100件，服装全部打八折后再减4元，同时超过出300件服装，每件服装返款0.12元包装费． (3)在（2）的条件下，该服装店购进服装后打算在进价的基础上每件服装加价，进行销售，由于接近年底，销售可能滞销，因此预计全部进行销售的服装，会有需要降价以5折出售，该服装店要想获得利润14949元，需再次按活动价格购进该厂家服装，请计算出该服装店想获得预期利润，需要准备再次购进服装多少件？ 29．（23-24七年级下·重庆沙坪坝·期中）W商场10月份用72000元同时购进A、B两款服装共350件，其中A款服装每件进价180元，B款服装每件进价240元． (1)求商场10月份分别购进A，B两款服装各多少件； (2)商场决定将A、B两款服装按的价格售出，销售一段时间后A款服装售出了，B款服装售出了，剩下的A，B两款服装恰好数量相等，为尽快售完，商场将B款服装的售价提高50%，同时推出买一送一活动，即买一件B款服装送一件A款服装，直至两款服装全部售完，经结算10月份售出A，B两款服装共获利40%．那么B款服装的原售价是多少元？ (3)由于“双十一购物狂欢节”，京东，天猫等电商平台推出了预售，满减，送券，领红包等优惠活动，11月份该商场所有商品销量均减少．为吸引顾客，11月份商场对全场打折促销．店长根据市场调查推出两种促销方案如下（两种方案不能叠加享受）： 方案一：顾客所购商品的原价总和每满300元送60元的现金券，无论用券与否原总价打九折；若有券，折后可用券抵扣． 例如：某人购物总和为620元，则他实际付款为（元）． 方案二： 原价总和 优惠标准 不超过300元的部分 九折优惠 超过300元但不超过600元的部分 七折优惠 超过600元但不超过900元的部分 六折优惠 超过900元的部分 五折优惠 例如：某人购物原价总和1000元，则他实际付款： （元）． 已知小依选择方案一购物，小钟选择方案二购物，他们所购物品原价总和为1500元，且小钟所购物品的原总价高于小依．店员建议他们两人组合，一次性购买所有物品，并且选择最优惠的购买方案，这样比两人各自购物实际付款总额少84元．那么小依与小钟各自所购物品的原总价分别是多少元？ 30．（2022七年级上·全国·专题练习）平价商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件进价40元，利润率为；乙种商品每件进价50元，售价80元． (1)甲种商品每件售价为 元，每件乙种商品利润率为 ； (2)若该商场同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价为2100元，求购进甲乙两种商品各多少件？ (3)在“元旦”期间，该商场只对甲乙两种商品进行如表的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 不超过380元 不优惠 超过380元，但不超过500元 售价打九折 超过500元 售价打八折 按上述优惠条件，若小聪第一天只购买乙种商品，实际付款360元，第二天只购买甲种商品实际付款432元，求小聪这两天在该商场购买甲、乙两种商品一共多少件？ 31．（21-22七年级上·重庆·期末）2021年12月，某网店从甲厂家购进了、两种商品，商品每件进价元，商品每件进价元，两种商品共购进了件，所用资金为元． (1)求12月、两种商品各购进了多少件？ (2)12月初，该网店在出售、两种商品时，商品在进价的基础上加价出售，并以此价格售出了，商品以一定价格售出了．为了促销，余下的、两种商品．网店推出买一件商品送一件商品的优惠活动，但是单独购买商品无优惠．到12月底，从甲厂家购进的、两种商品全部售完，且剩余的商品都参加了促销活动，最终网店通过销售、两种商品共获利，求12月份每件商品的售价是多少元？ (3)2022年1月份，甲厂家决定薄利多销，提出了优惠方案，同样生产、两种商品的乙厂家也提出了优惠方案． 甲厂家优惠方案： 购买总金额 优惠 未超过元 不打折 超过元，未超过元 全部打九折 超过元 全部打八折 乙厂家优惠方案： 购买商品的总件数 购买商品的总件数 优惠 未超过件 未超过件 打九折 超过件，未超过件的部分 超过件，未超过件的部分 打八折 超过件的部分 超过件的部分 打七折 1月份，该网店从甲厂家分两次分别购进、两种商品，进价与12月份相同，按照甲厂家优惠方案，第一次全部购进商品实际付款元，第二次全部购进商品实际付款元．已知从乙厂家购买商品每件进价元，购买商品每件进价元，若网店从乙厂家购买与甲厂家数量分别相同的、两种商品，并享受乙厂家的优惠方案，那么相较于从甲厂家购买，网店实际付款金额是节省还是多花费，节省或多花费多少元？ 32．（24-25七年级上·广东深圳·期中）数轴是学习有理数的一种重要工具，任何有理数都可以用数轴上的点表示，这样能够运用数形结合的方法解决一些问题．如图将一条数轴在原点O，点B，点C，点D处各折一下，得到一条“坡面数轴”．图中点A表示，点B表示8，点C表示16，点D表示24，点E表示28．我们称点A和点E相距36个单位长度，动点P从A从出发，以每秒4个单位的速度沿着“坡面数轴”的正方向移动，同时，动点Q从E出发以每秒3个单位的速度沿着“坡面数轴”的负方向移动，两个点上坡时候的速度均是各自初始速度的一半，下坡时候的速度均是各自初始速度的2倍，平地则保持初始速度不变．当点P运动至点E时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．问： (1)动点P从点A运动到E点需要　　　秒，此时点Q对应的数是　　　； (2)P，Q两点在点M出相遇，求出相遇点M所对应的数是多少? (3)当P，B两点在这个上数轴上相距的长度与Q，D两点在这个数轴上相距长度相等时，直接写出此时t的值． 33．（24-25七年级上·北京·期中）如图是一个400米长的圆形跑道，从O点出发，沿跑道顺时针跑出52米的距离记作米，逆时针跑出60米记作米．已知跑道上的两点A，B对应的有理数分别为a，b，且满足：， (1) ________； (2)定义1：跑道上任意两点之间较短圆弧的长度叫做这两点的弧距． 定义2：若点M为跑道上A，B两点之间较短圆弧上的一点，且到A，B两点的弧距满足：其中一个弧距是另一个弧距的3倍，则称M为A，B两点的“友谊点”． ①直接写出A，B两点的“友谊点”M在跑道上对应的有理数； ②点P以每秒40个单位长度的速度从点A出发，沿跑道逆时针运动，同时点Q以每秒20个单位长度的速度从点B出发，沿跑道顺时针运动．当Q与O重合时，运动停止．当P为O，Q两点的“友谊点”时，此时运动的时间为t秒，请直接写出t的所有可能取值． 34．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）如图，正方形的边在数轴上，数轴上点表示的数为，正方形的面积为16． (1)数轴上点B表示的数为________； (2)将正方形沿数轴水平移动，移动后的正方形记为，移动后的正方形与原正方形重叠部分的面积为S． ①当时，画出图形，并求出数轴上点表示的数； ②设正方形的移动速度为每秒2个单位长度，点为线段的中点，点在线段上，且．经过t秒后，点E，F所表示的数互为相反数，直接写出t的值． 35．（23-24七年级下·四川内江·阶段练习）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程互为“阳光方程”．例如：的解为，的解为，所以这两个方程互为“阳光方程”． (1)若关于x的一元一次方程与是“阳光方程”，则　　； (2)已知两个一元一次方程互为“阳光方程”，且这两个“阳光方程”的解的差为5．若其中一个方程的解为，求k的值； (3)①已知关于x的一元一次方程的解是，请写出解是的关于y的一元一次方程：（只需要补充含有y的代数式）； ②若关于x的一元一次方程和互为“阳光方程”，则关于y的一元一次方程的解为 ． 36．（23-24七年级上·江西吉安·阶段练习）观察下列表格中几个代数式及其相应的值，回答问题． x 0 1 2 a 0 1 b 5 7 2 1 10 (1)【初步感知】 ①根据表中信息可知，________，________； ②若的值比的值大27.求x的值． (2)【归纳规律】 表中的值的变化规律是x的系数是1，x的值每增加1，的值就增加1；的值的变化规律是x的系数是2，x的值每增加1，的值就增加________．类似的，的值的变化规律是x的系数是，x的值每增加1，的值就减少________． (3)【问题解决】 若关于x的代数式，当x的值每增加1，的值就减少5，且当时，的值为6，求这个代数式． 37．（23-24七年级上·河南周口·期末）定义：若两个有理数的和等于这两个有理数的积，则称这两个数互为“奇妙数”．