第七章第03讲 解题技巧专题：平行线中有关拐点问题（4类热点题型讲练）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学上册同步学与练（北师大版）

第03讲 解题技巧专题：平行线中有关拐点问题(4类热点题型讲练) 目录 【考点一 平行线中含一个拐点问题】 1 【考点二 平行线中含两个拐点问题】 9 【考点三 平行线中含多个拐点问题】 16 【考点四 平行线中在生活上含拐点问题】 26 平行线中的拐点模型总结：如图，若AB∥CD，常过拐点E向左或向右作平行线，把复杂的图形转化为基础图形（同位角、内错角、同旁内角）去解决，常见的解题模型如下： 通常构造与已知角成内错角关系的做法更简单。 【考点一 平行线中含一个拐点问题】 例题：（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，已知，，，则的度数为 °． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，，将一副直角三角板作如下摆放，，下列结论：①；②；③；④平分．其中结论正确的序号是 ．    2．（23-24七年级下·辽宁铁岭·期中）已知直线，直线与直线、分别相交于C、D两点． (1)如图，有一动点P在线段之间运动（不与C、D两点重合），问在点P的运动过程中，又怎样的数量关系？试说明理由． (2)如图b，当动点P线段之外运动（不与C、D两点重合），问上述结论是否成立？若不成立，试写出新的结论并说明理由． 3．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，直线，点P为平面内一点（不在两条直线上）． (1)如图①，若点P在直线与之间，且，，求的度数； (2)如图②，若点P在直线上方，且，． ①求的度数； ②如图③，的平分线和的平分线交于点G，求的度数． 4．（23-24七年级下·全国·期末）直线，P 为直线上方一点，连接． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图1，设，求的度数（用含α、β的式子表示）； (3)如图2，N为内部一点，，连接，若，求的值． 5．（24-25八年级上·重庆·开学考试）如图，，点，，，不在同一条直线上． (1)如图1，求证：； (2)如图2，直线，交于点，且，， ①试探究与的数量关系； ②如图3，延长交射线于点，若，，求的度数（用含的式子表示）． 【考点二 平行线中含两个拐点问题】 例题：（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，，平分，平分，且比大，则的度数为 度． 【变式训练】 1．如图，直线 l1∥l2，若∠1=40°，∠2 比∠3 大 10°，则∠4=____． 2．如图，，则∠1、∠2、∠3的关系为______________． 3．①如图1，ABCD，则∠A+∠E+∠C＝180°；②如图2，ABCD，则∠E＝∠A+∠C；③如图3，若ABEF，则∠x=180°-∠α-∠γ+∠β；④如图4，ABCD，则∠A＝∠C+∠P．以上结论正确的是_____． 4．（23·24八年级上·广东江门·阶段练习）（1）如图①，如果，求证：． （2）如图②，，根据上面的推理方法，直接写出___________． （3）如图③，，若，则___________（用x、y、z表示）． 5．（2023下·海南省直辖县级单位·七年级统考期末）如图1，，点为直线间一点，点E，F分别是直线上的点，连接.      (1)【证明推断】求证：，请完善下面的证明过程，并在（    ）内填写依据. 证明：过点P作直线， （已作）， （______）， 又，（已知） ______，（______） ， ______. (2)如图2，若的平分线与的平分线交于点. ①【类比探究】试猜想与之间的关系，并说明理由； ②【结论运用】若，求的度数. (3)【拓展认知】如图3，直线，点P，H为直线间的点，请直接写出，，，的数量关系：______. 【考点三 平行线中含多个拐点问题】 例题：（23-24七年级下·浙江宁波·期中）如图，已知，点分别在上，点在两条平行线之间，与的平分线交于点．若，，则＝ ．    【变式训练】 1．（2024七年级下·全国·专题练习）已知，点在连线的右侧，与的角平分线相交于点，则： ①； ②； ③若，则； ④若，则； 以上说法正确的是 ． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，已知，的交点为E，现作如下操作：第一次操作，分别作和的平分线，交点为，第二次操作，分别作和的平分线，交点为，第三次操作，分别作和的平分线，交点为，…第次操作，分别作和的平分线，交点为，若∠度，则 度． 3．