第七章第05讲 思想方法专题：三角形中有关角度计算的思想方法（5类热点题型讲练）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学上册同步学与练（北师大版）

第05讲 思想方法专题：三角形中有关角度计算的思想方法 (4类热点题型讲练) 目录 【类型一 方程思想】 1 【类型二 整体思想】 7 【类型三 转化思想】 10 【类型四 分类讨论思想】 14 【类型一 方程思想】 例题：已知：中，，，求的度数． 【答案】 【分析】设度，则度，，构建方程即可解决问题． 【详解】解：设度，则度，， 在中，， ∴， ∴ 即． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，解题的关键是学会构建方程解决问题，属于中考常考题型． 【变式训练】 1．如图，平分，．    (1)与相等吗？为什么？ (2)若，求的度数． 【答案】(1)相等，见解析 (2) 【分析】（1）由角平分线可得，根据，利用等式性质，可得结论； （2）若设，则，根据（1）中的结论以及三角形的内角和定理列方程进行求解即可． 【详解】（1）解：相等．理由如下：                                           平分， ，                                                 又， ， ； （2）解：设，则，                                  由（1）有：， ， 在中，， ，                 解得：， ． 【点睛】本题考查了角平分线性质，三角形外角性质及三角形内角和定理，掌握相关性质是解题关键． 2．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，EF交BA延长线于点G，∠CFE=∠G． （1）求证：AD∥EG； （2）设∠B=x，∠G=y，若x-y=30°，∠ADC=110°，求∠B的度数． 【答案】（1）见解析；（2）． 【分析】（1）先根据角平分线的性质得，又因为，从而可得，即可证AD∥EG； （2）由题意可知，，进而可列方程，即可求出∠B. 【详解】解：（1）平分 解得： 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，对顶角相等，三角形的外角性质以及根据内错角相等判定直线平行. 3．已知，如图1，中，平分，平分，与交于点M．    (1)若，求的度数； (2)如图2，若于N，，求图中的值； (3)若，，那么______（用含x，y的代数式表示） 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）根据三角形内角和定理求出即可解决问题； （2）构建方程组即可解决问题； （3）利用外角的性质及上面（2）的结论即可用含x、y的代数式表示即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， 同理，， ∴ ∴①， ∵， ∴②， 得：； （3）解：如图：    同理 ， ∴， ∵，，且， ∴①，②， 得：， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查了三角形内角和定理、角平分线的性质及外角的性质，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考常考题型． 4．（1）如图1，、分别平分、，若，，求的度数． （2）如图2，直线平分的外角，平分的外角，若，，求此时的度数． （3）在图3中，平分，平分的外角，猜想与、的关系，直接写出结论______．    图1                                     图2                                           图3 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）先根据三角形内角和定理即可证明；再根据角平分线的性质得到，，列方程组即可求出答案； （2）根据角平分线的定义可得，，推出，，由（1）的结论推出，即可解决问题； （3）同法列出方程组即可解决问题． 【详解】（1）解：如图，先证明“8”字型图形具有的一个结论：； 在中，， 在中，， ， ；    如下图，、分别平分，， ，， 由上面的结论得：， ①②，得， ；      （2）解：如图，    平分的外角，平分的外角， ，， ，， 由（1）的结论可得：， 即， ， ； （3）∵平分，平分的外角， ，， 由（1）的结论可得： ①×2-②，得， 整理可得：． 故答案为：．    【点睛】本题考查三角形内角和，三角形的外角的性质以及方程组的应用等知识，解题的关键是学会用方程的思想思考问题，属于中考常考题型． 