精品解析：山东省临沂市莒南县2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题

2024—2025学年度上学期阶段性教学质量检测 九年级数学试题 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 下列著名曲线中，既是轴对称图形也是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程中，有两个相等实数根的是（ ） A. B. C. D. 3. 二次函数向左平移2个单位，向上平移1个单位得到函数解析式是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，与相切于点，与相交于点，点在上，且与点不重合．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 已知二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 对称轴为直线 B. 顶点坐标为 C. 函数的最大值是 D. 函数的最小值是 6. 在反比例函数的图象上有两点，当时，有，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是．有下列结论： ①小球从抛出到落地需要； ②小球运动中的高度可以是； ③小球运动时的高度小于运动时的高度． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 8. 如图，在等边三角形中，点D在边上，连接，将绕点B旋转一定角度，使得，连接．若，则为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，点在上，的半径为2，，连接并延长，交于点D，连接、，若，则的长为（ ） A. 2 B. C. D. 10. 如图1，矩形中，点E为的中点，点P沿从点B运动到点C，设B，P两点间的距离为x，，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则的长为（　　） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 第Ⅱ卷（选择题 共90分） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 方程的根是______. 12. 已知点和点均在反比例函数的图象上，若，则________0． 13. 如图，四边形为菱形，，与相切于点，对角线过圆心，交于点，，则直径的长为______． 14. 在温度不变的条件下，气体所产生的压强与气体的体积成反比例，如图是某种气体压缩后，气体产生的压强P关于气体的体积V的函数图象．若压强由减压到，则气体体积增加了________． 15. 如图，将△ABC绕点A顺时针旋转角α，得到△ADE，若点E恰好在CB的延长线上，则∠BED的度数为_________．（用含有α的式子表示） 16. 如图所示是二次函数的部分图象，该函数图象的对称轴是直线，图象与轴交点的纵坐标是2．则下列结论：①；②方程一定有一个根在和之间；③方程一定有两个不相等的实数根；④．其中，正确结论的有______（将正确结论的序号填在横线上） 三、解答题：本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标为． （1）画出，使得与关于原点对称，并写出的坐标； （2）以为旋转中心，将逆时针旋转得到，画出并写出的坐标． 18. 已知关于x的方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根分别是，，且，求m的值． 19. 如图，在同一直角坐标系中，一次函数和反比例函数的图象相交于点，． （1）求点A，点B的坐标及一次函数的解析式； （2）根据图象，直接写出不等式的解集． 20. 如图，在平面直角坐标系中，A、B、C是上的三个点，． （1）圆心的坐标为______；请在图中标出圆心的位置． （2）判断点与的位置关系，并写出过程． 21. 如图，在中，点E在边上，，将线段绕A点旋转到的位置，使得，连接，与交于点G． （1）求证：； （2）若，求的度数． 22. 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点与点． （1）求反比例函数的表达式； （2）若点是第一象限内双曲线上的点（不与点重合），连接，且过点作轴的平行线，与直线相交于点，连接，若的面积为3，求点的坐标． 23. 如图，圆内接四边形的对角线，交于点，平分，． （1）求的度数； （2）过点作交的延长线于点，若，，求此圆半径的长． 24. 已知抛物线（b为常数）的顶点横坐标比抛物线的顶点横坐标大1． （1）求b的值； （2）点在抛物线上，点在抛物线上． （ⅰ）若，且，，求h的值； （ⅱ）若，求h的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度上学期阶段性教学质量检测 九年级数学试题 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 下列著名曲线中，既是轴对称图形也是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查轴对称图形以及中心对称图形，熟练掌握轴对称图形以及中心对称图形是解题的关键．根据轴对称图形以及中心对称图形的定义即可得到答案． 