（23-24七年级下·贵州毕节·期中）已知直线，点E在直线，之间，点P，Q分别在直线，上，连接，． (1)如图1，过点E作，探究与之间的数量关系，并说明理由； (2)如图2，F为直线，之间一点，连接，，，，求出与之间的数量关系； (3)当点E，F，G在直线，之间的位置如图3所示时，直接写出，，，，之间的数量关系：_________． 4.如图： (1)如图1， ， 若， 计算并直接写出的大小． (2)如图2， 在图1的基础上， 将直线变成折线， 证明： (3)如图3， 在图2的基础上， 继续将且线变成折现．请你写出一条关于 、的数量关系（无需证明直接写出） 5．猜想说理： （1）如图，，分别就图1、图2、图3写出，，的关系，并任选其中一个图形说明理由： 拓展应用： （2）如图4，若，则 度； （3）在图5中，若，请你用含n的代数式表示的度数． 【考点四 平行线中在生活上含拐点问题】 例题：（23-24七年级上·全国·单元测试）小明到工厂进行社会实践活动时，发现工人师傅生产了一种如图所示的零件，工人师傅告诉他：，，，小明马上运用已学的数学知识得出了的度数，聪明的你一定知道 ． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·宁夏银川·期末）如图1是一款落地的平板支撑架，，是可转动的支撑杆．调整支撑杆使得其侧面示意图如图2所示，此时平板，，，则 ． 2．（22-23八年级上·辽宁沈阳·期末）为增强学生体质，某学校将“抖空竹”引入阳光体育一小时活动．图1是一位同学抖空竹时的一个瞬间，数学老师把它抽象成图2的数学问题：已知，，，求的度数． (1)小明在解决问题时，过E点作，则可以得到，其理由是 ； (2)根据（1）中思路求的度数． 3．（22-23七年级下·北京西城·期中）如图是一种躺椅及其结构示意图，扶手与底座都平行于地面，前支架与后支架分别与交于点和点，与交于点，． (1)请对说明理由； (2)若平分，，求扶手与靠背的夹角的度数． 4．（23-24七年级下·全国·期中）如图①是一盏可以伸缩的台灯，它的优点是可以变化伸缩，找到合适的照明角度．图②是这盏台灯的示意图．已知台灯水平放置，当灯头与支架平行时可达到最佳照明角度，此时支架与水平线的夹角，两支架和的夹角． (1)求此时支架与底座的夹角的度数； (2)求此时灯头与水平线的夹角的度数． 5．（23-24七年级下·全国·单元测试）我国古代观星，并对星图进行艺术加工可以追溯到公元前，敦煌星图是世界现存古代星图中星数较多，年代最早的星图，绘制于唐代．元朝数学家郭守敬重新观测了二十八星宿（东南西北各七宿，图1是其中的南方七宿之翼），编制了当时最先进的历法《授时历》． 小明学习了平行线知识，画出了“南方七宿之翼”的上半部分（如图2），；    (1)当，时，根据所学知识，可求得______； (2)当时，如图2，猜想和的数量关系______； (3)小明又发现，当a和b不平行时，则相交于点P，得到，如图3，如果为定值，求的值． （备注：请运用平行线知识解决本题，用“外角定理”或“内角和定理”不得分） ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 解题技巧专题：平行线中有关拐点问题(4类热点题型讲练) 目录 【考点一 平行线中含一个拐点问题】 1 【考点二 平行线中含两个拐点问题】 9 【考点三 平行线中含多个拐点问题】 16 【考点四 平行线中在生活上含拐点问题】 26 平行线中的拐点模型总结：如图，若AB∥CD，常过拐点E向左或向右作平行线，把复杂的图形转化为基础图形（同位角、内错角、同旁内角）去解决，常见的解题模型如下： 通常构造与已知角成内错角关系的做法更简单。 【考点一 平行线中含一个拐点问题】 例题：（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，已知，，，则的度数为 °． 【答案】40 【知识点】根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题考查平行线的判定及性质，正确添加辅助线是解题的关键． 过点C作，则，由，，得到，从而，进而根据角的和差即可解答． 【详解】解：过点C作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 【变式训练】 1．（23-24七年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，，将一副直角三角板作如下摆放，，下列结论：①；②；③；④平分．其中结论正确的序号是 ．    【答案】①②③ 【知识点】三角形角平分线的定义、根据平行线判定与性质证明、根据平行线的性质求角的度数、三角板中角度计算问题 【分析】本题主要考查三角形中的角度计算，邻补角的相关计算，平行线判定与性质，角平分线的定义，根据内错角相等两直线平行可对①进行判断；根据邻补角的相关计算可对②④进行判断；根据平行线的判定与性质对③进行判断 【详解】解：依题意，， ，故①对； 依题意，， ，故②对； 依题意，， 如图，过点G作，   ， ， ，， ， ， ， ，故③对； ， ， ，故④错， 故答案为：①②③． 