第五章第03讲 解题技巧专题：二元一次方程组的特殊解法（5类热点题型讲练）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学上册同步学与练（北师大版）

第03讲 解题技巧专题：二元一次方程组的特殊解法 (5类热点题型讲练) 目录 【考点一 解含分母二元一次方程组时去分母不要漏乘】 1 【考点二 不解二元一次方程组求代数式的值】 6 【考点三 整体代入法解二元一次方程组】 7 【考点四 换元法解二元一次方程组】 13 【考点五 新定义型二元一次方程组】 20 【考点一 解含分母二元一次方程组时去分母不要漏乘】 例题：（23-24八年级上·全国·单元测试）解方程组： 【答案】 【知识点】加减消元法 【分析】此题考查了二元一次方程组的解法，①×②＋②得，，解得，把代入②得，，解得，即可得到答案. 【详解】解： ①×②＋②得，， 解得， 把代入②得，， 解得， ∴． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·内蒙古通辽·阶段练习）解方程组：． 【答案】 【知识点】加减消元法 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 利用加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】解：∵， ∴整理得： 由①②得：， 解得：， 将代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为：． 2．（23-24七年级下·全国·期末）解方程组： 【答案】 【知识点】加减消元法 【分析】本题考查解二元一次方程组，先整理，然后运用加减消元法求解即可． 【详解】解：整理得 ①②得：， 解得， 把代入②得， ∴方程组的解为． 3．（23-24七年级下·全国·期末）解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】代入消元法、加减消元法 【分析】本题考查了二元一次方程组的求解，掌握消元法是解题关键． （1）①+②解得；把代入①即可求解； （2）原方程组可化为，①+②解得，把代入①即可求解； 【详解】（1）解： ①+②，得，解得 把代入①，得，解得， 所以原方程组的解为； （2）解：原方程组可化为 ①+②得，解得 把代入①得 则原方程组的解为 4．（23-24七年级下·全国·单元测试）解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】加减消元法 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，其基本思路是消元，消元的方法有：加减消元法和代入消元法两种，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． （1）整理后用加减消元法求解即可； （2）整理后用加减消元法求解即可 【详解】（1）解：整理方程组，得 ，得，解得． 把代入①，得 则方程组的解为 （2）解：整理方程组，得 ，得． 把代入①，得， 则方程组的解为 5．（23-24七年级下·重庆沙坪坝·期中）解方程组： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【知识点】加减消元法 【分析】（）利用加减法解答即可求解； （）先整理方程组，再利用加减法解答即可求解； （）先整理方程组，再利用加减法解答即可求解； （）先整理方程组，再利用加减法解答即可求解； 本题考查了解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：， 得，， ∴， 把代入②得，， ∴， ∴方程组的解为； （2）解：方程组整理得， 得，， 把代入②得，， ∴， ∴方程组的解为； （3）解：方程组整理得， 得，， ∴， 把代入②得，， ∴， ∴方程组的解为； （4）解：方程组整理得， 得，， ∴， 把代入①得，， ∴， ∴方程组的解为． 【考点二 不解二元一次方程组求代数式的值】 例题：（24-25八年级上·广西南宁·开学考试）已知x,y是二元一次方程组的解，那么的值是 ． 【答案】5 【知识点】二元一次方程组的特殊解法 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，理解方程组解的定义是解题关键．两个二元一次方程相加可得，两边同时除以4即可得到结果． 【详解】解：， 两式相加可得，即， ， 故答案为：5． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·河北张家口·期末）已知方程组，那么的值 ． 