第七章第04讲 三角形的内角和定理（2考点+6题型+过关检测）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学上册同步学与练（北师大版）

第04讲 三角形的内角和定理 课程标准 学习目标 ①会运用三角形内角和定理进行计算 ②掌握三角形的外角的定义和性质 1.会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内角和等于180°； 2.会运用三角形内角和定理进行计算； 3.掌握三角形的外角的定义和性质,利用外角的性质进行简单的证明和计算. 知识点01 三角形的内角和定理 （1） 定理：三角形三个内角和等于180度； （2）直角三角形的两个锐角互余. 【即学即练1】 1．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图，在中，点M，N分别在上，，将沿折叠后，点A落在点处．若，则的度数为 ． 【答案】 【知识点】三角形内角和定理的应用、折叠问题、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，平行线的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．先根据折叠的性质得出，，再由三角形内角和定理得出，再根据平行线的性质得出，进而求解即可． 【详解】∵，将沿折叠后，点A落在点处， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 2．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，， 若，，则的度数为 ． 【答案】/度 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等三角形的性质 【分析】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质，由三角形内角和定理可得，再根据全等三角形的性质即可求解，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·河南信阳·期中）如图，在中，三个内角的平分线交于点，过点作，交边于点，的外角的平分线与的延长线交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】根据平行线判定与性质证明、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了平行线的性质和判定，三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的性质和判定是解题的关键． （1）已知，平分，平分，根据角平分线的定义得到的度数，根据内错角相等，两直线平行，即可判断本问结论； （2）根据两直线平行，内错角相等，可得，即可得到的度数，从而求出的度数；已知、分别为、的角平分线，根据角平分线的定义可得的度数，结合三角形内角和即可得到的度数． 【详解】（1）证明：∵，平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． ∵、分别为、的角平分线， ∴， ∴． 知识点02 三角形的外角性质 （1）外角：三角形的一边和另一边的延长线组成的角（一个角的外角有2个） （2）外角性质：三角形的外角等于和它不相邻两内角的和； 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻内角； 三角形外角和为360度. 【即学即练2】 4．（24-25八年级上·云南大理·期中）如图，点E在上，点D在的延长线上，连接交于点O．若，． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质、对顶角相等 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形的外角性质，对顶角性质，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键 （1）根据三角形外角性质直接解答即可； （2）根据对顶角的性质得，再根据三角形内角和定理即可解答． 【详解】（1）解：，， 是的一个外角， （2）， ， ，， ． 5．（24-25八年级上·北京·期中）如图，在中，平分，P为线段上的一个动点，交直线于点E，若，． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1)30° (2)25° 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形的外角的定义及性质 【分析】此题主要考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义和三角形外角的性质，根据已知得出度数是解题关键． （1）直接根据角平分线的定义以及三角形内角和定理可得答案； （2）根据三角形内角和定理以及三角形外角的性质可的结果． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴． 6．（24-25八年级上·广东江门·期中）如图，在中，、分别是的外角和的平分线． (1)若，，则　　　． (2)若，则　　　． (3)试猜想与的数量关系，并证明你的猜想的正确性． 