2．（23-24七年级下·辽宁铁岭·期中）已知直线，直线与直线、分别相交于C、D两点． (1)如图，有一动点P在线段之间运动（不与C、D两点重合），问在点P的运动过程中，又怎样的数量关系？试说明理由． (2)如图b，当动点P线段之外运动（不与C、D两点重合），问上述结论是否成立？若不成立，试写出新的结论并说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)不成立，，理由见解析 【知识点】平行公理推论的应用、根据平行线的性质探究角的关系 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，正确添加辅助线是解题的关键． （1）过点作，则，则，，再根据角度和差计算求解即可； （2）同（1）即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下， 过点作， ， ， ，， ， ． （2）解：上述结论不成立．新结论：，理由如下： 过点作． ， ∴ ， ， ，即． 3．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，直线，点P为平面内一点（不在两条直线上）． (1)如图①，若点P在直线与之间，且，，求的度数； (2)如图②，若点P在直线上方，且，． ①求的度数； ②如图③，的平分线和的平分线交于点G，求的度数． 【答案】(1) (2)①；② 【知识点】根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）过点P作，根据平行线的性质，分别求出和的度数，即得答案； （2）①过点P作，根据平行线的性质，分别求出和的度数，即可求得答案； ②过点G作，根据平行线的性质，分别求出和的度数，即可求得答案． 【详解】（1）解：过点P作， ， ， ， ， ， ， ； （2）解:①过点P作， ， ， ， ， ； ②过点G作， 是的平分线，是的平分线， ，， ， ， ， ， ， ． 4．（23-24七年级下·全国·期末）直线，P 为直线上方一点，连接． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图1，设，求的度数（用含α、β的式子表示）； (3)如图2，N为内部一点，，连接，若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】平行公理推论的应用、根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题考查了平行线的性质以及角平分线的定义．注意掌握辅助线的作法，数形结合思想的应用． （1）过点P向右，则，得出，进而求出结论； （2）过点P向右，则，得出，进而求出结论； （3）过点P向左作，过N向左作，则，设，则，得出，进而求出结论． 【详解】（1）解：过点P向右， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）过点P向右， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）过点P向左作，过N向左作， ∵， ∴， 与（2）同理，得， 依题意，设， 则 ． ∴， ∴． 5．（24-25八年级上·重庆·开学考试）如图，，点，，，不在同一条直线上． (1)如图1，求证：； (2)如图2，直线，交于点，且，， ①试探究与的数量关系； ②如图3，延长交射线于点，若，，求的度数（用含的式子表示）． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；② 【知识点】几何图形中角度计算问题、平行公理推论的应用、根据平行线的性质探究角的关系 【分析】本题考查平行线的性质，平行公理的推论，角的计算， （1）如图1，过作，根据平行线的性质即可得到结论； （2）①设，，，，由（1）知：，如图2，过作，根据平行线的性质即可得到结论； ②如图3，过作，根据平行线的性质即可得到结论； 熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：如图1，过作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴ ∴， 即； （2）解：①∵，， ∴设，，，， 由（1）可知：， ∴， 如图2，过作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴与的数量关系为； ②如图3， ∵，， ∴， ∵， ∴， 由①知：， 过作， ∴，， ∴， ∴的度数为． 