【答案】5 【知识点】二元一次方程组的特殊解法 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的特殊解法，将①②得：，变形即可得出答案． 【详解】解： 由①②得：， ∴， 故答案为：5． 2．（23-24七年级下·贵州黔南·期末）已知x，y满足二元一次方程组，则的值为 ． 【答案】 【知识点】二元一次方程组的特殊解法 【分析】本题考查解二元一次方程组．把两个方程相减后，即可得出结果． 【详解】解：， ，得：； 故答案为：． 3．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）已知，则的算术平方根是 ． 【答案】2 【知识点】二元一次方程组的特殊解法、求一个数的算术平方根 【分析】本题考查解二元一次方程组和算术平方根，解题关键是根据题意利用整体法进行求解． 方程组中两方程相加除以3可得，进而即可求得结果． 【详解】解：， 由得：， ∴的算术平方根为2， 故答案为：2． 4．（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）如果x，y满足方程组，那么的值为 ． 【答案】6 【知识点】二元一次方程组的特殊解法、运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查平方差公式、代数式求值，把方程组化简得，再利用平方差公式进行整体代入求解即可． 【详解】解：， 由得，， ∴， 故答案为：6． 【考点三 整体代入法解二元一次方程组】 例题：（23-24七年级下·河南周口·期中）阅读以下材料，解方程组：． 王林在解决这个问题时，发现了一种新的方法，他把这种方法叫做“整体代入法”，解题过程如下： 解：由①得③，将③代入②，…… (1)请你替王林补全完整的解题过程． (2)请你用“整体代入法”解方程组：． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】二元一次方程组的特殊解法 【分析】（1）根据阅读材料补全完整的解题过程即可； （2）整理方程组后，由③得代入④得到关于y的方程，求出y的值，进而求出x的值，即可确定出方程组的解． 【详解】（1）解：由①得③，将③代入②，得， 解得：， 把代入①，得，解得， 故原方程组的解是． （2）解：，整理得， 把③代入④，得， 解得：， 把代入③，得， 解得：， 故原方程组的解是． 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，熟练掌握消元的方法：代入消元法与加减消元法是解题的关键． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·河南南阳·期末）先阅读，再解方程组． 解方程组时，可由①得③，然后再将③代入②，得， 解得，从而进一步得这种方法被称为“整体代入法”． 请用上述方法解方程组 【答案】 【知识点】二元一次方程组的特殊解法 【分析】将①变形为，再整体代入②中，即可求出y的值．再将y的值代入，即可求出x的值，方程组得解． 【详解】解： 由①得，， 代入②得， 解得， 把代入③得，， 解得． 故原方程组的解为． 【点睛】本题考查解二元一次方程组．读懂题意，掌握“整体代入法”的步骤是解题关键． 2．（23-24七年级下·云南红河·期末）学习完“代入消元法”解二元一次方程组后，老师在黑板上写下一个方程组． 让同学们解答，爱动脑筋的小敏想到一种新的方法： 解：将②变形为，③ 把①代入③，得，解得． 把代入①，解得． 方程组的解为． 这种把某个式子看成一个整体，从而使问题得到简化的方法叫做“整体代换”法，请你模仿小敏的“整体代换”法解方程组 【答案】 【知识点】二元一次方程组的特殊解法 【分析】本题考查的是代入法解方程组，先把方程②化为，再利用代入法解方程组即可． 【详解】解：， 由②得：③， 把①代入③得：， 解得：， 把代入①得：， ∴方程组的解为； 3．（23-24七年级下·陕西延安·期末）在解二元一次方程组时，有些方程组直接用我们学过的“代入法”和“消元法”解决时计算量较大，容易出错．数学兴趣小组经过探索研究，发现了下面两种解决二元一次方程组的新方法． 【整体代入法】例：解方程组时，由①，得③，然后再将③代入②，得，解得．将代入③，得，∴该方程组的解是 【轮换式解法】例：解方程组时，，得，∴③．③×16，得④．，得，将代入③，得．∴该方程组的解是 根据上面方法，解决下列问题： (1)解方程组：； (2)解方程组：． 【答案】(1) (2) 【知识点】二元一次方程组的特殊解法 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握题干提供的方法． （1）先求出，然后再把代入，求出y的值，再求出x的值即可； （2）求出，得出，用求出，得出，求出，即可得出方程组的解． 