【答案】(1) (2) (3)，证明见解析 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，熟练掌握外角和内角的关系是解题的关键． （1）先根据，得出与的度数，再根据、分别是的外角和的平分线，得出与的度数，然后根据三角形内角和定理即可得出的度数； （2）由角平分线的定义及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得，，可得出，进而利用三角形的内角和定理求解； （3）根据（1）、（2）的证明即可得出结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∵、分别是的外角和的平分线， ∴，， ∴． 故答案为：50°； （2）∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：； （3）猜想：． 同（2）可得，， 即． 题型01 三角形内角和定理的证明 【典例1】阅读材料：为了证明“三角形的内角和是”，林老师给出了如图所示四种作辅助线的方法回答下列问题：    (1)图①，②在证明三角形内角和的过程中应用的数学思想是（    ） A．转化思想    B．整体思想    C．方程思想    D．数形结合思想 (2)请选用③或④证明三角形的内角和为． 【答案】(1)A (2)见解析 【分析】（1）证明“三角形的内角和是”的方法均是将三角形的三个内角的和转化为平角． （2）选用④证明三角形的内角和为，延长，在延长线上取一点，根据平行线的性质可求得，，结合，即可证明结论． 【详解】（1）证明“三角形的内角和是”的方法均是将三角形的三个内角的和转化为平角，应用的数学思想是转化思想． 故选：A． （2）选用④证明三角形的内角和为，理由如下： 如图所示，延长，在延长线上取一点．    ∵， ∴，． 又， ∴， 即三角形的内角和为． 【点睛】本题主要考查平行线的性质和三角形内角和定理，牢记平行线的性质是解题的关键． 【变式1】回答下列问题． (1)小明在预习说明“三角形内角和等于”一节课时，抄写了如下预习笔记，不小心漏抄了部分理由，请你将漏抄的理由填写完整：    解：过顶点A作， ，（所作） ，．（____） 点E，A，F在同一条直线上（所作）， ．（____） ．（____） (2)请你用不同的方法说明“三角形内角和等于”    【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】（1）根据过程填写依据即可； （2）延长，过作，可证，，由，即可得证． 【详解】（1）解：过顶点A作， ，（所作） ，．（两直线平行，内错角相等．） 点E，A，F在同一条直线上（所作）， ．（平角的定义） ．（等量代换） （2）解：如图，延长，过作，    ，， 、、在同一条直线上， ， ． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理的证明方法，平行线的性质，掌握性质及证明方法是解题的关键． 【变式2】数学课上，同学们通过撕、拼的方法，探索、验证三角形的内角和等于．下面是小彬的课堂笔记，请阅读操作方法，补全说理过程． 如图①，的三个内角分别为． 将和撕下，按图②的方式摆拼，使和的顶点均与的顶点重合，的一边与AB重合，的一边与AC重合．    理由：由操作可知，所以（__________）． 同理，， 所以__________∥__________． 因为经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，所以点D，A，E在同一直线上， 所以__________， 即__________+__________=__________． 【答案】见解析 【分析】利用平行线的判定证明即可． 【详解】解：由操作可知，所以（内错角相等，两直线平行）． 同理，， 所以． 因为经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，所以点，，在同一直线上， 所以， 即． 故答案为：内错角相等，两直线平行；，；180；，，． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，平行线的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 题型02 与平行线有关的三角形内角和问题 【典例2】如图，在中，，，，则的度数为 ． 【答案】83 【分析】根据三角形的内角和及平行线的性质即可求解． 【详解】解：，， ， 又， ， 故答案为：83． 【点睛】本题考查了三角形的内角和及平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【变式1】如图，直线，直线与直线分别相交于点和，，垂足为点，若，则 ．    【答案】/50度 【分析】根据平行线的性质，三角形的内角和的定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，三角形内角和定理，掌握以上知识，图形结合分析是解题的关键． 【变式2】如图，，，． （1） ； （2）在直线上取一点，使得，则的度数是 ．    【答案】 70° 40°或80° 【分析】（1）根据平行可得，即可求出； （2）画出图形，先求出，再求出的度数即可． 【详解】（1）∵，， ∴， ∴，； 故答案为：； （2）∵，， ∴ 当在右边时，    ∵， ∴， ∵， ∴， 当在左边时，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：40°或80°． 【点睛】本题考查三角形内角和及平行线的性质，熟记平行线的性质并选择合适的角度关系是解题的关键． 