【考点二 平行线中含两个拐点问题】 例题：（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，，平分，平分，且比大，则的度数为 度． 【答案】 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义等知识点，作，可得；进而得，，；结合可推出 ，即可求解． 【详解】解：作，，如图所示： ∵， ∴ ∴，，， ∴， ∴ ∵平分，平分， ∴ 由①得： ∴ ∵比大， ∴, 解得：， 故答案为：． 【变式训练】 1．如图，直线 l1∥l2，若∠1=40°，∠2 比∠3 大 10°，则∠4=____． 【答案】30°##30度 【分析】过A点作AB直线l1，过C点作CD直线l2，由平行线的性质可得∠5=∠1=40°，∠4=∠8，∠6=∠7，结合∠2比∠3大10°可得∠5+∠6-∠7-∠8=10°，进而可求解． 【详解】解：过A点作AB直线l1，过C点作CD直线l2， ∴∠5=∠1=40°，∠4=∠8， ∵直线l1l2， ∴ABCD， ∴∠6=∠7， ∵∠2比∠3大10°， ∴∠2-∠3=10°， ∵∠5+∠6=∠2，∠7+∠8=∠3， ∴∠5+∠6-∠7-∠8=10°， ∴40°-∠4=10°， 解得∠4=30°． 故答案为：30°． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，角的计算，作适当的辅助线是解题的关键． 2．如图，，则∠1、∠2、∠3的关系为______________． 【答案】 【分析】根据可得，，又因为，所以可得． 【详解】解：∵， ∴，， 又∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质：两直线平行，内错角相等，正确判断角之间的关系是解答本题的关键． 3．①如图1，ABCD，则∠A+∠E+∠C＝180°；②如图2，ABCD，则∠E＝∠A+∠C；③如图3，若ABEF，则∠x=180°-∠α-∠γ+∠β；④如图4，ABCD，则∠A＝∠C+∠P．以上结论正确的是_____． 【答案】②③④ 【分析】①过点E作EFAB，由平行线的性质即可得出结论； ②过点点E作EFAB，由平行线的性质即可得出结论； ③如图3，过点C作CDAB，延长AB到G，由平行线的性质可得出180°-∠ABH+∠HCF-∠EFC=∠BHC； ④过点P作PFAB，由平行线的性质可得出∠A=∠CPF+∠APC=∠C+∠APC． 【详解】解：①如图1，过点E作EFAB， ∵ABCD， ∴ABEFCD， ∴∠A+∠AEF=180°，∠C+∠CEF=180°， ∴∠A+∠AEC+∠C=∠A+∠AEF+∠C+∠CEF=180°+180°=360°，则①错误； ②如图2，过点E作EFAB， ∵ABCD， ∴ABEFCD， ∴∠A=∠AEF，∠C=∠CEF， ∴∠A+∠C=∠CEF+∠AEF=∠AEC，则②正确； ③如图3，过点C作CDAB，延长AB到G， ∵ABEF， ∴ABEFCD， ∴∠DCF=∠EFC， 由②的结论可知∠GBH+∠HCD=∠BHC， 又∵，∠HCD=∠HCF-∠DCF ∴180°-∠ABH+∠HCF-∠DCF=∠BHC， ∴180°-∠ABH+∠HCF-∠EFC=∠BHC， ∴，故③正确； ④如图4，过点P作PFAB， ∵ABCD， ∴ABPFCD， ∴∠A=∠APF，∠C=∠CPF， ∴∠A=∠CPF+∠APC=∠C+∠APC，则④正确； 故答案为：②③④． 【点睛】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键． 4．（23·24八年级上·广东江门·阶段练习）（1）如图①，如果，求证：． （2）如图②，，根据上面的推理方法，直接写出___________． （3）如图③，，若，则___________（用x、y、z表示）． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】（1）过P作，利用平行线的判定与性质证明即可； （2）过点P作，过点Q作，根据平行线的性质即可求解； （3）过点P作，过点Q作，根据平行线的性质求解即可． 【详解】（1）证明：过P作，如图，      ∴， ∵（已知）， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）如图，过点P作，过点Q作， ∵，，， ∴， ∴，，， ∴， 故答案为：；    （3）过点P作，过点Q作， ∵，，， ∴， ∴，，， ∴， 即， ∴， 故答案为：．    【点睛】本题考查平行线的判定与性质，灵活运用平行线的性质和判定是解题的关键． 5．（2023下·海南省直辖县级单位·七年级统考期末）如图1，，点为直线间一点，点E，F分别是直线上的点，连接.      (1)【证明推断】求证：，请完善下面的证明过程，并在（    ）内填写依据. 证明：过点P作直线， （已作）， （______）， 又，（已知） ______，（______） ， ______. (2)如图2，若的平分线与的平分线交于点. ①【类比探究】试猜想与之间的关系，并说明理由； ②【结论运用】若，求的度数. (3)【拓展认知】如图3，直线，点P，H为直线间的点，请直接写出，，，的数量关系：______. 【答案】(1)两直线平行，内错角相等；；平行于同一直线的两直线平行； (2)①，理由见解析；② (3) 【分析】（1）过点P作直线，根据平行线的性质即可得到答案； （2）①分别过点P，Q作，，由平行线的性质和角平分线的定义得，进而即可求解；②结合平角的定义和即可得到答案； （3）过点P、H作，可得，进而即可得到结论． 【详解】（1）证明：过点作直线， （已作）， （两直线平行，内错角相等） 又，（已知）， ，（平行于同一直线的两直线平行）， ， ； （2）解：①. 理由：如图1，分别过点P，Q作，. 的平分线与的平分线交于点， ，. . 同（1）可证得， ②，， . 又，    （3）过点P、H作， ∵， ∴， ∴， ∴，即 故答案为：    【点睛】本题考查平行的性质，角平分线的定义，添加合适的辅助线是解题关键． 【考点三 平行线中含多个拐点问题】 例题：（23-24七年级下·浙江宁波·期中）如图，已知，点分别在上，点在两条平行线之间，与的平分线交于点．若，，则＝ ．    【答案】/32度 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查平行线的性质，解题的关键是根据题意，过点，，作，，，根据平行公理，则，再根据平行线的性质，，，；根据角平分线的性质，则，推出，则，根据平行线的性质，等量代换，则，即可． 【详解】过点，，作，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵和分别是，的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴．    【变式训练】 1．（2024七年级下·全国·专题练习）已知，点在连线的右侧，与的角平分线相交于点，则： ①； ②； ③若，则； ④若，则； 以上说法正确的是 ． 【答案】①②④ 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质探究角的关系、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，辅助线的应用是解题关键．由平行线的性质可判断①正确，同样根据平行线的性质可判断②正确，根据平行的性质已知可求出的度数不等于，故③不正确，根据和的关系及，可判断④正确． 【详解】解：如图，作， ， ， ，， ，即，故①正确； 如图，作， ， ， ，， ， 即，故②正确； 若，则， 平分，平分， ， ，故③不正确； 同理可证：， 若， 则， ，， ， ， ， ，故④正确； 故答案为：①②④． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，已知，的交点为E，现作如下操作：第一次操作，分别作和的平分线，交点为，第二次操作，分别作和的平分线，交点为，第三次操作，分别作和的平分线，交点为，…第次操作，分别作和的平分线，交点为，若∠度，则 度． 【答案】 【知识点】图形类规律探索、角平分线的有关计算、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，图形类的规律探索，熟知平行线的性质是解题的关键．先过作，根据，得出，再根据平行线的性质，得出，进而得到；同理得出，，，，据此得到规律，最后求得的度数． 【详解】解：过作， ， ， ， ， 和的平分线交点为， ． 和的平分线交点为， ； 和的平分线，交点为， ； ； 以此类推，， 当∠度时，等于． 故答案为：． 3．（23-24七年级下·贵州毕节·期中）已知直线，点E在直线，之间，点P，Q分别在直线，上，连接，． (1)如图1，过点E作，探究与之间的数量关系，并说明理由； (2)如图2，F为直线，之间一点，连接，，，，求出与之间的数量关系； (3)当点E，F，G在直线，之间的位置如图3所示时，直接写出，，，，之间的数量关系：_________． 【答案】(1)，理由见详解 (2) (3) 【知识点】与余角、补角有关的计算、根据平行线的性质探究角的关系 【分析】本题主要考查平行线的性质和平角的性质， （1）根据题意得，则，．结合，得． （2）由（1）得和 ．结合题意得，．利用平角可得，，则即可； （3）过点E，F，G分别作的平行线，，，则，有，，，．则有，即． 【详解】（1）解： ． 理由：∵，， ∴， ∴，． ∵， ∴． （2）解：由（1）得， 同理可得． ∵，， ∴，． ∵，， ∴，， ∴ ， 则． （3）解：． 如图，过点E，F，G分别作的平行线，，， 则， ∴，，，． ∵，，， ∴， ∴，即． 4.如图： (1)如图1， ， 若， 计算并直接写出的大小． (2)如图2， 在图1的基础上， 将直线变成折线， 证明： (3)如图3， 在图2的基础上， 继续将且线变成折现．请你写出一条关于 、的数量关系（无需证明直接写出） 【答案】(1)65° (2)见解析 (3)∠1+∠3+∠5=∠2+∠4 【分析】（l）过P作PE∥l1，根据平行线的性质和角的和差即可得到结论； （2）过点P、Q分别作l1和l2的平行线分别记为l3和l4，根据平行线的性质和等量代换即可得到结论； （3）分别过P，Q，M作PC∥l1，QD∥l1，ME∥l1，根据平行线的性质和角的和差即可得到结论． （1） 解：过P作PE∥l1 ∵l1∥l2 ∴PE∥l2∥l1 ∴∠A=∠1，∠B=∠2 ∴∠APB=∠1+∠2=∠A+∠B=65° 即∠A+∠B=65°； （2） 证明：过点P、Q分别作l1和l2的平行线分别记为l3和l4 ∵l1∥l2 ∴l1∥l2∥l3∥l4 ∵l1∥l3（已知） ∴∠A=∠1（两直线平行，内错角相等） ∵l3∥l4（已知） ∴∠2＝∠3（两直线平行，内错角相等） ∵l2∥l4（已知） ∴∠4+∠B=180°（两直线平行，同旁内角互补） ∴∠A+∠3+∠4+∠B=∠1+∠2+180° 又∵∠1+∠2=∠P，∠3+∠4=∠Q ∴∠A+∠B+∠Q=∠P+180°． （3） 解：如图，分别过P，Q，M作PC∥l1，QD∥l1，ME∥l1， ∵， ∴ ∴∠1=∠APC，∠QPC=∠PQD，∠DQM=∠EMQ，∠EMB=∠5， ∴∠2=∠1+∠PQD，∠4=∠5+∠DQM， ∴∠2+∠4=∠1+∠PQD+∠5+∠DQM=∠1+∠3+∠5， ∴∠1+∠3+∠5=∠2+∠4． 【点睛】本题考查了平行线的性质及平行公理的推论，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 5．猜想说理： （1）如图，，分别就图1、图2、图3写出，，的关系，并任选其中一个图形说明理由： 拓展应用： （2）如图4，若，则 度； （3）在图5中，若，请你用含n的代数式表示的度数． 【答案】（1）；； （2） （3） 【分析】（1）根据平行线的性质可直接得到结论； （2）过点F作AB的平行线，利用平行线的性质，计算出的度数； （3）过点E作AB的平行线，过点F作AB的平行线，利用平行线的性质，计算出度数；通过前面的计算，找出规律．利用规律得到有n个折点的结论； 【详解】解：（1）如图1：， 如图2：， 如图3：， 如图1说明理由如下： ∵， ∴， ∴， 即； （2）如下图： 过F作， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 即； 故答案为：； （3）如下图：， 过E作，过F作， ∵， ∴， ∴，，， ∴， 即； 综上所述： 由当平行线AB与CD间没有点的时候，， 当A、C之间加一个折点F时，； 当A、C之间加二个折点E、F时，则； 以此类推，如图5，， 当、之间加三个折点时， 则； … 当、之间加n个折点时， 则， 即的度数是． 【点睛】本题是探索型试题，主要考查了平行线的性质，根据题意作出辅助线，利用平行线的性质及三角形外角的性质等知识求解是解答此题的关键． 【考点四 平行线中在生活上含拐点问题】 例题：（23-24七年级上·全国·单元测试）小明到工厂进行社会实践活动时，发现工人师傅生产了一种如图所示的零件，工人师傅告诉他：，，，小明马上运用已学的数学知识得出了的度数，聪明的你一定知道 ． 【答案】/30度 【知识点】根据平行线判定与性质求角度 【分析】此题考查了平行线的判定和性质，如图，过点E作，则，再求出，证明，即可得到答案． 【详解】解：如图，过点E作， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为： 【变式训练】 1．（23-24七年级下·宁夏银川·期末）如图1是一款落地的平板支撑架，，是可转动的支撑杆．调整支撑杆使得其侧面示意图如图2所示，此时平板，，，则 ． 【答案】 【知识点】根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题考查了平行线的性质．作辅助线构建平行关系是解题的关键． 过点作，则有，由两直线平行，同旁内角互补，可知，通过角的等量代换可得到，最后根据两直线平行，内错角相等即可解答． 【详解】解：如图，过点作， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 2．（22-23八年级上·辽宁沈阳·期末）为增强学生体质，某学校将“抖空竹”引入阳光体育一小时活动．