上海市松江二中2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题

松江二中2024学年第一学期高三年级数学月考 2024.10 一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分） 1．设集合，，则 ． 2．在的展开式中，的系数为 ． 3．抛物线的焦点坐标为 ． 4．在中，，，其面积为，则边 ． 5．已知，则复数在复平面内对应的点位于第 象限． 6．《易经》是中国传统文化中的精髓，易经八卦分别为乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑，现将乾、坤、巽三卦按任意次序排成一排，则乾、坤相邻的概率为 ． 7．将10个数据按照从小到大的顺序排列如下：11，15，17，，23，26，27，34，37，38，若该组数据的40%分位数为22，则 ． 8．记为等差列的前项和，若，，则 ． 9．若直线与双曲线只有一个公共点，则的一个取值为 ． 10．已知圆台甲、乙的上底面半径均为，下底面半径均为，圆台的母线长分别为，则圆台甲与乙的体积之比为 ． 11．已知一圆柱的体积为立方厘米，则当该圆柱的表面积最小时，底面半径 厘米． 12．设与是两个不同的无穷数列，且都不是常数列．记集合，给出下列4个结论： ①若与均为等差数列，则中最多有1个元素； ②若为均为等差数列，则中最多有2个元素 ③若为等差数列，为等比数列，则中最多有3个元素； ④若为递增数列，为递减数列，则中最多有1个元素． 其中正确结论的序号是 ． 二、选择题（本大题共4题，满分18分，其中13、14题每题4分，15、16题每题5分） 13．设，是向量，则“”是“或”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 14．已知函数是严格增函数，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 15．已知函数的定义域为，，且当时，则下列结论中一定正确的是（ ） A． B． C． D． 16．已知是平面直角坐标系中的点集．设是中两点间距离的最大值，是表示的图形的面积，则（ ） A．， B．， C．， D．， 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17．（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分） 如图，在四棱锥中，平而，底面是一个直角梯形，，，． （1）若为的中点，证明：直线平面； （2）求二面角的余弦值． 18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 已知函数． （1）求的单调递增区间； （2）当时，求的最大值和最小值，并指出取得最值时的值． 19．（本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题第1问满分4分，第2问满分6分） 某保险公司为了了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同险期限届满的保单中随机抽取1000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表： 赔偿次数 0 1 2 3 4 单数 800 100 60 30 10 假设：一份保单的保费为0.4万元；前3次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元．假设不同保单的索赔次数相互独立．用频率估计概率． （1）估计一份保单索赔次数不少于2的概率； （2）一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差． （i）记为一份保单的毛利润，估计的数学期望； （ii）如果无索赔的保单的保费减少4%，有索赔的保单的保费增加20%，试比较这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值与（i）中估计值的大小． 20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题第1问满分6分，第2问满分8分） 已知双曲线一个顶点为，直线过点且交双曲线右支于，两点，记，，的面积分别为，，．当与轴垂直时，． （1）求双曲线的标准方程； （2）若交轴于点，，． ①求证：为定值； ②若，当时，求实数的取值范围． 21．（本题满分18分，小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 若存在常数，使得对定义域内的任意，，都有成立，则称函数在其定义域上是“利普希兹条件函数”． （1）判断函数是否是区间上的“1-利普希兹条件函数”？并说明理由； （2）已知函数是区间上的“3-利普希兹条件函数”，求实数的取值范围； （3）若函数为连续函数，其导函数为，若，其中，且．定义数列，，证明：． 参考答案 一、填空题 1.; 2.; 3.; 4.; 5.二; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.； 11. 12.①③④ 11．已知一圆柱的体积为立方厘米，则当该圆柱的表面积最小时，底面半径 厘米． 【答案】 【解析】根据题意,设该圆柱的底面半径为,高为, 则其体积,则有,变形可得， 该圆柱的表面积 其导数, 当时,在区间为减函数, 当时,在区间为增函数, 故当厘米时,该圆柱的表面积最小.故答案为:3. 12．设与是两个不同的无穷数列，且都不是常数列．记集合，给出下列4个结论： ①若与均为等差数列，则中最多有1个元素； ②若为均为等差数列，则中最多有2个元素 ③若为等差数列，为等比数列，则中最多有3个元素； ④若为递增数列，为递减数列，则中最多有1个元素． 其中正确结论的序号是 ． 【答案】①③④ 【解析】对于①,均为等差数列,不为常数列且各项均不相同, 故它们的散点图分布在直线上,而两条直线至多有一个公共点，所以中至多一个元素, 故①正确; 对于②,令,满足均为等比数列, 但当为偶数时,,此时中有无穷多个元素，故②错误； 对于③，设， 若中至少四个元素,则关于的方程至少有4个不同的正数解, 若,考虑关于的方程奇数解的个数和偶数解的个数, 当有偶数解，此方程即为 方程至多有两个偶数解,且有两个偶数解时,否则, 因为单调性相反,方程至多一个偶数解， 当有奇数解,此方程即为 方程至多有两个奇数解,且有两个奇数解时,即,否则, 因为单调性相反,方程至多一个奇数解， 因为不可能同时成立, 若，则由和的散点图可得关于的方程至多有两个不同的解，矛盾；故不可能有4个不同的正数解，故③)正确. 对于④,因为为单调递增,为递减数列,不为常数列且各项均不相同,前者散点图呈上升趋势，后者的散点图呈下降趋势,两者至多一个交点,故④正确。故答案为:①③④. 二、选择题 13.B 14.B 15.B 16.C 15．已知函数的定义域为，，且当时，则下列结论中一定正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设,则,, 故,, 观察可知, 则,即.故选：B. 16．已知是平面直角坐标系中的点集．设是中两点间距离的最大值，是表示的图形的面积，则（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解析】集合表示的图形如下图阴影部分所示,由图象可知， 故选:. 三．解答题 17.（1）证明略 （2） 18.（1） （2）当时，当时， 19.（1） （2）（i） （ii） 20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题第1问满分6分，第2问满分8分） 已知双曲线一个顶点为，直线过点且交双曲线右支于，两点，记，，的面积分别为，，．当与轴垂直时，． （1）求双曲线的标准方程； （2）若交轴于点，，． ①求证：为定值； ②若，当时，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）①见解析 ② 【解析】(1)由题意得，则当与轴垂直时， 不妨设，由，得, 将代入方程，得,解得, 所以双曲线的方程为. (2)证明：①设,), 由与,得,,即, 将代入的方程得:, 整理得:①， 同理由可得② 由①②知，是方程的两个不等实根. 由韦达定理知,所以为定值. ②又,即 整理得:, 又,不妨设,则 整理得,又,故 而由①知,故代入, 令,得 由双勾函数在上单调递增,得 所以的取值范围为. 21．（本题满分18分，小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 若存在常数，使得对定义域内的任意，，都有成立，则称函数在其定义域上是“利普希兹条件函数”． （1）判断函数是否是区间上的“1-利普希兹条件函数”？并说明理由； （2）已知函数是区间上的“3-利普希兹条件函数”，求实数的取值范围； （3）若函数为连续函数，其导函数为，若，其中，且．定义数列，，证明：． 【答案】（1）是 （2） （3）见解析 【解析】(1)依题意, 注意到,因此,从而, 故, 即是区间上的"1——利普希兹条件函数". (2)依题意,,均有 不妨设,则,即, 设,则单调递减, 故恒成立，即,因此. (3)证明:因为,设,则, 故为单调递增函数,则,恒有, 即 设,则,故为单调递减函数， 则,恒有, 即 综上可知, 则 当时， 则 综上可知 学科网（北京）股份有限公司 $$