【详解】解：是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项A不符合题意； 不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项B不符合题意； 既是轴对称图形也是中心对称图形，故选项C符合题意； 是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项D不符合题意； 故选：C． 2. 下列方程中，有两个相等实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根，解一元二次方程，熟练掌握开平方法解方程是解题的关键． 分别对每一个选项运用直接开平方法进行解方程即可判断． 【详解】解：A、，故该方程无实数解，故本选项不符合题意； B、，解得：，故本选项符合题意； C、，，解得，故本选项不符合题意； D、，，解得，故本选项不符合题意． 故选：B． 3. 二次函数向左平移2个单位，向上平移1个单位得到函数解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平移规律得到平移后抛物线的顶点坐标，根据该顶点坐标写出新抛物线解析式即可． 本题考查了二次函数与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式 【详解】解：抛物线，它的顶点坐标是． 将其向左平移2个单位，再向上平移1个单位后，得到新抛物线的顶点坐标是， 所以新抛物线的解析式是：． 故选：D． 4. 如图，与相切于点，与相交于点，点在上，且与点不重合．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，直角三角形两锐角互余，圆周角定理的运用，掌握切线的性质，同圆或等圆中，同弧所对的圆周角是圆心角的一半是解题的关键． 根据题意，连接，得到，根据直角三角形两锐角互余可得，再根据圆周角定理即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵与相切于点， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵对的圆心角为，对的圆周角为， ∴， 故选：A ． 5. 已知二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 对称轴为直线 B. 顶点坐标为 C. 函数的最大值是 D. 函数的最小值是 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数顶点式的特点，掌握二次函数顶点式的特点是解题的关键． 根据二次函数顶点式的特点进行分析即可求解． 【详解】解：二次函数， ∴二次函数的顶点坐标为， ∴函数的对称轴直线为，故A，B选项错误，不符合题意； ∵， ∴函数图象开口向下，函数有最大值，最大值为，故C选项正确，符合题意； ∴D选项错误，不符合题意； 故选：C ． 6. 在反比例函数的图象上有两点，当时，有，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得反比例函数的图象在一三象限，进而可得，解不等式即可求解． 【详解】解：∵当时，有， ∴反比例函数的图象在一三象限， ∴ 解得：， 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数图象的性质，根据题意得出反比例函数的图象在一三象限是解题的关键． 7. 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是．有下列结论： ①小球从抛出到落地需要； ②小球运动中的高度可以是； ③小球运动时的高度小于运动时的高度． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，令解方程即可判断①；配方成顶点式即可判断②；把和代入计算即可判断③． 【详解】解：令，则，解得：，， ∴小球从抛出到落地需要，故①正确； ∵， ∴最大高度为， ∴小球运动中的高度可以是，故②正确； 当时，；当时，； ∴小球运动时的高度大于运动时的高度，故③错误； 故选C． 8. 如图，在等边三角形中，点D在边上，连接，将绕点B旋转一定角度，使得，连接．若，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质，找到全等三角形是求解的关键；根据，以及可证，进而证得为等边三角形，有，再根据证≌，可得到，即可求出为． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， 在和中， ∴≌ ∴， ∴． 故选：D． 9. 如图，点在上，的半径为2，，连接并延长，交于点D，连接、，若，则的长为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，圆周角定理，解直角三角形，利用平行线的性质和圆周角定理得到，，再利用解直角三角形得到即可解题． 【详解】解：，， ,， ， ， 由题知为的直径， 的半径为2， ,， ． 故选：B． 10. 如图1，矩形中，点E为的中点，点P沿从点B运动到点C，设B，P两点间的距离为x，，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则的长为（　　） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】根据图象可知，当P在B点时，，根据两点之间线段最短，得到，再根据图象可知，勾股定理得到，结合，求出的长，即可得出结果． 【详解】解：由函数图象知：当，即P在B点时，． 利用两点之间线段最短，得到． ∴y的最大值为， ∴． 