图1是一位同学抖空竹时的一个瞬间，数学老师把它抽象成图2的数学问题：已知，，，求的度数． (1)小明在解决问题时，过E点作，则可以得到，其理由是 ； (2)根据（1）中思路求的度数． 【答案】(1)平行于同一直线的两直线平行 (2)30° 【知识点】根据平行线判定与性质求角度 【分析】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键． （1）根据平行公理推论得到即可； （2）根据平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：过E点作， ∵， ∴（平行于同一直线的两直线平行）， 故答案为：平行于同一直线的两直线平行； （2）由（1）可知，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴． 3．（22-23七年级下·北京西城·期中）如图是一种躺椅及其结构示意图，扶手与底座都平行于地面，前支架与后支架分别与交于点和点，与交于点，． (1)请对说明理由； (2)若平分，，求扶手与靠背的夹角的度数． 【答案】(1)见解析； (2) 【知识点】角平分线的有关计算、对顶角相等、平行公理推论的应用、根据平行线判定与性质求角度 【分析】（）结合题意，根据对顶角相等推出，根据“同位角相等，两直线平行”即可得解； （）根据平行线的性质及角平分线定义求解即可； 本题主要考查了平行线的判定与性质的运用，角平分线的定义，平行公理推论，掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 【详解】（1）解：理由如下：∵，， ∴， ∴； （2）解：∵与底座都平行于地面， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴． 4．（23-24七年级下·全国·期中）如图①是一盏可以伸缩的台灯，它的优点是可以变化伸缩，找到合适的照明角度．图②是这盏台灯的示意图．已知台灯水平放置，当灯头与支架平行时可达到最佳照明角度，此时支架与水平线的夹角，两支架和的夹角． (1)求此时支架与底座的夹角的度数； (2)求此时灯头与水平线的夹角的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】平行线的性质在生活中的应用 【分析】此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理是解题的关键． （1）过点作，根据平行线的性质求解即可； （2）根据平行线的性质及角的和差求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点作， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）， ， ， ， ， ． 5．（23-24七年级下·全国·单元测试）我国古代观星，并对星图进行艺术加工可以追溯到公元前，敦煌星图是世界现存古代星图中星数较多，年代最早的星图，绘制于唐代．元朝数学家郭守敬重新观测了二十八星宿（东南西北各七宿，图1是其中的南方七宿之翼），编制了当时最先进的历法《授时历》． 小明学习了平行线知识，画出了“南方七宿之翼”的上半部分（如图2），；    (1)当，时，根据所学知识，可求得______； (2)当时，如图2，猜想和的数量关系______； (3)小明又发现，当a和b不平行时，则相交于点P，得到，如图3，如果为定值，求的值． （备注：请运用平行线知识解决本题，用“外角定理”或“内角和定理”不得分） 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、根据平行线的性质探究角的关系 【分析】本题主要考查平行线的性质，灵活运用平行线的性质是解题的关键． （1）分别过A，B两点作，则，根据平行线的性质可得，再代入计算即可求解； （2）分别过A，B两点作，则，根据平行线的性质可得，再代入计算即可求解； （3）分别过A，B，E作，则，根据平行线的性质可得，结合为定值可得m，n互为相反数，进而完成解答． 【详解】（1）解：如图2：分别过A，B两点作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为；    （2）解：如图2，分别过A，B两点作AC∥a，BD∥a， ∵a∥b，∴a∥AC∥BD∥b， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为； （3）解：如图3，分别过A，B，E作，    ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵为定值，即为定值， ∴m，n互为相反数， ∴， 故答案为． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$