如：有理数与5，因为，所以与5互为“奇妙数”． (1)判断与是否互为“奇妙数”，并说明理由； (2)若有理数与互为“奇妙数”，与互为相反数，求代数式的值； (3)对于有理数且，设的“奇妙数”为；的倒数；的“奇妙数”为；的倒数为；……；依次按如上的操作，得到一组数．当时，求的值． 38．（23-24七年级上·湖南长沙·期末）我们规定，若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“天心方程”．例如，的解为，而，则该方程就是“天心方程”．请根据上述规定解答下列问题： (1)一元一次方程_______（填“是”或“不是”） “天心方程”． (2)若关于的一元一次方程是“天心方程”，则_______． (3)若关于的一元一次方程是“天心方程”，且它的解为，求的值． (4)若关于的一元一次方程和关于的一元一次方程都是“天心方程”，求代数式的值． 39．（23-24七年级上·江苏连云港·阶段练习）阅读解方程的途径． (1)按照图1所示的途径，填写图2内空格． ①　　；②　　． (2)已知关于x的方程+c＝的解是或（a、b、c均为常数）．求关于x的方程+c＝（k、m为常数，）的解（用含k、m的代数式表示）． 40．（22-23七年级上·湖北荆州·期末）方程的解的定义：使方程两边相等的未知数的值．如果一个方程的解都是整数，那么这个方程叫做“立信方程”． (1)若“立信方程”的解也是关于的方程的解，则___________； (2)若关于的方程的解也是“立信方程”的解，求的值． (3)关于的方程是“立信方程”，直接写出符合要求的正整数的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 一元一次方程40道压轴题型专训 【压轴题型】 一、单选题 1．（24-25七年级上·辽宁抚顺·期中）如图，老师在探究“幻方”的数学课上稍加创新改成了“幻圆”游戏，让学生们感悟到我国传统数学文化的魅力．一个小组尝试将数字，2，，4，，6，，8这8个数分别填入圆圈内，使横、竖以及内外两圆上的数字之和都相等，老师已经帮助同学们完成了部分数字填入圆圈中，则请爱思考的你计算出的值为（   ） A．或 B．或1 C．或 D．1或 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，理解题意是解题关键．这八个数的和是4，所以需满足两个圈的和是2，横、竖的和也是2．再列等式可得结论． 【详解】解：设小圈上的数为c，大圈上的数为d，如图． 因为横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，且这八个数分别为，2，，4，，6，，8， 又因为， 所以横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都为， 所以，，， 所以，，． 所以当时，，此时； 当时，，此时． 综上可知的值为或． 故选A． 2．（23-24七年级下·河南鹤壁·阶段练习）如图，正方形的边长为6，甲、乙两动点分别从正方形ABCD的顶点A，C同时沿正方形的边开始运动，甲按顺时针方向环行，乙按逆时针方向环行，若甲的速度是乙速度的2倍，则它们第次相遇是在（    ） A．边上 B．A点 C．边上 D．B点 【答案】B 【分析】本题考查了路程问题的一元一次方程应用；找到等量关系是解题关键．设乙的速度为，需要秒第2024次相遇，根据路程速度时间，即可得到关于的一元一次方程，解得的值，可得的值，即甲移动的路程，由此即可求得相遇所在的边． 【详解】解：设乙的速度为，则甲的速度为，正方形的边长为，需要秒第2024次相遇， 第一次相遇，甲乙的路程和为，其余次相遇，每次相遇的路程和为， 由题意：， 解得：， 而， 表明甲与乙第次相遇点为运动圈加，因乙是逆时针移动，则此时乙移动到了点处． 故选：． 3．（23-24七年级上·江苏无锡·期末）春节来临之际，某花店老板购进大量的康乃馨、百合、玫瑰，打算采用三种不同方式搭配成花束，分别取名为“眷恋”、“永恒”、“守候”．三种花束的每一束成本分别为元、元和元．已知销售每束“眷恋”的利润率为，每束“永恒”的利润率为，每束“守候”的利润率为，当售出的三种花束数量之比为时，老板得到的总利润率为；当售出的三种花束数量之比为时，老板得到的总利润率为，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查利润、进价与利率关系，利用等式的基本性质求解未知数之间的等量关系，先根据三种花束的利润之和除以三种花束的进价之和等式，进行整理可得，，，即可求得，，进而可得答案．掌握利润、进价与利润率关系，列出等式是解决问题的关键． 【详解】解：三种花束的每一束成本分别为元、元和元， 则三种花束的每一束利润分别为，，， 当售出的三种花束数量之比为时，三种花束的数量分别为，，， 根据题意得：， 整理得：， 当售出的三种花束数量之比为时，三种花束的数量分别为，，， 根据题意：， 整理得：，则：， 将代入得：，则：， ∴， 故选：A． 4．（2024七年级·全国·竞赛）某商场为招揽顾客，贴出优惠告示：一次性购物不超过200元的一律九折优惠，超过200元的，其中200元按九折算，超过200元的部分按八折算．苏老师二月份到该商场购物三次，第一次购物付款153元，第二次购物付款220元，三次共优惠了107元．则苏老师二月份三次到该商场购物实际付款共（    ） A．400元 B．713元 C．760元 D．820元 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，先分别求得三次购物的优惠金额，进而得出第三次购物应付款超过200元，设为元，根据题意，列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】解：第一次购物付款153元，则优惠了（元）； 第二次购物付款220元，则优惠了（元）； 第三次购物优惠了（元）， 所以第三次购物应付款超过200元， 设为元，则， 解得， 则第三次购物实际付款（元）， 所以三次购物实际付款共（元）． 故选：B． 5．（2024七年级·全国·竞赛）张老师出门散步，出门时5点多一点，他发现手表上分针与时针的夹角恰好为，回来时接近6点，他又看了一下手表，发现此时分针与时针再次成角．则张老师此次散步的时间是（    ）． A．40分钟 B．30分钟 C．50分钟 D．非以上答案 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，掌握散步前分针在时针后面,散步后分针在时针前面,是解题的关键． 设这期间分针走了,则时针走了,由题意列方程求得x，再根据分针每分钟转度即可解答． 【详解】解:设这期间分针走了,则时针走了, 由题意得:,解得：,即分针走了, ∵分针每分钟转度, ∴张老师散步的时间 (分钟) ． 故选A． 6．（23-24七年级上·湖南长沙·阶段练习）的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次方程，先利用乘法分配律的逆运算把提出来，再利用拆项法即可化简求解，掌握拆项法进行化简是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 7．（22-23七年级上·浙江宁波·期末）已知关于x的一元一次方程的解是，关于y的一元一次方程的解是（其中b和c是含有y的代数式），则下列结论符合条件的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，得到，得到的解为，类比得到答案． 【详解】∵，得到， ∴的解为， ∵方程的解是， ∴， 故选B． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解即使得方程左右两边相等的未知数的值，正确理解定义是解题的关键． 二、填空题 8．（2024七年级上·全国·专题练习）已知关于的绝对值方程有三个解，则 ． 【答案】4 【分析】首先去绝对值符号得到，然后分情况再次去绝对值符号共得到四种情况：、、、，然后用含的代数式表示出方程的解，再根据方程有三个解，所以可得：，或，求出或，再根据绝对值的非负性可得． 【详解】解：， ， 当时， 移项得：， ， 若， 解得：， 若， 解得：； 当时， 移项得：， ， 若， 解得：， 若， 解得：； 或或或， 方程有三个解， 或， 或4， ， ． 故本题答案为：4． 