精品解析：2025年云南省昆明市第十四中学中考一模数学试题

2024~2025学年上学期九年级一模模拟考试 数学 注意事项： 1．满分100分，答题时间为120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列四个图形分别是绿色食品、节水、节能和回收标志，在这四个标志中，中心对称图形是（ ） A. B. C. D. 2. 若关于x的方程是一元二次方程，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 若是方程的一个根，则代数式的值为（ ） A. B. C. D. 5. 用配方法解方程，变形后的结果正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 关于二次函数的图象与性质，下列说法正确的是( ) A. 对称轴是直线，最小值是 B. 对称轴是直线，最大值是 C. 对称轴是直线，最小值是 D. 对称轴是直线，最大值是 7 如图，将绕直角顶点C顺时针旋转，得到，连接，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 若点，，都在二次函数的图象上，则（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是的直径，．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，是的直径，弦于点E，如果，那么线段的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 11. 抛物线部分图象如图所示，则一元二次方程的根为（ ） A. B. ， C. ， D. ， 12. 二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 13. 若点与点关于原点对称，则的值是________． 14. 如图，四边形是内接四边形，若，则的度数为_________． 15. 已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程的两根，则该等腰三角形的周长为________． 16. 如图，的直径为，弦是弦上一动点，则长的取值范围是________． 三、解答题（本大题共8小题，共56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解一元二次方程：． 18. 往一个圆柱形管道内注入一些水以后，发现其横截面如图所示，若水面宽为，水的最大深度为，求圆柱形管道横截面的直径． 19. 如图，的三个顶点的坐标分别为． （1）将向右平移5个单位长度，得到，请画出该图形． （2）将绕坐标原点O逆时针旋转90°，得到，画出图形，并直接写出点的坐标． 20. 已知抛物线 （1）求证：抛物线与x轴有两个不同的交点； （2）当时，抛物线与x轴交于点A，B，求的长． 21. 如图，为的直径，为的弦．的平分线交于点D． （1）若，求的度数； （2）若，求的面积． 22. 某超市以每千克30元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y（千克）与每千克降价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）当这种干果每千克降价多少元时，超市获利最大，最大利润是多少元？ 23. 如图，等腰直角中，点D在上，将绕顶点B沿顺时针方向旋转得到 （1）求的度数； （2）若求长． 24. 如图，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，且满足． （1）求抛物线的解析式； （2）M是线段上的一点（不与点B，C重合），过点M作轴交抛物线于点N，交x轴于点D，连接，若点M的横坐标为m，是否存在点M，使的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年上学期九年级一模模拟考试 数学 注意事项： 1．满分100分，答题时间为120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列四个图形分别是绿色食品、节水、节能和回收标志，在这四个标志中，中心对称图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义∶把一个图形绕某个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，解答即可． 【详解】解：A．不符合中心对称图形的定义，因此不是中心对称图形，故错误； B．不符合中心对称图形的定义，因此不是中心对称图形，故错误； C．不符合中心对称图形的定义，因此不是中心对称图形，故错误； D．符合中心对称图形的定义，因此是中心对称图形，故正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，理解中心对称图形的概念是解题关键． 2. 若关于x的方程是一元二次方程，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义．熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 由题意知，，计算求解即可． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， 解得，， 故选：A． 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质；将解析式化为顶点式即可求解． 【详解】解：， ∴顶点坐标为， 故选：B． 4. 若是方程的一个根，则代数式的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值．熟练掌握一元二次方程的解，代数式求值是解题的关键． 由题意得，，即，根据，代值求解即可． 【详解】解：∵是方程一个根， ∴，即， ∴， 故选：C． 5. 用配方法解方程，变形后的结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，根据解一元二次方程−配方法进行计算即可解答，熟练掌握二次项系数化为1，再移常数项，然后方程两边同时加上一次项系数一半的平方，从而得出配方的结果是解决此题的关键． 【详解】， ， ， ， 故选：C． 6. 关于二次函数的图象与性质，下列说法正确的是( ) A. 对称轴是直线，最小值是 B. 对称轴是直线，最大值是 C. 对称轴是直线，最小值是 D. 对称轴是直线，最大值是 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．根据二次函数的性质解答． 【详解】解：二次函数， 对称轴为直线，开口向下，最大值为， 故选：D． 7. 如图，将绕直角顶点C顺时针旋转，得到，连接，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，解题的关键是由题意根据旋转的性质可得，再判断出是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求出，根据即可解答． 【详解】解：∵绕其直角顶点C按顺时针方向旋转后得到， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 8. 若点，，都在二次函数的图象上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 由，可知对称轴为轴，当时，随着的增大而增大，由题意知，关于轴对称的点坐标为，由，可得． 【详解】解：∵， ∴对称轴为轴，当时，随着的增大而增大， 由题意知，关于轴对称的点坐标为， ∵， ∴， 故选：A． 9. 如图，是的直径，．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了弧与圆心角之间的关系，根据同圆中，等弧所对的圆心角相等得到，再根据平角的定义可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：B． 10. 如图，是的直径，弦于点E，如果，那么线段的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理．熟练掌握垂径定理，勾股定理是解题的关键． 由题意得，，，由勾股定理得，，计算求解即可． 【详解】解：∵是的直径，弦， ∴，， 由勾股定理得，， 故选：B． 11. 抛物线的部分图象如图所示，则一元二次方程的根为（ ） A. B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】直接观察图象，抛物线与x轴交于，对称轴是直线，所以根据抛物线的对称性可以求得抛物线与x轴的另一交点坐标，从而求得关于x的一元二次方程的解． 【详解】观察图象可知，抛物线与x轴的一个交点为，对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一交点坐标为， ∴一元二次方程的解为，． 故选：D． 【点睛】本题考查了用函数图像解一元二次方程的方法．一元二次方程的解实质上是抛物线与x轴交点的横坐标的值． 12. 二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了二次函数与一次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数及一次函数的图象与性质是解本题的关键．由二次函数解析式表示出顶点坐标，根据图形得到顶点在第四象限，求出m与n的正负，即可作出判断． 【详解】解：根据题意得：抛物线的顶点坐标为，且在第四象限， ∴， ∴， 则一次函数经过一、二、三象限，不经过第四象限． 故选：D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 13. 若点与点关于原点对称，则的值是________． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点坐标的特征，有理数的乘方等知识．熟练掌握关于原点对称的点坐标的特征，有理数的乘方是解题的关键． 由题意知，，可求，然后代值求解即可． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴， 解得，， ∴， 故答案为：9． 14. 如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数为_________． 【答案】##125度 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质．熟练掌握圆内接四边形对角互补是解题的关键． 根据计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， 故答案为：． 15. 已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程的两根，则该等腰三角形的周长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形性质，三角形的三边关系，解一元二次方程，能求出方程的解并能够判断三角形三边存在的条件是解此题的关键．求出一元二次方程的解，得出三角形的边长，用三角形存在的条件分类讨论边长，即可得出答案． 【详解】解： 解得：或， 当等腰三角形的三边为2，2，4时，不符合三角形三边关系，此时不能组成三角形； 当等腰三角形的三边为2，4，4时，符合三角形三边关系，此时能组成三角形，周长为， 所以三角形的周长为10， 故答案为：． 16. 如图，的直径为，弦是弦上一动点，则长的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了圆中求半径，勾股定理，垂径定理，解决本题的关键是确定的最小值，所以求的范围问题又被转化为求弦的弦心距问题，而解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，利用勾股定理求解． 先求出圆的半径，进而求出的最大值，的最小值就是弦的弦心距的长，过点作弦的弦心距，利用勾股定理求解． 【详解】解：如图：连接，作与． ∵的直径为， ∴半径为， ∴的最大值为， ∵与， ． ， ． 在中， ， 的长即为的最小值， ． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解一元二次方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】直接利用因式分解的方法解一元二次方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键在于能够熟练掌握掌握解一元二次方程的方法． 18. 往一个圆柱形管道内注入一些水以后，发现其横截面如图所示，若水面宽为，水的最大深度为，求圆柱形管道横截面的直径． 【答案】圆柱形管道横截面的直径为 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理的应用及勾股定理．由题意可得，，根据垂径定理求得，设圆的半径为，则，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：由题意可得，， ∴， ∵， ∴， 设圆的半径为，则，， 在中， ∴， 解得：， ∴圆柱形管道横截面的直径为． 19. 如图，的三个顶点的坐标分别为． （1）将向右平移5个单位长度，得到，请画出该图形． （2）将绕坐标原点O逆时针旋转90°，得到，画出图形，并直接写出点的坐标． 【答案】（1）图见解析 （2）图见解析， 【解析】 【分析】（1）根据平移的性质，画出即可； （2）根据旋转的性质，画出，根据图形，写出点的坐标即可． 本题考查了利用旋转变换作图，利用平移变换作图，熟练掌握网格结构，并准确找出对应点的位置是解题的关键． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 如图，即为所求，由图可知：． 20 已知抛物线 （1）求证：抛物线与x轴有两个不同的交点； （2）当时，抛物线与x轴交于点A，B，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）6 【解析】 【分析】本题考查的是抛物线和x轴的交点问题，涉及一元二次方程解法与根的判别式． （1）证明，即可求解； （2）将代入抛物线表达式，令，求出点A，B的坐标，根据两点间距离公式进而求解． 【小问1详解】 证明： ， 故此抛物线与x轴有两个不同交点； 【小问2详解】 解：当时，， 令，则， 解得：或， ∴． 21. 如图，为的直径，为的弦．的平分线交于点D． （1）若，求的度数； （2）若，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由是直径得，利用圆周角定理求出，再利用直角三角形的性质即可解答； （2）由角平分线的定义得到根据圆周角定理求出，得到是等腰直角三角形，解直角三角形求出，由三角形面积公式即可求解． 【小问1详解】 解：∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 【点睛】本题考查圆周角定理及其推论，解直角三角形，等腰直角三角形的判定和性质，弧、弦、圆心角的关系；熟练掌握圆周角定理及其推论是解题关键． 22. 某超市以每千克30元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y（千克）与每千克降价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）当这种干果每千克降价多少元时，超市获利最大，最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）当这种干果每千克降价10元时，超市获利最大，最大利润是4000元 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，二次函数的应用： （1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）设利润为w，根据利润等于每件的利润乘以销售量，列出关系式，利用二次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：设y与x之间的函数解析式为． 把代入得： ， 解得：， ∴y与x之间的函数解析式为； 【小问2详解】 解：由题意得： ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， 答∶当这种干果每千克降价10元时，超市获利最大，最大利润是4000元． 23. 如图，在等腰直角中，点D在上，将绕顶点B沿顺时针方向旋转得到 （1）求的度数； （2）若求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，本题中利用全等三角形得出线段和角相等是解题的关键． （1）根据旋转的性质结合等腰直角三角形的性质得到，计算即可； （2）由（1）知，，得到，，利用勾股定理求出，再证明是等腰直角三角形，利用勾股定理即可解答． 【小问1详解】 解：是由旋转得到的，为等腰直角三角形， ∴，， ， ； 【小问2详解】 解：∵， 由（1）知，， ∴，，， 中，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴（负值舍去）． 24. 如图，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，且满足． （1）求抛物线的解析式； （2）M是线段上的一点（不与点B，C重合），过点M作轴交抛物线于点N，交x轴于点D，连接，若点M的横坐标为m，是否存在点M，使的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，求出两点的坐标，利用待定系数法求二次函数的解析式； （2）先求直线的解析式，表示出、两点的坐标，利用纵坐标的差计算的长，根据面积公式得：，的长是定值为3，所以的最大值即为面积的最大值，求所表示的二次函数的最值即可． 【小问1详解】 解：抛物线经过点，，三点，且， ∴， 设抛物线的解析式为：， ， ， 抛物线的解析式：； 【小问2详解】 解：存在， 设直线的解析式为：， 把，代入得：， 解得：， 直线的解析式为， ， 又轴， ， ； ， 当最大时，的面积最大， ， 当时，的有最大值为， 当时，的面积最大， 点的坐标． 【点睛】本题是二次函数的综合题，难度适中，考查了利用待定系数法求二次函数和一次函数的解析式，并利用铅直高度与水平宽度的积求三角形的面积，同时要熟练掌握二次函数的最值的求法． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$