【类型二 整体思想】 例题：已知线段、相交于点O，连接、． (1)求证：； (2)如图2，与的平分线、相交于点P，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据三角形内角和定理即可求证结论； （2）根据角平分线的定义和三角形内角和解答即可． 【详解】（1）在中，， 在中，， ∵， ∴； （2）在、相交线中，有， 在、相交线中，有， ∴， ∵、分别平分、， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查三角形内角和定理和角平分线定义，解题的关键是熟练掌握并运用三角形内角和定理和角平分线定义． 【变式训练】 1．如图，∠ECF＝90°，线段 AB 的端点分别在 CE 和 CF 上，BD 平分∠CBA，并与∠CAB 的外角平分线 AG 所在的直线交于一点 D． （1）∠D 与∠C 有怎样的数量关系？（直接写出关系及大小） （2）点 A 在射线 CE 上运动，（不与点 C 重合）时，其它条件不变，（1）中结论还成立吗？说说你的理由． 【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【分析】（1）根据角平分线的性质、外角的性质、三角形内角和定理整理即可得出答案； （2）根据（1）中结论即可推理得出答案． 【详解】（1）∠C＝2∠D 即：∠D＝45°． ∵BD平分∠CBA，AG平分∠EAB，∴∠EAB＝2∠GAB，∠ABC＝2∠DBA． ∵∠CAB＝180°﹣2∠GAB，∠BAC+∠ABC＝90°，即180°﹣2∠GAB+2∠DBA＝90°，整理得出∠GAB﹣∠DBA＝45°，∴∠D∠C＝45°； （2）当A在射线CE上运动（不与点C重合）时，其它条件不变，（1）中结论还成立． ∵∠CAB+∠ABC＝∠C＝90°，不论A在CE上如何运动，只要不与C点重合，这个关系式都是不变的，整理这个式子：∠CAB＝180°﹣2∠GAB，∠ABC＝2∠DBA，得：180°﹣2∠GAB+2∠DBA＝90°，整理得：∠GAB﹣∠DBA＝45度，恒定不变，即：∠D＝45°的结论不变，∴∠C＝2∠D恒成立． 【点睛】本题考查了角平分线的性质、外角的性质、三角形内角和定理，比较综合，难度较大． 2．已知与相交于点．    (1)如图①，这样的图形我们把它称为“字形”，求证：； (2)如图②，、分别平分、，若，，求的度数； (3)如图③，平分的外角，平分的外角，猜想与、的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)，理由见解析 【分析】（1）利用三角形内角和定理及对顶角的性质即可证明； （2）利用（1）中结论可得，，进而可得； （3）根据四边形，内角和为360度列式相加，可得． 【详解】（1）证明：∵，， ． ∵， ∴． （2）解：∵、分别平分、， ∴，． 由（1）的结论得，，① ，② ①＋②得，， ∴． ∵，， ∴． （3）解：． 理由：∵平分的外角，平分的外角， ∴，， 在四边形中，①， 在四边形中，②， ①＋②得：． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的定义等，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． 【类型三 转化思想】 例题：如图，已知：点P是内一点．    (1)如图①若，求的度数； (2)如图①求证：大于； (3)如图②，作外角，的平分线，相交于点Q．试探索与之间的数量关系； 【答案】(1)130° (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据三角形的内角定理得出，再根据角平分线的定义，即可求解； （2）延长交于D，如图所示，根据三角形的外角定理可得，，即可求证； （3）根据角平分线的定义可得，再根据三角形的内角和，即可解答． 【详解】（1）解：∵． ∴， ∵点P是与的平分线的交点， ∴； （2）解：延长交于D，如图所示：                                ∵是的一个外角，是的一个外角， ∴，， ∴；（答案不唯一） （3）解：∵外角，的角平分线交于点Q， ∴ ， ∴； 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定义，三角形的外角定理，角平分线，解题的关键是掌握三角形的内角和为，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和． 【变式训练】 1．小红把一副直角三角板按如图所示的方式摆放在一起，其中，，，，求的度数． 【答案】 【分析】如图，由三角形的外角的性质可得： 可得 再利用三角形的内角和求解 再利用四边形的内角和求解 再求解 从而可得结论． 【详解】解：如图，由三角形的外角的性质可得： 【点睛】本题考查的是三角形的内角和，四边形的内角和定理，三角形的外角的性质，平角的定义，掌握以上知识是解题的关键． 2．问题情境： 如图①所示的图形，像我们常见的学习用品--圆规．我们不妨把这样的图形叫做“规形图”． 探究发现：    （1）观察“规形图”，试探究与之间的数量关系，并说明理由； 解决问题： （2）请你利用以上结论，解决下列问题： （i）如图②，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边恰好经过点，若，则________； （ii）如图③，平分平分，若的度数______． 【答案】（1），理由见解析；（2）（i）50；（ii） 【分析】（1）连接并延长至点，根据三角形外角性质即可得到与，，之间的数量关系； （2）i、由（1）可得，，再根据，，即可得出的度数；ii、根据（1），可得，，再根据平分，平分，即可得出的度数． 【详解】解：（1）如图①，连接并延长至点，    根据外角的性质，可得，， 又， ， ； （2）i．由（1）可得，； 又，， ， 故答案为：50； ii．由（1），可得， ， ， 又平分，平分， ， ． 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理以及三角形外角性质的运用，熟知三角形的内角和等于是解答此题的关键． 3．（1）如图1，将纸片沿折叠，使点C落在四边形内点的位置， ①若，，则_________； ②探索、与之间的数量关系，并说明理由； （2）如图4，将纸片沿折叠，使点落在边上方点的位置，探索、与之间的数量关系，并说明理由．    【答案】①②，理由见详解（2），理由见详解 【分析】（1）①根据折叠的特点，折叠对应角相等，结合三角形内角和定理，求解； ②根据折叠的特点，折叠对应角相等，结合三角形内角和定理，求解； （2）利用（1）问的探究规律，根据折叠的特点，折叠对应角相等，结合四边形内角和，即可求解． 【详解】解：（1）①由折叠性质可知：，， ∵，， ∵， ∴， ∴； ②，理由如下： ∵由折叠性质可知：，， ∴， ∴， 则、与之间的数量关系为； （2），理由如下 ∵，， ∴， 在四边形中，， 则， ∵， ∴． 【点睛】本题考查多边形内角和和外角和，三角形内角和定理，图形折叠的性质；能够根据折叠的特点，找到角之间的等量关系，是解题的关键． 【类型四 分类讨论思想】 例题：在中，，是边上的高，若，则 ． 【答案】或 【分析】根据题意分两种情况：高在内部和高在外部，然后根据三角形内角和定理求出，然后利用角的和差求解即可． 【详解】如图所示，当高在内部时，    ∵是边上的高， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 如图所示，当高在外部时，    ∵是边上的高， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 综上所述，或． 故答案为：或． 【点睛】此题考查了三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握三角形内角和定理． 【变式训练】 1．定义：当三角形中一个内角是另一个内角的两倍时，我们称此三角形为“友好三角形”，其中称为“友好角”．如果一个“友好三角形”的一个内角为，那么这个三角形的“友好角”的度数为 ． 【答案】或或 【分析】利用“友好三角形”的定义讨论：当三角形的另一个内角为时，可确定“友好角”的度数为；当三角形的另一个内角为时，可确定 “友好角”的度数为；当三角形的另两个内角为时，可确定 “友好角”的度数为． 【详解】解：∵一个“友好三角形”中有一个内角为， ∴当三角形的另一个内角为时，这个“友好三角形”的“友好角”的度数为； 当三角形的另一个内角为时，这个“友好三角形”的“友好角”的度数为； 当三角形的另两个内角为时，则， 解得：，； 综上所述：这个“友好三角形”的“友好角”的度数为或或． 故答案为：或或． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，读懂题目信息，理解“友好角”的定义是解题的关键，难点在于分情况讨论． 2．请认真完成下列的数学活动 我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，那么三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？    ●尝试探究（1）如图①，与分别为的两个外角，试探究与之间的数量关系． ●初步运用（2）如图②，在纸片中前去，得到四边形．若，则___________．小明联想到了曾经解决的一个问题：如图③，在中，，分别平分外角，，则与之间的数量关系为________________（请利用上面的结论直接写出答案）． ●拓展提升（3）如图④，在四边形中，，分别平分外角，，设． ①试说明与的数量关系； ②根据值的情况，请直接判断的形状（按角分类）． 【答案】（1） （2）； （3）①；②当时，为钝角三角形；当，为直角三角形；当时，为锐角三角形 【分析】（1）根据三角形外角的性质和三角形内角和定理求解即可． （2）先由邻补角性质求出，再根据三角形外角性质、角平分线的定义计算即可． （3）①利用角平分线的定义、三角形外角和内角和定理求解即可． ②分三种情况：当时，当时，当时，分别判定即可. 