【点睛】本题考查了解含有绝对值的一元一次方程，解决本题的关键是正确理解绝对值的意义并根据绝对值的定义去掉绝对值符号，把方程转化为一般形式的方程． 9．（2024七年级上·全国·专题练习）(1)已知关于的一次方程无解，则的值为 ． (2)如果、为常数，关于的方程，无论为何值，方程的解总是，那么 ， ． (3)若关于的方程有无数个解，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程； （1）将方程整理得，再根据该方程无解得，由此解出，然后将代入代数式之中即可得出答案； （2）将方程整理为关于的方程得，再根据无论为何值，方程的解总是得且，将代入即可得出，的值； （3）将方程整理得，根据该方程有无数个解得且，由此解出，即可得的值． 【详解】解：（1）对于方程，移项，得：， 方程无解， ， ， 8； 故答案为：． （2）对于方程， 去分母，方程两边同时乘以，得：， 将其整理为关于的方程，得：， 无论为何值，方程的解总是， 且， 将代入得且， ，； 故答案为：；． （3）对于方程， 去分母，方程两边同时乘以，得：， 整理得：， 该方程有无数个解， 且， ，， ． 故答案为：． 【点睛】解决问题的关键是理解关于的方程，若，则该方程只有唯一解；若且，则该方程有无数个解；若且，则该方程没有解． 10．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）已知整数的绝对值均小于10，且满足，则的值为 ． 【答案】2或0或 【分析】本题考查了乘方的意义以及乘法法则，一元一次方程的应用，熟练掌握常见的整数的乘方以及学会运用分类讨论思想是解决本题的关键．根据个位数为1可确定出或，再分别讨论时，时，c，b，a的可能值，由此即可求得答案． 【详解】解：∵整数a，b，c，d的绝对值均小于10，且满足， ∴个位上的4一定是由产生的， ∵绝对值小于10的整数中，只有，， ∴或， 当时，则， 当时，则， ∴此时十位上的1或5一定是由c产生的， ∴或， ∴或， ∴或， ∴此时个位上的5或4一定是由产生的， ∵绝对值小于10的整数中， ，，， ∴，，， 将代入，得：， 将代入，得：， 将代入，得：， 综上所述，a的值为2或0或， 故答案为：2或0或． 11．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）定义：数轴上的三个点，若其中一个点与其他两个点的距离满足2倍关系，则称该点是其他两个点的“友好点”，这三点满足“友好关系”，已知数轴上点A，B表示的数分别为，点C从点B出发，沿数轴的负方向运动．在运动过程中，使A，B，C三点满足“友好关系”的点C表示的数的和是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，一元一次方程的应用：设点C表示的数为m，分当点C到点A的距离是点C到点B的距离的2倍时，当点C到点B的距离是点C到点A的距离的2倍时，当点A到点C的距离是点A到点B的距离的2倍时，当点A到点B的距离是点A到点C的距离的2倍时，当点B到点A的距离是点B到点C的距离的2倍时，当点B到点C的距离是点B到点A的距离的2倍时，共6种情况根据数轴上两点距离公式表示出的长，进而建立方程求解即可． 【详解】解：设点C表示的数为m， 当点C到点A的距离是点C到点B的距离的2倍时，则， ∴或， 解得或（舍去）； 当点C到点B的距离是点C到点A的距离的2倍时，则， ∴或， 解得或； 当点A到点C的距离是点A到点B的距离的2倍时，则， ∴或， 解得或（舍去）； 当点A到点B的距离是点A到点C的距离的2倍时，则， ∴或， 解得或； 当点B到点A的距离是点B到点C的距离的2倍时，则， ∴或， 解得或（舍去）； 当点B到点C的距离是点B到点A的距离的2倍时，则， ∴或， 解得或（舍去）； 综上所述，符合题意的m的值为或或或或或， ∴在运动过程中，使A，B，C三点满足“友好关系”的点C表示的数的和是， 故答案为：． 12．（24-25七年级上·全国·单元测试）已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，由方程得，设，则方程可转化为，即可得，据此即可求解，掌握一元一次方程的解的定义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 设，则方程可转化为， ∵关于的一元一次方程的解为， ∴， ∴， ∴方程， 故答案为：． 13．（22-23七年级上·江苏扬州·阶段练习）定义：如果两个一元一次方程的解之和为，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”．若关于方程与是“美好方程”，则关于的方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，解方程可得，由“美好方程”的定义可得方程的解为，将方程变形为，可得，据此即可求解，利用同解方程的意义解答是解题的关键． 【详解】解：解方程得，， ∵方程与是“美好方程”， ∴方程的解为， 将方程变形为， ∴， ∴， 故答案为：． 14．（23-24七年级上·四川成都·期末）如图，等边的边长为，、两点分别从、两点同时出发﹐点以的速度按顺时针方向在等边的边上运动，点以的速度按逆时针方向在等边的边上运动，则、两点第一次在等边顶点处相遇的时间 秒，第四次在等边顶点处相遇的时间 秒． 【答案】 ； ． 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，设，相遇次数为次，则当（为整数），两点在等边顶点处相遇，相遇时间为，根据题意即可求解，解题的关键是得出、相遇次数与三角形边长的关系． 【详解】由题意可知：、第一次相遇的时间为， 以后隔，、就会相遇一次， 设，相遇次数为次，则 当（为整数），两点在等边顶点处相遇， 相遇时间为（秒） 整理得：， ∴， 当时，即时，、两点第一次在三角形的顶点处相遇， 则相遇时间（秒）； 当，即，、两点第四次在三角形的顶点处相遇， 则相遇时间（秒）； 故答案为：，． 15．（23-24七年级上·广东深圳·期末）已知直线上线段，线段（点在点的左侧，点在点的左侧），若线段的端点从点开始以1个单位/秒的速度向右运动，同时点从点开始以2个单位/秒的速度向右运动，点是线段的中点，则线段运动 秒时，． 【答案】2或18 【分析】设线段运动的时间为t秒，则，，，，．分两种情况计算：①当M点在N点左侧时，②当M点在N点右侧时，分别将和用含有t的式子表示出来，根据列方程即可求出t的值． 本题主要考查了线段的中点、线段的和差、直线上的动点问题，解题的关键是正确的把各条线段用含有t的式子表示出来，并且注意分类讨论． 【详解】， 设线段运动的时间为t秒，则，，，， ∵点N是线段的中点， ． ①当M点在N点左侧时 ， ， ， ， 解得． ②当M点在N点右侧时， ， ， ， ， 解得． 综上，线段运动2秒或18秒时，． 故答案为：2或18． 16．（23-24七年级上·浙江宁波·阶段练习）已知关于x的方程，该方程的解为，则关于y的方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的解的定义，换元法解方程．理解把关于y的方程中的比作关于x的方程中的x是解题关键．关于y的方程可变形为，结合题意可得出，解出y的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． ∵关于x的方程的解为， ∴， ∴，即关于y的方程的解为． 故答案为：． 17．（23-24七年级上·山东德州·阶段练习）某市居民用电电费目前实行梯度价格表： 用电量（单位：千瓦⋅时，统计为整数） 单价（单位：元） 及以内 （含） 及以上 若居民童大爷家、月份共用电千瓦⋅时（其中月份用电量少于月份），共交电费元，则童大爷家月份的用电量为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用．根据题意分情况列一元一次方程是解题的关键． 设月份的用电量为千瓦⋅时，则月份的用电量为千瓦⋅时，由题意知，，解得，，分①当时，②当时，③当时，三种情况列方程计算求解即可． 【详解】解：设月份的用电量为千瓦⋅时，则月份的用电量为千瓦⋅时， 由题意知，，解得，， ①当时， 依题意得，， 解得：， ∴月份的用电量为千瓦⋅时； ②当时， 依题意得，， 解得：，不合题意，舍去； ③当时， 依题意得，， 方程无解； 综上所述，月份的用电量为千瓦⋅时； 故答案为：． 18．（23-24七年级上·湖北武汉·阶段练习）已知关于x的方程有三个解，则 . 