题型03 与角平分线有关的三角形内角和问题 【典例3】如图，直角中，，分别是的角平分线，则 ．    【答案】/45度 【分析】根据三角形的内角和等于求出，再根据角平分线的定义求出，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，从而得解． 【详解】解：∵， ∴， ∵分别是的角平分线， ∴， ∴， 由三角形的外角性质得，． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质并准确识图，理清图中各角度之间的关系是解题的关键． 【变式1】如图所示，在中，，、分别平分，，则等于 ．    【答案】/115度 【分析】首先根据三角形内角和定理得到，然后根据角平分线的性质得到，最后根据三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵、分别平分，， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理以及角平分线的定义，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的内角和是． 【变式2】如图，在中，的平分线交于点是与平分线的交点，是的两外角平分线的交点，若，则的度数分别 ．    【答案】， 【分析】运用平角的性质可求出，，根据角平分线的性质可得则，，，根据四边形的内角和定理，直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】解：如图所示，，    ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∵，， ∴， ∴，则， 同理，， 在四边形中，， ∵平分，平分，且， ∴， ∴在中，， 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查多边形内角和定理，平角的性质，角平分线的性质，直角三角形两锐角互余等知识的综合，掌握以上知识，图形结合分析是解题的关键． 题型04 三角形折叠中的角度问题 【典例4】如图，中，，边上有一点，使得，将沿翻折得，此时，则 度．    【答案】 【分析】设，由折叠知，根据三角形内角和定理，,得．于是． 【详解】解：设，由折叠知 ∵， ∴. ∵ ∴,得． ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查轴对称折叠的性质、三角形内角和定理；理解轴对称的性质是解题的关键． 【变式1】如图，在中，，点D、E分别是，上一点，将沿折叠，使点A落在点F处，已知，的度数 ．    【答案】 【分析】由折叠可知：，由三角形的内角和定理可求，即可求得，再利用三角形的内角和定理可求，进而可求解． 【详解】解：由折叠可知：，    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为： 【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理，翻折问题，掌握三角形的内角和定理是解题的关键． 【变式2】如图，在中，，，D是的中点，点E是边上一个动点，将沿翻折，使点A落在点处，当时，的度数为 ．        【答案】或 【分析】根据点在直线的上方与下方，分两种情况分别讨论．先计算，再根据翻折的对称性可求得，再由求得，再由翻折对称性求得为的一半．另一种情况仿此可求得． 【详解】分两种情况讨论： ①点位于直线的下方，延长，交于点H．如图．    由得， 由沿翻折为， ∴ ∴， 由得， ∴． ∴． ②点位于直线的上方，连接，交于点M．如图．      由得， ∴． 由得． ∴． 综合①②可知，或 故答案为：或． 【点睛】本题考查了图形翻折的轴对称性、三角形的内角和等知识点，解题的关键是画出图形，分两种情况讨论． 题型05 三角形内角和定理的应用 【典例5】定义：当三角形中一个内角是另一个内角的两倍时，我们称此三角形为“友好三角形”，其中称为“友好角”．如果一个“友好三角形”的一个内角为，那么这个三角形的“友好角”的度数为 ． 【答案】或或 【分析】利用“友好三角形”的定义讨论：当三角形的另一个内角为时，可确定“友好角”的度数为；当三角形的另一个内角为时，可确定 “友好角”的度数为；当三角形的另两个内角为时，可确定 “友好角”的度数为． 【详解】解：∵一个“友好三角形”中有一个内角为， ∴当三角形的另一个内角为时，这个“友好三角形”的“友好角”的度数为； 当三角形的另一个内角为时，这个“友好三角形”的“友好角”的度数为； 当三角形的另两个内角为时，则， 解得：，； 综上所述：这个“友好三角形”的“友好角”的度数为或或． 故答案为：或或． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，读懂题目信息，理解“友好角”的定义是解题的关键，难点在于分情况讨论． 【变式1】如图，处在处的南偏西方向，处在处的南偏东方向，处在处的北偏东方向，则的度数为 ．    【答案】/度 【分析】根据平行线的性质，可得内错角相等，根据角的和差，可得、，根据三角形的内角和公式，可得答案． 【详解】解：如图，    根据方向角的定义，可得． ∵， ∴． ∵是正南正北方向， ∴， 又∵， ∴， ． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了方向角的定义，平行线的性质以及三角形的内角和定理，正确理解定义是解题的关键． 