【详解】（1）解：， 由①得：， 把③代入②得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， ∴不等式组的解集为：； （2）解：， 得：， ∴得：， 得：， 得：， 得：， ∴方程组的解为：． 4．（23-24七年级下·广西南宁·阶段练习）[阅读理解]在解方程组或求代数式的值时，可用整体代入或整体求值的方法，化繁为简． （1）解方程组 解：把②代入得①，， 解得， 把代入②得， 所以方程组的解为 （2）已知求的值． 解：，得， ，得． [类比迁移] （1）求方程组的解． （2）已知 ，求的值． 【答案】（1）；（2） 【知识点】二元一次方程组的特殊解法、加减消元法、代入消元法 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握解方程组的方法，准确计算，注意整体思想． （1）根据题干给出的方法解二元一次方程组即可； （2）利用整体的思想求出即可． 【详解】（1） 把②代入①， 得， 解得． 把代入②，得， ∴方程组的解为； （2）， 得：， 得，． 【考点四 换元法解二元一次方程组】 例题：（23-24七年级下·河南驻马店·阶段练习）数学方法：解方程组，若设，，则原方程组可变形为，解方程组得，所以，解方程组得．我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去代替它，这种解方程组的方法叫做换元法． (1)请用这种方法解方程组； (2)已知关于x、y的二元一次方程组的解为，则关于m、n的二元一次方程组的解为______． 【答案】(1) (2) 【知识点】加减消元法、二元一次方程组的特殊解法 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，正确理解题意是解题的关键． （1）设，则原方程组变形为，然后解方程组求出A、B的值进而建立方程组，解方程组即可得到答案； （2）根据关于x、y的二元一次方程组的解为，得出，解关于m、n的方程组即可． 【详解】（1）解：设， ∴原方程组变形得：， 整理得：， 得：， 解得：， 把代入②得：， ∴， 解得：． （2）解：∵关于x、y的二元一次方程组的解为， ∴关于m、n的二元一次方程组中， 解方程组得：． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·河南南阳·阶段练习）阅读材料：善于思考的贝贝同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法．把看成一个整体，设,原方程组可变为，解得，即，解得 (1)模仿贝贝同学的“整体换元”的方法，解方程组： (2)已知关于x,y的方程组的解为，求关于m，n的方程组的解． 【答案】(1) (2) 【知识点】二元一次方程组的特殊解法、代入消元法 【分析】本题考查的是整体法即换元法解二元一次方程组，熟练的确定整体未知数是解本题的关键. （1）设，原方程组化为：，求解，再求解原方程组的解即可； （2）设，，原方程组化为：，可得，再解方程组即可. 【详解】（1）解：设， 原方程组化为：， 得：，即③ 把③代入①得：，即， 把代入③得：， ∴ ， 解得：； （2）设，， 原方程组化为：， ∴， 解得：. 2．（22-23七年级下·重庆铜梁·期中）阅读下列材料： 小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题： 解方程组．小明发现，如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程： 令，．原方程组化为，解得， 把代入，，得，解得， 原方程组的解为． (1)学以致用： 运用上述方法解方程组： (2)拓展提升： 已知关于x，y的方程组的解为，请直接写出关于m、n的方程组的解是______． 【答案】(1) (2) 【知识点】二元一次方程组的特殊解法 【分析】本题主要考查了换元法解二元一次方程组： （1）结合题意，利用整体代入法求解，令，得，解得即即可求解； （2）结合题意，利用整体代入法求解，令，，则可化为，且解为则有，求解即可． 【详解】（1）解：令，， 原方程组化为， 解得， ， 解得：， ∴原方程组的解为 ； （2）解：在中，令，， 则可化为， ∵方程组解为， ∴， ， 故答案为：． 3．（23-24七年级下·山西晋城·期中）阅读与思考 阅读下列材料，完成后面的任务． 善于思考的李同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法． 解：把看成一个整体，设，． 原方程组可化为，解得原方程组的解为． 任务： (1)方程组的解是，则方程组的解是______； (2)仿照上述解题方法，用“整体换元”法解方程组． 【答案】(1) (2)． 【知识点】二元一次方程组的特殊解法 【分析】本题考查二元一次方程组的特殊解法—“整体换元法”．