【答案】 【分析】本题主要考查了含绝对值符号的一元一次方程．根据题意得：，根据绝对值的定义，结合已知条件列出关于a的一元一次方程，求解之后判断答案即可； 【详解】解；根据题意得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，，，， ∵关于x的方程有三个解，则有两个相等， 显然，不成立， 若，得到（舍去）； 若，得到，，（舍去）； 若，得到，，，（符合题意）； 若，得到，，（舍去）； 故答案为：． 19．（23-24七年级上·安徽阜阳·期中）规定：若关于x的一元一次方程的解为，则称该方程是“奇异方程”．例如：的解为，因为，所以该方程是“奇异方程”． （1）若关于x的一元一次方程是“奇异方程”，则m的值为 ． （2）若关于x的一元一次方程和都是“奇异方程”，则代数式的值为 ． 【答案】 16 【分析】本题考查了解一元一次方程、代数式求值，解题的关键是：（1）根据“奇异方程”定义列出关于m的一元一次方程；（2）根据“奇异方程”的定义列出关于m、n的方程组，利用整体思想解答． （1）根据“奇异方程”的定义即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）根据“奇异方程”的定义即可得出，，然后代入代数式)中即可算出结论． 【详解】解：（1）解一元一次方程是，得， ∵一元一次方程是“奇异方程”， ∴， ∴， ∴； （2）∵一元一次方程和都是“奇异方程”， ∴， ∴， ∴ 故答案为：，16． 20．（23-24七年级上·湖北武汉·阶段练习）已知关于的绝对值方程只有三个解，则 ． 【答案】 【分析】首先根据绝对值的意义得到或，解方程得到或或或，当时，方程只有两个解，不符合题意，则，由方程只有三个解得到，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵ ∴或， ∴或， ∴或或或， ∴或或或， 当时，则，即此时方程只有两个解，不符合题意； ∴， ∴， ∵关于的绝对值方程只有三个解， ∴， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了解含有绝对值的一元一次方程，正确理解绝对值的意义是关键． 三、解答题 21．（2024七年级上·全国·专题练习）解方程：． 【答案】 【详解】本题主要考查的是含有绝对值符号的一元一次方程的解法．难易适中．根据绝对值的性质分几种情况进行简化方程解答即可． 【分析】解：当时， 原方程可化为：， 解得：，不符合题意，舍去； 当时， 原方程可化为：， 解得：，不符合题意，舍去， 当时， 原方程可化为：， 解得：x取的实数； 当时， 原方程可化为：， 解得：．不符合题意，舍去， 综上：． 22．（24-25七年级上·重庆合川·期中）阅读下面材料：若点在数轴上分别表示实数，则两点之间的距离表示为，且； 回答下列问题： (1)①数轴上表示和2的两点A和之间的距离是 ； ②在①的情况下，如果，那么为 ； (2)当代数式取最小值时，求此时的取值范围及该代数式的最小值． (3)若点在数轴上分别表示数，是最大的负整数，且， ①求出的值． ②点同时开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点A与点之间的距离表示为．请问：的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【答案】(1)①；②或5 (2)当时，最小，最小值是 (3)①，，；②不变，2 【分析】本题主要考查了非负数的性质，数轴上两点距离计算，整式的加减计算，解绝对值方程，一元一次方程的应用： （1）①根据两点之间的距离公式可得；②根据距离公式得出关于的绝对值方程，求解即可； （2）的最小值，即数轴上表示数x的点到表示的点的距离与该点到表示数2的点的距离之和最小，，那么应在和2之间的线段上，据此可得答案； （3）①先根据是最大的负整数，求出，再根据，即可求出；②先求出，，从而得出． 【详解】（1）解：①数轴上表示和2的两点和之间的距离是； ②∵，即， ∴， ∴或． 故答案为：①；②或5； （2）解：∵， ∴即为数轴上表示数x的点到表示的点的距离与该点到表示数2的点的距离之和，如下图，    ∴的最小值，即数轴上表示数x的点到表示的点的距离与该点到表示数2的点的距离之和最小， ∴当时，最小，最小值是； （3）解：①∵是最大的负整数， ∴， ∵，，， ∴ ∴，， ∴，，； ②的值不随着时间的变化而改变，其值是2，理由如下： ∵点以每秒1个单位的速度向左运动，点和点分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动， ∴点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为， ∴，， ∴． 23．（2024七年级上·浙江·专题练习）已知是关于的二次多项式，且二次项系数和一次项系数分别为和．如图，在数轴上点，，所对应的数分别是，，，为原点，数轴上有一动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向终点运动，设运动时间为． (1) ， ， ． (2)当点运动到点时，点从点出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴上点和点之间往复运动． ①当为何值时，点第一次与点重合？ ②当点运动到点时，点的运动停止，求此时点一共运动了多少个单位长度，并求出此时点在数轴上所表示的数． ③设点，所对应的数分别是，，当时，，求的值． 【答案】(1)，，12 (2)①（秒；②点在数轴上表示的有理数为：6；③ 【分析】（1）根据二次多项式的定义，列出方程求解即可； （2）①点到点用时6秒，到点用时3秒，点运动18个单位长度在的中点处，根据第一次相遇，列方程求解即可； ②求得运动时间，然后由运动路程时间速度解答； ③当时，确定，的值，利用绝对值的性质即可解决问题． 【详解】（1）解：根据二次多项式的定义可得：，即， ，， 故答案为：，，12； （2）解：①点表示的数是，点表示的数是， ， 点从点到点用时（秒）， 点从点到点用时（秒）， 此时点运动的长度为：个单位长度， 点在的中点， 设再经过秒两点第1次重合，则有， ， 解得：， （秒）； ②点表示的数是，点表示的数是12， ， 点从点到点用时：（秒）， 则点一共运动个单位长度， ， 点在数轴上表示的有理数为：6； ③当时，点在上，点在上运动， ∵， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查了多项式、一元一次方程的应用，相反数和数轴，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 24．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）【新知理解】如图①，点C在线段上，图中的三条线段、和．若其中一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段的“蓝青点”． （1）填空：线段的中点_________这条线段的“蓝青点”；（填“是”或“不是”） 【问题解决】（2）如图②，点A和B在数轴上表示的数分别是和40，点C是线段的“蓝青点”，求点C在数轴上表示的数． 【应用拓展】（3）在（2）的条件下，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点B匀速运动；动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿向点A匀速运动．点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，两个点运动同时停止，设运动的时间为t秒，当t为何值时，A、P、Q三点中，其中一点恰好是另外两点为端点的线段的“蓝青点”？（直接写出答案）．     【答案】（1）是； （2）①若C为中点，则C点表示的数为10；②若，则C点表示的数为20；③若，则C点表示的数为0． （3），，，，， 【分析】（1）根据“蓝青点”的定义可得线段的中点是这条线段的“蓝青点”； （2）设C点表示的数为x，分三种情况①若C为中点，②若，③若，分别列方程求解即可． （3）根据题意，t秒后，P点对应的数为，Q点对应的数为．然后分6种情况讨论．相遇前分，，三种情况，相遇后分，，三种情况，分别列一元一次方程求出t的值即可． 【详解】解：（1）∵原线段的长是线段中点分成的短线段的2倍， ∴线段的中点是这条线段的“蓝青点”． 故答案为：是． （2）设C点表示的数为x， ①若C为中点，即， 则， 解得． ②若， 则， 解得， ③若， 则， 解得． 综上，C点表示的数为10或20或0． （3）解：根据题意，t秒后，P点对应的数为，Q点对应的数为． P、Q相遇前，P点是线段的“蓝青点”，则分三种情况： ①， ， 解得． ②，即时， ， 解得． ③， ， 解得， P、Q相遇后，Q点是线段的“蓝青点”，则分三种情况： ①， ， 解得． ②，即， ， 解得． ③， ， 解得． 【点睛】本题考查了数轴上的动点问题，和一元一次方程解行程问题．正确的用含有t的代数式表示出P、Q所表示的数，掌握分类讨论是解题的关键． 25．（2024七年级上·浙江·专题练习）已知点在数轴上对应的数是，点在数轴上对应的数是，现将、之间的距离记作，定义．若、满足． (1)点A表示的数_____；点B表示的数_____；_____； (2)点P在数轴上对应的数是x，则_____；如果，则_____； (3)若点表示的数是，现在有一蚂蚁从点出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，求多少秒时，蚂蚁所在的点到点、点的距离之和是8？ 【答案】(1)，1，6 (2)，或4 (3)3或11秒时，蚂蚁所在的点到点A、点B的距离之和是8 【分析】（1）利用绝对值及偶次方的非负性，可求出，的值，再利用数轴上两点间的距离公式，即可求出的长； （2）利用数轴上两点间的距离公式，可找出，结合，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）当运动时间为秒时，蚂蚁所在的点对应的数为，根据蚂蚁所在的点到点、点的距离之和是8，可列出关于的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：， ，， ，， 点表示的数，点表示的数1， ． 故答案为：，1，6； （2）解：根据题意得：点在数轴上对应的数是，则， ， ， 即或， 解得：或． 故答案为：，或4； （3）解：当运动时间为秒时，蚂蚁所在的点对应的数为， 根据题意得：， 即或， 解得：或． 答：3或11秒时，蚂蚁所在的点到点、点的距离之和是8． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、数轴、绝对值的非负性以及偶次方的非负性，解题的关键是：（1）利用绝对值及偶次方的非负性，求出，的值；（2）（3）找准等量关系，正确列出一元一次方程． 26．（24-25七年级上·湖南永州·期中）【背景知识】利用数轴可以将数与形完美地结合，这种解决问题的思想叫做数形结合思想，研究数轴我们发现了很多重要的规律： ①若数轴上点A，点B表示的数分别为a，b，若A，B的位置不确定，则A，B两点间的距离为；若A在B的右侧，即，则A，B两点间的距离为： ②若C是线段的中点，则，中点C表示的数为； ③点A向右移动m个单位后，点A表示的数为：：点A向左移动m个单位后，点A表示的数为：； 如图所示，点A、B、C、D在数轴上对应的数分别为a、b、c、d，其中a是最大的负整数，b、c满足，且． (1) ； ； ； ； (2)若点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时点C以每秒4个单位长度的速度向左运动，设运动的时间为t秒，当A、C两点之间的距离为9个单位长度时，求运动时间t值； (3)若线段和同时开始向右运动，且线段的速度小于线段的速度．在点A和点C之间有一点M，始终满足，在点B和点D之间有一点N，始终满足，此时线段为定值吗？若是，请求出这个定值，若不是，请说明理由． 【答案】(1)；7；10；13 (2)1或10 (3)线段为定值，这个定值为 【分析】（1）根据a是最大的负整数，得，根据非负数性质求出，，根据，则，求出d； （2）根据求解即可； （3）设线段每秒a个单位长度的速度向右运动，线段每秒个单位长度的速度向右运动，且，运动时间为t秒，则运动t秒后，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为，点D表示的数为，根据，求得点M表示的数为，根据，求得点N表示的数为，再由，则点M在点左边，即可求得．即可解决问题． 【详解】（1）解：∵a是最大的负整数， ∴； ∵， ∴，， ∴，； ∵， ∴， 即， ∴． （2）解：由于点、同时向左，点的速度较快，因此点可能在点左侧，也可能点右侧， 点表示的数为：，点表示的数为：， ， 解得，； ∴当A、C两点之间的距离为9个单位长度时，运动时间t值为1或10． （3）解：设线段每秒a个单位长度的速度向右运动，线段每秒个单位长度的速度向右运动，且，运动时间为t秒，则运动t秒后，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为，点D表示的数为， ∵ ∴点M表示的数为， ∵ ∴点N表示的数为， ∵ ∴点M在点左边， ∴． ∴线段为定值，这个定值为． 【点睛】本题考查用数轴上的点表示有理数，数轴上两点距离，数轴上动点问题，非负数的性质，一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，学会设未知数，构建方程解决问题． 27．（24-25七年级上·浙江·期中）【阅读】 点是数轴上的三个点，若点到点的距离是点到点的距离的（为正整数）倍，则称点是的倍关联点．如图，数轴上点分别表示数，2和3，因为点到点的距离是3个单位，点到点的距离是1个单位，所以点是的3倍关联点，但点不是的3倍关联点． 【理解】 若点表示的数为1，则点______（填“是”或“不是”）的1倍关联点．点是的______倍关联点． 【应用】 （1）若数轴上点表示的数为，且点是的2倍关联点，求的值． （2）若数轴上有一点，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动．当运动秒时，点是的倍关联点，请用含的代数式表示时间．（直接写出答案即可） 【答案】理解：是，2；应用：（1）①当点在点之间时，；②当点在点右边时，；（2）①当点在点之间时，；②当点在点右边时， 【分析】本题主要考查新定义、数轴上两点间的距离公式、一元一次方程、列代数式． 理解：先分别得出点到点的距离，再根据新定义解答即可； 应用：（1）分两种情况：①当点在点之间，②当点在点右边，由点是的2倍关联点，列关于的一元一次方程，解方程即可； （2）分两种情况：①当点在点之间，②当点在点右边，由点是的倍关联点，列关于和的等式，再用含的代数式表示时间即可． 【详解】解：理解：若点表示的数为1，则点到点的距离是2个单位，点到点的距离是2个单位，点到点的距离是1个单位， ∴点是的1倍关联点，点是的2倍关联点， 故答案为：是，2； 应用： （1）分以下两种情况： 当点在点之间时，则，， ∵点是的2倍关联点， ∴，即， 解得：； 当点在点右边时，则，， ∵点是的2倍关联点， ∴，即， 解得：； ∴的值为或7； （2）当运动秒时，点表示的数为：， 分以下两种情况： 当点在点之间时，则，， ∵点是的倍关联点， ∴，即， 解得：； 当点在点右边时，则，， ∵点是的倍关联点， ∴，即， 解得：； ∴当点在点之间时，；当点在点右边时，． 28．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）希玥服装店销售一批服装，按照标价进行销售，在销售时发现服装标签被污渍遮盖了，销售员发现打95折比打8折多盈利15元钱； (1)每件服装标价多少元？ (2)该服装店打算在年前用30000购进同样服装进行售卖，服装厂原售价为80元一件，年前甲乙两服装厂同时搞促销活动，销售方案如下图所示，请问该服装店在甲乙哪个服装厂购进服装利润最高？ 甲服装厂 乙服装厂 订购超过100件，服装全部打95折，再赠一张50元的代金券，本次购物可抵现金使用．同时每100件，免费配赠35件同样价格的服装． 订购超过100件，服装全部打八折后再减4元，同时超过出300件服装，每件服装返款0.12元包装费． (3)在（2）的条件下，该服装店购进服装后打算在进价的基础上每件服装加价，进行销售，由于接近年底，销售可能滞销，因此预计全部进行销售的服装，会有需要降价以5折出售，该服装店要想获得利润14949元，需再次按活动价格购进该厂家服装，请计算出该服装店想获得预期利润，需要准备再次购进服装多少件？ 