在中，由勾股定理得：， 设的长度为t， 则， ∴， 即， ∴， 解得或， 由于， ∴． ∴， ∵点E为的中点， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查动点的函数图象．从图象中有效的获取信息，是解题的关键． 第Ⅱ卷（选择题 共90分） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 方程的根是______. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴或， 解得：， 故答案为：． 12. 已知点和点均在反比例函数的图象上，若，则________0． 【答案】##小于 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，先求出，，再根据，得出，最后求出即可． 【详解】解：∵点和点均在反比例函数的图象上， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 13. 如图，四边形为菱形，，与相切于点，对角线过圆心，交于点，，则直径的长为______． 【答案】4 【解析】 【分析】该题主要考查了菱形的性质，切线的性质，直角三角形的性质等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 根据四边形为菱形，，得出，连接，根据切线的性质得出，即可得出，算出，即可求解． 【详解】解：∵四边形为菱形，， ∴， 连接， ∵与相切于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：4． 14. 在温度不变的条件下，气体所产生的压强与气体的体积成反比例，如图是某种气体压缩后，气体产生的压强P关于气体的体积V的函数图象．若压强由减压到，则气体体积增加了________． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用．设这个反比例函数的解析式为，求得，当时，求得，当时求得，，于是得到结论． 【详解】解：设这个反比例函数的解析式为， 时，， ， ， 当时，， 当时，， ， 气体体积增大了， 故答案为：15． 15. 如图，将△ABC绕点A顺时针旋转角α，得到△ADE，若点E恰好在CB的延长线上，则∠BED的度数为_________．（用含有α的式子表示） 【答案】 【解析】 【分析】由旋转的性质得，，，根据等边对等角和三角形内角和定理即可得到，由此即可得到答案． 【详解】由旋转的性质得，，， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握旋转的性质． 16. 如图所示是二次函数的部分图象，该函数图象的对称轴是直线，图象与轴交点的纵坐标是2．则下列结论：①；②方程一定有一个根在和之间；③方程一定有两个不相等的实数根；④．其中，正确结论的有______（将正确结论的序号填在横线上） 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，理解图示，掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 根据图象可得，，图象与轴的一个交点在之间，可判定①②；根据二次函数与直线有两个交点，可判定③；由图象另一个交点在之间，可得当时，，把代入可判定④；由此即可求解． 【详解】解：二次函数图象开口向下， ∴， 对称轴直线为， ∴， ∴，故①正确； ∵图象与轴的一个交点在之间，且对称轴直线为， ∴另一个交点在之间，故②错误； 图象与轴交点的纵坐标是2， ∴， ∴二次函数与直线有两个交点， ∴方程一定有两个不相等的实数根，故③正确； ∵图象与轴的一个交点在之间，且对称轴直线为， ∴另一个交点在之间， ∴当时，， ∵， ∴， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有①③④， 故答案为：①③④ ． 三、解答题：本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标为． （1）画出，使得与关于原点对称，并写出的坐标； （2）以为旋转中心，将逆时针旋转得到，画出并写出的坐标． 【答案】（1） 如图，即为所求． （2） 如图，即为所求． 【解析】 【分析】（1）根据中心对称的性质找到的对称点，顺次连接得到，根据坐标系写出点的坐标即可求解； （2）根据中心对称的性质找到的对称点，顺次连接得到，根据坐标系写出点的坐标即可求解． 【小问1详解】 【小问2详解】 ． 【点睛】本题考查了旋转作图，画中心对称图形，写出点的坐标，熟练掌握旋转的性质，中心对称的性质是解题的关键． 18. 已知关于x的方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根分别是，，且，求m的值． 【答案】（1） 证明：∵方程，， ∴， ∴无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根． （2） 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，熟练掌握根的判别式和根与系数关系定理是解题的关键． （1）证明方程的根的判别式即可． （2）根据根与系数关系定理，得，结合计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵的两个实数根分别是，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得． 19. 如图，在同一直角坐标系中，一次函数和反比例函数的图象相交于点，． （1）求点A，点B的坐标及一次函数的解析式； （2）根据图象，直接写出不等式的解集． 