读懂题干，理解题意，掌握“整体换元法”的步骤是解题关键． （1）根据题意所给材料可得出，再解出这个方程组即可． （2）根据题意所给材料可令，则原方程组可化为，解出m，n，代入，再解出关于x，y的方程组即可． 【详解】（1）解：∵方程组的解是， ∴， 解得：； 故答案为：； （2）解：对于，令， 则原方程组可化为， 解得：， ∴， 解得：． 4．（23-24八年级上·四川眉山·开学考试）阅读探索 （1）知识累计 解方程组 解：设，，原方程组可变为 解方程组得：，即 所以 此种解方程组的方法叫换元法． （2）拓展提高 运用上述方法解下列方程组： （3）能力运用 已知关于x，y的方程组的解为，直接写出关于m、n的方程组的解为 ． 【答案】（2）  （3） 【知识点】二元一次方程组的特殊解法 【分析】本题考查解二元一次方程组，掌握换元法解方程组，是解题的关键． （2）利用换元法解方程组即可； （3）设，进而得到，求解即可． 【详解】（2）设，， 原方程可变为：， 解方程组得，即， 解得：； （3）原方程化为， 设则方程可化为， 则方程的解为，即， 解得：． 【考点五 新定义型二元一次方程组】 例题：（23-24七年级下·河南驻马店·阶段练习）对于非零的两个有理数m、n，定义一种新运算，规定．若，，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【知识点】二元一次方程组的特殊解法、新定义下的实数运算 【分析】本题主要考查了新定义运算，根据题意列出方程组求解是解题的关键．根据新定义运算的公式，列出x，y的方程组计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 两式相加得：， ∴． 故选：C． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）对、定义一种运算，规定（其中、为非零常数），如，若，则（    ） A． B．0 C．4 D．6 【答案】B 【知识点】二元一次方程组的特殊解法 【分析】根据新运算法则可得关于m、n的方程组，再两式相减可得答案. 【详解】解：因为， 所以，两式相减可得， 即； 故选：B. 【点睛】本题以新运算为载体，考查了二元一次方程组的解法，正确得出方程组是关键. 2．（23-24七年级下·广东肇庆·期末）对、定义一种新运算，规定：（其中、均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算．例如：，若，，则下列结论正确的有 ． （1），； （2）若，，则； （3）若，则、有且仅有2组正整数解； （4）若，，对任意有理数、都成立，则． 【答案】（1）（2）/（2）（1） 【知识点】二元一次方程组的特殊解法、加减消元法、二元一次方程的解 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，由题意联立方程组，求出、的值，即可确定（1）正确；由已知，得到，求出即可确定（2）正确；根据，，，可求、的值，从而确定（3）不正确；由题意列出方程，得到，由对任意有理数、都成立，则，即可 确定（4）不正确． 【详解】解：∵，， ∴， 解得，故（1）正确； ∵， ∴， ∵， ∴，故（2）正确； ∵， ∴， 当时，则不成立， ∴， ∴， ∵m、n都是整数， ∴或或， ∴或或0或或或， ∴满足题意的m、n的值可以为，，，，，，故（3）错误； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵对任意有理数、都成立， ∴，故（4）错误； 故答案为：（1）（2）． 3．（2023七年级下·江苏·专题练习）对于有理数x，y，定义新运算：，其中a，b是常数．已知． (1)求a，b的值； (2)若关于x，y的方程组 的解也满足方程，求m的值； (3)若关于x，y的方程组的解为，求关于x，y的方程组的解． 【答案】(1) (2)m (3) 【知识点】加减消元法、二元一次方程组的特殊解法 【分析】（1）根据定义新运算得出关于a、b的二元一次方程组，再解方程组即可； （2）根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程求解即可； （3）根据定义新运算得出相关方程组，根据方程组的解的定义，利用整体代入的方法解答即可． 【详解】（1）解：由题意得， 解得：； （2）解：依题意得， 解得：， ∵， ∴， 解得：； （3）解：由题意得： 方程组的解为， ∴由方程组得方程组， ∴方程组的解满足， 解得． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解、定义新运算、“整体思想”等知识；熟练掌握“整体思想”，找出等量关系列出方程组是解题的关键． 4．（22-23七年级上·江苏苏州·阶段练习）定义：关于的方程与方程（a、b均为不等于0的常数）称互为“反对方程”，例如：方程与方程互为“反对方程”． (1)若关于的方程与方程互为“反对方程”，则______； (2)若关于的方程与方程互为“反对方程”，求、的值； (3)若关于的方程与其“反对方程”的解都是整数，求整数的值． 【答案】(1)2 (2) (3) 【知识点】构造二元一次方程组求解、其他问题(一元一次方程的应用)、方程的解 【分析】此题考查的是新定义，二元一次方程组的应用，方和的解，能够正确理解新定义是解决此题的关键． （1）根据“反对方程”的定义直接可得答案； （2）根据“反对方程”的定义建立方程组求解可得答案； （3）根据“反对方程” 与的解均为整数，可得与都为整数，由此可得答案． 【详解】（1）解：由题可知，与、均为不等于0的常数）称互为“反对方程”， 与方程互为“反对方程”， ． （2）解：将写成的形式， ∵关于的方程与方程互为“反对方程”， ∴ ∴ （3）解：的“反对方程”为， 由得，， 当，得， 与的解均为整数， 与都为整数， 也为整数， 当时，，，都为整数， 当时，，，都为整数， 的值为． 5．（23-24七年级下·北京海淀·期中）定义：形如关于的方程与的两个方程互为共轭二元一次方程，其中；由这两个方程组成的方程组，叫做共轭方程组． (1)请写出方程的共轭二元一次方程： ； (2)若方程中的值满足表格： x ﹣1 2 y 2 1 求这个方程的共轭二元一次方程； (3)若共轭方程组的解是，请你求出的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】加减消元法、代入消元法、新定义下的实数运算 【分析】本题考查解二元一次方程组，新定义方程及方程组，正确理解题中新定义的特点，根据新定义确定共轭方程及方程组是解题的关键． （1）根据共轭二元一次方程的定义即可得到； （2）根据表格的数据求得，即可求得这个方程的共轭二元一次方程； （3）分别根据代入法或是加减法解方程组，观察解中与的关系即可得到答案． 【详解】（1）解：方程的共轭二元一次方程是， 故答案为：； （2）解：方程中，当时，；当时，， ， 解得， 这个方程的共轭二元一次方程是； （3）解：， 得，， 得，， 解得， 将代入得，， 解得， ， 共轭方程组的解是， ． 6．（23-24七年级下·广西南宁·阶段练习）阅读感悟： 有些关于方程组的问题，需要求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：已知实数，满足①，②，求和的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得，的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由可得．这样的解题方法就是通常所说的“整体代入法”求值． 解决问题： (1)已知二元一次方程组，请用“整体代入法”求和的值； (2)对于实数，，定义新运算：，其中，，是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，求的值． 【答案】(1)；； (2) 【知识点】二元一次方程组的特殊解法 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，三元一次方程组的应用，掌握整体思想解决问题是解题的关键． （1）将两方程相加可求的值，将两方程相减可求的值； （2）由题意列出方程组，再由即可求解． 【详解】（1）解：， 由得：； 由得：， ∴； （2）解：∵，， ∴， 由得：． 7．（23-24七年级下·江苏南通·阶段练习）定义；在平面直角坐标系中，将经过变换后得到，其中，（k，b为常数且），我们把这种变换称为“G变换”，记作为．例如：当，时，． (1)当，时，______； 若，则______． (2)点是平面直角坐标系中第一、三象限角平分线上的一个点，点经过“G变换”得到，若点M与重合，请求出点M的坐标； (3)已知点，，经过“G变换”的对应点分别是，E，F．若轴，且点F落在x轴上，求三角形的面积． 【答案】(1)； (2)点M的坐标为 (3)三角形的面积 【知识点】坐标与图形、加减消元法 【分析】本题考查坐标变换，坐标与图形性质，二元一次方程组的应用等知识．解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据“变换”的定义求解； （2）根据第一、三象限角平分线上的点的特征结合“变换”的定义列得，求解即可； （3）根据“G变换”的定义求出，，再求出，，的坐标，利三角形的面积公式即可解决问题． 【详解】（1）解：当，时，点， 若，则， 解得， ∴． 故答案为：；； （2）解：由题意得点变换为， ∵点是平面直角坐标系中第一、三象限角平分线上的一个点， ∴， ∵点M与重合， ∴，即， ∵， ∴． ∴点M的坐标为； （3）解：由题意得：， 解得：， ∵，经过“G变换”的对应点分别是E，F， ∴，， ∵轴，且点F落在轴上， ∴， ∴，， ∴，，， ∴三角形的面积为： ． ∴三角形的面积． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 解题技巧专题：二元一次方程组的特殊解法 (5类热点题型讲练) 目录 【考点一 解含分母二元一次方程组时去分母不要漏乘】 1 【考点二 不解二元一次方程组求代数式的值】 6 【考点三 整体代入法解二元一次方程组】 7 【考点四 换元法解二元一次方程组】 13 【考点五 新定义型二元一次方程组】 20 【考点一 解含分母二元一次方程组时去分母不要漏乘】 例题：（23-24八年级上·全国·单元测试）解方程组： 【变式训练】 1．（23-24七年级下·内蒙古通辽·阶段练习）解方程组：． 2．（23-24七年级下·全国·期末）解方程组： 3．（23-24七年级下·全国·期末）解下列方程组： (1) (2) 4．（23-24七年级下·全国·单元测试）解方程组： (1) (2) 5．（23-24七年级下·重庆沙坪坝·期中）解方程组： (1)； (2)； (3)； (4)． 【考点二 不解二元一次方程组求代数式的值】 例题：（24-25八年级上·广西南宁·开学考试）已知x,y是二元一次方程组的解，那么的值是 ． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·河北张家口·期末）已知方程组，那么的值 ． 2．（23-24七年级下·贵州黔南·期末）已知x，y满足二元一次方程组，则的值为 ． 3．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）已知，则的算术平方根是 ． 4．（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）如果x，y满足方程组，那么的值为 ． 【考点三 整体代入法解二元一次方程组】 例题：（23-24七年级下·河南周口·期中）阅读以下材料，解方程组：． 王林在解决这个问题时，发现了一种新的方法，他把这种方法叫做“整体代入法”，解题过程如下： 解：由①得③，将③代入②，…… (1)请你替王林补全完整的解题过程． (2)请你用“整体代入法”解方程组：． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·河南南阳·期末）先阅读，再解方程组． 解方程组时，可由①得③，然后再将③代入②，得， 解得，从而进一步得这种方法被称为“整体代入法”． 请用上述方法解方程组 2．（23-24七年级下·云南红河·期末）学习完“代入消元法”解二元一次方程组后，老师在黑板上写下一个方程组． 让同学们解答，爱动脑筋的小敏想到一种新的方法： 解：将②变形为，③ 把①代入③，得，解得． 把代入①，解得． 方程组的解为． 这种把某个式子看成一个整体，从而使问题得到简化的方法叫做“整体代换”法，请你模仿小敏的“整体代换”法解方程组 3．（23-24七年级下·陕西延安·期末）在解二元一次方程组时，有些方程组直接用我们学过的“代入法”和“消元法”解决时计算量较大，容易出错．数学兴趣小组经过探索研究，发现了下面两种解决二元一次方程组的新方法． 【整体代入法】例：解方程组时，由①，得③，然后再将③代入②，得，解得．将代入③，得，∴该方程组的解是 【轮换式解法】例：解方程组时，，得，∴③．③×16，得④．，得，将代入③，得．∴该方程组的解是 根据上面方法，解决下列问题： (1)解方程组：； (2)解方程组：． 4．（23-24七年级下·广西南宁·阶段练习）[阅读理解]在解方程组或求代数式的值时，可用整体代入或整体求值的方法，化繁为简． （1）解方程组 解：把②代入得①，， 解得， 把代入②得， 所以方程组的解为 （2）已知求的值． 解：，得， ，得． [类比迁移] （1）求方程组的解． （2）已知 ，求的值． 【考点四 换元法解二元一次方程组】 例题：（23-24七年级下·河南驻马店·阶段练习）数学方法：解方程组，若设，，则原方程组可变形为，解方程组得，所以，解方程组得．我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去代替它，这种解方程组的方法叫做换元法． (1)请用这种方法解方程组； (2)已知关于x、y的二元一次方程组的解为，则关于m、n的二元一次方程组的解为______． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·河南南阳·阶段练习）阅读材料：善于思考的贝贝同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法．把看成一个整体，设,原方程组可变为，解得，即，解得 (1)模仿贝贝同学的“整体换元”的方法，解方程组： (2)已知关于x,y的方程组的解为，求关于m，n的方程组的解． 2．（22-23七年级下·重庆铜梁·期中）阅读下列材料： 小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题： 解方程组．小明发现，如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程： 令，．原方程组化为，解得， 把代入，，得，解得， 原方程组的解为． (1)学以致用： 运用上述方法解方程组： (2)拓展提升： 已知关于x，y的方程组的解为，请直接写出关于m、n的方程组的解是______． 3．（23-24七年级下·山西晋城·期中）阅读与思考 阅读下列材料，完成后面的任务． 善于思考的李同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法． 解：把看成一个整体，设，． 原方程组可化为，解得原方程组的解为． 任务： (1)方程组的解是，则方程组的解是______； (2)仿照上述解题方法，用“整体换元”法解方程组． 4．（23-24八年级上·四川眉山·开学考试）阅读探索 （1）知识累计 解方程组 解：设，，原方程组可变为 解方程组得：，即 所以 此种解方程组的方法叫换元法． （2）拓展提高 运用上述方法解下列方程组： （3）能力运用 已知关于x，y的方程组的解为，直接写出关于m、n的方程组的解为 ． 【考点五 新定义型二元一次方程组】 例题：（23-24七年级下·河南驻马店·阶段练习）对于非零的两个有理数m、n，定义一种新运算，规定．若，，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）对、定义一种运算，规定（其中、为非零常数），如，若，则（    ） A． B．0 C．4 D．6 2．（23-24七年级下·广东肇庆·期末）对、定义一种新运算，规定：（其中、均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算．例如：，若，，则下列结论正确的有 ． （1），； （2）若，，则； （3）若，则、有且仅有2组正整数解； （4）若，，对任意有理数、都成立，则． 3．（2023七年级下·江苏·专题练习）对于有理数x，y，定义新运算：，其中a，b是常数．已知． (1)求a，b的值； (2)若关于x，y的方程组 的解也满足方程，求m的值； (3)若关于x，y的方程组的解为，求关于x，y的方程组的解． 4．（22-23七年级上·江苏苏州·阶段练习）定义：关于的方程与方程（a、b均为不等于0的常数）称互为“反对方程”，例如：方程与方程互为“反对方程”． (1)若关于的方程与方程互为“反对方程”，则______； (2)若关于的方程与方程互为“反对方程”，求、的值； (3)若关于的方程与其“反对方程”的解都是整数，求整数的值． 5．（23-24七年级下·北京海淀·期中）定义：形如关于的方程与的两个方程互为共轭二元一次方程，其中；由这两个方程组成的方程组，叫做共轭方程组． (1)请写出方程的共轭二元一次方程： ； (2)若方程中的值满足表格： x ﹣1 2 y 2 1 求这个方程的共轭二元一次方程； (3)若共轭方程组的解是，请你求出的数量关系． 6．（23-24七年级下·广西南宁·阶段练习）阅读感悟： 有些关于方程组的问题，需要求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：已知实数，满足①，②，求和的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得，的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由可得．这样的解题方法就是通常所说的“整体代入法”求值． 解决问题： (1)已知二元一次方程组，请用“整体代入法”求和的值； (2)对于实数，，定义新运算：，其中，，是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，求的值． 7．（23-24七年级下·江苏南通·阶段练习）定义；在平面直角坐标系中，将经过变换后得到，其中，（k，b为常数且），我们把这种变换称为“G变换”，记作为．例如：当，时，． (1)当，时，______； 若，则______． (2)点是平面直角坐标系中第一、三象限角平分线上的一个点，点经过“G变换”得到，若点M与重合，请求出点M的坐标； (3)已知点，，经过“G变换”的对应点分别是，E，F．若轴，且点F落在x轴上，求三角形的面积． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$