【变式2】（科研考古）如图，考古学家发现在地下处有一座古墓，古墓上方是煤气管道，为了不影响管道，准备在，处开工挖出“”字形通道．如果，，那么的度数是 ．    【答案】/75度 【分析】先求出，再根据三角形的内角和定理即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和，解题的关键是掌握三角形的内角和为． 题型06 三角形的外角的定义与性质 【典例6】如图，，，，求的度数．    【答案】 【分析】根据，则，再根据三角形的外角，则，即可． 【详解】∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查三角形，平行线的知识，解题的关键是掌握平行线的性质，三角形的外角． 【变式1】在中，．现进行第一次操作：如图1作射线，使得，作射线，使得．再进行第二次操作：如图2作射线，使得，作射线，使得．再进行第三次操作：如图3作射线使得，作射线，使得．则 ． 【答案】/度 【分析】根据三角形的外角定理和角平分线的定义推出，根据，得出，最后根据三角形的内角和得出，同理可得： ，，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ， 同理可得： ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理和三角形的外角性质等知识点，能熟记三角形的内角和等于180度和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解此题的关键． 【变式2】（1）如图1，在中，平分，P为线段上的一点，于P交直线于点E，交直线、于F、G，若，时， ______度； （2）如图2，平分的外角，其余条件不变，若，，求的度数；（用含有，的式子表示）． 【答案】（1）10；（2） 【分析】（1）先根据三角形的内角和定理求得的度数，再根据角平分线的定义求得的度数，从而根据三角形的外角性质即可求出的度数，进一步求得的度数； （2）根据三角形的外角性质即可求出的度数，再根据角平分线的定义求得的度数，在中根据三角形的内角和定理求得的度数，进一步求得的度数． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； 故答案为：10； （2）根据三角形的外角性质： ， ∵平分， ∴， ∵， 在中，， 即， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形的外角性质，直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键． 一、单选题 1．在中，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形的内角和定理即可解答. 【详解】解：∵， ∴； 故选：B. 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，熟知三角形的内角和是180度是关键. 2．如图，直线，直线c与直线a，b分别相交于点A，B，，垂足为点D，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两直线平行，同位角相等可得，根据直角三角形两锐角互余求出． 【详解】解：∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线的性质，直角三角形两锐角互余，熟记性质是解题的关键． 3．如图，的外角和外角的平分线交于点，已知，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分别是的外角和外角的平分线，得出，，，根据，得出，根据∠，，得出，最后根据三角形的内角和，得出． 【详解】∵， ∴， ∵和的平分线交于点， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选C． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，邻补角的有关计算，解题的关键是根据角平分线和邻补角的定义求出． 4．如图，三角形纸片中，，，将沿对折，使点落在外的点处，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据三角形的内角和定理求出，即为，再根据三角形的外角性质求解即可. 【详解】解：∵， ∴， 由折叠的性质可知，， ∴， ∴， 故选：D.    【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、折叠的性质和三角形的外角性质等知识，熟练掌握折叠的性质和三角形的基本知识是解题关键. 5．在探究证明“三角形的内角和是180”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是180°”的是（   ） A．  过作 B．  延长到，过作 C．  作于点 D．  过上一点作， 【答案】C 【分析】运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义解决此题． 【详解】解：由，则，． 由，得．故A不符合题意； 由，则，． 由，得．故B不符合题意； 由于，则， 无法证得三角形内角和是．故C符合题意， 由，得，．由，得，，那么． 由，得．故D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查三角形内角和的定理的证明，平行线的性质，熟练掌握转化的思想以及平角的定义是解决本题的关键． 