【答案】（1），， （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比函数的交点问题： （1）分别把点，点代入，可求出点A，B的坐标，即可求解； （2）直接观察图象，即可求解． 【小问1详解】 解：把点代入中，得：， ∴点A的坐标为， 把点代入中，得：， ∴点B的坐标为， 把，代入中得：， ∴， ∴一次函数的解析式为， 【小问2详解】 解：根据一次函数和反比例函数图象，得： 当或时，一次函数的图象位于反比例函数的图象的上方， ∴的解集为或． 20. 如图，在平面直角坐标系中，A、B、C是上的三个点，． （1）圆心的坐标为______；请在图中标出圆心的位置． （2）判断点与的位置关系，并写出过程． 【答案】（1），图见解析 （2）点D在内，证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查确定圆的条件和坐标与图形性质的知识点，点与圆的位置关系等知识，能够根据垂径定理的推论得到圆心的位置是解决问题的关键． （1）根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心． （2）求出的半径，的长即可判断． 【小问1详解】 解：画图如下： 由图可知：圆心是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：圆的半径， 线段， 点D在内． 21. 如图，在中，点E在边上，，将线段绕A点旋转到的位置，使得，连接，与交于点G． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）证明，即可得出结论； （2）利用等边对等角，结合三角形的内角和定理求出的度数，进而得到的度数，利用全等三角形的对应角相等，得到的度数，利用三角形的外角的性质求出的度数即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴． ∵将线段绕A点旋转到的位置， ∴． 在与中， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边对等角，三角形的内角和定理以及三角形的外角，熟练掌握相关知识点，证明三角形全等，是解题的关键． 22. 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点与点． （1）求反比例函数的表达式； （2）若点是第一象限内双曲线上的点（不与点重合），连接，且过点作轴的平行线，与直线相交于点，连接，若的面积为3，求点的坐标． 【答案】（1） （2）点的坐标为 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数的表达式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形面积． （1）先求出点B的坐标，然后利用待定系数法将B代入反比例函数解析式中即可求出其表达式； （2）设点P的坐标为，用m表示出的面积，从而列出关于m的方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：将点代入一次函数， 可得，解得， ， 将点代入反比例函数， 可得，解得， 该反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：如下图， 设点的坐标为，则， ，点到直线的距离为， ， 整理得， ∵， ∴当时，解得或， 当时，解得或， 点在第一象限， ， ， 点的坐标为． 23. 如图，圆内接四边形的对角线，交于点，平分，． （1）求的度数； （2）过点作交的延长线于点，若，，求此圆半径的长． 【答案】（1） （2）圆的半径长是4． 【解析】 【分析】（1）证明，则，根据圆内接四边形的性质得到； （2）证明是等边三角形，则，得到，则，则，再利用直角三角形的性质即可到答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵ ， ∴ ， ∴，， ∵四边形是圆内接四边形． ∴． ∴； 【小问2详解】 ∵， ∴是圆的直径， ∵， ∴ ， ∴是等边三角形， ∴， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴圆的半径是4． 【点睛】此题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质、等边三角形的判定和性质、含角直角三角形的性质等知识，得到是解题的关键． 24. 已知抛物线（b为常数）的顶点横坐标比抛物线的顶点横坐标大1． （1）求b的值； （2）点在抛物线上，点在抛物线上． （ⅰ）若，且，，求h的值； （ⅱ）若，求h的最大值． 【答案】（1） （2）（ⅰ）3；（ⅱ） 【解析】 【分析】题目主要考查二次函数的性质及化为顶点式，解一元二次方程，理解题意，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）根据题意求出的顶点为，确定抛物线（b为常数）的顶点横坐标为2，即可求解； （2）根据题意得出， ，然后整理化简；（ⅰ）将代入求解即可；（ⅱ）将代入整理为顶点式，即可得出结果． 【小问1详解】 解：， ∴的顶点为， ∵抛物线（b为常数）的顶点横坐标比抛物线的顶点横坐标大1， ∴抛物线（b为常数）的顶点横坐标为2， ∴， ∴； 【小问2详解】 由（1）得 ∵点在抛物线上，点在抛物线上． ∴， ， 整理得： （ⅰ）∵， ∴， 整理得：， ∵，， ∴， ∴； （ⅱ）将代入， 整理得， ∵， ∴当，即时，h取得最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $