精品解析：河北省秦皇岛市青龙满族自治县青龙部分学校2025届高三上学期11月期中考试数学试题

2024—2025学年第一学期青龙县部分学校期中联考 高三数学试题 注意事项: 1.本试卷共4页，总分150分，考试时间150分钟. 2.答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡相应位置上. 3.答选择题时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合的交集得到结果即可. 【详解】根据集合的交集的计算得到：, 故选. 【点睛】这个题目考查了集合的交集的概念以及运算，题目比较简单. 2. 已知向量，，且满足，则（ ） A. 13 B. C. 26 D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先求出，再根据向量垂直，得到，即可求出参数的值，再求出的坐标，从而求出其模； 【详解】解：由题意得，∵，∴， 即，解得．∴， 则， 故选：B． 3. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，求得为偶函数，再利用导数求得函数的单调区间，结合选项，即可求解. 【详解】由函数的定义域为， 且，所以函数为偶函数， 当时，，则， 当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增. 故选：C. 4. 给出四个等式：①；②；③；④，则不满足任一等式的函数是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】分析：根据指数运算法则、对数运算法则、幂函数运算法则验证等式，即得结果. 详解：项满足②； 项满足④； 项满足③； ． 故选. 点睛：指对数运算： 5. 已知函数是定义在上周期为的奇函数，若，则(    ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入，求出，最后根据奇偶性与周期性计算可得. 【详解】解：因为，所以， 所以，又因为函数是定义在上的周期为的奇函数， 所以，所以； 故选：B. 6. 不等式成立的充要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 化简得到，根据函数单调性得到答案 【详解】，故，即， 故. 故选：. 【点睛】本题考查了充要条件，意在考查学生的计算能力和推断能力. 7. 已知函数在上单调递减，且关于的方程恰好有两个不相等的实数解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由在， 上单调递减，得，由在上单调递减，得，作出函数且在上的大致图象，利用数形结合思想能求出的取值范围． 【详解】解：由在上单调递减，得， 又由且在上单调递减， 得，解得，所以， 作出函数且在上的大致图象， 由图象可知，在上，有且仅有一个解， 故上，同样有且仅有一个解， 当，即时，联立，即， 则，解得：， 当时，即，由图象可知，符合条件． 综上：． 故选：C． 8. 若，则的大小关系是（ ） A. ＞＞ B. ＞＞ C. ＞＞ D. ＞＞ 【答案】B 【解析】 【分析】将分别根据自身的特点求出范围或值，再比较即可. 【详解】 ， 故选：B． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9. 已知，为复数，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则与的虚部相等 C. 若，则或 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】对于可直接利用复数的性质进行判断；对于C，通过取模运算即可判定；对于D，取特殊值可判定. 【详解】对于A，若，则和互为共轭复数，所以，故A正确； 对于B，若，则与的虚部互为相反数，故B错误； 对于C，若，则，所以或，可得或，故C正确； 对于D，取，，可得，故D错误. 故选： 10. 若的内角，，对边分别是，，，，且，则（ ） A. 外接圆的半径为 B. 的周长的最小值为 C. 面积的最大值为 D. 边的中线的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，由正弦定理进行边角互化可得B，再利用正弦定理可得外接圆的半径；对于BC，利用余弦定理结合基本不等式可得的最值及的最值；对于D，根据向量的线性运算，可表示中线，进而可得其长度最值. 【详解】对于A：，由正弦定理得， 即，即， 因为，所以，所以，， 因为，则， 令外接圆的半径为, 根据正弦定理可得，即，故A正确； 对于C：由余弦定理知，， 因为，，所以，，当且仅当时等号成立， 因为，所以的最大值为，故C正确； 对于B：由C知，则， 所以，当且仅当时等号成立， 所以的最大值为，故B错； 对于D：因为为边上的中线， 所以，， 得，因为，所以的最小值为，故D正确； 故选：ACD. 11. 已知为常数，给出关于的不等式，则（ ） A. 当，时，不等式的解集为 B. 当时，不等式的解集为或的形式，其中 C. 当时，不等式的解集为或的形式，其中， D. 当时，不等式的解集为的形式，其中 【答案】ACD 【解析】 【分析】当，时，转化为一元二次不等式组求解可判断A；讨论直线与抛物线的相交情况，然后根据条件作出函数，，的图象，观察图象即可判断BCD. 【详解】当，时，， 即，解得，A正确； 设直线，联立，得， 由得或，直线与抛物线有两个交点； 由得或，直线与抛物线有一个交点； 由得，直线与抛物线无交点. 作出函数，，的图象，当时，如图一， 由图可知，此时不等式解集为，B错误； 当时，如图二，由图可知，C正确； 当时，如图三，由图可知，D正确. 故选：ACD 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 写出一个满足且不是常数函数的函数：__________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据题意结合对数的按性质即可得解. 【详解】解：若， 则， 故符合题意的函数可以为. 故答案为：（答案不唯一，符合即可，其中且，其他满足条件的函数亦可）. 13. 中，若，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】将化为，两已知等式平方作和可求得，得到或；当时，可验证出已知等式不成立，故. 【详解】由得：. 将与分别平方作和得： ， 又 或 当时，，，， ，不合题意，. 故答案为：. 【点睛】本题考查利用三角恒等变换知识求解角的问题，易错点是根据正弦值求角时，忽略已知条件的限制，造成增根的出现. 14. 已知向量，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出坐标，再由，得，解方程可求得结果. 【详解】因为， 所以， 因为，所以，解得， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设向量 （I）若 （II）设函数 【答案】（I）（II） 【解析】 【详解】(1)由＝(sinx)2＋(sinx)2＝4sin2x， ＝(cosx)2＋(sinx)2＝1， 及，得4sin2x＝1. 又x∈，从而sinx＝，所以x＝. (2) sinx·cosx＋sin2x ＝sin 2x－cos 2x＋＝sin＋， 当x∈时，－≤2x－≤π， ∴当2x－＝时， 即x＝时，sin取最大值1. 所以f(x)的最大值为. 16. 在中，内角所对的边分别为，且满足． （1）求的值； （2）已知的面积为，求a的值． 【答案】（1）2 （2）1或 【解析】 【分析】（1）边化角，利用正弦定理即可求解； （2）应用三角形面积公式计算出AB边上的高，再利用勾股定理即可. 【小问1详解】 由正弦定理得： , ， , ，因为A，C是三角形内角， ， 所以 ，而由正弦定理得，∴ ，即 ； 【小问2详解】 由第一问可知，b=2a，设AB边上的高为h， 则三角形ABC面积 ， 作下图： 过点C作AB的垂线，垂足为D，则CD=h， 设AD=x ，则由勾股定理得到下列方程组： ，解得 ， 由公式法得 ， ，a=1； 17. 将长为的铁丝截成段，搭成一个正四棱柱的模型，以此为骨架做成一个容积最大的容器，则铁丝应怎样截？ 【答案】铁丝应截成段等长的铁丝，正四棱柱模型的容积最大. 【解析】 【分析】设正四棱柱的底面边长为，则该正四棱柱的高为，求出的取值范围，求出正四棱柱的体积关于的函数关系式，利用导数分析该函数的单调性，可得出结论. 【详解】解：设正四棱柱的底面边长为，则该正四棱柱的高为， 由，可得， 则该正四棱柱的体积为，其中， 所以，， 当时，，此时函数单调递增， 当时，，此时函数单调递减， 故当时，函数取得最大值，且， 故当铁丝应截成段等长的铁丝，正四棱柱模型的容积最大. 18. 已知函数． （1）求函数的图象在点处的切线方程； （2）求证：． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义即可求得答案； （2）将所要证明的不等式变形为，从而构造函数，利用导数判断其单调性，求得其最小值，即可证明原不等式. 【小问1详解】 因为，所以， 所以，又因为． 所以函数的图象在点处的切线方程为， 即． 【小问2详解】 证明：要证，即证，即证， 即证． 令，则． 由，可得，（舍去） 因为当时，， 所以当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增． 所以， 所以，结论得证． 另解： 证明：因为， 所以要证，即证， 即证． 设， 则． 令，则， 而函数在上单调递减，又，， 故存在唯一的，使得，即，即， 等式两边同时取对数得，即． 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减． 所以，即， 所以在上单调递减． 因为当时，，， 所以函数，所以成立． 【点睛】：方法点睛：利用导数证明不等式，一般方法是将不等式进行变形，进而构造恰当的函数，从而将不等式的证明问题转化为函数的单调性或最值问题, 19. 已知函数． （1）若在定义域内恒成立，求的取值范围； （2）当取（1）中的最大值时，求函数的最小值； （3）证明不等式． 【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析． 【解析】 【分析】（1）直接求导得出的单调性，进而求得的最小值，再由求解即可； （2）直接求导得，再令，结合（1）中结论得到的单调性，进而得到的单调性，求得最小值即可； （3）由（2）中结论整理得，令化简得，结合对数运算即可证明不等式． 【详解】（1）的定义域是，，当时，，递减，当时，，递增， ∴，依题意得，则； （2）当时，，的定义域是，， 令，由（1）知，的最小值是递增， 又，时，，即递减，当时，，即递增，∴； （3）由（2）得，时，，即，整理得， 又，则，令，则，即， . 【点睛】本题（2）小问的关键点在于对求导后，令导数的分子为新的函数，结合（1）中结论进行求解；（3）小问的关键点在于化简得到，令结合对数运算即可证得结论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年第一学期青龙县部分学校期中联考 高三数学试题 注意事项: 1.本试卷共4页，总分150分，考试时间150分钟. 2.答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡相应位置上. 3.答选择题时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则 A. B. C. D. 2 已知向量，，且满足，则（ ） A. 13 B. C. 26 D. 3. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 4. 给出四个等式：①；②；③；④，则不满足任一等式的函数是（ ）． A B. C. D. 5. 已知函数是定义在上周期为奇函数，若，则(    ) A. B. C. D. 6. 不等式成立的充要条件是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在上单调递减，且关于的方程恰好有两个不相等的实数解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 若，则的大小关系是（ ） A. ＞＞ B. ＞＞ C. ＞＞ D. ＞＞ 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9. 已知，为复数，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则与的虚部相等 C. 若，则或 D. 若，则 10. 若的内角，，对边分别是，，，，且，则（ ） A. 外接圆的半径为 B. 的周长的最小值为 C. 的面积的最大值为 D. 边的中线的最小值为 11. 已知为常数，给出关于的不等式，则（ ） A. 当，时，不等式的解集为 B. 当时，不等式解集为或的形式，其中 C. 当时，不等式的解集为或的形式，其中， D. 当时，不等式的解集为的形式，其中 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 写出一个满足且不是常数函数的函数：__________． 13. 中，若，，则______． 14. 已知向量，若，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设向量 （I）若 （II）设函数 16. 在中，内角所对的边分别为，且满足． （1）求值； （2）已知的面积为，求a的值． 17. 将长为的铁丝截成段，搭成一个正四棱柱的模型，以此为骨架做成一个容积最大的容器，则铁丝应怎样截？ 18. 已知函数． （1）求函数的图象在点处的切线方程； （2）求证：． 19. 已知函数． （1）若在定义域内恒成立，求的取值范围； （2）当取（1）中的最大值时，求函数的最小值； （3）证明不等式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$