【详解】解：（1），， ， ， （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∵，分别平分外角，， ∴，， ∴ 即 （3）如图，    ① ， ②当时， ∵， ∴， ∴为钝角三角形； 当时，， ∴为直角三角形； 当时， ∵， ∴， ∴为锐角三角形． 【点睛】本题考查角平分线的定义，三角形外角性质与内角和定理，三角形分类，熟练掌握三角形外角性质与内角和定理是解题的关键． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 思想方法专题：三角形中有关角度计算的思想方法(4类热点题型讲练) 目录 【类型一 方程思想】 1 【类型二 整体思想】 7 【类型三 转化思想】 10 【类型四 分类讨论思想】 14 【类型一 方程思想】 例题：已知：中，，，求的度数． 【变式训练】 1．如图，平分，．    (1)与相等吗？为什么？ (2)若，求的度数． 2．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，EF交BA延长线于点G，∠CFE=∠G． （1）求证：AD∥EG； （2）设∠B=x，∠G=y，若x-y=30°，∠ADC=110°，求∠B的度数． 3．已知，如图1，中，平分，平分，与交于点M．    (1)若，求的度数； (2)如图2，若于N，，求图中的值； (3)若，，那么______（用含x，y的代数式表示） 4．（1）如图1，、分别平分、，若，，求的度数． （2）如图2，直线平分的外角，平分的外角，若，，求此时的度数． （3）在图3中，平分，平分的外角，猜想与、的关系，直接写出结论______．    图1                                     图2                                           图3 【类型二 整体思想】 例题：已知线段、相交于点O，连接、． (1)求证：； (2)如图2，与的平分线、相交于点P，求证：． 【变式训练】 1．如图，∠ECF＝90°，线段 AB 的端点分别在 CE 和 CF 上，BD 平分∠CBA，并与∠CAB 的外角平分线 AG 所在的直线交于一点 D． （1）∠D 与∠C 有怎样的数量关系？（直接写出关系及大小） （2）点 A 在射线 CE 上运动，（不与点 C 重合）时，其它条件不变，（1）中结论还成立吗？说说你的理由． 2．已知与相交于点．    (1)如图①，这样的图形我们把它称为“字形”，求证：； (2)如图②，、分别平分、，若，，求的度数； (3)如图③，平分的外角，平分的外角，猜想与、的数量关系，并说明理由． 【类型三 转化思想】 例题：如图，已知：点P是内一点．    (1)如图①若，求的度数； (2)如图①求证：大于； (3)如图②，作外角，的平分线，相交于点Q．试探索与之间的数量关系； 【变式训练】 1．小红把一副直角三角板按如图所示的方式摆放在一起，其中，，，，求的度数． 2．问题情境： 如图①所示的图形，像我们常见的学习用品--圆规．我们不妨把这样的图形叫做“规形图”． 探究发现：    （1）观察“规形图”，试探究与之间的数量关系，并说明理由； 解决问题： （2）请你利用以上结论，解决下列问题： （i）如图②，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边恰好经过点，若，则________； （ii）如图③，平分平分，若的度数______． 3．（1）如图1，将纸片沿折叠，使点C落在四边形内点的位置， ①若，，则_________； ②探索、与之间的数量关系，并说明理由； （2）如图4，将纸片沿折叠，使点落在边上方点的位置，探索、与之间的数量关系，并说明理由．    【类型四 分类讨论思想】 例题：在中，，是边上的高，若，则 ． 【变式训练】 1．定义：当三角形中一个内角是另一个内角的两倍时，我们称此三角形为“友好三角形”，其中称为“友好角”．如果一个“友好三角形”的一个内角为，那么这个三角形的“友好角”的度数为 ． 2．请认真完成下列的数学活动 我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，那么三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？    ●尝试探究（1）如图①，与分别为的两个外角，试探究与之间的数量关系． ●初步运用（2）如图②，在纸片中前去，得到四边形．若，则___________．小明联想到了曾经解决的一个问题：如图③，在中，，分别平分外角，，则与之间的数量关系为________________（请利用上面的结论直接写出答案）． ●拓展提升（3）如图④，在四边形中，，分别平分外角，，设． ①试说明与的数量关系； ②根据值的情况，请直接判断的形状（按角分类）． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$