二、填空题 6．在中，若，则 ． 【答案】/75度 【分析】由：，，，可得出，求得，最后求得． 【详解】解：，， 又， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，牢记“三角形内角和是”是解题的关键． 7．如图，在中，三角形的内角和的平分线交于点E，则 ．    【答案】/110度 【分析】利用与的内角和，再结合可建立与之间的等式关系，即可求解． 【详解】∵三角形的内角和的平分线交于点E， ∴ ∴ ∴． 故答案为：. 【点睛】本题考查了三角形内角和定理与角平分线的定义，从解题的过程中可以推导出：解题的关键是建立与之间的关系式． 8．如图，在中，，内角和外角的平分线，相交于点，则的度数为 ．    【答案】 【分析】利用外角推理证明即可． 【详解】∵内角和外角的平分线，相交于点， ∴，， 由三角形外角性质可得，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是三角形的角平分线的性质、补角的定义以及三角形的外角性质，解题的关键是要熟练掌握相关的性质定理． 9．如图，在中，，，，平分，则 ．    【答案】45° 【分析】先求出，再求出即可解答． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵， ∴， 在中，， 平分， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形内角和定理和外角的性质，熟练掌握以上知识是解题． 10．如图，在中，、的平分线交于点O，D是与平分线的交点，E是的两外角平分线的交点，若，则的度数为 °． 【答案】 【分析】利用角的平分线，外角性质，三角形内角和定理，计算即可． 【详解】∵、的平分线交于点O，，D是与平分线的交点，E是的两外角平分线的交点， ∴ ， 解得， ∴ ， ∴ ， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了内角的平分线，外角的平分线，三角形内角和定理，熟练掌握角的平分线是解题的关键． 三、问答题 11．如图，中，平分为延长线上一点，于，已知，，求的度数． 【答案】 【分析】三角形内角和定理，求出的度数，角平分线，求的度数，再用外角的性质进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分，， ∴，， ∵， ∴． 【点睛】本题考查三角形的内角和定理以及外角的性质，正确的识图，理清角度之间的关系，掌握三角形的内角和定理以及外角的性质，是解题的关键． 12．如图，在中，，点是上任一点，过作，垂足为，为的平分线，与交于点．    (1)求的度数； (2)若，请判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】（1）先根据三角形的外角性质求出，再根据角平分线的定义解答； （2）根据三角形的内角和求出，进而可作判断． 【详解】（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∵为的平分线， ∴； （2），理由如下： 在中，∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了三角形的内角和、三角形的外角性质、角平分线的定义和平行线的判定等知识，熟练掌握相关图形的性质定理是解题的关键． 13．如图，在中，是高，是角平分线．    (1)若，求的度数． (2)若，则_______． (3)若．则的度数_______（结果用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2)15 (3) 【分析】（1）根据垂直定义由得，再利用角平分线定义得，然后根据三角形内角和定理得，，则，把，代入中计算即可； （2）把代入中计算即可； （3）把代入中计算即可 【详解】（1）解：于， ， 平分， ， 而， ， ， ， 若，， 则； （2）同理：若， 则； （3）同理：若， 则． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，解题的关键是三角形内角和是． 14．在中，的平分线与的外角的平分线交于点E．    (1)如图①，若，则________；如图②，若，则_______；如图③，若，则________； (2)根据以上求解的过程，你发现与之间有什么关系？如果有，写出你的发现过程；如果没有，请说明理由（借助图①）． 【答案】(1)，， (2)有， 【分析】（1）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，，再根据角平分线的定义可得，，然后整理得到，再分别代入数据进行计算即可得解； （2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，，再根据角平分线的定义可得，，然后整理得到． 【详解】（1）解：（1）由三角形的外角性质得，，， 的平分线与的外角的平分线交于点， ，， ， ， 若时，； 若时，， 若时，； 故答案为：，，； （2）解：由三角形的外角性质得，，， 的平分线与的外角的平分线交于点， ，， ， ． 【点睛】本题考查三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记性质并能运用整体思想是解题的关键． 15．在中，，E是两条内角平分线的交点，F是两条外角平分线的交点，是内角外角的平分线的交点．    (1)求和的度数；（直接写出结果） (2)探索与之间的数量关系，并说明理由； (3)若，在（2）的情况下，作与的平分线交于点，以此类推，与的平分线交于点，求的度数．（直接写出结果） 【答案】(1)， (2)，理由见详解 (3) 【分析】（1）根据角平分线定义得到，，再根据三角形内角和定理得，再把代入即可；根据角平分线定义得到，再根据三角形内角和定理得然后把代入计算即可； （2）根据角平分线定义得到，，再根据三角形外角性质得，，则； （3）根据（2）的结论可得到，然后把的度数代入即可． 【详解】（1）解：∵点E是两条内角平分线的交点， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∵F是两条外角平分线的交点， ∴，， ∴， ∴； ∵， ∴， （2）解：，理由如下： ∵是内角外角的平分线的交点， ∴，， ∵，， ∴； （3）解：∵，， ∴ ∵， ∴， 作与的平分线交于点，如图：    ∵，， ∴ ∵， ∴， 由此可知的度数为：． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是，也考查了三角形外角性质，灵活运用角平分线的定义和三角形的内角和是解题的关键． 16．问题情境： 如图①所示的图形，像我们常见的学习用品--圆规．我们不妨把这样的图形叫做“规形图”． 探究发现：    （1）观察“规形图”，试探究与之间的数量关系，并说明理由； 解决问题： （2）请你利用以上结论，解决下列问题： （i）如图②，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边恰好经过点，若，则________； （ii）如图③，平分平分，若的度数______． 【答案】（1），理由见解析；（2）（i）50；（ii） 【分析】（1）连接并延长至点，根据三角形外角性质即可得到与，，之间的数量关系； （2）i、由（1）可得，，再根据，，即可得出的度数；ii、根据（1），可得，，再根据平分，平分，即可得出的度数． 【详解】解：（1）如图①，连接并延长至点，    根据外角的性质，可得，， 又， ， ； （2）i．由（1）可得，； 又，， ， 故答案为：50； ii．由（1），可得， ， ， 又平分，平分， ， ． 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理以及三角形外角性质的运用，熟知三角形的内角和等于是解答此题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 三角形的内角和定理 课程标准 学习目标 ①会运用三角形内角和定理进行计算 ②掌握三角形的外角的定义和性质 1.会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内角和等于180°； 2.会运用三角形内角和定理进行计算； 3.掌握三角形的外角的定义和性质,利用外角的性质进行简单的证明和计算. 知识点01 三角形的内角和定理 （1） 定理：三角形三个内角和等于180度； （2）直角三角形的两个锐角互余. 【即学即练1】 1．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图，在中，点M，N分别在上，，将沿折叠后，点A落在点处．若，则的度数为 ． 2．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，， 若，，则的度数为 ． 3．（24-25八年级上·河南信阳·期中）如图，在中，三个内角的平分线交于点，过点作，交边于点，的外角的平分线与的延长线交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 知识点02 三角形的外角性质 （1）外角：三角形的一边和另一边的延长线组成的角（一个角的外角有2个） （2）外角性质：三角形的外角等于和它不相邻两内角的和； 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻内角； 三角形外角和为360度. 【即学即练2】 4．（24-25八年级上·云南大理·期中）如图，点E在上，点D在的延长线上，连接交于点O．若，． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 5．（24-25八年级上·北京·期中）如图，在中，平分，P为线段上的一个动点，交直线于点E，若，． (1)求的度数； (2)求的度数． 6．（24-25八年级上·广东江门·期中）如图，在中，、分别是的外角和的平分线． (1)若，，则　　　． (2)若，则　　　． (3)试猜想与的数量关系，并证明你的猜想的正确性． 题型01 三角形内角和定理的证明 【典例1】阅读材料：为了证明“三角形的内角和是”，林老师给出了如图所示四种作辅助线的方法回答下列问题：    (1)图①，②在证明三角形内角和的过程中应用的数学思想是（    ） A．转化思想    B．整体思想    C．方程思想    D．数形结合思想 (2)请选用③或④证明三角形的内角和为． 【变式1】回答下列问题． (1)小明在预习说明“三角形内角和等于”一节课时，抄写了如下预习笔记，不小心漏抄了部分理由，请你将漏抄的理由填写完整：    解：过顶点A作， ，（所作） ，．（____） 点E，A，F在同一条直线上（所作）， ．（____） ．（____） (2)请你用不同的方法说明“三角形内角和等于”    【变式2】数学课上，同学们通过撕、拼的方法，探索、验证三角形的内角和等于．下面是小彬的课堂笔记，请阅读操作方法，补全说理过程． 如图①，的三个内角分别为． 将和撕下，按图②的方式摆拼，使和的顶点均与的顶点重合，的一边与AB重合，的一边与AC重合．    理由：由操作可知，所以（__________）． 同理，， 所以__________∥__________． 因为经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，所以点D，A，E在同一直线上， 所以__________， 即__________+__________=__________． 题型02 与平行线有关的三角形内角和问题 【典例2】如图，在中，，，，则的度数为 ． 【变式1】如图，直线，直线与直线分别相交于点和，，垂足为点，若，则 ．    【变式2】如图，，，． （1） ； （2）在直线上取一点，使得，则的度数是 ．    题型03 与角平分线有关的三角形内角和问题 【典例3】如图，直角中，，分别是的角平分线，则 ．    【变式1】如图所示，在中，，、分别平分，，则等于 ．    【变式2】如图，在中，的平分线交于点是与平分线的交点，是的两外角平分线的交点，若，则的度数分别 ．    题型04 三角形折叠中的角度问题 【典例4】如图，中，，边上有一点，使得，将沿翻折得，此时，则 度．    【变式1】如图，在中，，点D、E分别是，上一点，将沿折叠，使点A落在点F处，已知，的度数 ．    【变式2】如图，在中，，，D是的中点，点E是边上一个动点，将沿翻折，使点A落在点处，当时，的度数为 ．        题型05 三角形内角和定理的应用 【典例5】定义：当三角形中一个内角是另一个内角的两倍时，我们称此三角形为“友好三角形”，其中称为“友好角”．如果一个“友好三角形”的一个内角为，那么这个三角形的“友好角”的度数为 ． 【变式1】如图，处在处的南偏西方向，处在处的南偏东方向，处在处的北偏东方向，则的度数为 ．    【变式2】（科研考古）如图，考古学家发现在地下处有一座古墓，古墓上方是煤气管道，为了不影响管道，准备在，处开工挖出“”字形通道．如果，，那么的度数是 ．    题型06 三角形的外角的定义与性质 【典例6】如图，，，，求的度数．    【变式1】在中，．现进行第一次操作：如图1作射线，使得，作射线，使得．再进行第二次操作：如图2作射线，使得，作射线，使得．再进行第三次操作：如图3作射线使得，作射线，使得．则 ． 【变式2】（1）如图1，在中，平分，P为线段上的一点，于P交直线于点E，交直线、于F、G，若，时， ______度； （2）如图2，平分的外角，其余条件不变，若，，求的度数；（用含有，的式子表示）． 一、单选题 1．在中，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，直线，直线c与直线a，b分别相交于点A，B，，垂足为点D，若，则（　　） A． B． C． D． 3．如图，的外角和外角的平分线交于点，已知，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 4．如图，三角形纸片中，，，将沿对折，使点落在外的点处，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 5．在探究证明“三角形的内角和是180”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是180°”的是（   ） A．  过作 B．  延长到，过作 C．  作于点 D．  过上一点作， 二、填空题 6．在中，若，则 ． 7．如图，在中，三角形的内角和的平分线交于点E，则 ．    8．如图，在中，，内角和外角的平分线，相交于点，则的度数为 ．    9．如图，在中，，，，平分，则 ．    10．如图，在中，、的平分线交于点O，D是与平分线的交点，E是的两外角平分线的交点，若，则的度数为 °． 三、问答题 11．如图，中，平分为延长线上一点，于，已知，，求的度数． 12．如图，在中，，点是上任一点，过作，垂足为，为的平分线，与交于点．    (1)求的度数； (2)若，请判断与的位置关系，并说明理由． 13．如图，在中，是高，是角平分线．    (1)若，求的度数． (2)若，则_______． (3)若．则的度数_______（结果用含的代数式表示）． 14．在中，的平分线与的外角的平分线交于点E．    (1)如图①，若，则________；如图②，若，则_______；如图③，若，则________； (2)根据以上求解的过程，你发现与之间有什么关系？如果有，写出你的发现过程；如果没有，请说明理由（借助图①）． 15．在中，，E是两条内角平分线的交点，F是两条外角平分线的交点，是内角外角的平分线的交点．    (1)求和的度数；（直接写出结果） (2)探索与之间的数量关系，并说明理由； (3)若，在（2）的情况下，作与的平分线交于点，以此类推，与的平分线交于点，求的度数．（直接写出结果） 16．问题情境： 如图①所示的图形，像我们常见的学习用品--圆规．我们不妨把这样的图形叫做“规形图”． 探究发现：    （1）观察“规形图”，试探究与之间的数量关系，并说明理由； 解决问题： （2）请你利用以上结论，解决下列问题： （i）如图②，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边恰好经过点，若，则________； （ii）如图③，平分平分，若的度数______． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$