【答案】(1)每件服装标价为100元 (2)该服装店在乙服装厂购进服装利润最高 (3)需要在购进件服装 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，有理数四则运算的实际应用． （1）设每件服装标价x元，根据打95折比打8折多盈利15元钱，列出方程求解即可； （2）根据题意先求出每个厂在优惠条件下30000元能购进的服装数量，再求出利润比较即可； （3）设需在购进y件服装，根据利润为14949元列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设每件服装标价x元，根据题意得： 解得：， 答：每件服装标价为100元； （2）解：， 根据题意： 甲厂： （件）， 购进服装数量为正整数， 在甲厂可购进500件服装， 在甲厂可购进500件服装的费用为： （元）； 乙厂： （件） 在乙厂可购进500件服装， 在甲厂可购进500件服装的费用为（元）， 则服装店在乙服装厂购进服装利润为：（元）； ， 该服装店在乙服装厂购进服装利润最高； （3）解：设需在购进y件服装，根据题意： 由（2）知，进价为：（元）， 现标价为：（元）， 按进价的基础上每件服装加价销售的服装有：（件）， 按5折出售的服装有：（件）， 售价为：（元）， 则， ，即， 解得：， 答：需要在购进件服装． 29．（23-24七年级下·重庆沙坪坝·期中）W商场10月份用72000元同时购进A、B两款服装共350件，其中A款服装每件进价180元，B款服装每件进价240元． (1)求商场10月份分别购进A，B两款服装各多少件； (2)商场决定将A、B两款服装按的价格售出，销售一段时间后A款服装售出了，B款服装售出了，剩下的A，B两款服装恰好数量相等，为尽快售完，商场将B款服装的售价提高50%，同时推出买一送一活动，即买一件B款服装送一件A款服装，直至两款服装全部售完，经结算10月份售出A，B两款服装共获利40%．那么B款服装的原售价是多少元？ (3)由于“双十一购物狂欢节”，京东，天猫等电商平台推出了预售，满减，送券，领红包等优惠活动，11月份该商场所有商品销量均减少．为吸引顾客，11月份商场对全场打折促销．店长根据市场调查推出两种促销方案如下（两种方案不能叠加享受）： 方案一：顾客所购商品的原价总和每满300元送60元的现金券，无论用券与否原总价打九折；若有券，折后可用券抵扣． 例如：某人购物总和为620元，则他实际付款为（元）． 方案二： 原价总和 优惠标准 不超过300元的部分 九折优惠 超过300元但不超过600元的部分 七折优惠 超过600元但不超过900元的部分 六折优惠 超过900元的部分 五折优惠 例如：某人购物原价总和1000元，则他实际付款： （元）． 已知小依选择方案一购物，小钟选择方案二购物，他们所购物品原价总和为1500元，且小钟所购物品的原总价高于小依．店员建议他们两人组合，一次性购买所有物品，并且选择最优惠的购买方案，这样比两人各自购物实际付款总额少84元．那么小依与小钟各自所购物品的原总价分别是多少元？ 【答案】(1)购进A，B两款服装分别为200件、150件 (2)B款服装的原售价是378元 (3)小依与小钟各自所购物品的原总价分别是360元、1140元或210元、1290元 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程是解题的关键． （1）设购进A款服装x件，则购进B款服装件，根据用72000元同时购进A、B两款服装共350件，列出方程进行求解即可； （2）设A、B两款服装的原售价分别为元，元，根据10月份售出A，B两款服装共获利40%，列出方程进行求解即可； （3）设小依所购物品的原总价是m元，则小钟所购物品的原总价是元，分，，三种情况进行讨论求解． 【详解】（1）解：设购进A款服装x件，则购进B款服装件， 由题意得：， 解得：， ∴， 答：购进A，B两款服装分别为200件，150件； （2）解：设A、B两款服装的原售价分别为元，元， 由题意得：， 解得：， ∴（元），（元）， 答：B款服装的原售价是378元． （3）解：设小依所购物品的原总价是m元，则小钟所购物品的原总价是元， 两人组合，一次性购买所有物品， 按照方案二实际付款为：（元）． ∵， ∴两人各自购物实际付款总额为：（元）， ∵小钟所购物品的原总价高于小依， ∴， ∴， ①当时，， 解得：，与矛盾； ②当时，， 解得：（元），符合题意； 此时，（元）； ③当时，， 解得：（元），符合题意； 此时，（元）； 答：小依与小钟各自所购物品的原总价分别是360元、1140元或210元，1290元． 30．（2022七年级上·全国·专题练习）平价商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件进价40元，利润率为；乙种商品每件进价50元，售价80元． (1)甲种商品每件售价为 元，每件乙种商品利润率为 ； (2)若该商场同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价为2100元，求购进甲乙两种商品各多少件？ (3)在“元旦”期间，该商场只对甲乙两种商品进行如表的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 不超过380元 不优惠 超过380元，但不超过500元 售价打九折 超过500元 售价打八折 按上述优惠条件，若小聪第一天只购买乙种商品，实际付款360元，第二天只购买甲种商品实际付款432元，求小聪这两天在该商场购买甲、乙两种商品一共多少件？ 【答案】(1)60， (2)购进甲商品40件，乙商品10件 (3)13或14件 【分析】（1）根据题意直接列式计算即可； （2）设购进甲种商品x件，则购进乙种商品件，然后根据题意列一元一次方程求解即可； （3）设第一天购买乙种商品a件，设第二天购买甲种商品b件，然后分别列方程求得，最后求和即可． 【详解】（1）解：（元）， 所以甲种商品每件售价为60元，每件乙种商品利润率为． 故答案为：60，． （2）解：设购进甲种商品x件，则购进乙种商品件， 由题意得，， 解得：，则． 答：购进甲商品40件，乙商品10件． （3）解：设第一天购买乙种商品a件， 依题意得，， 解得或4.5（舍去）， 所以第一天购买乙种商品5件． 设第二天购买甲种商品b件， 依题意得，， 解得或9， 所以第二天购买甲种商品8或9件， （件）或（件）． 答：小聪这两天在该商场购买甲、乙两种商品一共13或14件． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，读懂题意、找准等量关系、正确列出方程是解答本题的关键． 31．（21-22七年级上·重庆·期末）2021年12月，某网店从甲厂家购进了、两种商品，商品每件进价元，商品每件进价元，两种商品共购进了件，所用资金为元． (1)求12月、两种商品各购进了多少件？ (2)12月初，该网店在出售、两种商品时，商品在进价的基础上加价出售，并以此价格售出了，商品以一定价格售出了．为了促销，余下的、两种商品．网店推出买一件商品送一件商品的优惠活动，但是单独购买商品无优惠．到12月底，从甲厂家购进的、两种商品全部售完，且剩余的商品都参加了促销活动，最终网店通过销售、两种商品共获利，求12月份每件商品的售价是多少元？ (3)2022年1月份，甲厂家决定薄利多销，提出了优惠方案，同样生产、两种商品的乙厂家也提出了优惠方案． 甲厂家优惠方案： 购买总金额 优惠 未超过元 不打折 超过元，未超过元 全部打九折 超过元 全部打八折 乙厂家优惠方案： 购买商品的总件数 购买商品的总件数 优惠 未超过件 未超过件 打九折 超过件，未超过件的部分 超过件，未超过件的部分 打八折 超过件的部分 超过件的部分 打七折 1月份，该网店从甲厂家分两次分别购进、两种商品，进价与12月份相同，按照甲厂家优惠方案，第一次全部购进商品实际付款元，第二次全部购进商品实际付款元．已知从乙厂家购买商品每件进价元，购买商品每件进价元，若网店从乙厂家购买与甲厂家数量分别相同的、两种商品，并享受乙厂家的优惠方案，那么相较于从甲厂家购买，网店实际付款金额是节省还是多花费，节省或多花费多少元？ 【答案】(1)A种商品购进了200件，B种商品购进了300件； (2)12月份每件商品的售价是15元； (3)该网店从乙厂家购买比从甲厂家购买节省，节省412元或21元. 【分析】（1）设种商品购进了x件、则种商品购进了（500-x）件，根据费用之和为11000元，列出一元一次方程求解即可； （2）设12月份每件商品的售价是y元，根据销售额-成本=利润，得一元一次方程求解即可； （3）根据网店在甲厂家购进A种商品的费用可以得出其两种数量，分别计算两种购买方式的费用，与在乙厂家购买两种商品的费用比较即可. 【详解】（1）解：设种商品购进了x件、则种商品购进了（500-x）件， 由题意，得， 解得， ， 答：种商品购进了200件，种商品购进了300件. （2）解：设12月份每件商品的售价是y元， 由题意，得：， 解得， 答：12月份每件商品的售价是15元. （3）解：在甲厂家购进A、B两种商品共需付：4320+3690=8010（元） 由（元），（元） 所以在甲厂家购进A商品数量为=120（件），或=135（件）， 由（元）， 所以在甲厂家购进B商品数量为=410（件）， 从乙厂家购买120件A商品需付款：（元）， 购买135件A商品需付款：（元）， 购买410件B商品需付款： （元）， 故从乙厂家购买120件A商品、410件B商品需付款：3434+4164=7598（元） 从乙厂家购买135件A商品、410件B商品需付款：3825+4164=7989（元） 故该网店从乙厂家购买比从甲厂家购买节省，节省8010-7598=412（元）或8010-7989=21（元） 答：该网店从乙厂家购买比从甲厂家购买节省，节省412元或21元. 【点睛】此题考查了一元一次方程的实际应用，掌握销售问题中的各个量之间的关系，是解答此题的关键. 32．（24-25七年级上·广东深圳·期中）数轴是学习有理数的一种重要工具，任何有理数都可以用数轴上的点表示，这样能够运用数形结合的方法解决一些问题．如图将一条数轴在原点O，点B，点C，点D处各折一下，得到一条“坡面数轴”．图中点A表示，点B表示8，点C表示16，点D表示24，点E表示28．我们称点A和点E相距36个单位长度，动点P从A从出发，以每秒4个单位的速度沿着“坡面数轴”的正方向移动，同时，动点Q从E出发以每秒3个单位的速度沿着“坡面数轴”的负方向移动，两个点上坡时候的速度均是各自初始速度的一半，下坡时候的速度均是各自初始速度的2倍，平地则保持初始速度不变．当点P运动至点E时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．问： (1)动点P从点A运动到E点需要　　　秒，此时点Q对应的数是　　　； (2)P，Q两点在点M出相遇，求出相遇点M所对应的数是多少? (3)当P，B两点在这个上数轴上相距的长度与Q，D两点在这个数轴上相距长度相等时，直接写出此时t的值． 【答案】(1)10，4 (2) (3)4或8.8或10 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用、数轴，解题关键是读懂题意，找到等量关系，列出方程．本题难度适中，是中考常考题型，要求学生牢固掌握． （1）根据点在各段的运动速度结合公式：时间路程速度即可得到动点从点运动至点需要的时间，分析点在每段上运动需要的时间即可解答； （2）分析可知当，两点在处相遇时，点在段，再求出两点相遇所用时间，最后计算出点所对应的数即可； （3）根据题意可分情况讨论：①当点在段时，点在段，此时大于8，小于4，不符合题意；②当点在段时，点在段，根据列出方程并求解；③当点在段时，点在段，根据列出方程并求解；④当点在段时，点在段时，小于8，大于8，不符合题意；⑤当点在段，点在段，根据列出方程并求解；⑥当点在段，点在段，根据列出方程并求解． 【详解】（1）解：由题意可知，动点在、、段的速度均为4单位秒，在段的速度为2单位秒，在段的速度为8单位秒， ，， 动点从点运动至点需要的时间为（秒， 动点从点出发，以3单位秒的速度沿着数轴的负方向运动，在，，段的速度为3单位秒，段的速度为1.5单位秒，在段的速度为6单位秒， 动点从点运动到点需要（秒，从点运动到点需要（秒，从点运动到点需要（秒， （秒， ， ． 此时点对应的点是4； 故答案为：10，4； （2）解：由（1）可知，，两点在处相遇时，点在段， 动点由点经过点到点点用时为（秒， 动点从点到点用时为（秒， 6秒到秒动点的路程， 相遇的时间（秒， 点的路程， 点所对应的数； （3）解：①当点在段时，点在段，此时大于8，小于4，不符合题意； ②当点在段时，点在段， 若，则，， ， 解得：； ③当点在段时，点在段， 若，则，， ， 解得：（舍去）； ④当点在段时，点在段时，小于8，大于8，不符合题意； ⑤当点在段，点在段， 若，则，， ， 解得：； ⑥当点在段，点在段， 若，则，， ， 解得：． 综上所述，当为4或8.8或10时，，两点在数轴上相距的长度与，两点在数轴上相距的长度相等． 33．（24-25七年级上·北京·期中）如图是一个400米长的圆形跑道，从O点出发，沿跑道顺时针跑出52米的距离记作米，逆时针跑出60米记作米．已知跑道上的两点A，B对应的有理数分别为a，b，且满足：， (1) ________； (2)定义1：跑道上任意两点之间较短圆弧的长度叫做这两点的弧距． 定义2：若点M为跑道上A，B两点之间较短圆弧上的一点，且到A，B两点的弧距满足：其中一个弧距是另一个弧距的3倍，则称M为A，B两点的“友谊点”． ①直接写出A，B两点的“友谊点”M在跑道上对应的有理数； ②点P以每秒40个单位长度的速度从点A出发，沿跑道逆时针运动，同时点Q以每秒20个单位长度的速度从点B出发，沿跑道顺时针运动．当Q与O重合时，运动停止．当P为O，Q两点的“友谊点”时，此时运动的时间为t秒，请直接写出t的所有可能取值． 【答案】(1)； (2)①，（n为整数）；②或或或 【分析】本题考查了非负数的性质，列一元一次方程解决实际问题，分类讨论的数学思想，此题最后一问在环形跑道上考虑行程问题综合性比较强，分类讨论到位是解题的关键． （1）根据非负数的性质即可求解； （2）①设M在跑道上对应的有理数为x，则，，根据定义可列方程或，即可求解； ②根据“友谊点”的定义，当P为O，Q两点的“友谊点”时，必须为O、Q两点间的较短圆弧，由于Q点运动到O点后停止，所以考虑两个主要情形：Ⅰ：Q点过O'点前；Ⅱ：Q点过点后．再根据每种情形列方程或，再分别求解即可． 【详解】（1）解：由，可知， ∴， ∴． 故答案为：． （2）①设M在跑道上对应的有理数为x，则，， 根据定义，可得或， 可列方程为或， 解得：或， 由于M点可绕圆周顺时针或逆时针运动， ∴x可加上任意n圈， 故M在跑道上对应的有理数为：或（k为任意整数）． ②∵点P以每秒40个单位长度的速度从点A出发，沿跑道逆时针运动， 同时点Q以每秒20个单位长度的速度从点B出发，沿跑道顺时针运动． 根据“友谊点”的定义，当P为O，Q两点的“友谊点”时， 必须为O、Q两点间的较短圆弧，如图所示，点与O点对称． 由于Q点运动到O点后停止，所以本题考虑两个主要情形： Ⅰ：Q点过点前； Ⅱ：Q点过点后． 先讨论Ⅰ情形： 由题意可得， 此时， 所以， 则． ∴当时，即， 解得：； 当时，即， 解得：． 再讨论Ⅱ情形： 此时P点已第一次过O点， ∴， ∴， 当时，即， 解得：； 当时，即， 解得：． 综上所述：t的所有可能取值为或或或． 34．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）如图，正方形的边在数轴上，数轴上点表示的数为，正方形的面积为16． (1)数轴上点B表示的数为________； (2)将正方形沿数轴水平移动，移动后的正方形记为，移动后的正方形与原正方形重叠部分的面积为S． ①当时，画出图形，并求出数轴上点表示的数； ②设正方形的移动速度为每秒2个单位长度，点为线段的中点，点在线段上，且．经过t秒后，点E，F所表示的数互为相反数，直接写出t的值． 【答案】(1) (2)①点表示的数为或2；② 【分析】（1）利用正方形的面积为16，可得长，再根据，进而可得点表示的数； （2）①先根据正方形的面积为16，可得边长为4，当时，分两种情况：正方形向左平移，正方形向右平移，分别求出数轴上点表示的数； ②当正方形沿数轴负方向运动时，点，表示的数均为负数，不可能互为相反数，不符合题意；当点，所表示的数互为相反数时，正方形沿数轴正方向运动，再根据点，所表示的数互为相反数，列出方程即可求得的值． 【详解】（1）解：正方形的面积为16， ， 点表示的数为， ， ， 数轴上点表示的数为， 故答案为：． （2）解：①正方形的面积为16， 边长为4， 当时，分两种情况： 若正方形向左平移，如图1， ， ， 点表示的数为； 若正方形向右平移，如图2， ， ， 点表示的数为； 综上所述，点表示的数为或2； ②的值为4．理由如下： 当正方形沿数轴负方向运动时，点，表示的数均为负数，不可能互为相反数，不符合题意； 当点，所表示的数互为相反数时，正方形沿数轴正方向运动，如图3， ，点表示， 点表示的数为， ，点表示， 点表示的数为， 点，所表示的数互为相反数， ， 解得． 【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，数轴以及两点间的距离公式的运用，解决问题的关键是正确理解题意，利用数形结合列出方程，注意要分类讨论，不要漏解． 35．（23-24七年级下·四川内江·阶段练习）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程互为“阳光方程”．例如：的解为，的解为，所以这两个方程互为“阳光方程”． (1)若关于x的一元一次方程与是“阳光方程”，则　　； (2)已知两个一元一次方程互为“阳光方程”，且这两个“阳光方程”的解的差为5．若其中一个方程的解为，求k的值； (3)①已知关于x的一元一次方程的解是，请写出解是的关于y的一元一次方程：（只需要补充含有y的代数式）； ②若关于x的一元一次方程和互为“阳光方程”，则关于y的一元一次方程的解为 ． 【答案】(1) (2)3或 (3)①，；② 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，利用同解方程的意义解答是解题的关键，本题是新定义型，理解并熟练应用新定义解答也是解题的关键． （1）分别求得两个方程的解，利用“阳光方程”的定义列出关于m的方程解答即可； （2）利用“阳光方程”的定义得出两个“阳光方程”的解为由两个“阳光方程”的解的差为5列出关于k的方程解答即可； （3）①由题意可知的解是，结合，则即可求解； ②求得方程的解，利用“阳光方程”的定义得到方程的解，再将关于y的方程变形得，利用同解方程的定义即可得到，从而求得方程的解． 【详解】（1）解：关于x的一元一次方程的解为：, 方程的解为：， 关于x的一元一次方程与是“阳光方程”， 解得：； 故答案为：； （2）解： 互为“阳光方程”的一个解为，则另一个解为， 又这两个“阳光方程”的解的差为5 则或， 解得或． 故k的值为3或； （3）解：①关于x的一元一次方程的解是， 即的解是， 关于y的一元一次方程：的解是， 则的解是， 即的解是， 故答案为：，； ②∵关于x的一元一次方程的解为， 又∵关于x一元一次方程和互为“阳光方程”， 方程的解为：， 把关于y的一元一次方程， 整理得： ， 解得：， 关于y的一元一次方程的解为： 故答案为： 36．（23-24七年级上·江西吉安·阶段练习）观察下列表格中几个代数式及其相应的值，回答问题． x 0 1 2 a 0 1 b 5 7 2 1 10 (1)【初步感知】 ①根据表中信息可知，________，________； ②若的值比的值大27.求x的值． (2)【归纳规律】 表中的值的变化规律是x的系数是1，x的值每增加1，的值就增加1；的值的变化规律是x的系数是2，x的值每增加1，的值就增加________．类似的，的值的变化规律是x的系数是，x的值每增加1，的值就减少________． (3)【问题解决】 若关于x的代数式，当x的值每增加1，的值就减少5，且当时，的值为6，求这个代数式． 【答案】(1)①；3；② (2)2；3 (3) 【分析】本题考查了代数式求值及一元一次方程的解，熟练掌握列代数式是解答本题的关键． （1）①将对应的值代入含有的代数式计算即可；②根据题意可得关于x的方程，解方程即可求解； （2）根据表格中的数据分析判断即可； （3）根据（2）中的规律可知，当的值每增加1，的值就减少5时，的系数．又因为时，的值为6．所以．解得即可得到代数式． 【详解】（1）①当时，代数式；当时，； 故答案为：． ②根据题意得， 解得． （2）表中的值的变化规律是的系数是1，的值每增加1，的值就增加1； 的值的变化规律是的系数是2，的值每增加1，的值就增加 2． 类似的，的值的变化规律是的系数是，的值每增加1，的值就减少 3． 故答案为：2；3． （3）根据（2）中的规律可知，当的值每增加1，的值就减少5时，的系数． 又因为时，的值为6． 所以．解得， 故这个代数式为 37．（23-24七年级上·河南周口·期末）定义：若两个有理数的和等于这两个有理数的积，则称这两个数互为“奇妙数”．如：有理数与5，因为，所以与5互为“奇妙数”． (1)判断与是否互为“奇妙数”，并说明理由； (2)若有理数与互为“奇妙数”，与互为相反数，求代数式的值； (3)对于有理数且，设的“奇妙数”为；的倒数；的“奇妙数”为；的倒数为；……；依次按如上的操作，得到一组数．当时，求的值． 【答案】(1)是，理由见解析 (2) (3) 【分析】本题考查有理数的运算，代数式求值，数字类规律探究，掌握“奇妙数”的定义，是解题的关键． （1）根据“奇妙数”的定义，进行判断即可； （2）根据“奇妙数”的定义，得到，相反数的定义，得到，将代数式化简后，整体代入法求值即可； （3）先求出前几个数，得到这组数6个为一组进行循环，进而求出的值即可． 【详解】（1）解：是，理由如下： ∵，， ∴； 故与互为“奇妙数”； （2）∵与互为“奇妙数”，与互为相反数， ∴，， ∴ ； （3）当，， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴这组数6个为一组进行循环， ∵， ∴． 38．（23-24七年级上·湖南长沙·期末）我们规定，若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“天心方程”．例如，的解为，而，则该方程就是“天心方程”．请根据上述规定解答下列问题： (1)一元一次方程_______（填“是”或“不是”） “天心方程”． (2)若关于的一元一次方程是“天心方程”，则_______． (3)若关于的一元一次方程是“天心方程”，且它的解为，求的值． (4)若关于的一元一次方程和关于的一元一次方程都是“天心方程”，求代数式的值． 【答案】(1)不是 (2) (3)， (4) 【分析】（1）解得，由“天心方程”的定义得，即可求解； （2）解得，由“天心方程”的定义得，即可求解； （3）解得：，由“天心方程”的定义得及方程的解为得和，解方程组，即可求解； （4）由“天心方程”得，，从而可得， ，，将此代入代数式得化简即可求解． 【详解】（1）解：， 解得：， ， 不是天心方程， 故答案：不是； （2）解：由解得， 一元一次方程是“天心方程”， ， 解得：， 故答案：； （3）解：由解得： ， 方程的解为， ①， 一元一次方程是“天心方程”， ②， 联立①②，解得， 故，； （4）解：一元一次方程是“天心方程”， ， ①， 关于的一元一次方程是“天心方程”， ， ， ②， 由①②得：③， ④， ⑤， 将③④⑤代入代数式得： 原式 ． 【点睛】本题考查了新定义，方程的解，求代数式的值，解含参数的一元一次方程，理解新定义，能用整体代换的思想求解是解题的关键． 39．（23-24七年级上·江苏连云港·阶段练习）阅读解方程的途径． (1)按照图1所示的途径，填写图2内空格． ①　　；②　　． (2)已知关于x的方程+c＝的解是或（a、b、c均为常数）．求关于x的方程+c＝（k、m为常数，）的解（用含k、m的代数式表示）． 【答案】(1)①；② (2)， 【分析】本题考查了解方程的整体思想与一元一次方程的解法，根据题意得出新的一元一次方程是解题的关键． （1）①把看作①的x，即可得到；解一元一次方程即可求得方程的解． （2）按照图1途径得到或，然后解关于x的一元一次方程即可． 【详解】（1）解：根据图1可得：①；②． （2）解：由题意得：或， 解得：，． 40．（22-23七年级上·湖北荆州·期末）方程的解的定义：使方程两边相等的未知数的值．如果一个方程的解都是整数，那么这个方程叫做“立信方程”． (1)若“立信方程”的解也是关于的方程的解，则___________； (2)若关于的方程的解也是“立信方程”的解，求的值． (3)关于的方程是“立信方程”，直接写出符合要求的正整数的值． 【答案】(1)3 (2) (3)4，6，18 【分析】（1）先求出的解，再将方程的解代入，求出的值即可； （2）由得，，利用整体思想，将代入，求出的值即可； （3）求出方程的解，根据方程是“立信方程”得到方程的解为整数，进行求解即可． 【详解】（1）解：，解得：， ∵的解也是关于的方程的解， ∴，解得：； 故答案为：3； （2）解：∵， ∴， ∵关于的方程的解也是“立信方程”的解， ∴， ∴，解得：； （3），解得：， ∵是“立信方程”， ∴是整数， ∴或， 解得：或或（不合题意，舍去）或， ∴符合要求的正整数的值为． 【点睛】本题考查方程的解，解一元一次方程．理解并掌握方程的解的定义，“立信方程”的定义，是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$